Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘC LẬP VỚI THỜI GIAN CỦA HAI DAO ĐỘNG CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ Chứng minh công thức “Độc” *Xét mộ vật tham gia tham đồng gia hai dao động điều hòa phương tần số: x1 = A1 cos ( ω t + ϕ1 ) ⇒ x = A cos ( ω t + ϕ ) x2 = A2 cos ( ω t + ϕ ) Bây ta khử t hai dao động tần số công cụ toán học sau: Cách chứng minh 1: Hai dao động viết lại sau: x1 A = cos ω t cos ϕ1 − sin ω t sin ϕ1 ( ) x2 = cos ω t cos ϕ − sin ω t sin ϕ ( ) 2 A2 *Nhân hai vế phương trình (3) cho phương trình (4) cho cos ϕ cos ϕ1 x1 A cos ϕ = cos ω t cos ϕ1 cos ϕ − sin ω t sin ϕ1 cos ϕ x1 cos ϕ = cos ω t cos ϕ cos ϕ − sin ω t sin ϕ cos ϕ 2 A2 Tiếp tục trừ vế theo vế ta được: x1 x cos ϕ − cos ϕ1 = sin ω t sin ( ϕ − ϕ1 ) ( ) A1 A2 *Nhân hai vế phương trình (3) cho phương trình (4) cho sin ϕ sin ϕ1 x1 A sin ϕ = cos ω t cos ϕ1 sin ϕ − sin ω t sin ϕ1 sin ϕ x1 sin ϕ = cos ωt cos ϕ sin ϕ − sin ω t sin ϕ sin ϕ 2 A2 Tiếp tục trừ vế theo vế ta được: Tuyệt đỉnh công phá chuyên đề Vật Lí, tập - Đoàn Văn Lượng & Hoàng Sư Điểu Từ (5) x1 x sin ϕ − sin ϕ1 = cos ω t sin ( ϕ − ϕ1 ) ( ) A1 A2 (6) ta x1 x1 A cos ϕ − A cos ϕ1 = sin ω t sin ( ϕ − ϕ1 ) x1 sin ϕ − x1 sin ϕ = cos ω t sin ( ϕ − ϕ ) 2 A1 A2 hệ: Tiếp tục bình phương hai vế cộng lại ta được: x12 x22 x1 x2 + 2− cos ∆ϕ = sin ∆ ϕ ( *) A1 A2 A1 A2 ( ∆ ϕ = ϕ − ϕ1 ) , Với Cách chứng minh 2: (Cách thầy Hoàng Michael) *Từ phương trình: x1 ta biến đổi x1 = A1 cos ω t + ϕ1 − ϕ + ϕ ÷ = A1 cos ( ω t + ϕ ) cos ∆ϕ − A1 sin ( ω t 123 ÷ ∆ϕ A1 x2 x2 x2 2x x x2 cos ∆ϕ − A1 − 22 sin ∆ϕ ⇔ 12 + 22 − cos ∆ϕ = A2 A2 A1 A2 A1 A2 Xét trường hợp đặc biệt: + Nếu hai dao động pha : 2 x x 2x x ∆ϕ = k 2π ⇒ 12 + 22 − = A1 A2 A1 A2 +Nếu hai dao động ngược pha thì: 2 x x 2x x ∆ϕ = ( 2k + 1) π ⇒ 12 + 22 + = A1 A2 A1 A2 +nếu hai dao đông vuông pha thì: 2 x x π ∆ϕ = ( 2k + 1) ⇒ 12 + 22 = A1 A2 x1 = +Nếu thời điểm t mà phương trình (*) ta đươc: x1 = x2 = x0 thay vào Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt A1 A2 sin ∆ϕ x0 = A + A22 − A1 A2 cos ∆ϕ (Công thức Phùng Lão) Nhận xét: Công thức (*) có tính chất tổng quát Công thức bạn Phùng Lão trường hợp riêng công thức tổng quát Bài tập ví dụ: Ví dụ 1: hai vật dao động điều hòa phươnng tần số, biên độ dao động thứ A1 = 10cm Khi x1 = -5cm li độ tổng hợp x = - − cm Độ lệch pha dao π / Tính biên độ 2cm Khi x2 = x = động hai chất điểm nhỏ dao động tổng hợp A.14cm B.20cm 10 ( cm ) D Ta có công 20 / cm C thức Hướng dẫn: độc lập với thời gian: x12 x22 x1 x2 + − cos ∆ϕ = sin ∆ϕ ( *) A12 A22 A1 A2 − thay vào * x = x1 + x2, x2 = suy x1 = x = công thức (*) ta được: π −5 ∆ϕ < x12 2 = sin ∆ ϕ ⇔ = sin ∆ ϕ → sin ∆ϕ = ⇒ cos ÷÷ A1 10 (1) *Khi x1 = -5cm x = - 2cm x2 = x – x2 = 3cm Thay vào công thức (*): −5 ( −5) 3 = ⇒ A2 = ( cm ) ÷ + ÷− 10 A2 10 A2 (Dùng máy tính Fx- 570 ) A = A1 + A2 + A1 A2 cos ∆ ϕ = 14 ( cm ) Chọn Từ đó: A Bình luận: Đây cách giải độc đáo nhất, phù hợp với tất đối tượng học sinh chưa tác giả hay sách giải theo cách này, ngược lại sách tham khảo khác giải theo kiểu vẽ hình ;ập luận phức tạp 2 Tuyệt đỉnh công phá chuyên đề Vật Lí, tập - Đoàn Văn Lượng & Hoàng Sư Điểu Ví dụ 2: Hai chất điểm dao động điều hòa phương tần số có biên độ A1 A2 = 3cm, lệch pha góc ( π / < ∆ϕ < π ) ∆ ϕ cho t = t1 dao động có li độ -2cm dao động tổng hợp có li độ -3,5cm Khi t = t2 dao động dao động tổng hợp có li độ 1,5 cm Tìm biên độ dao động tổng hợp A.6,1cm Ta có B.4,4cm C.2,6cm Hướng dẫn: công thức độc lập với 2 D.3,6cm thời gian: 2 2 x x x1 x2 + − cos ∆ϕ = sin ∆ ϕ ( *) A A A1 A2 Khi t = t2 ta có: x2 = x = công thức (*) : − suy x1 = thay vào π −1,5