PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN ĐỨC CƠ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010 MƠN THI : TỐN LỚP : THỜI GIAN : 150 Phút ( Không kể thời gian giao đề ) ĐỀ BÀI Câu 1: ( 2điểm ) 992008 + 992009 + So sánh 2009 với 2010 99 + 99 + Câu 2: ( điểm ) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y Câu 3: (3 điểm) Cho ( x + x + )( y + y + ) = Tính giá trị biểu thức A = x 2009 + y 2009 Câu :(3 điểm ) Giải phương trình sau x + x + - x − x + = 9x - Câu 5:(2 điểm ) Cho a,b,c số đo ba cạnh tam giác , chứng minh : a2(b + c) + b2(c + a) +c2(a + b) ≤ a3 + b3 + c3 + 3abc Câu 6: (7 điểm ) Cho đường trịn (O;R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O) cất đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng EA AF a Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA b Hai đường kính AB CD có vị trí tương đối tam giác BPQ có diện tích nhỏ c Chứng minh hệ thức sau : CE.DF.EF = CD3 BE CE = BF DF Họ tên thí sinh : ………………………………………………Số báo danh ………… PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN ĐỨC CƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN : TỐN LỚP Câu 1:(2điểm ) Đặt 992008 = a , xét hiệu A hai phân thức : a +1 99a + - 99a + 99 a + 992 a + 992 a + a + − 992 a − 198a − A= (99a + 1)(992 a + 1) 992 a − 197a A = 99a + (992 a + 1) ( ) (0,5 điểm ) Vì a > nên 992a – 197a > (0,5 điểm) A= Vậy (0,25 điểm ) ( 0,5 điểm ) 99 + 99 + > 2010 2009 99 + 99 + 2008 2009 ( 0,25 điểm) Câu 2: (3 điểm ) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( x + y = 1) 2 (0,25điểm) x y x y x y + + − xy + = ( x2 + y ) + ( − ) 2 2 2 Suy M ≥ ( x + y ) Mặt khác : x + y =1 ⇒ x2 + y2 +2xy = ⇒ 2(x2 + y2) – (x – y )2 = ⇒ 2(x2 + y2) ≥ 1 Do : x2 + y2 ≥ Dấu “ = “ xảy x = y = 2 1 1 Ta có M ≥ ( x + y ) x2 + y2 ≥ ⇒ M ≥ × = 2 2 1 Vậy M ≥ , nên giá trị nhỏ biểu thức M x = y = 4 M= (0,5điểm) (0,25điểm) (0,5điểm) (0,25điểm ) (0,25 điểm) ( 0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,25điểm) Câu (3 điểm ) ( x + x + 1) ( y + y + 1) = x + x +1 x − x +1 y + )( )( ( Do : ( y + y + ) ( x + x + ) ( y − Ta có 2 ) + 1) = y − 2 y + = x − x2 + 2 y2 − y − y + = x − x + ⇒ − x − x + = y − y + ⇒ - (x + y) = (x + y ) ⇔ x=-y y2 +1 (0,75 điểm ) (0,25điểm) (0,25 điểm) (0,75điểm) Do : A = x2009 + y2009= (- y )2009 + y2009 = - y2009 + y2009 = (0,75 điểm) 2009 2009 Vậy : A = x + y =0 (0,25 điểm ) Câu 4: (3 điểm ) Đặt a = x + x + , b = x − x + ( a ≥ , b = (2 x − 1) + ≥ ) (0,25điểm) a − b = x − 2 2 a − b = x + x + − x + x − = x − ⇒ (a2 – b2) – (a – b) = ⇒ (a – b)(a + b – 1) = (0,25 điểm) Ta có ( 0,5 điểm) a ≥ ; b > 1nên a + b – > Do : a – b = ⇔ a = b ⇔ x2 + 5x + = x2 − x + (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5điểm) x − x + ≥ ⇔ 2 x + x + = x − x + (0,5điểm) (2 x − 1) + ≥ ⇔ 5 x + x = − 1 ⇔ x= Vậy nghiệm phương trình x = ( 0,25điểm) (0,25điểm Câu 5: (2 điểm ) Giả sử a ≥ b ≥ c > a2(b + c) + b2(c + a) +c2(a + b) ≤ a3 + b3 + c3 + 3abc ⇔ 3abc + a3 + b3 +c3 – a2(b + c) – b2 (c + b ) – c2( a + b) ≥ (1) Biến đổi vế trái (1 ) ta có VT = 3abc + a3 + b3 +c3 – a2b – b2a – a2c – b2c – c2a – c2b VT = a2(a - b) + b2(b - a) + c(2ab –a2 –b2) + c(c2 –bc + ab – a) VT = (a – b)(a2 – b2 ) – c(a – b)2 + (c – a )(c – b) VT = ( a – b)(a + b – c) + c(b – c )(a – c ) ≥0 ( a ≥ b, a + b > c , a ≥ c , b ≥ c , c > ) Do ta có (1 ) Vậy a2(b + c) + b2(c + a) +c2(a + b) ≤ a3 + b3 + c3 + 3abc (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) ( 0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25điểm) B k C Câu 6: (7điểm) Vẽ hình (0,5điểm) E D O I H P A Q F a (2,5 điểm ) Vẽ PI ⊥ BQ PI cắt BA H (0,5điểm) Ta có H trực tâm V BPQ (0,25điểm) Q,O trung điểm cạnh AF, AB V ABF ⇒ OQ đường trung bình V ABF ⇒ OQ // FB (0,25điểm) ·CBD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) (0,25điểm) OQ // FB , BE ⊥ FB ⇒ QO ⊥ BE (0,25điểm) V BEQ có BA VÀ QO hai đường cao cắt O ⇒ O trực tâm V BEQ ⇒ EO ⊥ BQ (0,25điểm) EO ⊥ BQ , PI ⊥ BQ ⇒ EO //PI (0,25 điểm) V AEO có P trung điểm EA EO // PH ⇒ H trung điểm OA (0,5điểm) b (2 điểm ) V BEF vuông B, BA đường cao nên AE ×AF =BA2 = 4R2 (0,25điểm) 1 AE + AF AE + AF BA ×PQ = ×2 R × ≥ R × AE ×AF = R = R× 2 2 V ⇔ ⇔ Dấu “ = “ xảy AE = AF BEF vuông cân B ⇔ AB ⊥ CD Vậy AB ⊥ CD S BPQ nhỏ S BPQ = (1điểm ) (0,25điểm) (0,25 điểm) (0,25điểm) c (2 điểm) ⇒ Suy AB = CD( = 2R) CD2 =AB2 = AE AF CD4 = AB4 =AE2 AF2 = CE DF EF AB AB2 = CE DF EF CD3 = CE DF EF BE EA ×EF AE BE AE CE ×BE = = ⇒ = = BF FA ×EF AF BF AF DF ×BF BE CE = Suy BF DF Ta có : (0,25điểm) (0,5điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5điểm) (0,25điểm) ( Ghi : thí sinh làm theo cách khác đ úngvẫn cho điểm tối đa ) ... 198 a − A= (99 a + 1) (99 2 a + 1) 99 2 a − 197 a A = 99 a + (99 2 a + 1) ( ) (0,5 điểm ) Vì a > nên 99 2a – 197 a > (0,5 điểm) A= Vậy (0,25 điểm ) ( 0,5 điểm ) 99 + 99 + > 2010 20 09 99 + 99 + 2008 20 09. .. THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 20 09 – 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN : TỐN LỚP Câu 1:(2điểm ) Đặt 99 2008 = a , xét hiệu A hai phân thức : a +1 99 a + - 99 a + 99 a + 99 2 a + 99 2 a + a + − 99 2... (0,75 điểm ) (0,25điểm) (0,25 điểm) (0,75điểm) Do : A = x20 09 + y20 09= (- y )20 09 + y20 09 = - y20 09 + y20 09 = (0,75 điểm) 20 09 20 09 Vậy : A = x + y =0 (0,25 điểm ) Câu 4: (3 điểm ) Đặt a = x