đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015 đề thi hsg lớp 12 tỉnh thái bình 2014 2015
Trang 1https://facebook.com/hoitoanhoc
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu I (3,0 điểm)
Cho hàm số
1
x y x
có đồ thị là (C)
M là điểm tùy ý trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B phân biệt Xác định tọa độ điểm M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất (O là gốc tọa độ)
Câu II (4,0 điểm)
Cho hệ phương trình:
3
2
(mlà tham số; ẩn ,x y là số thực)
1 Giải hệ phương trình khi m 4
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Câu III (2,0 điểm)
Giải phương trình: 2 cos 2 4 3 cos 3sin 2 3 1 0.
Câu IV (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn, C có phương trình: x 22y 22 4 Lập phương trình đường tròn C' tâm (4; 4)I , cắt đường tròn C tại hai điểm A,B sao cho AB = 2 2
Câu V (3,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA 2 ,a SB 3 ,a SC 4a, 0
90
ASBSAC , BSC 1200
Hai điểm M, N thỏa mãn: 3 SM 2SB SC, 2SN
1 Chứng minh tam giác AMN vuông Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
2 Cho hai điểm E và F thay đổi, lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và SC Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn EF
Câu VI (4,0 điểm)
1 Cho dãy số u n thỏa mãn:
Tính lim n
1
n Sn
ui i
2 Cho số thực x thay đổi lớn hơn 0 Chứng minh rằng:
1 2
2
x
Câu VII (1,0 điểm)
Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ:
1 i 1007 , 1; 2;3
x x x
Trang 2
SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
(Đáp án gồm 05 trang)
Câu 1
(3,0
điểm)
Cho hàm số
1
x y
x có đồ thị là (C) M là điểm tùy ý trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B phân biệt Xác
định tọa độ điểm M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất (O là gốc tọa độ)
1
M a
Phương trình tiếp tuyến tại M là 1 2 1
1 1
a a
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
2
1 1
1 1 1
x
a a
Suy ra tọa độ 1; 1
1
a A
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
2
1 1
1 1 1
y
a a
Dễ thấy giao điểm I của hai đường tiệm cận nằm trong tam giác AOB suy ra diện
AOB
Câu 2
(3,0
điểm)
Cho hệ phương trình
3
2
1 Giải hệ phương trình khi m 4.
2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
Điều kiện: x 1,y
Phương trình 3
Xét hàm f t 2t3 t t đồng biến trên
Trang 3Thay vào phương trình (2) ta được:
Phương trình (2) trở thành: m 3 2x 1 x x 4
Câu 3
(2,0
điểm)
Giải phương trình 2 cos 2 4 3 cos 3sin 2 3 1 0
Phương trình tương đương với
2
cos 2 3 sin 2 4 3 cos 3sin 2 3 1 0
2 cos 4 3 cos 2 3 3 sin 2 cos 3 0
0,5
2 cosx 3 3 sinx cosx 2 0
0,5
0,5
Trường hợp 2: 3 sinx cosx 2 2 2
3
0,5 Câu 4
(3,0
điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương
trình x 2 2 y 2 2 4 Lập phương trình đường tròn (C’) tâm I(4; 4), cắt
đường tròn (C) tại hai điểm A,B sao cho AB = 2 2
Đường tròn (C) có tâm K(2;2) bán kính r = 2, đường tròn(C’) có tâm I(2;2) bán
kính R Đường thẳng IK cắt AB tại H thì H là trung điểm của đoạn thẳng AB
H A
K
I
B
Trường hợp 1: điểm H nằm giữa hai điểm I và K Ta có IK IH HK 0,5
Trang 42 2 R 2 2 R 2 0,5
A
B H
Trường hợp 2: điểm K nằm giữa hai điểm I và H
Vậy phương trình đường tròn C' : x 4 2 y 4 2 20 0,5
Câu 5
(3,0
điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA 2 ,a SB 3 ,a SC 4a , 0
90
0
120
BSC Hai điểm M, N thỏa mãn 3SM 2SB SC, 2SN
1 Chứng minh tam giác AMN vuông Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
(SAB)
2 Cho hai điểm E và F thay đổi, lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và SC Tìm
giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn EF
Trong tam giác AMN, kiểm tra được 2 2 2
AM AN MN , suy ra tam giác AMN
Gọi H là trung điểm của MN, lý luận được AH vuông góc với mặt phẳng (AMN) 0,25
Tính SH a S; AMN 2 2a , ta được thể tích 2
3
2 3
S AMN
a V
0,25
Dựa vào tỷ số thể tích tính được V S ABC. 2 2a3 0,25
Trang 5A C
B M
N
H
SAB
V
Đặt AE x AB SF ; y SC x y, [0;1]
x
0,25
Kết luận giá trị nhỏ nhất của EF là 2 6
3
a
0,25
Câu 6
(4,0
điểm)
1 Cho dãy số u n thỏa mãn 1
1; 3
u u u n n Tính nlim S n với
1
1
n n
S
u
2 Cho số thực x thay đổi lớn hơn 0 Chứng minh rằng
1 2
2
x
Dự đoán u n 3n 1 n *
Giả sử công thức đúng đến n k k 2 , tức là u k 1 3k 2;u k 3k 1 0,5
Ta phải chứng minh công thức đúng với n = k +1, tức là phải chứng minh
k
Thật vậy, theo giả thiết u k 1 4u k 3u k 1 4.3k 1 3.3k 2 3k(đpcm) 0,5
3 lim
2
n
0,5
Trang 6Xét hàm số f t e 1 t trên Tính f ' t e 1; 'f t 0 t 0 0,25
Kết luận được e t 1 t t , dấu bằng xảy ra khi t = 0 0,25
Xét hàm số
2
1 2
g t e t liên tục trên [0; ) Tính được
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có 'g t 0, t 0 Suy ra hàm g t đồng biến
Suy ra
2
2
e t t , dấu bằng xảy ra khi t = 0
0,25
Áp dụng ta có
1
1
x
x
2
2
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh 0,5 Câu 7
(1,0
điểm)
Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ 1 2 3 2014
1 i 1007 , 1; 2;3
1 i 1007 , 1; 2;3 1 i 1007 , 1; 2;3 ; 1;
Xét phương trình nghiệm nguyên dương x1 x2 x3 x4 2014
Số nghiệm của phương trình chính là số cặp x x x x ta cho tương ứng với 1; 2; ;3 4
dãy
11 1011 1011 1011 1
, ta phải chọn 3 vị trí đặt số 0 trong 2013 vị trí
Số nghiệm của phương trình là 3
2013
Xét bài toán ngược: Trong các nghiệm x x x1; 2; 3 có nghiệm lớn hơn 1007 Dễ thấy
rằng không thể có nhiều hơn một nghiệm lớn hơn 1007 vì tổng bằng 2014 Giả sử
x , đặt x1 x 1007thay vào phương trình (*) ta được
x x x x Lý luận tương tự như trên ta được số nghiệm là C10063 0,25
Vậy số nghiệm nguyên dương của hệ đã cho là C20133 3C10063 0,25
Trên đây là các bước giải cơ bản,học sinh phải lập luận chặt chẽ,đầy đủ mới được điểm
Mọi cách giải đúng khác đều được điểm tối đa