HOT>>> Phương pháp đặt ẩn phụ mới nhất để tấn công bài toán PT,BPT của tác giả Vũ Hồng Phong>>>>>>>>>>>>>..........................................................................................................
KIU T N PH CA V HNG PHONG Tỏc gi:V Hng Phong GVTHPT TIấN DU 1;BC NINH (õy l mt dng ti liu: MT HNG MI TO RA PHNG TRèNH Vễ T ) T bi vit ca tỏc gi: dùng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ Để GIảI Một dạng PHƯ Ơ ng trình vô tỷ đặC BIệT Toán học tuổi trẻ (thỏng nm 2015) Khi gặp ph-ơng trình có dạng u.m P v.n Q w (với u,v, w,P,Q biểu thức chứa ẩn ) mà ta nhẩm đ-ợc số e,f biểu thức P0 , Q0 chứa ẩn thoả mãn: u.P0 v.Q0 w (*) m n e ( P ) f ( Q ) e P f Q 0 ta xử lí ph-ơng trình nh- sau: Đặt m P a ; n Q b suy a m P ; b n Q u.a v.b w Ta có hệ PT: m n e.a f b e.P f Q (**) Giải hệ PT(**) ta tìm đ-ợc nghiệm (a;b) Đến PT,hệ PT cho trở nên đơn giản ! L-u ý: từ (*) ta thấy hệ PT(**) có nghiệm (a,b) = ( P0 ; Q0 ) Sau l ví dụ Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình 4x x 2x 6x x Phân tích: x x Ta có: 2 ( x 1) (2 x x ) (2 x x 7) nên PT ta nhẩm đ-ợc e =f =1 ( P0 ; Q0 ) = ( x 1;2) Lời giải Đặt x x a ; x x b Suy a b x 2x (1) Từ PT cho ta có a b x a x b (2) Thay vào (1) ta đ-ợc: ( x b) b x x x b x 2b 2bx b x x b b 2b 2bx x (b 2)(b 3b x) b b 3b x (3) +Từ (2) có x a b thay vào PT(3) đ-ợc b 3b 2(a b 1) b b 2a (4) 23 Có VT (4) (b ) VP(4) 2 x x ( x 2) Suy PT(4) vô nghiệm Do ú PT(3) vụ nghim +Với b = thay vào (2) đ-ợc a x x x x x Suy x x ( x 1) 2 x x 2x 6x x 11 x 2 x x Vậy PT cho có nghiệm x 11 Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình x 20 x 86 x 31 x x 3x Phân tích: Với PT ta nhẩm đ-ợc e=1; f=3 ( P0 ; Q0 ) = (2 x 2;1) x x.1 3x 2 2 (2 x 2) 3.1 (7 x 20 x 86) 3.(31 x x ) Lời giải Đặt a = x 20 x 86 , b = 31 x x Suy a 3b 4x 8x (1) Từ PT cho có: a +xb = 2x + a = 3x + bx Thay vào (1) ta đ-ợc (3x bx) 3b x 8x x b x 12 x 4bx 6bx 3b x 8x ( x 3)b (6 x x)b 5x x (b 1)[( x 3)b 5x x 3] b b x x x2 +Với b = a = 2x+2, có hệ x 20 x 86 x 31 x x x 3x 12 x 90 x x 30 +Với b = x 2 x 20 x 86 (2 x 2) 31 x x x x 34 x 34 5x x x2 16 ( x x 15) x x 15 (2) x2 + Nếu x x 15 VT(2) < < VP(2) + Nếu x x 15 VT(2) > > VP(2) + Nếu x x 15 VT(2) = = VP(2) Khi x x 15 b 31 x x a 3x x x 20 x 86 x x x x 31 x x 16 x x 15 x 19 x 20 x 86 (2 x) 6( x x 15) x= 19 Vậy PT cho có nghiệm x 34 , x 19 Ví dụ 3: Giải hệ ph-ơng trình 20 x 11x y (1) xy y.3 x y x.(2) Phân tích: Với PT(2) ta nhẩm đ-ợc e =f =1 ( P0 ; Q0 ) = ( x y;1) x y y.1 x 2 2 ( x y) (1 xy ) ( x y ) Lời giải: điều kiện xy Đặt xy a ; x y b Suy a b x y xy (3) Từ (2) ta có a + yb = x a x yb (4) thay vào (3) đ-ợc ( x by) b x y xy b xy (b 1) y (b 1) (b 1)[b b xy y (b 1)] b b b xy y (b 1) (5) +Có x y b nên b b ; b xy Nếu xy y (b 1) (vô lý) y Vậy số không âm xy y (b 1) không đồng thời nên xy y (b 1) VT (5) Suy PT(5) vô nghiệm +Với b = thay vào (4) đ-ợc a x y x y xy x y Suy xy ( x y ) 2 x y x y x y (*) x y kết hợp hệ PT(*) với PT(1) ta có hệ: x y x y 3 20 x 11x y 20 x 11x 4(1 x ) x y y2 x2 x y x y 20 x x 11x (2 x 1) (5 x 4) y2 x2 y2 x2 x y x y (I) x (II) x y y 25 4 Giải hệ PT (I) (II) ta đ-ợc nghiệm (x;y) là: ( ; ) ; ( ; ) ( ; ) 2 5 5 4 Vậy hệ PT cho có nghiệm (x;y) : ( ; ) ; ( ; ) ( ; ) 2 5 5 tập Giải ph-ơng trình a) c) 12 x 12 x 4x3 x 3 x x.3 x x 2 b) 3x 5x x ( x 1) x x d) x 48x 27 x x 24 x 67 x Giải hệ ph-ơng trình 65 3 x y a) x y y xy x 3 3 3x y x y 35 b) 2 x y x xy y xy x c) x2 y2 2 x y x Sau õy l phn b xung thờm cỏc thớ d dng ny: Dng :t n ph khụng hon ton kiuV Hng Phong Mt s thớ d ca dng ny tỏc gi ó nờu phn t n ph phn trờn Sau õy l cỏc thớ d b xung Thớ d Gii phng trỡnh x 3x x x x x Hng dn x 3x x x x x D thy x=1 l nghim ca phng trỡnh Xột x t x 3x x a 0; x x b Suy mi liờn h: a b x x ( x 1)(2 x x 1)(*) Pt ó cho tr thnh: a b x 1(**) (a b)(a b) ( x 1)(2 x x 1) Gii (*) v (**) suy ra: a b x a x x a b x x a b x b x x x x x x x 3x x ( x 1) 2 ( x 1)( x x 1) x x ( x 1) PT ó cho cú nghim x 1; x Cỏnh khỏc: nhõn liờn hp tỡm c tng hiu cn Vic to phng trỡnh loi ny cng khụng quỏ khú khn Xin nờu cỏch to mt phng trỡnh n gin ca dng ny nh sau: u tiờn ta nh hng cỏc cn s bng gỡ sau bin i Thớ d tỏc gi mun c cn u bng x Cũn thớ d 98 thỡ ta chn : x 3x x x x; x x x Bc tip theo l chn mi liờn h gia cỏc n (cn to PT khú thỡ phi khộo lộo),tỏc gi xin nờu mt liờn h n gin l: a b ( x 1) ( x 1) x x 2(*) Cũn thớ d 98 thỡ ta chn : a b x x ( x 1)(2 x x 1) Bc quan trng nht l khộo lộo chn a,b(ch a hay b trc tựy bi) c nghim theo ý mun Thớ d tỏc gi mun nghim p nờn chn a : a x4 x2 x T (*) suy b x 3x x Song song vi vic chn a,b l vic to PT nh th no cho vic khng ch cỏc PT sau bin i hp lớ Thớ d tỏc gi to PT nh nhng sau: Thớ d Gii phng trỡnh x x x x 3x x x Hng dn t a x x x b x 3x x Suy mi liờn h: a b ( x 1) ( x 1) x x 2(*) Pt ó cho tr thnh: a b x 1(**) Gii h gm (*) v (**) bng phng phỏp th ta c a x4 x2 x x2 b x 3x x x Gii tip suy PT ó cho cú nghim x 1; x Chỳ ý: Vic chn mi liờn h phc hn cú nhiu la chn vớ d nh: 2a b 2a 3b 2a 3b 2a b 2 a b Vic chn phng trỡnh hn cú nhiu la chn vớ d nh: a 2b 3a 2b 3a 2b a 2b ( x 1)a 2b a xb Vic chn cn bc ba, bc 4, hng to tng t Mt s thớ d khú hn u tiờn ta nh hng cỏc cn a,bln lt bng x ; x Suy mi liờn h: a b x8 x x 1(*) Chn a x8 x x x b 2x x Thớ d Gii phng trỡnh x8 x x x ( x 1) x x V Hng Phong Thụn Bt L, Hon Sn,Tiờn Du, Bc Ninh Hng dn chi tit to PT Chn dng m ( x 1) n p Chn cỏc cn sau bin i: m x ; n x 1; p Suy mi liờn h: a b x8 x x 1(*) Chn: n x 1; n x x T(*) suy ra: m x8 x x x Vic chn n hay n trc cn hp lớ n õy tỏc gi tin rng mi ngi s t to c rt nhiu phng trỡnh dng ny !!! Hng dn gii: t a x8 x x x b 2x x Suy mi liờn h: a b x8 x x 1(*) Pt ó cho tr thnh: a ( x 1)b(**) Thay a vo (*) ta c ( x 1)b b ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) b x x ( x x 2) b ( x 1) D thy x ( x x 2) x0 ( x 1) X=0 khụng lm cho b=0 Suy b 2x x x Thay vo (**) c: a x8 x x x x Suy x 0; x 1; x PT ó cho cú nghim x 0; x 1; x Thớ d Gii phng trỡnh x x ( x 1) x x x V Hng Phong Thụn Bt L, Hon Sn,Tiờn Du, Bc Ninh Hng dn t a x8 x b x x3 2x Suy mi liờn h: a b x8 x x 1(*) Pt ó cho tr thnh: a ( x 1)b(**) Thay a vo (*) ta c ( x 1)b b ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) b x x ( x x 2) b ( x 1) D thy x ( x x 2) x0 ( x 1) X=0 khụng lm cho b=0 Suy b x x3 2x x Thay vo (**) c: a x8 x3 x Suy x3 PT ó cho cú nghim x Thớ d Gii phng trỡnh x8 x ( x 1) x x x V Hng Phong Thụn Bt L, Hon Sn,Tiờn Du, Bc Ninh Hng dn x8 x a t x5 x 2x b Suy mi liờn h: a b x8 x x 1(*) Pt ó cho tr thnh: a ( x 1)b(**) Thay a vo (*) ta c ( x 1)b b ( x 1) b 2 2 2 x8 x x 2( x 1)b ( x 1) x ( x x 2) b x x ( x x 2) b ( x 1) D thy x ( x x 2) x0 ( x 1) X=0khụng lm cho b=0 Suy x5 x 2x x Thay vo (**) c: x8 x x Suy x PT ó cho cú nghim x Thớ d Gii phng trỡnh x12 x 3x ( x x 1) x x 3x V Hng Phong Thụn Bt L, Hon Sn,Tiờn Du, Bc Ninh Hng dn t x12 x 3x a x x 3x b Suy mi liờn h: a b x12 x x 1(*) Pt ó cho tr thnh: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vo (*) ta c ( x x 1)b b x12 x x ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b ( x x 1) D thy x ( x x x x 2) x0 ( x x 1) x=0 khụng lm cho b=0 Suy x x 3x x Thay vo (**) c: x12 x 3x x Suy x 0; x PT ó cho cú nghim x 0; x Thớ d Gii phng trỡnh x12 x 3x ( x x 1) x x 3x Hng dn t x12 x 3x a x x 3x b Suy mi liờn h: a b x12 x x 1(*) Pt ó cho tr thnh: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vo (*) ta c ( x x 1)b b x12 x x ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b ( x x 1) D thy x ( x x x x 2) x0 ( x x 1) x=0 khụng lm cho b=0 Suy x x 3x x Thay vo (**) c: x12 x 3x x Suy x 0; x 3 PT ó cho cú nghim x 0; x 3 Thớ d Gii phng trỡnh x12 x x ( x x 1) x x Hng dn t x12 x x a x4 x b Suy mi liờn h: a b x12 x x 1(*) Pt ó cho tr thnh: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vo (*) ta c ( x x 1)b b x12 x x ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b ( x x 1) D thy x ( x x x x 2) x0 ( x x 1) x=0 khụng lm cho b=0 Suy x4 x x2 Thay vo (**) c: x12 x x x Suy x 1; x PT ó cho cú nghim x 1; x Thớ d Gii phng trỡnh x12 x x ( x x 1) x x V Hng Phong Thụn Bt L, Hon Sn,Tiờn Du, Bc Ninh Hng dn t x12 x x a x4 x b Suy mi liờn h: a b x12 x x 1(*) Pt ó cho tr thnh: a ( x x 1)b 1(**) Thay a vo (*) ta c ( x x 1)b b x12 x x ( x x 1) b 2( x x 1)b ( x 1) x ( x8 x x x 2) b x x ( x x x x 2) b ( x x 1) D thy x ( x x x x 2) x0 ( x x 1) x=0 khụng lm cho b=0 Suy x4 x x2 Thay vo (**) c: x12 x x x 10 Thay a vo (*) ta c (b 1)3 3b x 3x x 3(1) (b x 1)( x x 2b x b b 4) b x2 ( x x 2b x b b 0.x, b) Cỏch khỏc gii (1): (b 1)3 3b x 3x x 3(1) b3 3b ( x 1)3 3( x 1) f (b) f ( x 1) b x Vỡ f (t ) t 3t f ' (t ) 3t f(t) l hm ng bin Suy x 11 x 2x3 2x b x Thay vo (**) c: 4x3 a x3 Suy x x x x 6x x 11 x 2x3 2x x x PT ó cho cú nghim x ; x Thớ d 50 Gii h phng trỡnh xy y.3 x y x(1) y ( x x 1) x x (2) x4 2x2 Tỏc gi:V Hng Phong GVTHPT Tiờn Du 1, Bc Ninh Hng dn to PT Chn dng m y3 n p Chn cỏc cn sau bin i: m x y; n 2; p x Suy mi liờn h: a b3 x y xy 8(*) Pt cn to tr thnh: a x yb(**) Th gii h PT gm(*) v (**) ta thy cn chn cú k xy v b dng thỡ s loi b c trng hp phc nờn cú th chn: m 3xy T(*) suy ra: n x y Vic chn n hay m trc ta phi linh ng Hng dn t xy t xy a 38 x2 y2 b Suy mi liờn h: a b3 x y xy 8(*) Pt (1)ó cho tr thnh: a x yb(**) Thay a vo (*) ta c ( x yb) b3 x y xy b3 xyb xy y 2b y (b 2)(b 2b xy y 2b y ) b2 xy ; b b 2b (4 xy ) y 2b y b a x 2y Ta cú: xy x y x y y2 x2 2 x y x y Thay vo PT(2) cú x ( x x 1) x x x4 2x ( x 1) x x (2 x x 2) x x ( x 1)3 ( x 1) (2 x x 1) x x x x f ( x 1) f ( x x 1) f (t ) t t f ' (t ) 3t Suy f(t) ng bin nờn f ( x 1) f ( x x 1) x x x x x( x 2) x 3 y 3 ) i chiu cỏc k xy ; x y ta ly ( x 0; y Vi x y Vi x y 33 33 y i chiu cỏc k xy 33 ; x y ta ly ( x ; y ) H PT ó cho cú cp nghim ( x 0; y 33 ) ) ; ( x 2; y 2 Thớ d 51 Gii h phng trỡnh xy y.3 x y x(1) x x x2 x 3x 16 y (2) Tỏc gi:V Hng Phong GVTHPT Tiờn Du 1, Bc Ninh 39 Hng dn t xy t xy a x2 y b Suy mi liờn h: a b3 x y xy 8(*) Pt (1)ó cho tr thnh: a x yb(**) Thay a vo (*) ta c ( x yb) b3 x y xy b3 xyb xy y 2b y (b 2)(b 2b xy y 2b y ) b2 xy ; b b 2b (4 xy ) y 2b y b a x 2y Ta cú: xy x y x y y2 x2 2 x y x y Thay vo PT(2) cú x x x 3x x x 2 x x Vi ( 8x 3x x 2) x 8x 3x 2( x 1) x x x ( 8x 3x x 2) 2 Vi 8x 3x 2( x 1) x x x ( x 3x x 2) 2 Vi 8x 3x 2( x 1) x x ( x 3x x 2) 2 x 2 x 3x 2( x 1) x(4 x 3) x x 5 y 5 ; x y ta ly ( x 0; y ) i chiu cỏc k xy Vi x y Vi x 3 y2 9 53 16 16 y 53 40 i chiu cỏc k xy ; x y ta ly ( x ; y 4 H PT ó cho cú cp nghim ( x 0; y 53 ) ; (x ; y 16 53 ) 16 ) Thớ d 52 Gii h phng trỡnh x xy y x xy y (1) x2 11x2 x4 x y 11x xy (2) 4( x x 5) Tỏc gi:V Hng Phong GVTHPT Tiờn Du 1, Bc Ninh Hng dn K: xy t x xy y a xy b Suy mi liờn h: a b x y xy 4(*) Pt (1)ó cho tr thnh: a xb y(**) Thay a vo (*) ta c ( xb y) b x y xy 4(*) ( x 1)b xyb 2(2 x xy 2) b 2 b (2 x xy 2) 0(loai ) x2 b a 2x y Ta cú: xy 2 x y xy x xy y x y Thay vo PT(2) cú 2 11x x x 11x x4 4( x x 5) 2 ( x 2) 2 x 11x x 11x x f ( x 2) f ( 11x x ) x khụngcúy x y (loaivi x y 0) x 11x x ( x 3x)( x 3x 2) x y x y Cỏch khỏc: 41 2x 11x x 2x 11x x 4( x x 5) 11x x ( x x )( x x ) x 11x x 11 11x x x4 4x2 ( x 3x)( x 3x 2) x4 4x2 Xột trng hp Chỳ ý: Mun cú h n gin ta cú th to h PT gm PT th nht t n ph khụng hon ton kiu ca tỏc gi v PT th n gin,quen thuc chng hn: Thớ d 53 Gii h phng trỡnh 2 x xy y x xy y y (1) x xy y x x 3(2) Tỏc gi:V Hng Phong (ToỏnB K35 HSP.TN) Hng dn K xy y xy t x xy y a xy y b Suy mi liờn h: a b x y xy 4(*) Pt (1)ó cho tr thnh: a xb y(**) Thay a vo (*) ta c ( xb y) b x y xy 4(*) ( x 1)b xyb 2(2 x xy 2) b 2 b (2 x xy 2) 0(loai ) x2 b a 2x y Ta cú: xy y 2 x y y xy x xy y x y Thay vo PT(2) cú x 33 x x x 33 x x f (t ) x 33 x x f ' (t ) x ln 33x ln f " (t ) x ln 2 33x ln Suy f(t) ng bin nờn f(t) cú ti a nghim suy f(t) cú ti a khong n iu Vỡ th f(t) cú ti a nghim suy x=2,x=3 l tt c cỏc nghim ca f(t) y Vi x=2 cú: y y y Vi x=3 cú: y y y 42 Thớ d 54 Gii h phng trỡnh x xy y ( x y ) y xy y (*) 3x xy y x xy y 3x (**) x2 x 3x Tỏc gi:V Hng Phong Hng dn k y xy 0;9 x 8xy y t x 8xy y a y xy b Suy mi liờn h: a b x 12 xy y 9(1) Pt (*)ó cho tr thnh: a ( x y)b y Thay a vo (1) ta c ( x y)b y b2 9x 12xy y ( x y) 1b y( x y)b 3(3x xy y 3) b 2 b (3x xy y 3) ( x y) vỡ cú y xy 0;3x v y xy 3;3x khụng ng thi bng vi b=3 suy a 3x y Ta cú: y xy y 3x y 3x y y xy y xy Thay vo PT(**) cú 3x x 3x 15 x x 3x 3x (4 x 3x 1)( x 3x 4) x2 x 3x 3x x 3x x x 3x ( x 2) x 3x 2( x 1) x x 3x x x( x 3) x 3 x 3x 2 x 3x x 33 Vi x cú: y y Vi x 3 cú: y 43 y y 23 43 33 24 33 33 Vi x cú: y (3 33 ) y y 43 33 24 33 33 Vi x cú: y (3 33 ) y y Kim tra k: 3x y ta ly cp nghim: x0;y 33 24 33 33 ;y x 33 24 33 33 ;y x Thớ d 55 Gii h phng trỡnh 2 2 2 x y x y x y y x x y x y x(*) y 2 y y x y x y 1(**) Tỏc gi:V Hng Phong Hng dn k x y x y t x2 y2 x2 y x2 y y a x2 y x2 y b Suy mi liờn h: a b x y y y 1(1) Pt (*)ó cho tr thnh: a xb x Thay a vo (1) ta c ( xb x) b x y y y x 1b x 2b ( y 1)( x y x y 1) b y 2 b ( x y x y 1) 0(l ) x2 Ta cú: xy y 2 2 x y x y x y y xy y x2 y x2 y y x y y y Thay x y x y y vo PT(**) cú 2y y2 y f ( y) y y y f ' ( y) y ln y ln 2 suy f(y) cú ti a khong n iu suy f(y) cú ti a nghim suy f(y) cú ti a khong n iu nờn f(t) cú ti a nghim suy y=1;y=2;y=3 l tt c cỏc nghim ca f(y) ta loi y=1 Vi y cú: x x 2 f " ( y) y ln 2 f " ( y) y ln 2 y ln Vi y cú: x x 44 i chiu cỏc iu kin suy h Pt ó cho cú cp nghim: ( x 2; y 2), ( x ; y 3) Thớ d 56 Gii h phng trỡnh ( y 1) xy y x 1(*) x y xy xy x y x2 5( xy y 1) x x1 (**) x 2 xy x y 2 x x1 Tỏc gi:V Hng Phong (lng Bt L,Bc Ninh) Hng dn k xy y x y xy xy x y a t xy y b Suy mi liờn h: a b x y xy x (1) Pt (*)ó cho tr thnh: ( y 1)b x a ( y 1)b x 1 a Thay a vo (1) ta c ( y 1) y x 12 b x y 2xy x ( y 1) 1b 2( x 1)( y 1)b x( xy y 2) b x a xy b ( xy y 2) 0(l ) ( y 1) Ta cú: xy x y xy xy x y xy x xy y x xy y x Thay xy y x vo PT(**) cú x x x t 2 x 2 x x x2 2x2 2x 5( x 1) 2x2 2x t Cú: 3t 22t 5t f (t ) 3t 22t 5t f ' (t ) 3t ln 22t ln f " (t ) 3t ln 22t ln 2 suy f(t) ng bin, f(t) cú ti a nghim suy f(t) cú ti a khong n iu nờn f(t) cú ti a nghim suy t=1;t=2 l tt c cỏc nghim ca f(t) 45 Vi t cú: Vi t cú: x y y (loaivixy 1) x x( x 2) x 2x2 2x y (loaivixy 1) y x x ( x 3)( x 1) 2x2 2x y x 0(loai ) ), (3; ) 3 Sau õy tỏc gi nờu vi thớ d h PT dựng phng phỏp t n ph u ca tỏc gi ngh ra(phng phỏp sau tỏc gi da vo phộp th -le tớnh tớch phõn) Mun tỡm hiu rừ phng phỏp t n ph kiu phộp th -le cỏc bn cú th tỡm chớ: h Pt ó cho cú cp nghim (x;y): (0;0), (3 ; Tp Toỏn hc tui tr s 468 Thỏng 6-2016 Tỏc gi:V Hng Phong (lng Bt L,Hon Sn;Tiờn Du;Bc Ninh) Thớ d 57 Gii h phng trỡnh x2 2 x x y y y x 1(*) y 16 y 16 y (8 x 1) x 15 (**) x 16 x Tỏc gi:V Hng Phong (GVTHPT Tiờn Du 1,Bc Ninh) Hng dn k y x y x y 0(k : y 0) t 2x 2x y y a y x4 b Suy mi liờn h: a b x y x 1(1) Pt (*)ó cho tr thnh: x2 a b y Thay a vo (1) ta c x2 b b x y x 1(1) y x 2x2 1b b ( x4 y 2x2 ) y y x4 2x2 1b b ( x4 y 2x2 ) y y x4 y 1b x 2b y( x y x ) y 46 b y a x (x4 y 2x2 ) b 0(l ) x4 ( 1) y y Ta cú: x x y y x y 4 y y x y x y Thay y y x vo PT(**) cú 15 16 x3 (8 x 1) x iu kin x 16 x 16 30 32 x (16 x 2) x (* * *) 16 x Ta cú (2 x x 1)3 x 12 x x x(4 x 1) (4 x 1) x 32 x x (16 x 1) x Suy VT (***) 32 x x (16 x 1) x 3(2 x x 1) (2 x x 1)3 3(2 x x 1) t x t x (i) 2 x (t x) 4tx t t x x t x t x + D thy t = khụng tho (i) + Xột t t t 2t (i ) t2 x t x 4t 4t Khi ny PT(***) tr thnh 30 t 16 4t 30t t 3t 4t 9t 30 t2 (do t ) 4t 9t (t 3)(4t 9t 4) 30 t 3t 4t 9t 16t 27t 18 (t 2)(t 3)(4t 5t 3) t t 4t 5t Xột phng trỡnh 4t 5t cú nờn nú vụ nghim 47 Do t nờn ta ch ly t -Vi t thay vo (1) ta c x Vy PT(***) cú nghim x 8 81 32 943 y cú: y y 4096 64 32 943 h Pt ó cho cú cp nghim (x;y): ; 64 Thớ d 58 Gii h phng trỡnh 3x y x x y x y 1(*) 11x 10 x 30 y 2 x x (**) 3 Vi x Tỏc gi:V Hng Phong (lng Bt L,Bc Ninh) Hng dn D thy x y thỡ (*) x y x y (khụng xy ra) (*) x y t 3x y x a 2x y b Suy mi liờn h: a b ( x 1) (2 y) Pt (*)ó cho tr thnh: a b x y Ta cú h: (a b)(a b) ( x y )( x y ) a b x y a b x y a b x y x 2 a x 3x y x x y 2 b y y 2x2 2x 3y y Thay y 2x vo PT(**) cú : 11x 70 x 2 x x (* * *) 3 +D thy x khụng tho PT (***) + Xột x 2 x x tx t 3 tx 2 x x t x xt 3 tx tx 2 (1) (do x ) t x x tx x ( t ) x t D thy 3t t 48 khụng tho (1) thỡ 6t x 3t (1) t 6t 3t 6t x 3t 6t x 3t t 3t 2t 3t t Khi t (2) Vi cỏch t trờn thay vo PT ó cho ta c 11x3 70 x 11x 70 t x3 x 3t x 11x 70 6t 6t 3t 11 70 3t 3t 3(6t 2)t 11(6t 2) 70(3t 7) (1 tx 1)3 18t 6t 210t 66t 468 6(t 3)(t 2)(3t 4t 13) t t t t 3t 4t 13 t 43 i chiu iu kin ca t (2) ta loi t 43 Vi t cũn li thay vo (2) ta c x 1; x 2; x 43 0,775 13 43 i chiu iu kin x x 1; x 43 0,775 13 43 y Vi x y x y 0(l ) 43 86 y ( y 0) Vi x 13 43 13 43 h Pt ó cho cú cp nghim (x;y): 43 86 ; ) (1 : ) ( 13 43 13 43 ; 49 Thớ d 59 Gii h phng trỡnh x y x x y x y 2(*) x y 17 x 11 27 41 x (**) 2 28 14 x y 17 x 11 Tỏc gi:V Hng Phong (lng Bt L,Bc Ninh) Hng dn D thy x y thỡ (*) 5x y x x y x y x x 0(vn) (khụng xy ra) (*) x y t 5x y x a 4x y b Suy mi liờn h: a b x x y y ( x 3) ( y 1) Pt (*)ó cho tr thnh: a b x y Ta cú h: (a b)(a b) ( x y 1)( x y 1) a b x ( y 1) a b x y a b x y x 2 a x 5x y x x y b y y 4x2 4x y y Thay y 4x vo PT(**) cú : x 17 x 11 27 41 x 14 ( x 1)(6 x 11) 28 D thy x khụng l nghim ca phng trỡnh Vi x t ( x 1)(6 x 11) ( x 1)t (1) ( x 1)(6 x 11) ( x 1)2 t x 11 ( x 1)t (t 6) x 11 t (2) D thy t khụng tho (2) 11 t Vi t suy x (3) t thay vo (1) ta c: 5t ( x 1)(6 x 11) t t Suy (4) t Phng trỡnh ó cho tr thnh 5t t 27 11 t 41 700t (55t 195)(2t 5t 12) 5t 28 t 14 2 t 140t (11t 39)(2t 5t 12) 50 22t 55t 350t 195t 468 (t 1)(t 3)(22t 143t 156) t t t 143 6721 44 Kim tra iu kin (4) ta ly t v 143 6721 t 44 Thay cỏc giỏ tr t vo (3) ta c x 286 6721 5874 143 6721 2937 v x 15554 286 6721 7777 143 6721 16 Vi x y x ; y y 286 6721 5874 286 6721 5874 Vi x ; y 4x ; y y 15554 286 6721 7777 143 6721 h Pt ó cho cú cp nghim (x;y): x ;y 3 143 6721 2937 286 6721 5874 x ;y 7777 143 6721 7777 143 6721 Thớ d 60 Gii h phng trỡnh 4x2 y y (*) xy 15 x y e y y y 20 x y 75(**) e Hng dn 15 k: xy t: xy 15 a 4x2 y b0 Suy mi liờn h: a 2b3 (2 x y) 16 (1) T phng trỡnh (*) cú: a xb y Thay vo (1) c: xb y 2b3 (2 x y) 16 (b 2) x2b x2 2b2 4b xy b vỡ x 2b x 2b 4b xy Suy a 2x y Ta cú : 51 xy 15 x y x y 4x y 2 x y 15 15 y x2 Thay vo(**) c: ey e ey y 2 y y4 5y2 2y ( y 1) e y 2 y (3 y y 1) f ( y 1) f ( y y 1) f (t ) et t f ' (t ) et 2t f ' ' (t ) et f ' ' (t ) et x ln t Ln2 f(t) - + f(t) 2-ln4>0 f(t) Nh vy f(t) l hm ng bin suy f ( y 1) f ( y y 1) y y y2 3y2 y y y ( y 2)( y y 1) y x2 11 11 x y x 12 2 12 2 x i chiu k suy nghim h ó cho: 11 12 2 , ; ; 52 [...]... việc tạo ra phƣơng trình dạng này không khó khăn,thậm chí từ 1 phƣơng trình ta có thể tạo ra nhiều phƣơng trình tƣơng tự Tác giả: Vũ Hồng Phong Thí dụ 38 Giải phương trình 1 3 3x 3 2 8 x 6 4 x 4 3x 3 4 x 2 1 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 3 3x 3 2 a 8 x 6 4 x 4 3x 3 4 x 2 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 8x 6 4 x 4 4 x 2 1(*) Pt đã cho... 3 x3 Suy ra x 6 2 x 3 3 0( x 3 0) x 1(loai ); x 3 3 PT đã cho có 1 nghiệm x 3 3 13 Thí dụ 15 Giải phương trình 2 x 3 1 x ( x 1) x 6 x 4 x 2 1 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 2x3 1 a 0 x6 x4 x2 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2 Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2... x 6 5 x 3 2 0( x 3 0, x 2 x 0) x 3 PT đã cho có 2 nghiệm x 3 5 17 2 5 17 2 Thí dụ 19 Giải phương trình 6 x 3 3 x ( x 1) x6 x4 x2 1 3 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn 1 ĐK: x 3 2 Đặt 6x3 3 a 0 x6 x4 x2 1 b 0 3 Suy ra mối liên hệ: a 2 3b 2 x 6 3x 4 6 x 3 3x 2 (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được... 3 3 3 3 x 4 x 3 0 x 3 4x 3 x PT đã cho có 2 nghiệm x 3 3; x 1 Thí dụ 23 Giải phương trình 5x3 3 x x 2 x 6 x 4 5 x 3 2 x 2 4 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn 18 ĐK: x 3 Đặt 3 5 5x3 3 a0 2 2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*)... x 1 6 x3 3 3 3 2 x 3x 1 0 3x 1 x PT đã cho có 1 nghiệm x 3 3 5 2 Thí dụ 28 Giải phương trình 1 2x3 1 x 2 ( x ) 4x6 4x 4 2x3 1 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Đặt 2x3 1 a 0 4x6 4x 4 2x3 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 4 x 6 4 x 4 (*) Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*) ta được 2 1 ... 6 x3 3 3 3 4 4 x 2 x 1 0 2x 1 2x PT đã cho có 1 nghiệm x 3 1 5 4 22 Thí dụ 29 Giải phương trình 1 6x3 1 x 2 ( x ) 4x6 4x 4 6x3 1 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn 1 ĐK: x 3 6 Đặt 6x3 1 a 0 4x6 4x 4 6x3 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 4 x 6 4 x 4 (*) Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*) ta được... 6 x3 3 3 3 4 4 x 6 x 1 0 6x 1 2x PT đã cho có 2 nghiệm x 3 3 5 4 Thí dụ 30 Giải phương trình 1 7 x3 2 x 2 ( x ) 4x6 4x 4 7 x3 2 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn 2 ĐK: x 3 7 Đặt 7 x3 2 a 0 4x6 4x 4 7 x3 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 4 x 6 4 x 4 (*) 23 Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*) ta... 3 3 2 4 x 7 x 2 0 7x 2 2x 13 7 17 2 Thí dụ 31 Giải phương trình 1 1 8 x 6 12 x 4 10 x 3 1 3 2 5x x ( x ) 2 2 3 PT đã cho có 2 nghiệm x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn 1 ĐK: x 3 10 Đặt 5x 3 1 a0 2 8 x 6 12 x 4 10 x 3 1 b0 3 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 3b 2 8x 6 12 x 4 (*) Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*)... 8 x 10 x 1 0 3 3 5 x 2 x 2 13 5 17 2 Thí dụ 32 Giải phương trình 1 8 x 6 12 x 4 10 x 3 2 5x 3 1 x 2 ( x ) 2 3 PT đã cho có 2 nghiệm x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn 1 ĐK: x 3 5 Đặt 5x 3 1 a 0 8 x 6 12 x 4 10 x 3 2 b0 3 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 3b 2 8x 6 12 x 4 (*) Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*)... 2 x PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x 3 1 4 Thí dụ 33 Giải phương trình x 3 5x 3 4 x 6 x 4 3x 3 x 2 4 (*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Hướng dẫn Do VP(*) 0 nên VT (*) x 3 5x 3 4 0 3 5x 3 4 x 5x 3 4 x 3 6 x 3 4 0 x 3 Đặt 3 2 3 5x 3 4 a x 6 x 4 3x 3 x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2 (**) Pt