TÍNH HỢP PHÁP CỦA MỘT PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ

TÍNH HỢP PHÁP CỦA PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ (Bài giảng luyện thi vào Đai học và cao đẳng) Trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học và cao đẳng hay thi tuyển chọn học sinh giỏi thường có câu giải phương trình,bất phương trình hệ phương trình có chứa căn bậc chẵn n xf 2 )( với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Muốn giải nó ta đặt ẩn phụ n xft 2 )( = .Vấn đề đặt ra là khi đặt ẩn phụ như vậy có phải đăt điều kiện 0)( ≥ xf hay không ?.Nếu không đăt điều kiện đó thì phép giải bài toán đó có hợp pháp không ? Vấn đề này sẽ bổ ích cho học sinh khi làm bài thi. A.Một số ví dụ: Ví du 1:Giải phương trình: 10239 =−+ xx .(1) (Nguyễn Huy Đoan- Bài tập Đai số 10 nâng cao) Giải:Phương trình (1) 0423)23(3 =−−+−⇔ xx .(*).Đặt 023 ≥−= xt ,khi đó (*) trở thành 3t 2 +t-4=0.Giải ra ta có hai nghiệm t 1 =1 và t 2 = -4/3.Do 0 ≥ t nên chỉ lấy t=1.Vậy(*) 1123 =⇔=−⇔ xx . Ví dụ 2:Giải phương trình: xxxx 254235 22 =+−−+ , (2). Giải :Phương trình (1) 055426542 22 =++−−+−⇔ xxxx .Đặt 542 2 +−= xxt .Khi đó (2) trở thành :t 2 -6t+5=0.Giải ra ta có hai nghiệm:t=1 và t=5. +t=1 04421542 22 =+−⇔=+−⇔ xxxx vô nghiệm. +t=5    ⇔=−−⇔=+−⇔ += −= 111 111 22 020425542 x x xxxx Vậy phương trình có hai nghiệm: 111 ±= x . (Nguyễn Huy Đoan- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đai số 10) Ví dụ 3:Giải bất phương trình: 1253753 22 >++−++ xxxx (3) Giải: Đặt ,253 2 ++= xxt ,ta có bất phương trình >+⇔>−+ 515 22 ttt t+1    ⇔    ⇔ −< <≤− <+    ≥+ +>+ 1 21 01 01 2 )1(5 2 t t t t tt + t<-1 1253 2 −<++⇔ xx vô nghiệm. + 2253121 2 <++≤−⇔<≤− xxt (*). ⇔    ⇔ ≥++ <++ 0253 4253 2 2 xx xx    −≤<− <≤ − 12 3 1 3 2 x x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-2;-1] ∪ [-2/3;1/3). (Nguyễn Huy Đoan-Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số 10). Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy khi giải các phương trình hay bất phương trình bằng cách đặt ẩn phụ ,không đặt điều kiện của ản mà chỉ đặt điều kiện thừa 0 ≥ t ,nhưng có những bài cũng không đặt điều kiện đó nữa. Đẻ cho tiện ta lấy đại diện một phương trình: 0,0)()( ≠=++ acxfbxaf (I). 1 Có nhiều người cho rằng khi giải phương trình đó khi đặt )(xft = thì phải đặt điều kiện 0)( ≥ xf .Nếu không đặt điều kiện đó thì phép giải đó không hợp pháp.Bây giờ xét tính hợp pháp của phép đặt ẩn phụ đó. B.Một số căn cứ:Các cách giải phương trình (I). Cách 1: *Đặt 0)( ≥= xft ta có phương trình:at 2 +bt+c=0 (II). *Giải (II): +Nếu (II) vô nghiệm hoặc có hai ngjhiêm âm thì (I) vô nghiệm. +Nếu (II) có nghiệm t 0 0 ≥ ta giải phương trình 0 )( txf = (*) *Kết luận. Nhận xét:Trong cách giải trên nếu đặt điều kiện 0)( ≥ xf hay khôngđặt điều kiện đó và (II) là phương trình hệ quả của (I) và nghiệm của (*) là nghiệm của (I) (là điều kiện đủ).Từ đó suy ra không cần đặt điều kiện 0)( ≥ xf Cách 2: * Giả sử (I) có nghiệm x 0 a 0)()( 00 =++ cxfbxf )( 0 xf ⇒ luôn tồn tại.Do dó đặt )( 0 xft = ta có phương trình:at 2 +bt+c=0 (II).Các bước như cách 1. Một đồng nghiệp của tôi cho rằng khi đặt ẩn phụ )(xft = mà không đặt điều kiện 0)( ≥ xf là không hợp pháp bằng cấch cho ví dụ: Giải phương trình: 2 x − +3 031 2 =+−− x (**).Người đó lập luận:Do mọi x 1 2 −− x không tồn tại nên không thể đặt được )(xft = và kết luận nếu giải phương trình (I) không đặt điều kiện 0)( ≥ xf rồi mới đặt )(xft = là sai.Như vậy rất nhiều tác giả đã sai khi viết sách Quả thật đến đây hơi bối rối và tự đặt câu hỏi chẳng nhẽ nhiều người sai đến vậy (trong đó có cả các nhà khoa học đầu ngành) .Từ đó tôi đi tìm một cách lí giải khác.Trong thực tế thì không ai giải như vậy mà chúng ta giải một cách đơn giản và gọn nhẹ hơn. C.Tính hợp pháp của phép đặt ẩn phụ. 1) Thế nào là một phương trình: Một câu hỏi đặt ra là (**) có phải là một phương trình không?Để trả lời câu hỏi đó ta tìm hiểu thế nào là phương trình: a) Khái niệm hàm số:Cho tập hợp khác rỗng RD ⊂ . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc tương ứng mỗi x thuộc D với một và chỉ một số,kí hiệu là )(xf ;số )(xf đó là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định,x gọi là biến số của hàm số f. Từ đó suy ra : D là tập xác định của hàm số f thì D khác rỗng. b) Thế nào là một phương trình (bất phương trình). 2 Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định lần lượt là D f và D g .Đặt gf DDD ∩= .Mệnh đề chứa biến “f(x)=g(x)” được gọi là phương trình một ẩn;x gọi là ẩn số và D gọi là tập xác định của phương trình. Số Dx ∈ 0 được gọi là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x) nếu f(x 0 )=g(x 0 ) là mệnh đề đúng Từ đó có khẳng định được (**) được không phải là một phương trình. c) Tính hợp pháp của một phếp đặt ẩn phụ: MỆNH ĐỀ: Nếu phương trình f(x)=g(x) chứa biểu thức )(xh thì biểu thức đó luôn tồn tại.(có nghĩa là luôn tồn tại x thuộc R để )(xh xác định). Chứng minh: Gọi D f và D g thứ tự là tập xác định của các hàm số f(x) vàg g(x). Giả sử không tồn tại x thuộc R để )(xh không tồn tại. +Nếu f(x) chứa )(xh suy ra không tồn tại x thuộc D f để f(x) xác định nên f(x) không phải là hàm số. +Nếu g(x) chứa )(xh thì g(x) không phải là hàm số. Từ đó suy ra f(x)=g(x) không phải là phương trình. Trái với giả thiết chứng tỏ luôn tồn tại x thuộc R để )(xh xác định. Vì vậy khi giải phương trình (I) đặt )(xft = mà không đặt điều kiện 0)( ≥ xf là hoàn toàn hợp pháp.Do đó không có chuyện nhiều tác giả viết sách sai như một đồng nghiệp của tôi đã khẳng định. d) Các bước giải phương trình (I) . Bước 1: Đặt )(xft = , 0 ≥ t ta có pt :at 2 +bt+c=0. (II).(là pt hệ quả của pt (I),không cần đặt điều kiện đúng của t) Bước 2: Giải pt (II). • Nếu (II) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm thì (I) vô nghiệm. • Nếu (II) có nghiêm 0 ≥ t thì giải phương trình: txf = )( . Bước 3:Kết luận. D.Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải các phương trình: 1) 1 11 1 16 + =− + x x x (1) Giải: pt(1) 012 1 4 1 1 =− + + + x x .Đặt = t 0, 1 1 〉 + t x ta có pt t 2 +4t-12=0 Giải ra ta có hai nghiệm t=2 t=-6 Do t>o nên t=-6 loại. t=2 4 3 2 1 12 1 1 −=⇔=+⇔= + ⇔ xx x . 2) 03121 3 =−−−− xx (2) 3 Giải: Đặt 2 3 3 6 1,11 uxuxxu =−=−⇒−= .Ta có pt u 3 -2u 2 -3=0 với 0 ≥ u .Giải pt có các nghiệm:u=-1 loại , 0 2 213 < − = u loại , 2 213 + = u 1) 2 213 ( 2 213 1 6 6 + + =⇔ + =−⇔ xx . 3) 011)23(2 2 =+−−+− xxxx (3). Giải: (3) 02)1(3)1( 2 =+−−−−−⇔ xxxx .Đặt 1 −−= xxt ta có pt : t 2 -3t+2=0 ⇔ t=1 hoặc t=2. +t=1 { 01 023 2 1111 ≥− =+− ⇔−=−⇔=−−⇔ x xx xxxx ⇔ x=1 hoặc x=2. +t=2 { 2 055 2 21 ≥ =+− ⇔=−−⇔ x xx xx 2 55 + =⇔ x . Vậy phương trình có ba nghiệm là:x=2,x=2,x= 2 55 + . 4) 7x+2(x-2) 011 =−+ x (4). Giải: (4) 011)2(2)1( =−+−−+⇔ xxx .Đặt 0,1 ≥+= txt ta có pt : t 2 -2(x-2)t-8x=0 .Giải pt này ta có hai nghiệm t=2x,t=-4<0 loại. t=2x 32 651 .21 + =⇔⇔=+⇔ xxx 5) 3 51010 2 +−=−− xxxx (5) Giải: (5) 0510310 2 =+−−−⇔ xxxx . Cách 1:Đặt otxxt ≥−= ,10 2 txx 21010 +=−+⇒ .Khi đó ta có phương trình: 53210 +=+ tt    ⇔ −≥ =+− 3 5 015329 2 t tt 3 =⇔⇔ t . ⇔=+−⇔=−⇔= 09103103 22 xxxxt x=1 hoặc x=3. Cách 2: Đặt 2 10 100,10 2 2 − =−⇒≥−+= t xxtxxt .ta có pt: 3t 2 -2t-40=0 ⇔ t=4 hoặc 0 3 10 ≤−= t (loại). t=4 ⇔⇔=−+⇔ 410 xx x=1 hoặc x=9. Chú ý:Phương trình dạng : 0)(()( =+−++−±+ cxnmxbxnmxa ta đăt xnmxt −++= 2 ))(( 2 nmt xnmx −− =−+⇒ . Riêng pt: 0))(()( =+−++−−+ cxnmxbxnmxa thì đặt : xnmxt −−+= . 6) (x-1)(x+2)+5(x-1) 014 1 2 =− − + x x (6) Giải: Đặt ⇒− − + = )1( 1 2 x x x t 4 (x-1)(x+2)=t 2 .ta có pt t 2 -5t+6=0 ⇔ t=2 hoặc t=-7. +t=2 { ⇔⇔⇔= − + −⇔ > =−+ 2 1 2 )1( 1 06 2 x xx x x x x=2. +t=-7 { 2 2051 .7 1 2 )1( 1 051 2 −− =⇔⇔⇔−= − + −⇔ < =−+ x x x x x xx Vậy phương trình có hai nghiệm là :x=2, 2 2051 −− = x . Qua cách giải các bài trên ta thấy khi đặt )(xft = với ot ≥ (***) Điều kiện này gọi là điều kiện thừa. Ví dụ 2: Cho phương trình : 44 +=+ xmx (1) ,m là tham số. 1) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. 2) Tìm m để phương trình có nghiệm. Giải: Đặt mxt += .Do x+m 00 ≥⇒≥ t (Đây là điều kiện đúng) ta có pt: t 2 -4t-m+4=0 (2). m =∆ , 1) Pt (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (2) có đúng một nghiệm 0 ≥ t .Điều đó xẩy ra khi và chỉ khi (2) có nghiệm duy nhất 0 ≥ t hoặc (2) có hai nghiệm khác dấu hoặc (2) có 1 nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm. + (2) có nghiệm duy nhất ⇔≥ 0t ∆ =0,S=0 và P=0 ⇔ …. ⇔ m=0. +(2) có hai nghiệm khác dấu khi và chỉ khi P=-m+4<0 4 >⇔ m . +(2) có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0 khi và chỉ khi P=0 và S<0.Hệ này vô nghiệm. Vậy m=0,m>4 thì pt (1) có nghiệm duy nhất. 2) Pt (1) có nghiệm khi và chỉ khi pt(2) có nghiệm 0 ≥ t .Điều đó xẩy ra khi và chỉ khi (2) có nghiệm t=0 hoặc có hai nghiệm dương hoặc có hai nghiểmtái dấu. +(2) có nghiệm t=0 ⇔ 4-m=0 4 =⇔ m +(2) có hai nghiệm trái dấu 440 ><⇔−⇔<⇔ mmP . +(2) có hai nghiệm dương 0.,0 >≥∆⇔ S và P>0 40 ≤<⇔ m Từ đó ta có m 0 ≥ thì (1) có nghiệm. Cách 2: (1) mxx =−−⇔ )1618( 16 1 2 ,với 4 −≥ x .Đặt )1618( 16 1 2 −−= xxy 4 −≥ x và y= m .Số nghiệm pt (1) là số giao điểm của hai đồ thị đó ……………………. Chu ý :Đối với những bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thì điều kiện của ẩn phụ t phải là điều kiện đúng. Ví dụ 3 :Giả các bát phương trình: 1) 713)1( 2 ≤+−−− xxxx (1) 5 Giải: (1) 0201313 22 ≤−+−−+−⇔ xxxx .Đặt 13 2 +−= xxt , 0 ≥ t ta có: 54020 2 ≤≤−⇔≤−− ttt .Do 0 ≥ t nên ⇔    ⇔≤+−≤⇔≤+−≤⇔≤≤ ≥+− ≤−− 013 012 22 2 2 25130513050 xx xx xxxxt 43012 2 ≤≤−⇔≤−− xxx (Do xxx ∀>+− 013 2 . 2) (2x-2) )1(612 −≤− xx (2) . Giải: Đặt 012 ≥−= xt 12 2 +=⇒ tx .Ta có phương trình: 1,31033 23 −≤≤≤⇔≤+−− ttttt (loại) .Khi đó (2) 3121 ≤−≤⇔ x ⇔ 519121 ≤≤⇔≤−≤ xx . Cách 2:(2) 0)312)(1( ≤−−−⇔ xx Sau đó xét dấu các biểu thức x-1, ⇒−− 312x dấu của tích (x-1) )312( −− x …………( với 2 1 ≥ x ) 3) 024254 2 ≤−++−− xxx (3) Giải: Đk: ≤− 2 x 2 ≤ khi đó 02,02 ≥−≥+ xx nên (3) ⇔ 024254 2 ≤−++−− xxx .Do x=2 không phải nghiệm pt,với ≤− 2 x<2 pt tương đương với 04 2 2 ) 2 2 (5 4 2 4 ≥− − + − − + x x x x .Đặt 0 2 2 4 ≥ − + = x x t Ta có pt : 5 4 ,1045 2 −≤≥⇔≥−− tttt (loại). ⇔≥ − + ⇔≥ 1 2 2 1 4 x x t 1 2 2 ≥ − + x x 022 ≥⇔−≥+ xxx .Do <≤− x2 2 ⇒ 2-x>0 .Vì 22 <≤− x và 0 ≥ x nên nghiệm bpt là 00 <≤ x . 4) 7) 4 1 (2 2 3 3 −+<+ x x x x (5) Đk của pt x>0. (5) ⇔ 07) 2 1 (3) 4 1 (2 >−+−+ x x x x Đặt = t 0 2 1 >+ x x .(điều kiện đúng là )2 ≥ t 1 4 1 2 −=+⇒ t x x .Khi đó ta có pt :2t 2 -3t-9>0 2 3 ,3 −<>⇔ tt (loại) t>3 2 73 01623 2 1 − <⇔>+−⇔>+⇔ xxx x x hoặc 2 73 + > x . + 2 ) 2 73 (0 2 73 − <≤⇔ − < xx + 2 ) 2 73 ( 2 73 + >⇔ + > xx Vậy phương trình có nghiệm là 22 ) 2 73 (,) 2 73 (0 + > − <≤ xx Ví dụ 4:Giải các phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình: Giải: 1) 16522252 22 =−+−++ xxxx (1).Đặt 6    ≥++= ≥−+= 0252 0652 2 2 xxu xxv .ta có hệ phương trình: { 12 8 22 =− =− vu vu .Giải hệ này ta được { ⇔ = = 3 1 u v ⇔    =++ =−+ 3252 1652 2 2 xx xx 2x 2 +5x-7=0 1 = x hoặc 2 7 −= x . 2) 112 3 =+−+ xx (2) .Đặt 3 1,02 +=≥+= xvxu .ta có hệ pt: { 1 1 32 =− =− vu vu . Giải hệ này ta có các nghiệm: { { { 3 2 0 1 1 0 ,, = = = −= = = u v u v u v + { 1 12 01 1 0 3 −=⇔    ⇔ =+ =+ = = x x x u v + { 2 0 1 −=⇔⇔ = −= x u v + { 7 . 3 2 =⇔⇔ = = x u v Vậy phương trình cnghiệm là :x=-1,x=-2,x=7. 3) 22 2 ++= xx (3) Giải: Đặt 22 2 +=⇔+= xyxy .ta có hệ pt :    += += 2 2 2 2 yx xy Giải hệ đó ta có các nghiệm:x=y=-1,x=y=2, 2 15 −− = x và 2 15 − = y ; 2 15 − = x và 2 35 − = y Phương trình dạng: bbxaax n n ++= . với n nguyên dương lớn hơn 1 Ta đặt n bxay += . đưa về hệ đối xứng loại II    += += byax bxay n n . . Ví dụ 5:Cho hệ phương trình:    =+−− −== myx myx 32 4 , m là tham số. (I) 1) Giải hệ phương trình khi m=-1. 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. Giải: Đặt    ≥−= ≥+= 02 03 xu yv ( đây phải là các điều kiệ đúng).ta có hệ phương trình: { mvu mvu =− −=+ 41 22 (II) 1) m=-1 có hệ : { 1 5 22 −=− =+ vu vu Giải hệ này ta có nghiệm { { 3 1 12 23 1 2 = = =− =+ = = ⇔    ⇔ x y x y u v vậy hệ có nghiệm { 3 1 = = x y 7 2) Đặt t=-v, 0 ≤ t Hệ (II) trở thành : { mtu mtu =+ −=+ 41 22 ,với 0,0 ≤≥ tu (III)    =+ −+ = mtu mm ut 2 14 2 u và t là nghiệm của phương trình: 9 2 14 2 2 = −+ +− mm mzz (*) hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi pt (*) có hai nghiệm z 1 ,z 2 thoả mãn 21 0 zz ≤≤ 52520 2 14 2 +−≤≤−−⇔≤ −+ =⇔ m mm P Vậy 52 −− 52 +−≤≤ m . BÀI TẬP Bài 1:Giải các phương trình: 1) 02 14 5 2 1110 =+ − − + + x x x x .2) 0)1(13)1(2 3 2 3 2 3 2 =−+−++ xxx 3) (x-3)(x+2)+ 22 2 =−− xx 4) x xxx 1 3 2 1 2 5 22 += − − − 5) 02 1 3 )1( 2 22 =+ −+ −++ xx xx 6) 013)1()1( 23 =+++++ xxxx 7) 4111 2 +−+−−+= xxxx 8) 211 22 =+++−− xxxx 9) x x x x − =+++ − + 4 5 11 4 1 10) 116 1105 2 2 2 ++ +− =− xx xx x 11) 12)1(21)14( 22 +++=+− xxxx 12) 4 2 112311 xxxx −+−+=−+ 13) 014)1212(22 22 =−+−+−− yxyxx Bài 2: Cho phương trình: m x x xxx = − + −−−+ 2 1 )2(6)2)(1(5 , m là tham số. 1) Giải phương trình khi m=8. 2) Tìm m để phương trìng có nghiệm. Bài 3: Giải các bất phương trình: 1) 2855)4)(1( 2 ++<++ xxx 2) 3 1 12 1 >+− + xx x 3) 211 22 ≤−++−− xxxx 4) 1253753 2 >+++++ xxxx 5) xxxxx 141814274926777 2 −<−++−++ 6) 22 )431)(73()1(9 +−+≤+ xxx 7) 2862 2 −≤−+− xxxx (HD:Đặt 2, −== xvxu ) 8) 12 35 1 2 ≥ − + x x x Bài 4:Giải các phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình: 1) 214421 2 +=− xx 2) 36333 22 =+−++− xxxx 3) 3312 3 =++− xx 4) 6776 3 −=+ xx Bài 5: 1) Cho hệ phương trình:    =+++ =+ ayx yx 21 2 ,a là tham số 8 a) Giải hệ phương trình khi a=3. b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm. 2) Cho hệ phương trình:    −=+−− +=+ 2112 322 ayx ayx a) Giải hệ phương trình khi a=1. b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm. Chú ý:Đối với những bài toán chứa tham số yêu cầu tìm điều kiện để bài toán có nghiệm hay có số nghiệm ,nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước thì điều kiện của ẩn phụ t phải là điều kiện đúng. ………… HẾT……………. 9 10 . kiện 0)( ≥ xf .Nếu không đặt điều kiện đó thì phép giải đó không hợp pháp. Bây giờ xét tính hợp pháp của phép đặt ẩn phụ đó. B .Một số căn cứ:Các cách giải. giải một cách đơn giản và gọn nhẹ hơn. C .Tính hợp pháp của phép đặt ẩn phụ. 1) Thế nào là một phương trình: Một câu hỏi đặt ra là (**) có phải là một phương