Phép toán phân thứ và ứng dụng

Mục lục Mở đầu 1 Khái niệm tích phân phân thứ đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville 1.1 Kiến thức bổ trợ 1.1.1 Hàm Gamma 1.1.2 Hàm Beta 1.1.3 Hàm Mittag-Leffler 1.1.4 Không gian hàm khả tổng 1.1.5 Biến đổi tích phân Fourier 1.2 Tổng quan lịch sử phép tính vi phân phân thứ 1.3 Tích phân phân thứ 1.3.1 Toán tử D−n 1.3.2 Tích phân Riemann-Liouville D−α hay J α 1.3.3 Các tính chất tích phân phân thứ D−α 1.4 Đạo hàm phân thứ 1.4.1 Định nghĩa đạo hàm cấp dương 1.4.2 Các tính chất đạo hàm cấp dương 1.4.3 Đạo hàm phân thứ Grunwald Marchaud 3 3 5 9 10 10 11 11 12 15 Biến đổi Laplace tích phân phân thứ đạo hàm phân thứ 2.1 Định nghĩa biến đổi Laplace tính chất 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Ví dụ 2.1.3 Các tính chất 2.2 Biến đổi Laplace ngược 2.2.1 Công thức Mellin 2.2.2 Đặc trưng tồn hàm gốc Laplace 2.3 Biến đổi Laplace tích phân phân thứ đạo hàm phân thứ 17 17 17 18 19 23 23 25 27 2.3.1 2.3.2 Biến đổi Laplace tích phân phân thứ 27 Biến đổi Laplace đạo hàm phân thứ 31 Phương trình tích phân Abel phương trình vi phân phân thứ 3.1 Phương trình tích phân Abel ứng dụng 3.1.1 Các phương trình 3.1.2 Ứng dụng 3.2 Phương trình vi phân thường phân thứ 3.3 Bài toán giá trị ban đầu phương trình vi phân phân thứ 3.4 Hàm Green cho phương trình vi phân phân thứ 3.5 Phương trình khuếch tán 3.6 Phương trình sóng không 33 33 33 36 38 40 43 45 46 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Mở đầu Phép tính phân thứ bao gồm chủ yếu đạo hàm phân thứ tích phân phân thứ mở rộng từ đạo hàm cấp nguyên dương nguyên hàm cấp cao, hay gọi đạo hàm cấp nguyên âm Phép tính phân thứ đời từ lâu phát triển mạnh mẽ vào nửa sau kỷ 20, ngày nhiều người quan tâm tìm thấy nhiều ứng dụng, học vật lý học Hiện tài liệu phép tính phân thứ phong phú Nhiều tài liệu thiên lý thuyết chặt chẽ, ví dụ [3], [4] [5](cùng tài liệu tham khảo) Nhiều tài khác lại thiên ứng dụng hình thức, ví dụ [1] [2](cùng tài liệu tham khảo) Ở Việt Nam, phép tính phân thứ chưa quan tâm nhiều Vì việc tìm hiểu học tập phép tính phân thứ cần thiết lý thú Đề tài luận văn "Phép tính phân thứ ứng dụng" Mục đích đề tài là: tìm hiểu học tập phép tính vi phân tích phân phân thứ; viết luận văn khoa học đề tài thiên ứng dụng Luận văn có bố cục: Mở đầu, ba chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày khái niệm tính chất tích phân phân thứ D−α f (x) đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville Dα f (x) (α ≥ 0) hàm khả tổng khoảng hữu hạn Chương 2: Trình bày ứng dụng biến đổi Laplace nghiên cứu tích phân đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville nửa trục thực hàm thỏa mãn điều kiện tồn biến đổi Laplace (hàm gốc) Chương 3: Trình bày ứng dụng biên đổi Laplace giải phương trình tích phân trình Abel, phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phân thứ nửa trục thực hàm gốc Trong suốt trình học tập làm luận văn, bên cạnh nỗ lực học tập, nghiên cứu niềm đam mê Toán học thân em hướng dẫn tận tình TS.NCVC.Nguyễn Văn Ngọc, Trường Đại học Thăng Long Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin trường Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy, cô giảng dạy lớp cao học toán K7Y trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình em học tập trường trình làm luận văn Em xin cảm ơn thầy, cô Ban giám hiệu, đồng nghiệp Tổ Toán-Tin trường trung học phổ thông Phù Cừ nơi mà em công tác tạo điều kiện giúp đỡ động viên Xin cảm ơn bạn bè học viên lớp cao học toán K7Y quan tâm, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian học tập trình làm luận văn Sự quan tâm, động viên khích lệ gia đình nguồn động viên lớn để em hoàn thành khóa luận Tuy thân em có nhiều cố gắng, song không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận quan tâm, góp ý quý thầy cô toàn thể bạn đọc Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Tác giả Bùi Thị Dung Chương Khái niệm tích phân phân thứ đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville Chương trình bày số kiến thức bổ trợ cần thiết; khái niệm tính chất tích phân phân thứ D−α f (x) đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville Dα f (x) (α ≥ 0) hàm khả tổng khoảng hữu hạn Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [2] [3] 1.1 Kiến thức bổ trợ 1.1.1 Hàm Gamma Giả sử z số phức z = x + iy (i2 = −1), x = Re z Hàm Gamma (hay gọi tích phân Gamma) xác định theo công thức ∞ e−t tz−1 dt, x = Re z > Γ(z) = (1.1) Một số công thức tích phân Gamma Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(n + 1) = n!, n ∈ N, π Γ(z)Γ(z + 1) = , < Re z < 1, sin(πz) √ 1 1.3.5 (2n + 1) √ Γ = π, Γ n + = π 2 2n 1.1.2 Hàm Beta Hàm Beta B(p, q) (tích phân Beta) định nghĩa theo công thức up−1 (1 − u)q−1 du, B(p, q) = (1.2) p q dương để tích phân tồn Bằng phép đổi biến thông thường B(p, q) = B(q, p) Nếu ta đặt u = sin2 (θ), tích phân trở thành π/2 sin2p−1 (θ) cos2q−1 (θ)dθ B(p, q) = Nếu ta đặt u = x/(1 + x), tích phân trở thành ∞ xp−1 dx (1 + x)p+q B(p, q) = Ta chứng minh B(p, q) = Γ(p) Γ(q) Γ(p + q) với cách chọn p > q > Ví dụ, p + q = 1, ta có hệ thức B(p, − p) = Γ(p) Γ(1 − p) = Giá trị Γ(1/2) = 1.1.3 π sin(πp) √ π rút cách đặt p = 1/2 Hàm Mittag-Leffler Giả sử α số thực, z số phức Hàm Mittag-Leffler biến số z tham số α > xác định theo công thức ∞ Eα (z) = k=o zk Γ(αk + 1) (1.3) Một số trường hợp đặc biệt hàm Mittag-Leffler E1 (z) = ez , √ E2 (z) = cosh( z), d n En (λz n ) = λEn (λz n ), dz z tk zn E1/n (z) = e 1+ dt k Γ( n ) Hàm Mittag-Leffler hai tham số Eα,β (z) xác định theo công thức ∞ Eα,β (z) = k=o zk , α > 0, β > Γ(αk + β) (1.4) 1.1.4 Không gian hàm khả tổng Với p số thực: p < ∞, Ω ∈ Rn ta định nghĩa Lp (Ω) lớp hàm f (x) xác định Ω, cho p f p |f (x)|p dx = < ∞, dx = dx1 dx2 dxn Ω Số f gọi chuẩn hàm f (x) Lp (Ω) không gian Banach Đặc biệt, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng p f (x) g(x)dx, (f, g) = Ω g(x) liên hợp phức g(x) Hàm xác định Ω gọi chủ yếu bị chặn Ω, tồn số dương C , cho |f (x)| C hầu khắp nơi Ω Cận lớn f (x) ký hiệu ess sup |f (x)| x∈Ω Ta ký hiệu L∞ (Ω) không gian tất hàm chủ yếu bị chặn Ω Chuẩn L∞ (Ω) xác định theo công thức f ∞ = ess sup |f (x)|, x∈Ω sup lấy tất phân hoạch đơn vị [a, b] 1.1.5 Biến đổi tích phân Fourier • Định nghĩa biến đổi Fourier Định nghĩa 1.1 Cho f ∈ L1 (R) Hàm f˜ xác định công thức ∞ f˜(λ) = F{f }(λ) = √ 2π f (t) e−iλt dt (1.5) −∞ gọi phép biến đổi Fourier f Giả sử f˜(λ) ∈ L1 (R) Biến đổi Fourier ngược xác định theo công thức ∞ f (x) = F−1 {f˜} = √ 2π f˜(λ)eiλt dλ −∞ (1.6) • Các tính chất biến đổi Fourier Tính chất 1.1 (Định lý Riemann-Lebesgue) Nếu f (t) ∈ L1 (R), f˜(λ) = F[f ] hàm liên tục tiến đến không |λ| → +∞ Tính chất 1.2 fr (x) = f (rx) Ta có λ f˜ (λ) = f˜ r r Tính chất 1.3 Nếu đạo hàm Dk f (t) = f (k) (t) ∈ L1 (R), k ≤ m không vô cùng, F{f (m) }(λ) = (iλ)m F{f }(λ) Tính chất 1.4 Nếu f, g ∈ L1 (R), tích chập f ∗ g ∈ L1 (R) F{f ∗ g} = √ 2π F{f }F{g}, ∞ f ∗g = f (x − t)g(t)dt −∞ Tính chất 1.5 Gọi S tập hợp hàm khả vi vô hạn giảm nhanh, nghĩa f ∈ C∞ ∀p, q ∈, ∃M > 0, ∀x, xp f (q) (x) < M Khi F{f } ∈ S 1.2 Tổng quan lịch sử phép tính vi phân phân thứ • Trong lịch sử, Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Leibniz Wihelm (1646- 1716) độc lập phát phép tính (phân thứ) vào kỷ 17 Trong công trình đáng ý, John Von Neumann’s (1903-1957) suy nghĩ có nhận xét: " Các phép toán thành Toán học đại khó đánh giá hết tầm quan trọng Tôi nghĩ định nghĩa rõ ràng điều khác cho khởi đầu Toán học đại Giải tích toán học, phát triển logic nó, tạo thành tiến kỹ thuật vĩ đại tư xác " • Trong nghiên cứu phép toán mình, Leibniz giới thiệu ý tưởng thuộc phương pháp sử dụng ký hiệu dn y = Dn y cho vi phân cấp n, dxn n số nguyên không âm L’Hospital hỏi Leibniz khả n phân số "chẳng hạn n = " Leibniz (1695) trả lời: "Nó dẫn đến nghịch lý" Nhưng ông nói thêm tiên tri, "Từ nghịch lý rõ ràng này, kết hữu ích ngày rút ra" • Bằng cách để phép tính vi phân phân thứ Dn y mở rộng với n số – hữu tỷ, vô tỷ hay số phức? Trong 700 trang sách phép tính công bố vào năm 1819, Lacroix phát triển phép tính vi phân cấp n hàm y = xm , m số nguyên dương: Dn y = m! xm−n (m − n)! (1.7) (n ≤ m) số nguyên Trong công thức thay n α thay hàm y theo xβ , ông tiếp tục thu phép tính vi phân: D α xβ = Γ(β + 1) xβ−α Γ(β − α + 1) (1.8) với α β số hữu tỷ Đặc biệt, ông tính D2x = Γ(2) x2 = Γ x π (1.9) • Mặt khác, vào năm 1832, Joseph Liouville (1809-1882) cách hình thức mở rộng đạo hàm cấp nguyên dương n nhờ công thức Dn eax = an eax (1.10) Trong công thức thay n α tùy ý được: Dα eax = aα eax (1.11) Sử dụng khai triển thành chuỗi hàm f(x), Liouville đưa phép tính: ∞ α cn aαn ean x , D f (x) = (1.12) ∞ f (x) = cn exp(an x), Re an > (1.13) Công thức (1.12) định nghĩa Liouville cho phép tính đạo hàm phân thứ Nó sử dụng công thức tính đạo hàm cấp α tùy ý, hữu tỷ, vô tỷ số phức Tuy nhiên, sử dụng cho hàm có dạng (1.13) • Để mở rộng định nghĩa (1.12) mình, Liouville xây dựng định nghĩa đạo hàm phân thứ dựa hàm số gama (Theo Debnath Speight (1971)), sau ∞ Γ(β)x−β = tβ−1 e−xt dt, β > 0, (1.14) Γ(α + β) −α−β x , β > Γ(β) (1.15) Dα x−β = (−1)α Điều gọi định nghĩa thứ hai Liouville đạo hàm phân thứ Ông áp dụng thành công định nghĩa toán lý thuyết điện Tuy nhiên, định nghĩa Liouville giới hạn lớp hàm có dạng (1.13), có lẽ định nghĩa thứ hai ông phù hợp với hàm hữu tỷ? Không, ông đưa định nghĩa thích hợp cho hàm số Theo (1.15) không tồn vi phân phân thứ hàm số (β = 0) Γ(0) = ∞ Mặt khác, định nghĩa Lacroix cho phép tính đạo hàm phân thứ cho hàm (β = 0) công thức: Dα = x−α = Γ(1 − α) (1.16) • Peacock (1833) đồng ý với Lacroix định nghĩa (1.2) cho đạo hàm phân thứ, nhà toán học khác lại thích định nghĩa Liouville Điều dẫn đến khác biệt hai định nghĩa đạo hàm phân thứ Mặc dù có nhiều phát triển vấn đề phép tính vi phân, tranh cãi không giải • Năm 1822, Fourier tìm biểu diễn tích phân hàm f(x) đạo hàm nó: f (x) = 2π +∞ +∞ cos t(x − ξ)dt, f (ξ)dξ −∞ D f (x) = 2π −∞ +∞ n +∞ tn cos{t(x − ξ) + f (ξ)dξ −∞ −∞ nπ }dt Thay số nguyên n số thực α kết sau D f (x) = 2π +∞ α +∞ tα cos{t(x − ξ) + f (ξ)dξ −∞ −∞ απ }dt • Greer tìm phép tính vi phân phân thứ cho hàm số lượng giác dựa công thức (1.12) công thức sau Dα eiax = iα aα eiax = iα aα (cos ax + i sin ax) πα πα + i sin (cos ax + i sin ax) = aα cos 2 3.1.2 Ứng dụng Ví dụ 3.1 (Bài toán Abel chuyển động đẳng thời) Bài toán phải xác định hình dạng đường cong trơn phẳng qua gốc mặt phẳng thẳng đứng, dọc theo vật có khối lượng m rơi tự khoảng thời gian mà không phụ thuộc vào vị trí ban đầu Giả sử vật đặt đường cong điểm (ξ, η), η xác định dương Hãy vật phép rơi gốc tác động trọng lực Giả sử (x, y) vị trí vật thời điểm Theo định luật bảo toàn lượng, tổng động không đổi, mv + mgy = mgη = constant (3.16) Khi đó, vận tốc chuyển động vật điểm (x, y) ds dt v2 = = 2g(η − y), (3.17) s chiều dài cung đo đường cong t thời gian tính từ điểm xuất phát Lời giải Lấy tích phân (3.17) từ y = η tới ta τ 0 dt = − √ 2g η ds √ = √ η−y 2g η f (y)dy √ η−y s = f (y) biều diễn phương trình đường cong với f (0) = Như vậy, tìm η 2gT = f (y)dy √ η−y Đây phương trình tích phân Abel (3.13) với α = (3.18) √ g(x) = T 2g = constant Như nghiệm (3.14) trở thành √ η T 2g f (η) = (η − y) −1 dy, π đó, thay y = η sin2 θ a = gT π2 f (η) = 2aη Nếu ψ góc tạo tiếp tuyến đường cong với trục điểm (x, y), dy dx = sin ψ = cos ψ, ds ds cos ecψ = ds 2a = f (y) = dy y 36 Hoặc s = f (y) = (3.19) 2a y = 4a sin ψ Đây phương trình biều diễn đường cong Cycloid với đỉnh điểm gốc tiếp tuyến gốc trục x Ngoài ra, phương trình (3.18) biều diễn theo phương trình đạo hàm phân thứ với cấp có nghiệm (3.19) Ví dụ 3.2 (Phương trình Abel phương trình đạo hàm phân thứ toán dòng chảy chất lỏng) Chúng ta xem xét dòng chảy nước dọc theo hướng x thông qua đập đối xứng mặt phẳng yz thẳng đứng, với trục y dọc theo mặt đập Bài toán phải xác định hàm y = f (z) biểu diễn mở cửa đập, lượng nước đơn vị thời gian tỉ lệ với khả độ sâu dòng chảy Sau từ phương trình Bernoulli học chất lỏng ta có vận tốc v chất lỏng độ cao z cho mặt đáy đập cho v = 2g(h − z) (3.20) Thể tích chất lỏng dQ chảy qua mặt thiết diện dA chỗ mở cửa đập dQ = vdA = 2g(h − z) f (z)dz, thể tích nước h (h − z) f (z)dz, a = Q(h) = a 2g (3.21) Lời giải Đây phương trình tích phân Abel viết ở dạng Q(h) = aΓ 3 D− f (h) (3.22) Với Q(h) = hβ , từ thu (3.22) f (h) = 2a Γ(β + 1) β− β √ D h = h 2, h π Γ(β − 12 ) aΓ( 23 ) (3.23) β > −1 Trong trường hợp đặc biệt, thu y = f (z) có dạng Parabol hình chữ nhật tương ứng với β = β = Ngoài 2 có hình dạng khác mở cửa đập phụ thuộc vào giá trị β 37 3.2 Phương trình vi phân thường phân thứ • Trước tiên ta định nghĩa phương trình vi phân phân thứ với hệ số số, cấp (n, q) sau [Dnα + an−1 D(n−1)α + + a0 D0 ]x(t) = 0, t ≥ 0, (3.24) q α = Nếu q = α = dễ dàng thấy phương trình vi phân thường bậc n Chúng ta viết (3.24) cách hình thức sau f (Dα x(t)) = 0, (3.25) f (Dα ) toán tử vi phân phân thứ Tiếp theo sử dụng phương pháp khai triển Laplace giải phương trình vi phân phân thứ đơn giản với hệ số số, bậc (2, 2) dạng 1 f D x(t) = D1 + a1 D + a0 D0 x(t) = (3.26) Ứng dụng khai triền Laplace cho phương trình ta [sX(s) − x(0)] + a1 √ sX(s) − D− x(0) + a0 X(s) = 0, x(0) + a1 D− x(0) A √ X(s) = = √ , (s + a1 s + a0 ) f ( s) (3.27) f (x) = x2 + a1 x + a0 liên kết xác định phương trình A giả thiết số hữu hạn khác định nghĩa sau A = x(0) + a1 D− x(0) (3.28) Tiếp theo viết phân số vế phải (3.27) sau A 1 √ −√ a−b s−a s−b √ √ A s a s b + − − , = 2 a−b s−a s−a s−b s − b2 X(s) = (3.29) a b hai nghiệm phân biệt phương trình f (x) = Sử dụng biến đổi Laplace ngược cho công thức (2.27) với α = − α = 0, nghịch đảo (3.29) nhận công thức nghiệm x(t) = A 1 E t, − , a2 + aE(t, 0, a2 ) − E t, − , b2 − bE(t, 0, b2 ) a−b 2 38 (3.30) Khi phương trình f (x) = có hai nghiệm a = b, tìm √ s A a X(s) = √ =A + 2 (s − a ) (s − a2 ) ( s − a) (3.31) Theo quan niệm kết L−1 = tE(t, α, a) − αE(t, α + 1, a) sα (s − a)2 (3.32) Biến đổi Laplace ngược của (3.31) cho ta nghiệm sau 1 x(t) = A (1 + 2a2 t)E(t, 0, a2 ) + aE t, , a2 + 2atE t, − , a2 2 (3.33) • Kemple Gaul(1996) mở rộng tiêu chuẩn tồn tại, tính liên tục suy luận cho toàn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính thường phân thứ có dạng L(D)x(t) = f (t), t ∈ R, (3.34) với giá trị ban đầu cho trước số liệu giới hạn, L(D) toán tử vi phân phân thứ L(D) ≡ Dαn + an−1 Dαn−1 + + a1 Dα1 + a0 , (3.35) d , ≤ α1 ≤ ≤ αn , αk số không nguyên, an−1 , an−2 , , a1 , a0 dt số thực f (t) hàm đơn điệu tăng D ≡ Ứng dụng khai triển Fourier x(t) với lưu ý t nghiệm vật lý có dạng x(t) = {L(D)}−1 f (t) = G(t) ∗ f (t) ∞ f (t − τ )G(τ )dτ = −∞ = 2π ∞ ∞ f (t − τ )dτ −∞ −∞ eiωτ dω, p˜(ω) (3.36) ∗ có nghĩa tích chập Fourier, G(t) hàm đáp ứng xung lượng xung cho G(t) = 2π ∞ −∞ eiωτ dω, p˜(ω) ω ∈ R, (3.37) p˜(ω) = (iω)αn + an−1 (iω)αn−1 + + a1 (iω)α1 + a0 39 (3.38) Nghiệm (3.37) tồn với điều kiện ∈ L2 (R) p˜(ω) số thực khác p(ω) degL > Theo tiêu chuẩn ổn định hệ phương trình tuyến tính (iω → s), phương trình (3.36) có nghiệm biểu diễn Q(s) = p˜(−is) = sαn + an−1 sαn−1 + + a1 sα1 + a0 , (3.39) với điều kiện vế phải không đồng Để đơn giản, q(s) bị hạn chế nhánh với gốc đến sk = −σk ± iΩk , Tích phân (3.37) đánh giá việc sử dụng thuyết thặng dư Cauchy, (3.37) có giá trị ∞ −σk t G(t) = Ak e k=1 cos(Ωk t + εk ) − π ∞ e−rt dr, q(r) (3.40) đó, tổng thứ biểu diễn tượng đổi pha dao động tích phân thứ hai hàm suy giảm mà trở nên trội t → ∞ 3.3 Bài toán giá trị ban đầu phương trình vi phân phân thứ a) Chúng ta xét phương trình vi phân phân thứ có dạng sau α Dt y(t) + ω y(t) = f (t), t > 0, (3.41) = ck , k = 1, 2, , n (3.42) với giá trị ban đầu cho Dtα−k y(t) t=0 với n − < α < n Áp dụng khai triển Laplace cho (3.41) - (3.42) n α ck sk−1 (3.43) sk−1 F (s) + (sα + ω ) sα + ω (3.44) s + ω Y (s) = F (s) + k=1 Như vậy, khai triển Laplace cho nghiệm n Y (s) = ck k=1 40 Lấy khai triển Laplace ngược cho nghiệm toán với giá trị ban đầu n t α−k ck t y(t) = α Eα,α−k+1 − ω t f (t − τ )τ α−1 Eα,α (−ω τ α )dτ, + (3.45) k=1 đó, Eα,β(z) hàm Mittag-Leffler định nghĩa chuỗi ∞ Eα,β(z) = m=0 zm , Γ(αm + β) β > 0, (3.46) = tαm+β−1 Eα,β (±atα ) (3.47) α > 0, khai triển Laplace ngược L−1 m!sα−β (sα ∓ a)m+1 (m) Với (m) Eα,β (z) dm = m Eα,β (z) dz (3.48) (i) Khi α = 1, n = lúc điều kiện ban đầu y(0) = c1 nghiệm (3.45) viết dạng hình thức t y(t) = c1 E1,1 (−ω t) + f (t − τ )E1,1 (−ω τ )dτ, (3.49) E1,1 (z) = ez , nghiệm viết cụ thể t y(t) = c1 e−ω t + f (t − τ )e−ω τ dτ (3.50) (ii) Khi α = 2, n = lúc điều kiện ban đầu y(0) = c2 y (0) = c1 Trong trường hợp này, nghiệm (3.45) viết dạng hình thức t 2 2 2 f (t − τ )τ E2,2 (i2 ω τ )dτ, y(t) = c1 tE2,2 (i ω t ) + c2 E2,1 (i ω t ) + (3.51) sinh(iz) sin z = , iz iz E2,1 (i2 z ) = cosh(iz) = cos z E2,2 (i2 z ) = Trường hợp này, nghiệm (3.51) viết cụ thể c1 y(t) = sin ωt + c2 cos ωt + ω ω 41 t f (t − τ ) sin ωτ dτ (3.52) Cần lưu ý rằng, phương trình (3.41) mô tả phân số giảm < α phân số thay đổi < α Nó dễ dàng để nhận khác biệt nghiệm cổ điển cho trường hợp α = α = Mặt khác, nghiệm phương trình (3.41) cho thấy điểm đặc trưng khác rõ rệt Các nghiệm cổ điển tương ứng với α = phân rã theo cấp số nhân t → ∞ nghiệm phân số (0 < α < 1) thể phân rã nhanh t → 0+ phân rã chậm nhiều t → ∞ b) Dao động điều hòa phân thứ đơn Cho dao động điều hòa phân thứ đơn với điều kiện ban đầu sau d2 y dα y + b + ω y(t) = f (t), t > 0, < α < dt2 dtα y(0) = c0 ; y0 (0) = c1 , b, ω, c0 , c1 số (3.53) (3.54) dα y mô tả đạo hàm phân thứ Caputo dtα Hai trường hợp đặc biệt quan tâm (i) : < α < (ii) : ≤ α < Áp dụng khai triển Laplace cho nghiệm sau (i) (ii) y(s) = c0 y (s) + c1 y δ (s) + f (s).y δ (s), y (s) + f (s).y δ (s), y(s) = c0 y (s) + c1 s 0[...]... (1.54) Chương 2 Biến đổi Laplace của tích phân phân thứ và đạo hàm phân thứ Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Laplace và ứng dụng của phép biến đổi này trong nghiên cứu tích phân và đạo hàm phân thứ RiemannLiouville trên nửa trục thực Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1] và [2] 2.1 2.1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các tính chất Định nghĩa Cho hàm số f... hàm phân thứ của f(t) như sau φ(t) = Dα f (t) = L−1 {sα F (s)} (2.39) Một cách hình thức, chúng ta có thể viết biểu thức trên ở dạng L−1 {sα F (s)} = Dα f (t) = t 1 Γ(−α) (t − x)−α−1 f (x)dx, α > 0 (2.40) 0 Đây là công thức tích phân Cauchy, nó thường được dùng để định nghĩa cho vi phân phân thứ Dù như thế nào thì công thức (2.39) có thể sử dụng để tính đạo hàm phân thứ Nếu f (t) = tβ , khi đó công thức... phân phân thứ của các hàm hyperbolic 1.3 1.3.1 Tích phân phân thứ Toán tử D−n • Ý tưởng của vi phân phân phân thứ và tích phân phân thứ có thể diễn đạt bằng nhiều cách khác nhau Đầu tiên ta đi xét các phương trình vi phân thường tuyến tính không thuần nhất cấp n dn D = n , b ≤ x ≤ c dx n n D y = f (x), (1.17) Khi đó 1, x, x2 , , xn−1 là nghiệm tương ứng của phương trình thuần nhất Dn y = 0 Nếu f (x) là... phương trình tích phân Abel, phương trình vi phân phân thứ trên nửa trục thực đối với các hàm gốc Ứng dụng của biến đổi Laplace và biến đổi Fourier trong phương trình khuếch tán thuần nhất, phương trình sóng không thuần nhất Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1] và [2] 3.1 3.1.1 Phương trình tích phân Abel và ứng dụng Các phương trình cơ bản • Phương trình tích phân Abel loại... 0 Sự không phù hợp ở đây là việc sử dụng phép biến đổi Laplace và phép lấy giới hạn không có tính chất giao hoán như trong công thức (2.34) Từ các công thức (2.35), (2.36), dễ dàng suy ra công thức (2.17) 2.3.2 Biến đổi Laplace của đạo hàm phân thứ • Một hệ quả nữa của (2.16) là đạo hàm phân thứ Dα f (t) có thể được định nghĩa như nghiệm φ(t) của phương trình tích phân D−α φ(t) = f (t) (2.37) Biến đổi... > 0 trong công thức trên, chúng ta thấy có dạng tích phân phân thứ Riemann-Liouville mà đã được tìm thấy bởi Liouville năm 1832 và Riemann năm 1876 như sau: −α a Dx f (x) =a Jxα f (x) 1 = Γ(α) x (x − t)α−1 f (t)dt (1.21) a Ở đây a Dx−α =a Jxα là toán tử tích phân Riemann-Liouville Khi a = 0 tích phân phân thứ (1.21) do Riemann định nghĩa, còn khi a = −∞ thì do Liouville đưa ra Tích phân loại này đã... phân phân thứ của các hàm số lượng giác cho bởi công thức πα πα πα cos ax − sin sin ax = aα cos ax + , 2 2 2 πα πα πα + sin ax cos = aα sin ax + cos ax sin 2 2 2 Dα (cos ax) = aα cos Dα (sin ax) = aα Khi α = 1 2 và a = 1 Greer’s có được công thức như sau π , 4 1 π D 2 sin x = sin x + 4 1 D 2 cos x = cos x + Tương tự như vậy có thể tính được vi phân phân thứ của các hàm hyperbolic 1.3 1.3.1 Tích phân. .. Laplace ngược đẳng thức (2.34) ta được (2.33) • Bây giờ chúng ta sẽ tính biến đổi Laplace tích phân phân thứ của đạo hàm và biến đổi Laplace đạo hàm phân thứ của tích phân Sử dụng công thức (2.18), ta có L{D−α [Df (t)]} = s−α L{Df (t)} = s−α [sF (s) − f (0)], α > 0 (2.35) Mặc dù kết quả này đã được chứng minh cho α > 0, nó vẫn còn đúng với α = 0 Mặt khác, ta có tα−1 Γ(α) −α −α = s [sF (s) − f (0)] +... Γ(1 + p + k − α) (1.43) Nhưng, tích phân từng phần liên tiếp, ta có p−1 D −(2p−α) (p) f (x) = − k=0 f (k) (0) xp+k−α + D−(p−α) f (p) (x) Γ(1 + p + k − α) 14 (1.44) Từ (1.43) và (1.44) suy ra vế phải của (1.42) là dp −(p−α) D f (x) = Dα f (x) dxp Mệnh đề được chứng minh 1.4.3 Đạo hàm phân thứ Grunwald và Marchaud Grunwald (1867) đã giới thiệu ý tưởng của vi phân phân thứ như là giới hạn của tổng sau 1... của phương trình vi phân tuyến tính thường và gọi đó là dạng đầu tiên của biến đổi Euler Từ nay về sau ta ký hiệu o Dx−α = D−α = J α • Nhận xét rằng, công thức tích phân phân thứ (1.19) có thể nhận được từ công thức tích phân Euler sau đây x (x − t)r ts dt = 0 Γ(r + 1)Γ(s + 1) r+s+1 x , Γ(r + s + 2) r, s > −1 (1.22) Γ(n) x2n = Γ(n) 0 Dx−n xn (n + 1) (2n) (1.23) Thay r bởi n-1 và s bởi n thu được