Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học

Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học. Bài tập cơ học đại cương Dao động và sóng cơ học.

Trờng đại học Bách KHOA -ể ( ễ - tập học đại cơng (Mécanique générale) học đại cơng dao động sóng dùng cho sinh viên chơng trình đào tạo kỹ s chất lợng cao (LƯU HàNH NộI Bộ) − Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng PHÁƯN I : BI TÁÛP CÅ HC VÁÛT RÀÕN Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng BI TÁÛP CHỈÅNG ÄN TÁÛP : @ Ạp dủng (Trang 11) : Chuøn âäüng ca ngỉåìi chåi x treo: Mäüt x treo ABCD thỉûc hióỷn caùcc dao õọỹng hỗnh sin = sin ω t Ngỉåìi chåi x treo tỉång tỉû nhæ mäüt eθ ⊗ O D A z TMP, quay xung quanh BC våïi váûn täúc gọc ez tỉång âäúi ω khäng âäøi so våïi xaì treo Vaìo thåìi âiãøm er ban âáưu, ngỉåìi chåi x treo åí tỉ thãú thàóng âỉïng, âáưu T θ hỉåïng lãn trãn T ωt θ M Xaïc âënh gia täúc hãû quy chiãúu R2 gàõn liãưn våïi x C B T treo, gia täúc Coriolis, gia täúc theo vaì gia täúc hãû M P P π quy chiãúu traïi âáút R1 tải thåìi âiãøm t = ca âiãøm P ϖ ω (chán ca ngỉåìi choi x treo) Cho biãút: OM = AB = DC = b; MP = d Bi gii : ̌ Gia täúc âiãøm P hãû quy chiãúu R2 : Hãû quy chiãúu R2 (O, er , eθ , ez ) gàõn liãön våïi âu chuyãøn âäüng quay quanh trủc cäú âënh hãû quy chiãúu trại âáút R1 Trong R2, âiãøm P quay âãöu xung quanh M våïi váûn täúc gọc ω bàịng hàịng säú : v( P) / R = ωez × MP Biãøu diãùn cå cåí (er , eθ , ez ) cuía R2, ta coï : Våïi : ⎧0 ⎪ ez = ⎨0 ⎪1 ⎩ ⇒ a ( P) / R ⎧d cos ωt ⎪ vaì : MP = ⎨d sin ωt ⎪0 ⎩ ⎛ d ( v( P ) / R ) ⎞ =⎜ ⎟ dt ⎝ ⎠/ R ⇒ v( P) / R ⎧−ω d sin ωt ⎪ = ⎨ω d cos ωt ⎪0 ⎩ ⎧−ω d cos ωt ⎪ = ⎨−ω d sin ωt ⎪0 ⎩ (Ghi chụ : + Cạc vectå nọi trãn âỉåüc biãøu diãøn cåí såí (er , eθ , ez ) eθ er v(P) / R ωt + Caïc khaïc âãø xaïc âënh v( P) / R : Trong R2, ngỉåìi chåi x treo quay âãưu quanh quanh âiãøm M nãn v( P) / R cọ giạ trë : ω.MP , cng chiãưu våïi chuøn âäüng , nàịm màût phàóng chuøn âäüng v ⎧−ω d sin ωt ⎪ v( P ) / R ⊥ MP Do âoï coï thãø viãút : v( P ) / R = ⎨ω d cos ωt ⎪0 ⎩ ⊗ ez P M θ T Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng + Cạch khạc âãø xạc âënh a ( P) / R : Do R2, ngỉåìi chåi x treo quay âãưu quanh âiãøm M våïi váûn täúc gọc ω nãn gia täúc R2 chè cọ thnh pháưn hỉåïng tám hỉåïng tỉì P vãư M, giạ trë ⎧−ω d cos ωt ⎪ bàòng ω MP , suy : a ( P) / R = −ω MP = ⎨−ω d sin ωt ) ⎪0 ⎩ ̌ Gia täúc Coriälêt cuía âiãøm P : aC ( P) = 2Ω R / R1 × v( P) / R våïi : Ω R / R = θ ez Biãøu diãùn cå såí (er , eθ , ez ) : aC ( P ) = 2θ ez × v( P ) / R ⎧−2θ 0ω d cos ωt ) ⎧2θ 0ω cos ωt (−ω d cos ωt ) ⎪ ⎪ aC ( P) = ⎨2θ 0ω cos ωt (−ω d sin ωt ) ⇒ aC ( P) = ⎨−2θ 0ω d cos ωt sin ωt ) ⎪0 ⎪0 ⎩ ⎩ ̌ Gia täúc theo cuía âiãøm P : ⎧θ 0ω ⎡ d sin ωt − θ (b + d cos ωt ) cos ωt ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ae ( P) = θ ez × OP − θ OP ⇒ ae ( P ) = ⎨θ 0ω ⎡⎣ −(b + d cos ωt ) sin ωt − θ d sin ωt cos ωt ⎤⎦ ⎪ ⎪⎩0 ⎧a ( P) / R = ω der ⎪ π thỗ : t = (chỏn P ồớ trón cao) ⇒ ⎨aC ( P ) = 2θ 0ω der Taûi t = ω ⎪ 2 ⎩ae ( P ) = −θ ω (b − d )er ̌ Gia täúc theo cuía âiãøm P hãû quy chiãúu traïi âáút R1 : a ( P) / R1 = ae ( P) + aC ( P) + a ( P) / R ⇒ a ( P ) / R1 = ω [ d + 2θ d − θ 02 (b − d )]er @Ạp dủng (Trang 16): Momen âäüng lỉåüng ca mäüt thanh: Hai cháút âiãøm A v B, giäúng nhau, khäúi lỉåüüng m, âỉåüc liãn kãút våïi bàịng mäüt chiãưu di b, khäúi lỉåüng khäng âạng kãø A chuøn âäüng trãn mäüt vng trn tám O, bạn kênh b, v AB cọ thãø dao âäüng xung quanh mäüt trủc âi qua A v vng gọc våïi màût phàóng chuøn âäüng O Tênh âäüng lỉåüng v momen âäüng lỉåüng ca hãû AB âäúi våïi âiãøm y O theo cạc gọc α , β v cạc âảo hm ca chụng A α Bi gii : B ̌ Phỉång phạp : (Dng âënh nghéa) : β Ta coï : P = ∑ mi vi ⇒ P = mv( A) + mv( B ) x i LO = ∑ OM i × mi vi ⇒ LO = OA × mv( A) + OB × mv( B) i Våïi : ⎧b cos α ⎪ OA = ⎨b sin α ⎪0 ⎩ ⎧−bα sin α ⎪ v( A) = ⎨bα cos α ⎪0 ⎩ Baìi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) ⎧b(cos α + cos β ) ⎪ OB = ⎨b(sin α + sin β ) ⎪0 ⎩ PFIEV  nàơng ⎧−b(α sin α + β sin β ) ⎪ v( B) = ⎨b(α cos α + β cos β ) ⎪0 ⎩ ⎧−mb(2α sin α + β sin β ) ⎪ Suy : P = ⎨mb(2α cos α + β cos β ) LO = mb ⎡⎣ 2α + β + (α + β ) cos(α − β ) ⎤⎦ ez ⎪0 ⎩ ̌ Phỉång phạp : Dng âënh lyï Koenig : Ta coï : P = ( ∑ mi ) v(G ) = 2mv(G ) 1 ⎧ ⎧ ⎪b(cos α + cos β ) ⎪−b(α sin α + β sin β ) ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ Våïi : OG = ⎨b(sin α + sin β ) ⇒ v(G ) = ⎨b(α cos α + β cos β ) 2 ⎪ ⎪ ⎪0 ⎪0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧−mb(2α sin α + β sin β ) ⎪ P = ⎨mb(2α cos α + β cos β ) Suy : ⎪0 ⎩ Âënh l Koenig vãư momen âäüng lỉåüng : LO = OG × mv(G ) + L*G Trong âoï : L*G = GA × mv( A) * +GB × mv(B)* M : GA = −GB Màûc khaïc, hãû quy chiãúu khäúi tám R*, AB quay quanh G nãn váûn täúc v( A)* = − v(B)* , v(B)* ⊥ GB Suy : L*G = 2GB × mv( B) * ⎧1 ⎧ ⎪− bβ sin β ⎪ b cos β ⎪ ⎪ ⎪1 ⎪1 v( B )* = ⎨ bβ cos β GB = ⎨ b sin β ⎪2 ⎪2 ⎪0 ⎪0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Suy : LO = OG × mv(G ) + 2GB × mv( B)* ⇒ LO = mb ⎡⎣ 2α + β + (α + β ) cos(α − β ) ⎤⎦ ez (Lỉu cáưn OG v v(G ) ) @ Ạp dủng (Trang 20):Thanh treo trãn hai såüi dáy Thanh AB âäöng cháút, tám G, khäúi læåüng m, âæåüc treo trãn hai såüi dáy AA’ v BB’ giäúng nhau, chiãưu di b Thanh dao âäüng màût phàóng thàóng âỉïng, cạc dáy AA’ v BB’ luän luän song song våïi Tênh âäüng nàng cuía theo âảo hm α ca gọc nghiãng α ca cạc såüi dáy tải thåìi âiãøm t cho trỉåïc Bi gii : Ạp dủng âënh l Koenig vãư âäüng nàng : EK = mv (G ) + EK* B’ A’ α G α A B Baìi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nụng Thanh AB chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn (bồới vỗ AB ln ln cọ phỉång nàịm ngang) ⇒ Trong hãû quy chiãúu khäúi tám R*, AB cäú âënh ⇒ EK* = Cng AB chuøn âäüng tënh tiãún : v(G ) = v( A) ⇒ v(G ) = v( A) = bα 1 Tọm lải : EK = mv (G ) = mb 2α 2 BI TÁÛP ẠP DỦNG TRỈÛC TIÃÚP BI GING: @ Baìi (Trang 23): Vaình troìn chuyãøn âäüng quay Mäüt vnh trn âäưng cháút tám O, khäúi lỉåüng m, bạn kênh a, quay våïi váûn täúc goïc ω khäng âäøi xung quanh truỷc cọỳ õởnh cuớa mỗnh Tờnh momen õọỹng læåüng âäúi våïi âiãøm O, momen âäüng læûc âäúi våïi âiãøm O v âäüng nàng ca vnh trn Bi gii : ̌ Momen âäüng lỉåüng ca vnh trn âäúi våïi âiãøm O : LO = ∑ OM i × mi vi ez O ϖ y Xẹt phán täú chiãưu di vnh trn nàịm tải M, vë trê xạc âënh båíi gọc θ, chàõn gọc dθ, cọ khäúi lỉåüng l dm : LO = ∫ OM × dm.v(M) er eθ i dθ O M θ x vanhtron a Trong hãû toüa âäü O(er , eθ , ez ) ta coï : ⎧a ⎪ OM = ⎨a ⎪0 ⎩ ⇒ LO = a 2ωez ⎧0 ⎪ v(M) = ⎨aω ⎪0 ⎩ ∫ ⇒ LO = ∫ dm.a 2ω.ez vanhtron dm ⇒ LO = ma 2ωez vanhtron ̌ Momen âäüng lỉûc ca vnh troìn âäúi våïi âiãøm O cäú âënh nãn : DO = dLO Do LO = ma 2ωez dt khäng âäøi ⇒ DO = ̌ Âäüng nàng ca vnh troìn : 1 (aω ) 2 2 EK = ∑ mi vi = ∫ dm.v ( M ) = ∫ dm.(aω ) = 2 i vanhtron vanhtron ∫ vanhtron dm ⇒ EK = ma 2ω 2 @ Baìi (Trang 23): Âải lỉåüng âäüng hc ca làõc: Xẹt mäüt làõc, âỉåüc treo tải mäüt âiãøm cäú âënh O gäưm mäüt OA khäúi lỉåüng khäng âạng kãø, chiãưu di R, trãn ngỉåìi ta hn vo mäüt såüi dáy õọửng chỏỳt, khọỳi C lổồỹng m, hỗnh baùn nguyóỷt baùn kênh R m OA l mäüt bạn kênh Vë trê ca O làõc âỉåüc xạc âënh bàịng gọc α giỉỵa OA våïi âỉåìng thàóng âỉïng B R hỉåïng xúng α Xạc âënh âäüng lỉåüng, momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O, momen âäüng læûc âäüng âäúi våïi âiãøm O v âäüng nàng ca làõc theo gọc α v âảo A hm ca Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Bi gii : C ̌ Âäüng lỉåüng : P = ∫ dm.v(M) B C Momen âäüng læåüng âäúi våïi âiãøm O : LO = ∫ OM × dm.v(M) B Âäüng nàng : EK = C dm.v ( M ) ∫B ̌ Xẹt mäüt phán täú chiãưu di vnh trn, chàõn gọc dθ, khäúi lỉåüng l dm, vë trê xạc âënh båíi gọc θ ⎧0 ⎪ Trong hãû ta âäü O(er , eθ , ez ) : v( M ) = ⎨ Rα = Rα eθ ⎪0 ⎩ π ⇒ P= π dθ ∫π m π Rα eθ = − mRα π ∫π (eθ dθ ) − 2 Trong hãû toüa âäü O(e1 , e2 , ez ) , ta coï : eθ = −e1 sin θ + e2 cos θ π ⇒ P= mRα π ∫π (−e sin θ + e − cos θ )dθ ⇒ P = 2mRα π e2 (Lỉu ràịng : e1 , e2 khäng phủ thüc vo θ) C Ta cọ : LO = ∫ OM × dm.v(M) B ⎧R C C ⎪ Trong hãû toüa âäü O(er , eθ , ez ) : OM = ⎨0 ⇒ LO = ∫ dm.R 2α ez = R 2α ez ∫ dm ⇒ LO = mR 2α ez B B ⎪0 ⎩ Momen âäüng læûc âäúivåïi âiãøm O cäú âënh : DO = dLO ⇒ DO = mR 2α ez dt ( ez khäng phủ thüc vo t) C C 1 Âäüng nàng : EK = ∫ dm.v ( M ) = ∫ dm( Rα ) ⇒ EK = mR 2α 2 2B 2B R e2 R O C eθ B e1 α θ M (dm) er A Baìi táûp Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng BI TÁÛP VN DUNG CAẽC KIN THặẽC Aẻ HOĩC: @ Baỡi (Trang 23): Âải lỉåüng âäüng hc ca chiãúc âu Bạnh xe hỗnh troỡn cuớa mọỹt hóỷ thọỳng õu quay coù bạn kênh R, quay xung quanh trủc nàịm ngang ca mỗnh vồùi vỏỷn tọỳc goùc khọng õọứi Nghión cổùu chiãúc âu (liãn kãút våïi bạnh xe tải âiãøm A bàịng mäüt khåïp quay l tỉåíng) v khạch trãn chiãúc âu (xem hon ton cäú âënh trãn chiãúc âu): Táûp håüp gäưm chiãúc âu v khạch cọ khäúi lỉåüng l m, cọ khäúi tám l G nàịm màût phàóng thàóng âỉïng qua A, v cạch A mäüt khong l b Xạc âënh momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O, momen âäüng lỉûc âäúi våïi âiãøm O v âäüng nàng ca hãû gäưm chiãúc âu + khạch Bi gii : Ạp dủng âënh l Koenig vãư momen âäüng lỉåüng : LO = OG × mv(G ) + L*G EK = mv (G ) + EK* z A ⊕ A b O G θ b er G O x eθ Xeït hãû quy chiãúu R(O, x, y, z) cäú âënh âäúi våïi màût âáút Khi baïnh xe quay quanh tám O, hãû AG ln ln thàóng âỉïng ⇒ Trong hãû quy chiãúu khäúi tám R* tæång æïng våïi hãû R, hãû AG cäú âënh ⇒ L*G = vaì EK* = ⇒ LO = OG × mv(G ) vaì EK = mv (G ) dOG d (OA + AG ) dOA Maì : AG = const ⇒ v(G ) = Ta coï : v(G ) = = v( A) = Rω eθ = dt dt dt ⎧ R − b cos θ ⎧0 ⎪ ⎪ v eθ = ⎨1 Trong cå såí (er , eθ , e y ) : OG = ⎨b sin θ ⎪0 ⎪0 ⎩ ⎩ ⇒ LO = OG × mv(G ) = OG × mRωeθ ⇒ LO = mRω ( R − b cos θ )ey (Khaïc saïch) 1 mv (G ) ⇒ EK = mR 2ω 2 Momen âäüng læûc âäúivåïi âiãøm O cäú âënh : dL DO = O ⇒ DO = mRbωθ sin θ ey ⇒ DO = mRbω sin θ ey (Khạc sạch) dt (Lỉu ràịng : θ = ωt ) EK = Baìi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng @ Bi 4: (Trang 23) Âải lỉåüng âäüng hc ca hãû näúi bàòng khåïp quay : Bäún OD, OE, AC v BC, khäúi lỉåüng khäng âạng kãø, âỉåüc näúi bàịng cạc khåïp quay tải O, A, B v C Âiãøm O cäú âënh Con trỉåüt C âỉåüc coi l mäüt cháút âiãøm cọ khäúi lỉåüng m, cọ thãø trỉåüt trãn trủc thàóng âỉïng (Oz) x O Cạc âáưu D v E ca OD v OE âỉåüc gàõn cạc cháút âiãøm giäúng cọ khäúi lỉåüng m Vë trê ca hãû B A âỉåüc xạc âënh bàịng gọc ϕ thay âäøi theo thåìi gian ϕ Xạc âënh âäüng læåüng, momen âäüng læåüng âäúi våïi E âiãøm O v âäüng nàng ca hãû theo âảo hm ϕ ca D gọc ϕ Cho: OA = OB = AC = BC = AD = BE = b ⊕ C z Bi gii : ̌ Âäüng lỉåüng ca hãû âäúi våïi âiãøm O : Ta coï : P = ∑ mi vi ⇒ P = mv(C ) + mv( D ) + mv( E ) hay P = 3mv(G ) (G l khäúi tám ca hãû i cháút âiãøm) 1 Ta coï : 3mOG = mOC + mOD + mOE ⇒ OG = (OC + OD + OE ) = (OC + 2OC ) ⇒ 3 OG = OC = 2b cos ϕ ez ⇒ v(G ) = −2bϕ sin ϕ ez ⇒ P = −6mbϕ sin ϕ ez ̌ Momen âäüng lỉåüng ca hãû âäúi våïi âiãøm O : LO = OC × mv(C ) + OD × mv( D) + OE × mv( E ) Do OC v v(C ) cng phỉång nãn : OC × mv(C ) = OD × mv( D ) v OE × mv( E ) cng giạ trë v ngỉåüc chiãưu nãn täøng bàịng ⇒ LO = (khạc sạch) ̌ Âäüng nàng ca hãû : 1 EK = mv (C ) + mv ( D ) + mv ( E ) 2 2 2 våïi : v ( D) = v ( E ) = (2bϕ ) = 4b 2ϕ vaì v (C ) = (2bϕ sin ϕ ) ⇒ EK = 2mb 2ϕ (2 + sin ϕ ) @ Baìi (Trang 23): Âải lỉåüng âäüng hc ca cháút âiãøm: Mäüt AB, khäúi lỉåüng khäng âạng kãø, chiãưu di 4a, âỉåüc treo åí âiãøm giỉỵa O ca Tải A v B, AB âỉåüc näúi bàịng khåïp quay F våïi cạc CD v EF, khäúi lỉåüng B khäng âạng kãø, chiãưu di 2a (A nàịm giỉỵa CD v D 2a O B nàịm giỉỵa ) Cạc âáưu C, D, E, F mang cháút y A diãøm giäúng cọ khäúi lỉåüng m z ϕ β E a Tênh momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O v âäüng αC nàng ca hãû theo cạc gọc ϕ, α , β v cạc âảo x hm ca chụng ⊕ Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Bi gii : Cạch : Tênh trỉûc tiãúp : Ta cọ : LO = OC × mv(C ) + OD × mv( D) + OE × mv( E ) + OF × mv( F ) ⎧a (2 cos ϕ + cos α ) ⎧a(2 cos ϕ − cos α ) ⎧a(−2 cos ϕ + cos β ) ⎪ ⎪ ⎪ OD = ⎨a(2sin ϕ − sin α ) OE = ⎨a(−2sin ϕ + sin β ) OC = ⎨a (2sin ϕ + sin α ) ⎪0 ⎪0 ⎪0 ⎩ ⎩ ⎩ ⎧a(−2 cos ϕ − cos β ) ⎧a (−2ϕ sin ϕ − α sin α ) ⎪ ⎪ v(C ) = ⎨a (2ϕ sin ϕ + α cos α ) OF = ⎨a(−2sin ϕ − sin β ) ⇒ ⎪0 ⎪0 ⎩ ⎩ ⎧a(2ϕ sin ϕ + β cos β ) ⎪ v( D) = ⎨a(−2ϕ cos ϕ − β cos β ) ⇒ LO = 2ma (8ϕ + α + β )ez ⎪0 ⎩ 1 1 Ta coï : EK = mv (C ) + mv ( D ) + mv ( E ) + mv ( F ) ⇒ EK = ma (8ϕ + α + β ) 2 2 Caïch : Ạp dủng âënh l Koenig : Ta cọ : LO = OA × 2mv( A) + L*A (CD) + OB × 2mv( B) + L*B ( EF ) Våïi : OA × 2mv( A) = 2a.2m.2a.ϕ ez = 8a mϕ ez OB × 2mv( B ) = 2a.2m.2a.ϕ ez = 8a mϕ ez L*A (CD ) = AC × mv(C ) * + AD × mv( D )* = AC × mv(C ) * ⇒ L*A (CD ) = 2amaα ez = 2a mα ez Tæång tæû : L*B ( EF ) = 2a mβ ez LO = 2ma (8ϕ + α + β )ez 1 1 Ta coï : EK = mv (G ) + EK* ⇒ EK = (2m)v ( A) + mv (C ) * + mv ( D ) * 2 2 1 + (2m)v ( B ) + mv ( E ) * + mv ( F ) * 2 2 2 2 2 ⇒ EK = 2m(2aϕ ) + m(aα ) + m(aβ ) ⇒ EK = ma (8ϕ + α + β ) ⇒ 10 Baìi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) − ω0 PFIEV  nàơng t Suy : u (t ) = e 2Q ( A cos ω1t + B sin ω1t ) Điều kiện ban đầu : + Tại t = th× ψ = ψ ;ψ = ⇒ u = ψ1 + ψ2 = ψ0 ThÕ mµ : u (t = 0) = A ⇒ A = ψ dψ dψ du dψ d + Tại t = = =0 ⇒ = + =0 dt dt dt dt dt ω ω − 0t ω0 − 2Q0 t du 2Q ThÕ mµ : =− e ( A cos ω1t + B sin ω1t ) + e ( −ω1 A sin ω1t + ω1 B cos ω1t ) dt 2Q ω du ω ω A ω ψ = − A + ω1 B ⇒ − A + ω1 B = ⇒ B = ⇒ ⇒ B= 0 2Q 2Q dt t =0 2Q ω1 2Q ω1 ω0 ⎛ ω0 sin ω1t ⎞ ⎜ψ cos ω1t + 2Q ĩ Phơng trình (3) đợc giải nh sau : Tóm lại : u (t ) = e − 2Q t Suy : r1,2 = − − ω0 ω0 ⎛ω ⎞ ⎛ Phơng trình đặc trng : r + r + 6ω = ⇒ ∆ = ⎜ ⎟ − 24ω02 = 4ω02 ⎜ − ⎟ < Q Q ⎝Q⎠ ⎝ 4Q ⎠ > 2 ω0 ⎛ ⎞ ± jω2 víi : ω2 = ω0 ⎜ − ⎟ 4Q ⎠ 2Q ⎝ t ⇒ v(t ) = e ( C cos ω2t + D sin ω2t ) §iỊu kiƯn ban đầu : + Tại t = = ψ ;ψ = ⇒ v = - = Tơng tự nh : C = ψ dψ dψ du d d + Tại t = = =0 ⇒ = − =0 dt dt dt dt dt ω ω − 0t dv ω0 − 2Q0 t 2Q ThÕ mµ : =− e ( C cos ω2t + D sin ω2t ) + e ( −ω2C sin ω2t + ω2 D cos ω2t ) dt 2Q ⇒ 2Q ω dv ω ω C ω ψ = − C + ω2 D ⇒ − C + Dω2 = ⇒ D = ⇒ D= 0 dt t =0 2Q 2Q 2Q ω2 2Q ω2 Suy : v(t ) = e Tãm l¹i : − ω0 2Q t ⎛ ω0 sin ω2t ⎞ ⎜ψ cos ω2t +ψ ⎟ 2Q ω2 ⎠ ⎝ ψ0 ⎡ ω0 ψ0 ⎡ ω0 ω0 ⎛ sin ω1t sin ω2t ⎞ ⎤ − 2Q t ψ (t ) = + ⎢cos ω1t + cos ω2t + ⎜ ⎟⎥ e ω2 ⎠ ⎦ ⎣ 2Q ⎝ ω1 ω0 ⎛ sin ω1t sin ω2t ⎞ ⎤ − 2Q t cos cos − + − t t ψ (t ) = ω ω ⎢ ⎜ ⎟⎥ e 2 ⎣ 2Q ⎝ ω1 ω2 ⎠ ⎦ C©u : Đồ thị biểu diển 1(t) 2(t) ứng víi ψ0 = 1mm, ω0 = 1rad/s, Q = 10 cho hình vẽ Biên độ suy giảm dới dạng hàm mũ Cơ hệ dao động tử giảm xuống biến thành nhiệt 62 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV aỡ nụng @ Bài (Trang 29): Ma sát chuyển động cỡng hình sin hai dao động tử liên kết: Làm thêm : Nghiên cứu chuyển động hai dao động tử liên kết (hình vẽ) chế độ cỡng hình sin Chế độ độ xảy khoảng thời gian định nghiên cứu chế độ dao động cỡng ổn định (Ghi : Trong chế độ ®é, cã sù chång chÊt cña dao ®éng tù dao động cỡng bức; sau khoảng thời gian nói trên, dao động tự đi, lại thành phần biểu diễn dao động cỡng bức) Hệ đợc kích thích cách áp đặt dịch chuyển: (t ) = cos t vào đầu lò xo thứ M K Q = (Q đợc gọi hệ số phẩm chất); fi = .vi lực ma sát nhớt M tác dụng lên vật thứ i, đó: vi vận tốc cña vËt thø i Gäi: ω 02 = 4K K 4K x 1) Thiết lập phơng trình chuyển động hệ 2) Biểu diễn dới dạng phức biên độ ψ 10 , ψ 20 cđa dÞch chun cđa hai vật 3) Vẽ đồ thị biễu diễn biến thiên mođun 10 20 biên độ dao động 0 , tr−êng hỵp Q = 1; Q= 2; Q = 10 HÃy bình luận đồ thị thu đợc giá trị khác Q (Ghi : Sử dụng phần mềm MAPLE để giải câu 2) câu 3)) hai vật theo X = Bài giải : Câu : Phơng trình chuyển động cđa hƯ : ⎧ Mψ = −4 K (ψ − ε ) + K (ψ −ψ ) − λψ (1) ⇒ ⎨ M K K ψ ψ ψ ψ λψ = − − − − ( ) ⎩ 2 2 Trong ®ã : ω 02 = 5K K 4K λ ⎧ ⎪⎪ψ = − M ψ + M ψ − M ψ − M ε ⎨ ⎪ψ = − 5K ψ + K ψ − λ ψ 2 ⎪⎩ M M M M ω0 K vµ Q = λ M 63 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) Suy : ω0 ⎧ 2 ⎪ψ = −5ω0ψ + ω0ψ − Q ψ − 4ω0 ε ⎪ ⇒ ⎨ ω 2 ⎪ψ = −5ω ψ + ω ψ − ψ 2 ⎪⎩ Q PFIEV  nàơng ω0 ⎧ 2 ⎪ψ + Q ψ + 5ω0ψ − ω0ψ = −4ω0 ε ⎪ ⎨ ⎪ψ + ω0 ψ + 5ω 2ψ − ω 2ψ = 0 ⎪⎩ Q (2) C©u : Nghiệm riêng phơng trình (2) biểu diễn dao động cỡng có dạng : (t ) = ψ 10 cos(ωt + ϕ1 ) ⎨ ⎩ψ (t ) = ψ 20 cos(ωt + ϕ1 ) BiĨu diĨn d−íi d¹ng phøc : ε (t ) = ε eiωt ; ψ (t ) = ψ 10 eiωt víi ψ 10 = ψ 10eiϕ1 ;ψ (t ) = ψ 20 eiωt víi ψ 20 = 20 ei2 Trong : 10 20 biên độ phức dịch chuyển hai vËt Ta cã : ψ = ψ 10iωeiωt ; ψ = ψ 10 (iω )2 eiωt = −ω 2ψ 10eiωt T−¬ng tù : ψ = ψ 20iωeiωt ; ψ = ψ 20 (iω )2 eiωt = −ω 2ψ 20 eiωt Thay vµo (2), suy hƯ phơng trình vi phân mô tả dịch chuyển (t );ψ (t ) cña hai vËt : ⎧⎛ iωω0 ⎞ + 5ω02 ⎟ψ 10 − ω02ψ 20 = 4ω02ε ⎪⎜ −ω + Q ⎪⎝ ⎠ (3) ⎨ ⎛ ⎞ ωω i ⎪ −ω 2ψ + −ω + + 5ω02 ⎟ψ 20 = 10 ⎜ ⎪ Q ⎝ ⎠ ⎩ Sư dơng phÇn mềm Maple để giải hệ phơng trình (3), suy ra: ⎧ ⎛ iωω0 ω ⎞ + − 2⎟ ⎪ ⎜ ω0 ⎠ Q ⎝ ⎪ψ = 4ε 10 ⎪ ω3 ω4 ⎞ iω ω ⎛ − ⎜10 + ⎟ − 2i + 24 + 10 ⎪ Qω0 ω0 ⎝ Q ⎠ Qω03 ω04 ⎨ ⎪ ⎪ψ 20 = 4ε ⎪ iωω0 ω ⎛ ⎞ ω3 ω4 + − + − + 24 10 10 i ⎪ ω02 ⎜⎝ Q Q ⎟⎠ Qω03 ω04 ⎩ C©u : Sử dụng Maple để vẽ đồ thị biểu diễn biến thiên mođun 10 20 ; biên độ 0 ứng với Q =1, Q =2 Q =10 (Hình vẽ) Chúng ta nhËn thÊy r»ng : ω0 ̇ Khi Q lín (Q =10) hay ma sát nhớt nhỏ tồn biên độ cộng hởng lớn ứng với X = vµ X = 2,45 Khi Q → ∞ biên độ cộng hởng nói ứng với ω1 = 2ω0 vµ ω2 = 6ω0 Xung quanh vùng cộng hởng, mát lợng ma sát nhớt lớn, vùng cộng hởng vùng hấp thụ lợng Khi Q nhỏ hay ma sát nhớt tơng đối lớn nhận thấy biên độ cộng hởng nhng tơng đối nhỏ phân biệt hai biên độ không rõ nét Khi Q bé cộng hởng xảy dao động theo X = 64 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng 65 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Bài tập chơng : dây rung - phơng trình đalămbe @ áp dụng 1: D©y Melde (Trang 48) Trong thÝ nghiƯm vỊ d©y Melde, rung thực dao động hình sin có biên độ a: (0,t) = acost Sợi dây có chiều dài L, đầu cố định âm thoa T Lức căng sợi dây T0 ( c = ) A 1) Xác định dịch chuyển (x,t) điểm M dây, thời điểm t L 2) Giải thích bình luận tợng cộng hởng Xác định giá trị tần số cộng hởng Bài giải : Câu : Nghiệm sóng dừng hình sin có dạng : ω T ψ ( x, t ) = ψ cos(kx + ϕ F ) cos(ωt + ϕG ) víi k = vµ c = c µ ⎧ψ (0, t ) = a cos t Điều kiện biên : ⎨ ⎩ψ ( L, t ) = B ⎧ψ (0, t ) = ψ cos ϕ F cos(ωt + ϕG ) = a cos ωt (1) Suy : ⎨ ⎩ψ ( L, t ) = ψ cos(kL + ϕ F ) cos(ωt + ϕG ) = (2) a Tõ (1) : ψ cos ϕ F = a ⇒ cos ϕ F = (3) vµ : ϕG = ψ0 Tõ (2) : ψ cos(kL + ϕ F ) cos ωt = ⇒ cos(kL + ϕ F ) = (4) π (Ghi : giá trị cos t ωt = + kπ nh−ng v× xÐt víi t nên phải có cos t ) π π Tõ (4) : kL + ϕ F = ⇒ ϕ F = − kL 2 a a a ψ0 = Tõ (3) : ⇒ ⇒ ψ0 = = sin kL cos ϕ F ⎛π ⎞ cos ⎜ − kL ⎟ ⎝2 ⎠ a π ψ ( x, t ) = cos(kx + − kL) cos ωt sin kL a sin[k ( L − x)]cos ωt Tãm l¹i : ψ ( x, t ) = (5) sin kL (Ghi chó : NÕu mÉu sè sinkL = 0, ta có trờng hợp cộng hởng) Câu : n hay kn L = n với n nguyên sin kn L = ⇒ ψ(x,t) trªn ̇ Ta thÊy r»ng, k = kn = L lý thuyÕt vô dây bị cộng hởng Thực tế, tắt chấn tránh khỏi, đồng thời độ cứng dây (mà ta bỏ qua thiết lập phơng trình truyền sóng Đalămbe), không bỏ qua có cộng hởng biên độ dịch chuyển dây giới nội (Khi cộng hởng, a bé so với biên độ bụng dao động đầu dây gắn với rung coi nh nút dao động) 66 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) Ta có, tần số dao động riêng dây : ωn = kn c víi kn = ⇒ C¸c tÇn sè céng h−ëng: ν n = ωn nc = 2π L PFIEV  nàơng nπ nπ c ⇒ ωn = L L Tõ (5) suy chu kú theo kh«ng gian λn cđa ψ(x,t) (b−íc sãng λn) : n = Khi dây bị cộng hởng k = kn = 2π kn n nπ 2L ⇒ λn = ⇒ L = λn L n c λ ; L= 2L λ 2c Víi n = ⇒ ν = ; L=2 2L 3c λ3 ; L=3 Víi n = ⇒ ν = 2L Víi n = ⇒ ν = @ áp dụng 2: Nghiên cứu dạng dao động riêng sợi dây (Trang 52) Khi thí nghiệm với dây Melde, ngời ta nhận thấy kết sau : 1) Với chiều dài L sợi dây với khối lợng M mắc vào nó, ngời ta thu đợc kết sau: Tần số cộng hởng 19 Hz cã hai bã sãng ̇ TÇn sè céng h−ëng 28 Hz có ba bó sóng a) Các giá trị số nói tơng thích hay không ? b) Các tần số cộng hởng ? 2) Chiều dài sợi dây L = 117cm Vận tốc truyền sóng dao động dây ? 3) Khối lợng M mắc vào dây M = 25g a) Sức căng sợi dây ? b) Rút cỡ độ lớn khối lợng đơn vị chiều dài sợi dây Bài giải : Câu : a) Trên dây Melde, thí nghiệm nhận thấy : - với tần số cộng hởng 19Hz có hai bó sóng Tần số riêng dây : = 19Hz , chiều dài dây L = 2 - víi tÇn sè céng hởng 28Hz có ba bó sóng Tần số riêng dây : = 28Hz , chiều dài dây L = 3 28 19 Với kết trên, ta cã : = ≈ 9,5 ; = ≈ 9,3 tøc lµ : ≈ 3 2 3 67 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Các giá trị số nói tơng thích với theo lý thuyÕt ®· häc, ta cã : ν ν ν ν n = nν hay : n = ν tøc lµ : = = = ν n 2 ν ν Nh− vËy : ν = = ≈ 9, Hz b) Các tần số cộng hởng kế tiÕp : ν = 4ν = 4.9, = 37, 6Hz ; ν n = nν = 9, 4.n Câu : ĩ Chiều dài dây : L = 117cm Lν n c ⇒ VËn tèc truyền sóng dây : c = Mà : n = n = 2.117.9, ≈ 2200cm / s ⇒ n 2L c = 22m / s (Ghi chó : Cã thĨ tÝnh theo c¸ch kh¸c nh− sau : λ Ta cã : L = n n ⇒ λn = n L ⇒ λ0 = 1.2.1,17m ⇒ λ0 = 2,34m Mặt khác : c = 0 = λnν n ⇒ c = λ0ν = λnν n = 2,34.9, ⇒ c = 22m / s C©u : a) Sức căng dây : T0 = Mg Víi : M = 25g ⇒ T0 = 25.10-3.10N ⇒ T0 = 0,25N T b) VËn tèc truyÒn sãng c b»ng : c = ⇒ Khèi l−ỵng mét đơn vị chiều dài T 0, 25 dây : µ = 02 = ⇒ µ ≈ 5, 2.10−4 Kgm −1 = 0,52 g / m (víi ®é chÝnh xác phép đo tần c (22) số) @ Bài 2, trang 57, ảnh huởng độ cứng sợi dây đến tần số dao động : Một sợi dây, khối lợng đơn vị chiều dài à, y chiều dài L, đợc cố định hai đầu, chịu lực căng dây T0, dao động dạng dao động riêng thứ n theo quy luật: x với n số nguyên ( x, t ) = A cos ω n t sin n L dx Với tần số cao, phải kể đến ảnh hởng độ cứng dây Trong biểu thức cân lực tác dụng lên phân tố dây có chiều dài dx, cần đa thêm lùc bỉ sung dR cã xu h−íng chèng l¹i sù uốn cong dây Hình chiếu lực lên trục (Oy) đợc viết thành : dRy = dx O x x Trong số phụ thuộc vào vật liệu sợi dây 1) HÃy tính tỉ số mođun dRy mođun thành phần trục (Oy) hợp lực căng dây tác dụng lên phân tố dây có chiều dài dx 2) áp dụng hệ thức động lực học cho phân tố dây có chiều dài dx T Từ suy tần số dao động n sợi dây theo c = , L, n 3) Tính độ hiệu chỉnh tơng đối tần số gắn với dạng dao động riêng n, xuất kể đến ảnh hởng độ cứng dây (giả sử