Microsoft Word Document3
Trang 1§5 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Phương pháp: Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dung hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số
Bài toán 1 Trong không gian cho n digin Ay, Agro 1) Tim M sao cho P=0,MAj +0,MA} + +.0,MAz 3) Nhỏ nhất khi 0, +02 + + dạ >Ù b) Lớn nhất khi 0, +04 + +0,, <0 2) Tim M sao cho loyMA+ +o„MA; + + oy MA, | nhỏ nhất hoặc lớn nhất „trong đó 3°, +0 a Phương pháp giải: Gợi 1 là điểm thỏa mãn: o¡ÏA; + ø„ÏÁ; + điểm I ton tai và duy nhất nếu 3ø, #0 Khi a đó Ta a -
1) P=, (Mi+iA,) +0,(Mi+iA;) + +0,(iMi+IA,
= (0,405 + +ay JIM? + Son 1A? ° a Do 301A? không đổi rên: et # NEU 04 +09 + +0,,>0 thi P nhé nhat <> MI nbé nhat + Nếu œ +2 + +ạ, <0 thi P lớn nhất MI nhỏ nhất 2) #=|(Mi+A,)xe; (MI+TA,)+ +, (Mix A, [5204] mt IK Do đó P nhỏ nhất hoặc lớn nhất MI nhỏ nhất hoặc lớn nhất Chú ý:
« Nếu M thuộc đường thẳng A (hoặc mặt phẳng (P)) thì MỊI lớn nhất khi và chỉ khí M là hình chiếu của Liên A (hoặc (P))
« Nếu M thuộc mặt cầu (S) và đường thẳng đi qua I và tâm của (S), cắt (S) tại hai điểm A,B (IA >IB)
thi MI nbd nhất (lớn nhất) c M = B (M= A )
Bài tốn 2 Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(x„; y„; Z„,),B(xp; ÿg; Zg) và mặt phẳng (P): ax+ by +ez+d =0 Tìm điểm Me (P) sao cho 1) MA+MB nhỏ nhất 2) |MA - MB| lớn nhất với d(A, (P))z d(B, (P)) Thương pháp: «+ Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P)
+ Nếu (axa +DyA +cZa +đ)(axg + by +czp +d) >0 thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P) + Nếu (ax, + by, +cz„ +đ)(@xp + byp +czp +) <0 thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng ()
1) MA +MB nhỏ nhất
« Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P)
Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA + MB nhỏ nhất bằng AB, khi và chỉ khi M=(Œ)aAB
Trang 2Nguyễn Tất Thu Goi A' đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A' và B ở khác phía (P) và MA = MA' nên MA+MB=MA'+MB>A' Vậy MA+MB nhỏ nhất bằng A'B khí M= A'B(P) 2) MA ME| lớn nat
« Trường lợp 1: Hai điểm A,B ở cùng phía so với mặt phẳng (P)
Vì A,B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên |MA-MB| lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi
M=(Œ)^AB
« Trường hợp 2: Hai điểm A,B ở khác phía so voi mat phẳng (P)
Goi A' đối xứng với A qua mặt phẳng (P),khi đó A' và B ở cùng phía (P) và
MA=MA' nên |MA - MB|=|MA'- ME|< A'®
Vây |MA -MB| lớn nhất bằng A'B khi M= A'Be(P)
Bài toán 3 lập phương trình mặt phẳng (P) biết 1) (P) đi qua đường thẳng A và khoảng cách tử A # A đi 2) (P) đi qua A và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất 3) (P) đi qua A và tao với đường thẳng đ một góc lớn nhất
Thương pháp:
Cách 1: Dùng phương pháp đại số
(P) lớn nhất
1) GẢ sử đường thẳng A;ŠX—XL~Ÿ a >’ H1 _ŠT—ễ1 và AGo;ya;zg) € Khi đó phương trình (P) có dang: A(x—x)+ Bly—y,)+C(z-z,)=0
bB+cC
Trong đó Aa+ Bb+Cc =0 =A= (a#0)(1) |A(xạ ~x;)+ B(yạ —yạ)+ C(zg —
ras (hp AO Re WO |
Va? +B? +C'
2 ta được d(A,(P))=
Thay (1) vào (2) và dat
Trong đó f(t)=_ HC £RE†P_ tháo sắt hàm f(t) ta tìm được maxf(t), Tử đó suy ra được sự biểu điển, mt2+nt+p
của A,B qua C rồicho C giá trí
2) và 3) làm tương tự
Cách 2: Dùng hình hoc
1) Goi K,H lần lượt là hình chiếu của A lên A và (P), khi đó ta có:
d(A,(P))=AH<AK, mà AK không đổi Do đó d(A,(P)) lớn nhất > H=K
Hay (P) là mắt phẳng đi qua K,nhân AK lam VTPT
ti ta tìm được A,B
2) Nếu AL(Q)=(()/(9)
© Goi B là một điểm rào đó thuộc A, dựng đường thẳng qua B và vuông góc với (Q) lấy điểm C cố
=90” nên ta xét A và (Q) không vuông góc với nhau
định trên đường thẳng đó Hạ CH L (P),CK Ld Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là BCH Ta
Mà & khong đối nên BCH nhỏ nhất khi He K
« Mặt phẳng (P) cần ầm là mặt phẳng chứa A và vuông góc với mặt phẳng (BCK) Suy ra
Trang 33) Goi M là một điểm rào đó thuộc A, dựng đường thẳng d' qua M và song song wi d Lay diém A cố định trên đường thẳng đó Hạ AH L(P), AK Ld Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d' là
ẢMH Ta có cóc AMH - EM „ KH,
AM AM
Mà ¬ không đối, nên AMH lớn nhất khi H=K
« Mặt phẳng (P) cần tim là mặt phẳng chứa A và vuông góc với mặt phẳng (đ',A) Suy ra %g=[5a|saua |] làVTEreia (P) Ví đụ 3.5.1 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(11;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) x-1_y _z+1 1) Tim toa đô điểm M thuộc đường thẳng A sao cho P=2MA2+3MBÊ ~4MC đạt giá trị nhỏ nhất 2) Tim toa đô điểm M thuộc mặt phẳng (ø):2x~ ÿ +2Z+7= )MA+5MB~7MC| đạt giá trị nhỏ nhất sao cho 3) Tim toa đô điểm M thuộc mặt cầu (S):(x~ L” +y +(z+ 1)” =861 sao cho P=2MA?~7MB” +4MC? đạt giá trị nhỏ nhất, Tời giải 1) Gọi D@cy;z) là điểm thỏa 2DA +3DB-—4DC
©2DA+3(DA + AB)~4(DA + AC)=0 DA =4AC-3AB (1) Mà DA=(1—x;1~y;1~z), AC=(2;~2;1), AB=(-2;1;-1) 1~x=42-~3.(-2) 13 Nên (1) ©‡1-y=4(-2)-3.1©‡y=12 =D(_-13,12;~) 1~z=41~3.(-1) + Khi do: P=2(MD+DA) +3(MD+DB) -4(MD+Dc) = MD? +2MD(2DA +3DB-4DC)+2AD? +3BD? -4DC? =MD* +2AD* +3BD* -4DC*
Do 2AD? +3BD?-4DC? Khong déi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi MD nhỏ nhất, Mà M thuộc A nên MD nhỏ nhất khi và chỉ khi Mà hình chiếu của D lên A Ta có: M(L+2t;t;~1—t) = DM =(2t+14;t— 12;~t+ 5) Vì DM.LA nên DMu¿ =0 ©2(2t+14)+ (t~12)— (—t+ 5)= 0 1 8 115 =eshiroer T=u-S 2) 2) Gọi Fox:y;2) là điểm thỏa điều kien, 3FA+5FB-7FC-0 oO Terday ta tim duce F-23,20;-11)
b(ME+EA )+5(ME+ FB)-7(ME+ FC||- MF Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi Ma hinh chiếu của Flén (a)
=3CA+5CB
Trang 4-23+2t Suy ra phương tình MF:}y=20-t = M(-23+2t;20-t)-11+2t) -H+2t Mà Me (9) nên ta có: 2(2L~23)~(20~t)+2(2t~11)+7 =0 t=9 Vậy M(-5;11;7) là điểm cần tìm
3) Goi K là điểm thỏa mãn 2KA —7KB+4KC Kni do: MK? + 2KA? -7KB? + 4KC?
Suy ra P nhỏ nhất khi và chỉ khi ME lớn nhất Mặt cầu (S) có tâm 10;0;~1), suy ra Ki = (22;-16;-11) x=1+22t Phương trình KH: 4y =~16t -1-1t „ suy ra K(-21;16;10) Thay phương trình của KĨ vào phương trình (S)ta có: (22t +(—16t)? +(—11Ð)? =861©t=#+1
Suy ra KĨ cắt (S) tại hai điểm I(23;-16;~12), K; =(-21;16;10) Vì KK, >KK; nên MK lớn nhất khi và chỉ khi M=K
Vậy M(23;~16;~12) là điểm cần tim
'Ví dụ 3.5.2 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (œ):2x~ y +2z~8=0 và ba điểm A(1:1:-1), BC3;5;5), C(7;-44) Tim toa đô điểm M thuộc (0) sao cho:
1) MA+MB nhỏ nhất 2) |MA-MC| lớn nhất
Lai giải
Với Mix;y,z),ta đất f(M)=2x~ y+2z~3
Ta có f(A)f(B) >0, f(A)f(C) <0 nên A, Bở về cùng một phía so với (0), còn A va C nằm vẽ hai phía so với (ø) 1) Goi A’ 1a điểm đối xứng với A qua (0), +2t it 1+2t Ta có phương trình AA' là Toa dé giao điểm Icủa AA’ và (o) là nghiêm của hê x=1+2t y=1-t lz=~-1+2t 2x-y+2z-8=0
Vì Llà trung điểm của AA' nên A'(5;-1;3) và A', B nằm khác phía so với (0) Khi đó với mọi điểm M thuộc (g), ta luôn có:
Trang 5Vậy M(;2;4) là điểm cân tìm,
2) Ta có À', C nằm vẽ khác phía so với (0) Khi đó với mọi điểm M thuộc (0), ta có,
|MA- MC|=|MA— MC|<A'C Đẳng thức xảy ra khi M= A'C (a) 'Toa độ của M là nghiêm của hệ z 2x-y+2z~8=0 Vay M(3;2;2) là điểm cân tìm,
Vi dy 353 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng a: = z ah và ba điểm
A(3;2;~1), B(-3;~2;3), C(5;4;~7) Tìm toa đô điểm M nằm trên A sao cho: MA + MB nhỏ nhất Tời giải Ta có MeA nên M(1+t;2t;~1~t), suy ra AM=(t~2;2t~2;~t), AM= 6t? ~12t+8 BM=(t+4/2t+2;~t—~ 4), BM = 6t? + 24t + 36 CM=(t~42t~4~t+6), CM = vót” ~ 36t +68 Ta có MA+MB= “ng l6(t+2J” +12 “| la-tẺ + +ylt+27 3] Ae +a? 2 are? + (beady? Sử dụng bất đẳng thie ya? +b" Ho tiếc và b Đẳng thị ang thức xây ra khí => khi 2-2 Ta có lạ~tP+3+ Ít+2P+2>(Í(I-t+2+ Suy ra MA+ MB22y34y3 +62 Đẳng thức xy rahi 22 1 op S6=2_ 8-306 t+2 Ye veel 5 Ve, 16-66, -13+3V6 1 Hay v( =, mat phẳng (a):x-2y+2z-5=0 va hai điểm M(;2;1), N(-1;0;2)
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và cách O một khoảng lớn nhất
2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A và tạo với () một góc nhỏ nhất
I 3) Viết phương trình mặt phẳng (B) đi qua M, N và tạo với A một góc lớn nhất | Vi du 3.5.4 Trong khong gian cho đường thẳng A:
Tời giải
Trang 61) Cách 1: Giải bằng phương pháp đại số
Vì (P) chứa A nên phương trình của (P) có đang: a(x~1)+b(y~1)+cz=0 với a2 + |b+2| Bbc + 5c? 2 >0 va a+2b+2c=0 wnias a(0,(ry-_P 221 6 d(0,(P)) = Var eb rec? 5b" Néu c=0 taco d(0,(P)) 3
Nếu c+0, ta có: đ(O,(P))~, [ĐÔ 4b các) tae 5b2+8be+5c" Vor +eteS € Pa ated 5 sates’ Wiot? -30t-12 GẺ+8t+BÏ 7 Do 1c2)=9,:|-3) Suy ra d(O,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi Xét hàm số f(t) = f= f(0=0©t Ta chọn b=1, c=-2=a=2 Vậy phương trình (P):2+ y~2z~3=0 Cách 2: Giải bằng phương pháp hình học Goi K là hình chiếu của O lên A„ suy ra K(1+t;1+2t;2t), OE=(1+t;1+2t,2t) 1 Vì OK.LA nên OKu,=0c1+t+2(1+2t)+2.2t=0 t= Suy ra tỆ: a 3), oR 33 Goi Hà hình chiếu của O lên (P), ta có: đ(O,(P) Đẳng thức xảy ra khi H Do đó (P) cách O một khoảng lớn nhất khí và chỉ khí (P) đi qua và vuông góc với OK Từ đó ta suy ra phương trình của (P)là 2x+y~2z~3=0 2) Cách 1: Giải bằng phương pháp đại số
Vì (Q) chứa A nên phương trình của (Q) có đang:
Trang 7Do đó, g nhỏ nhất khi Vậy phương trình (Q):2x~ 5y +4z+3 =0 Cách 2: Giải bằng phương pháp hình học Goi đ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (ơ) det ~2t,lấy C(2;~1;2)e d, Cz A z=2t Ta có phương trinh d
Gi H,K lần lượt là hình chiếu của C lên (Q) và A, khí đó 9 = BCH va sing =sin ACH = “Hs AK AC CÁC nến suy ra g nbd mbit Mà on không để K hay (o) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ACK), Mặt phẳng (ACE) đi qua A và vuông góc với (ø) rên tị =[nạ 1 ]= (-8;0;4) là VTPT của (ACK) Do (Q) di qua a và vuông góc với (ACE) nên Xu] Vậy phương trình (Q):2x~ 5y +.4z+3=0
3) Cách 1: Giải bằng phương pháp đại số
Vi (B) đi qua M nên phương trảnh (8) có đang:
-42;~5,4)
(-8;20;-16)
a(x~1)+ b(y~2)+e(z~1)=0 với a? +bŸ +c >0
Ne (a) nên suy ra -2a-2b+e Goi ọ là góc giữa A và (B),ta có
Cc=2a+2b
35a” + 8ab + 5I
Néu b=0, taco sing
Whe Gitaed sing=2 25a? + 60ab +366? _ 1 [25t? +60t+36 5a
+8ab+5b SY St? +8t+5 25t” + 60t + 36, ~100t? — 110t + 12
Trang 8Suy ra f'()=0 st= 1 đt f00=5, (3) Ta có ø lớn nhất sing lonnhat f(t) lonnhat =g Hay 2-21 b 10 ta chen a =1, b=10, c=22 Phương trình (8):x+ 10y +22z+ 41=0 Cách 2: Giải bằng phương pháp hình học Goi đ là đường thẳng đi qua M, song song với A Ta có: NM =(2;2;~1) x=1+2t Suy ra phương trình đ :‡y =2+2t, teTR, Trên đ ta lấy điểm B(3;40) z=1~t
GGi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên (8) va MN,,khi do ((o),A)= BMH
Taco: cos BMH = MBS ME mà MÉ thông đổi nên BMH lớn nhất MB MB "` MB Hay (Ệ) là mặt phẳng đi qua MNN và vuông góc với mặt phẳng (4)= (MN,3)
NM aug = (6;-5;2) Suyra ng = NMang K Vay phuong trinh (B):x-+10y +2224 41=0 Bài tậ
Bài 3.5.1 Trong không gian cho ba điểm A(2;3), B(-1;0;~3), C(2;~3;~1) 1) Tim M thuộc mặt phẳng (o):2«+ y~2z~1=0 sao cho biểu thức sau nhỏ nhất S=3MA? + 4MB? ~6MC?, x-1 y+1 z-1 2) Tim M thuộc đường thẳng A sao cho biết: thức sau lớn nhất: [A~7MB+5MC|
3) Tìm M thuộc mặt cầu (S):(x~2)” + (y~2)” +(z~8)
F=MA?-4MB? +2MC? 6 sao cho biểu thức
Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 3.5.2 Trong không gian Oxyz cho mắt phẳng (P):2x~y +2z~6 =0 và hai điểm A(5;~2;6), B(3;~2;1) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho:
1) MA +MB nhỏ nhất 2) [MA - MB| lon nhat
Bài 3.5.3 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng A ĩ
Trang 9
1) MA +MB nhỏ nhất 2) MA+MC nhỏ nhất Bài 3.5.4 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;~1,1), đường thẳng A có phương trình ath va mat phing (P):2x-y+2z-1=0 271
1) Viết phương trình mất phẳng (Q) chứa đường thẳng A và khoảng cách từ A đến (Q) lớn nhất
2) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A và tạo với (P) một góc nhỏ nhất
3) Viết phương trình mặt phẳng (o) chứa hai điểm M(1;1,1),N(-1;2;~1) và tạo với đường thẳng A một
góc lớn nhất
Bai 3.5.5 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (ø):x+ y+z-3=0 và điểm A(1,2;3) lập phương trình đường thẳng A nam trong (a) va,
1) A diqua M(L1;1) va khoảng cách từ A đến A lớn nhất, nhỏ nhất;
2) A đi qua M và khoảng cách giữa A và d x ặ
Bài 3.5.6, Lap phương trình đường thẳng đ đi qua A(0;—1; 2) và cắt đường thẳng, -^ lồn nhất ¬ dị XI: cen gt ot 1) Khoảng cách từ B(2; 1,1) đến đường thẳng đ là lớn nhất, nhỏ nhất, 2) Khoảng cách giữa đ và A Bài 354 1) Cách1: Gọi I@;y;z) là điểm thỏa mãn: 31A + 4IB~6IC =0 ©ÏA =6AC~4AB (*) Ma IA =(1-x;2-y;3-2),6AC = (6;-30;-24), 4AB =(-8;-8;-24) 1~x=6+8 x=-1â Do đó (*)©12-y=-30+8 Ìy=24 =I-13;23) 3-z=-24+24 |z=3 Khiđó: S=SMA +4MBP ~6MC =3(MI+TA} +4(Mi+IB] ~6(Mi+ïC} =IMẺ +2Mi(SIA +4IB~6ÏC]+ 31A” + 4[BÊ ~61C? = IM? +314? +4IB? 611 Do 31A? + 4B? -61C? khong a8 nén S nhé nhat <> IM nhé nhat <> M là hình x= 13 +2t chiếu của [ lên (a), Ta cO IML (a) =>IM:Ây=24+t z=3-2t x=-13+2t y-24t z=3-2t 2x+y~2z— Vay M(-11;25;1) la diéin can tim
Cách 2: Gọi M@;b;c)e (0) =2a+b~2e~1=0
Trang 10=(a +11) +(b—25)Ê + (c — LJỶ + 4a +2b — 4c — 749 >2(2a + b—2c — 1)~ 747 >~747
Đẳng thức xảy ra ca =~11,b=25,c =1 hay M(-11;25,1) là điểm cần tìm 2) Cách 1: Gọi I0y,2) là điểna thỏa mãn: IA-71B+51C =0 2 1A =-7AB+5AC (*) Ma IA =(1-x;2-y;3-z), -7AB = (14;14;42), SAC = (5;-25;-20) 1~x=14+5 18 Nên #)©]2-y=14-25©‡y=13 =I(-18;13;-19) 3~z=42~20 19 [Mi+1ã-7(Mi+1B)+5(Mi+1C Do đó P nhỏ nhất © MI nhỏ nhất M là hình chiếu của l lên & MeA=M(1+2t;~1+3t,1~t)=]M = (2t+19;3t~ 14,~t +20) vi IM LA=22t+19)+3@t-14)-(-t420)-0ote 2 vay u(22.-2) là điểm cân tìm, Cách 2: Ta có Me A=M(1+2t;~1+3t;1~ t) Suy ra MA=(-2t,3~3t;2+t), ~7MB= (14+ 14t,~7 +21t,28 ~7t) SMC =(5~ 10t;~10 ~ 15t,~10 + 5t) Do đó MA~7MB+ 5MC = (2t+19;3t ~ 14,—t+20) 2 Nên PỀ =GrelĐÊ GE~19Ÿ 6-29 =2 =4ecssn7 s14 vất eee TTT, 7 théa many EA -4EB+2EC =0 EA =2AC-4AB Ta tìm được E(10,-2;16)
Đẳng thúc xảy ra ot = 22 vay uỆ 2 3 là điểm cân tìm,
3) Gọi E0sy;z) là điể
Khi đó F=~EMÔ + EA? ~4EBẺ +2EC?
Vì EA? ~4EB? +2EC? không đổi nén F lớn nhất, nhỏ nhất khi và chỉ khí EM nhỏ nhất, lớn nhất 2+§t (8;-4;8) > IE: }y =2—4t +8t Mặt cầu (S) có tâm 1(2;2;8), i 'Toa độ các giao điểm của IE với mặt cầu (S)là nghiệm của hệ x=2+8t =8? +42 +8?! =36 ©t= =N(-2;44)=IN=(-%2;4) =NI=6
Do NI>MI nên ta có được:
Trang 11Bài 3.5.2 Mặt phẳng (P) có np -1,2) là VTPT Thay tọa đô hai điểm A,B vào vế trái phương trình của (P) ta được 18 và 4 nên hai điểm A,B nằm về cùng một phía so với (P) 1) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P),khi đó A' và B ở khác phía so với (P) và với mọi điểm Me(P),ta có MA =MA' Do đó VME (P): MA + MB= A`M + MB> A'B, mà A'B không đổi và đẳng thức xảy ra khi M=A'B(P),suy ra MA +MB nhỏ nhất M= A'Be(P), x=5+2t Ta có: AA'L(P)SAA';ậy=-2~t z=6+2t Toa dé giao điểm H của AA’ và (P) là nghiệm của hệ x=5+2t =H0;~12) z=6+2t 2x~y+2z~6=0 xg = Dy Xp H là trung điểm của AA' =|yA-=2ÿw —ÿ =2 2 A(-3;2;-2) l2A-= 22g —Z4 =~2 x=-3+ốt Suy ra A'B=(6;-4;3), phuongtrinh A’B:}y=2-4t ,teR z= -243t 21 1 1 Toa dé M 1a nghiệm của hệ z 2x-y+2z~6=0 1
Vậy u(2 = ) là điểm cân tìm,
Trang 12J 7 7 7 te 8 4) § * #-#] { 8 + (se '] { § Ap dung bat dang thu: ya? +b? + yc? +d? 2 (atc)? +(b+d)? , dang thite xdy ra khi MA+MB> ee xõt+ vết # + a B8 Đẳng thức xảy ra ok vot = Ver+ fe 1 2 a Lae BE ch Vay M{ 515] la diéim can tim 2) Ta có: AM+CM = vot? - 18t+17 + ốt” 4t +9 -E#-s}-(#Ï-Í=-#Ï-Ÿ Gs # {4 ¥) - pe (= VE(1 : és = Wo iii 3 i Đẳng thức xảy ra | Š~t|_—>= 2| +t|et= 5 vi 7 : 2 § 10+ 342, vay w| SZ 2(45-2) 2-35 10+3/22 10+3V42 10+3V42 2;~1;2) là VTPT
Đường thẳng A di qua B(0;-1) và có u=(2;1;~1) là VTCP
1) Cách 1: Giá sử ñ = (a;b;c) là VTPT của (Q), suy ra phương trình của (Q) có dang: A(x~1)+by +e(z+1)=0 ©ax+ by +cz~a+c=0 (1)
Do AC(Q) nên 2a +b~c=0 =c=2a+b Bài 3.5.4 Mặt phẳng (P) có ng Do đó: đ(A,(Q))= Nếu b=0 =d(A,(Q))=-, về 16a” +8ab+ bŸ _ lót? +8t+1 Néu b +0 thì ta đất tẺ ,ta có, T351 b Sa? +4ab+2b? 5t+4t+2 l6 rất+1 áo 2 Xétham s6 f(t) voi teR ta cé: F(t)= 2 15412 py) pote ate—t GIỀ+4t+2)P q 7 dodo maxd(A,(Q) vie Suy ra maxf(t) =f(~2 2 Chẹn b=-1 ta tìm được a=2,c =3 Vây phương trình (Q):2~y +3z+1=
Cách 2: Gọi K,H lần lượt là hình chiếu của A lên A và (Q), khi đó
4(A,(Q))= AHS AK, ma AK khong déi nên đ(A,(Q)) lớn nhất H=K- Dẫn tới (Q) là mặt phẳng đi qua K và nhận AK làm VTPT
Trang 13Vi Ke A>K(1+2t;t;-1-t) => AK = (2t;t+1-t-2) AKLASAKuU=0©4t+t+l+t+2=0=t= Vậy phương trình (Q):2x~ y +3Z+1=0 2) Cách 1: Tương tự như trên ta có (Q):ax+ by + (2a + b)z+a + b =0, Goi ø=((P),(R)), 09 <o.<900 Pa-b+22a+b|_ _1 [b°+12ba +36; Ta có: cosoœ=_-L TT 3ya2 +b? +(2aeby 3 N21 1
Nếu a=0 =cosg=—T— 3
Nếu a+0,đất t~ Ö thì ta có, Ð T1 1283 +36” „ tot 36 vụ, a 2b°+4ab+5a2 2t0+4t+5
Khảo sat hàm số f(t) ta tìm được maxf(t)=f(
7 ,chọn b=~7 =a =10
18 Vậy phương trình (R):10x~7y + 13z +30
Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (P) x=1+2t Suy ra maxc{coso} đạt được khí Ö a Ta có phuong tinh d ,lấy CB;-LDed, C¥B z=-1+2t Goi H,K lần lượt là hình chiếu của C lên (R) và A, khi đó BH, BÉ sina.=sinBCH ===> 5% BC BC Ma * không đổi, nên suy ra œ nhỏ nhất > H= K hay (R) là mặt phẳng di qua A và vuông góc với mat phang (BCK) Mặt phẳng (BCK) đi qua A và vuông góc với (P) nên ny =[np,u ]=(-b6;4) là VTPT của (BCK) (10;-7;13) là VTPT của (R), suy ra
Do (R) đi qua A và vuông góc với (BCK) nên nạ phương trình của (R):10x~7y + 13z+3=0,
Trang 14„„ ÍA+b+c+d=0 Do M,Ne (a) nén tin nh
"Ta viết lại đang phương trình của (o) như sau: 2axx+ 2by + (b~2a)z~3b =0 Suy ra ng = (2a;2b;b—2a) là VTPT của (ø) Gọi ø=(A.(9)) Pa Pe] (5 f4a? +40? + fa+2b-b+2a) (b—2ay? # 5 RỊ Nếu a~0 =sing va av0,dit t= ter a +12t+36 5 Xét hàm số fít SỬ -4t+8 ta tìm được meat9=(Ệ) 5
Do đó gu„„ SiN Oma =a chon b=5,a=8 Vậy phương trình của (0) Ÿ¿cny>ms=rssp
Cách 2: Ta có: NM =(2;~1,2) là VTCP của MN,,suy ra phương trình đường thẳng x=1+2t MN:jy=1-t , te Goi d la duong thing di qua M, song song voi A Suy ra phương trình z=1+2t x=1+2t ddy-let teR z=1-t Trên d ta lấy điểm A(3;2;0) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên (ø) và MN ,khi đó
MH MK mà TẾ không đổi nên AMH lớn nhất o He K MA MA’™ MA Hay (a) la mat phang di qua MN va vudng géc voi mat phdng (B)=(MN,d) Taco: ny = NM au=(-1;6;4) là VTPT của (8)
Trang 15Do đó: đ(A,A|
l(c+2b}? + (b~a}) +5a2 i 2ab+6a?
at +b? +c" a+b? +(a+by 2 Ýbˆ+2ab+b: b Nếu a=0 =d(A,A)=~—, với a#0 đất te —,teR a ? = 2t+6 Patel Xet ham số f(t) „ khảo sát hàm số f(t) ta tìm được maxf(t)=f(-2)=10, minf(t) =f(4)= 3 + Khoảng cách tử A đến A lớn nhất khí t~ 1, suy ra phương x-1 ÿ-1 z-1 trình đường thẳng : A a lường thẳng :a: XTỄ= thẳng:A:#T^= TT” ÝT 2) Đường thẳng d di qua N(2;0;0) và có G =(1;2;-1) la VTCP MN=(1;-1;-1), [8.4 ]= (2a +b;-b;2a-b) [tig] MN = 30 fe} 2h
[ea] © tas bye +b? + (aby
Đẳng thức xảy ra khi a =0 =c=~b=u=b(0;1;~1) Do dé d(A,d)= x=1 Vậy phương trình A:Öy =1+t z=1-t Bài 3.5.6 Giả sử d cit d’ taidiéin M thi M(-1+2t;t;2-t) teR AM =(2t-1; t+1;-t) là VTCP của đường thẳng d
1) Ta có AB=(2; 2; ~1) nên [AB, AM |=(1—t; lý $~2t)
Trang 162) A đi qua N(5; 0; 0) và có véc tơ chỉ phương tạ = (2; —2; 1) Ta có (uy, AM |=(t-1 4t—1; 6t), AN =(5; 1; ~2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng là: [s ^M|AN|_ — Es-s [ta AM] - \(t— 1 + (4t— 1 + (6t) (2+ty (2+ty i =3./f(t),f(t)=————— 53tˆ — 10t +2 53tˆ — 10t + 2 6(t+2)4~37Ð nạn £(t=0eet=-2,t—-#' (53t? — 10t +2)? " đ(A;đ)= Vì f(t)=