Phương pháp sử dụng hàm số hàm đặc trưng.. Để có thể xử lý một cách hiệu quả cần rèn luyện theo đúng các phương pháp và nâng tầm tư duy.. Thông thường, một lời khuyên là trong khi xử lý
Trang 1Bài 1: Những điều cần biết để giải PT_HPT_BPT Phương pháp sử dụng hàm
số( hàm đặc trưng).
Chúng ta đã biết, câu phân loại điểm 9 trong đề thi THPT Quốc gia liên quan đến lĩnh vực này Để có thể
xử lý một cách hiệu quả cần rèn luyện theo đúng các phương pháp và nâng tầm tư duy Thông thường, một lời khuyên là trong khi xử lý 1 bài( không phải tự dung chúng ta suy ra được cách giải hay nhìn phát
ra luôn), chúng ta nên xử lý theo các phương pháp sau( THỨ TỰ ƯU TIÊN TỪ TRÊN XUỐNG DƯỚI).
1 Phương pháp hàm đặc trưng.
2 Phương pháp đặt ẩn phụ( thường là đưa về phương trình tích).
3 Phương pháp sử dụng liên hợp – ép tích – tách nhân tử.
4 Phương pháp đánh giá( sử dụng BĐT để đánh giá VT ≥
VP hoặc ngược lại).
Trong khoá học này, chúng ta sẽ cùng nhau nghiên cứu “ Bộ tứ” phương pháp giải trên kèm theo là các bài tập và buổi tổng ôn tập Đặc biệt là CÁCH NHẬN ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP LÀM CHO BÀI THÔNG QUA VIỆC LOẠI TRỪ.
Đối với một phương trình hay bất phương trình( thường là vô tỷ), chúng ta cần:
1 Sử dụng máy tính để tìm nghiệm trước( vừa định hướng giải, vừa giúp ta kiểm tra đáp số sau này)
2 Chú ý đến điều kiện hay sự đặc biệt( nghiệm bội, loại nghiệm, ) và đương nhiên là kĩ năng áp dụng phương pháp nào trong 4 phương pháp trên.
3 Đối với BPT cần lưu ý đến việc dấu( nhân hay chia 1 biểu thức) và việc xét dấu sau này Đối với một hệ phương trình, thông thường sẽ có 2 hướng giải:
1 Từ 1 phương trình, rút được x theo y rồi thế vào phương trình còn lại giải phương trình( 1 ần
và thường vô tỷ) Việc tìm quan hệ này cũng tuân theo 4 phương pháp trên và công cũ hữu ích là máy CASIO.
2 Rút thế phương trình nọ sang phương trình kia CÁCH NÀY RẤT ÍT ĐƯỢC BGD QUAN TÂM ĐẾN.
( Xem them khoá CASIO HOÀN TOÀN MIỄN PHÍ tại đây: http://tuyensinh247.com/hoc-giai-toan-bang-may-tinh-casio-cung-thu-khoa-ngo-vuong-minh-hoan-toan-mien-phi-r161.html ).
Phương pháp 1: Phương pháp sử dụng hàm đặc trưng.
Cách làm: Phương pháp sử dụng hàm đặc trưng là việc chúng ta đưa phương trình ban đầu về theo 2 vế của dấu “ = “ thành 2 biểu thức( 2 hàm số) có dạng tương tự nhau Ví dụ:
x x+ = +y y
( Điều quan trọng nhất) Dưới đây là các bước làm cụ thể:
1 Đưa phương trình đã cho thành dạng hàm đặc trưng( có dạng tương tự nhau ở cả 2 vế).
2 Thiết lập hàm đặc trưng( theo ví dụ trên thì
2
( )
f t = +t t
).
Trang 23 Chứng minh hàm đó đồng biến hoặc nghịch biến( dung đạo hàm) và quan trọng là phải liên tục tại miền nghiệm
4 Kết luận: Do hàm đồng biến nên f x( )= f y( )→ =x y
Dưới đây là các dạng thường gặp Tuy nhiên trong các trường hợp phân loại thì sẽ phức tạp và khó hình dung hơn:
Chúng ta cùng đến các ví dụ cụ thể sau( VIDEO):
VD1:
y y
.
VD2:
3x(2+ 9x + +3) (4x 2)(1+ + 1+ +x x ) 0=
.
VD3:
(x−1) x −2x 5 4x+ ≥ x + +1 2(x+1)
.
Bài tập tự luyện ( Chữa ở buổi sau, các bạn tự làm trước nha).
BT1:
4 4
.
Trang 3BT2:
4
.
BT3:
1+x( x + + + +2 2) (x 1) x +2x 3 0+ =
BT4:
2
1 (2x 3) (2x 2) 2
.
BT5:
3
2 2x 1 1
2x 1 3
x x
+ −
Phương pháp 1: Phương pháp sử dụng hàm đặc trưng( Tiếp theo)
I, Lý thuyết:
Sau buổi đầu đã phần nào quen thuộc, bây giờ chúng ta sẽ nhắc lại lí thuyết về hàm đặc trưng một chút:
Mấu chốt: Cho hàm f(x) đơn điệu là 1 hàm liên tục với tập xác định là D (Hàm
1 7
y x
=
−
sẽ
không liên tục với mọi x là số thực nhưng hàm
1 7
y x
=
− với x > 7 lại liên tục nhé) Khi f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì: a b D f a, ∈ , ( )= f b( )⇔ =a b
Ứng dụng trong bất phương trình:
1) Nếu f(x) là một hàm tăng với ∀ ∈x D
và f(x) liên tục trên D thì:
, ( ) ( )
a b D
a b
f a f b
∈
và ngược lại
2) Nếu f(x) là một hàm giảm ∀ ∈x D
và f(x) liên tục trên D thì:
, ( ) ( )
a b D
a b
f a f b
∈
và ngược lại
Các phương pháp HIỆN ĐẠI xử lý hàm đặc trưng:
Chúng ta xem xét ví dụ sau đây:
Trang 4VD: Giải hệ phương trình:
3
Phân tích tìm tòi lời giải:
- Bước 1: Nhìn qua ta cũng biết cần xử lý phương trình (1) trước, tìm được quan hệ x, y sau đó thế xuống dưới giải nốt :D
- Bước 2: Sử dụng công cụ máy tính CASIO tìm quan hệ:
Nhập PT 1: X = 100, SHIFT SOLVE for Y ta nhận được Y = 1,0095 Theo các bước đã học( trong khoá casio MIỄN PHÍ) ta thay vào căn:
x y
( phân tích hệ số theo x như vậy) Do đó ta
có nhân tử rồi:
1
3 2y 1
x
− = −
- Bước 3: Một KINH NGHIỆM nữa là nếu x, y có thể chuyển hoàn toàn độc lập với nhau thì 90% là sử dụng được hàm số Chúng ta sẽ nhắc thêm các kinh nghiệm này ở bài sau Chia cả 2 vế cho x3ta được( việc xét x khác 0 đơn giản nhưng đừng quên nhaz):
x x x
- Bước 4: Xử lý và đưa về hàm số:
Chúng ta đã có mối quan hệ ở bước 2 Có thể đặt t =
3 2y− cho đơn giản cũng được nhưng mình sẽ làm luôn Đến đây phân tích như sau:
1) Hàm đặc trưng thì chúng ta cần đưa 2 vế của dấu bằng thành 2 biểu thức hàm
số TƯƠNG TỰ NHAU( chỉ đổi biến) →
Ta sẽ xét từ bậc cao xuống bậc thấp 2) Nhìn nào: Bậc cao nhất của ông
1
3 2 ,1y
x
trong phương trình là bậc 3→ Hàm đặc trưng sẽ MAX là bậc 3( có dạng
( )
f t =at +bt + +ct d
lưu ý là a,
b, c, d có thể bằng 0)
3) Nguyên tắc làm: ĐỐI VỚI BẬC 3( 90% HÀM SỐ THƯỜNG Ở DẠNG NÀY) ta xử lý bậc 3 trước rồi đến bậc 1 rồi bậc 2 và cuối cùng bậc 0 Why? 3.1: Bậc 3 là hiển nhiên rồi và nó thường là t tở đây sẽ là
(3 2 ) 3 2− y − y
3.2: Tại sao không xử lý bậc 2:
Trang 5Vì nó là bình phương nên ông
2
( 3 2 )− y = −3 2y
đẹp nên có thể thêm bớt 2 vế( VD trên thì x, y độc lập nên không sao nhưng hàm số đối với giải 1 biến x thì việc này có thể Chúng ta sẽ xem ví dụ sau để rõ hơn)
3.3: Vì sao xử lý bậc 1 sớm thế: Vì nó chỉ là
3 2 y− , là căn không đào thêm đâu ra được, bắt buộc hệ số phải như vậy
4) Tiến hành:
+) Bậc 3:
3
1 (1 ) ,(3 2 ) 3 2y y x
, tách 2 vế theo 2 ông này trước, thêm
bớt như nào tính sau:
3
(1 ) (1 ) (3 2 ) 3 2y y 3 2y
+) Đến đây tách bậc 1: hệ số là 1 Nhưng có lẽ không cần vì đã quá rõ rang
Lời giải hoàn chỉnh: Các em học sinh tự hoàn thiện nha
II, Bài tập vận dụng: ( Video – Các ví dụ đã đưa ở buổi 1)
BT1:
4 4
BT2:
4
BT3:
1+x x( + + + +2 2) (x 1) x +2x 3 0+ =
BT4:
2
x x− = − − + −x
BT5:
3
2 2x 1 1
2x 1 3
x x
+ −
III, Bài tập tự luyện:
Bài 1:
2
2
4
x y
y y
xy y
+
Trang 6
Bài 2:
2
2 0
x y x
− + =
Bài 3:
2
5(x − −x 6) 5x 19 (− = +x 2)(x+ +5 4 x−3)( x− +3 2)
Bài 4:
x− ≥x x − + +x − − +