Hướng dẫn giải đề thi môn toán tuyển sinh ĐHCĐ từ năm 2002 đến 2007 nguyễn văn nho

Trang 2

Nguyễn Văn Nho ( Chủ biên) Nguyễn Văn Thổ ees HUGNG DAN GIAI BE THI a ` “ MON TOAN

TUYEN SINH DAI HOC - CAO BANG

TU NAM HỌC 2002 DEN NAM 2007

Trang 3

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HA NOI

16 Hang Chuối - Hơi Bà Trưng - Hà Nội

Điện thoại : (04) 9 724852 - (04) 9 724770 - Fax: (04) 9 714899

Chịu trách nhiệm xuất bản

Trang 4

—

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG, KHỐI A, 2002

Câu Ì (Đại học +25 điểm, Cuo đẳng + 3,0 điểm)

Cho Làm số y=—xỶ + 3v +3(I -mẺ } +m° —m? (1) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = Ị

2 Tink để phương trình: —x' + 3x? +k* —3k? =0 c6 3 nghiệm phân biệt

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm sé (1)

Câu IỊ (Đại học : 1,5 điểm, Cao đẳng : 2,0 điểm)

Cho rhương trình :

log} x + Vlog} x+1-2m-1=0 (2) (m là tham số)

1 Giii phương trình (2) khi m = 2

2 Tìn m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [I ; 3 6 ]

Câu IỊ (Đại học : 2,0 điểm, Cao đẳng : 2,0 điểm)

1 Tìn nghiệm thuộc khoảng (0:2 Z ) của phương trình : ( cos3x + sin3x 5| sinx+———————— B =cos2x+3 1+ 2sin2x

2 Tith diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = |e -4x +3), y=x+3 Câu IV (Đại học : 2,0 điểm, Cao đẳng : 3,0 điểm)

1 Ch› hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng ạ Gọi

Msà N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tícì tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) 2 Trong không gian với hệ tọa độ Để cac vuông góc Oxyz cho hai đường thăng : x=l*+t x-2y+z-4=0 A: ‘ va Ap:yy=2+0 x+2y-2z+4= z=1+2¢ a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng A, và song song với đường thẳng A; b) Cho điểm M(2:1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng A;sao cho loạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất

Câu (Đại hoc : 2,0 điểm)

1 Trøg mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, xét tam giác A8C vuông tại

A, hương trình đường thẳng BC là V3xz- ỹ 3 =0, các đỉnh A và B thuộc

Trang 5

trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác 48C

2 Cho khai triển nhị thức :

etn)" ay wayne = ctf ory" 22 a -e[i ? vail [23 aac 2 |)

=x =

+c []

(n là số nguyên dương)

Biết rằng trong khai triển đó Cỷ = 5C] và số hạng thứ tư bằng 20n Tìm n va x

Trang 6

TS vs: kề RA “- Đồ tị: Hình bên 2 Tim k Xét phương trình : ~#`+3x” +k` =3? =0 (*) eee t3? =~k) +32

Số nghiệm của phương trình (*)

là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng v= -k*+3#? Dựa vào đỗ thị, ta thấy yêu cầu bài tốn 0< -kÌ +3? <4 |=kÌ+34? >0 fone feos a et oS lah -3e2 4450 |K>-lLk#2 ” |kz0,kz2 Cách khác: Ta có : ()(x-Đ|>? +(k~3)x+&? ~3#]=0 x=k Se 3 2 ø(x)=x” +(k~3)x+k”=3k=0 (**) Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt ©> phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt khác k Ay =(K-3) =4(K? -3k)>0 — [342~6k~9<0 Ce <3 ° = é #(k)=3k? ~6k #0 3k(k-2)#0 k#0,k#2 3 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Tacé: ý=-3x7 +6mx + 3(1 - m?) 2 ý=0¢9 x? ~3mx +m? -1=0 (*)

Á= mẺ =(mẺ -1)=1 >0,Vm => Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Lấy y chia ý, ta được : y =3(x~m)y* 2x+m~— m?

Gọi Ăxị; yị),B(x;; v; ) là các điểm cực trị của đỗ thị hàm số thì x,,x; là

Trang 7

Câu HH 1 Giải phương trình Xét: log} x+ Vlog} x+1—-2m-1=0 (2) Điều kiện : x>0 Đặtr=jlogx+l (£>I) =log‡x=r”—l (2)© +r-2m-2=0 (*) Khi m = 2: (*)©†` +t~6=0 t=2 : A 2 <> Vlog3 x+1=2 © logsx= 3 la (loại) Bs Bs ‘ey log, x= V3 sess x3 log; x = -V3 3 Vậy khi m =2, phương trình có nghiệm : x = 33 Vx= + * 2 Tìm m để phương trình có nghiệm Ta có : I<xz<3# ©0<logyx< V3

1 slog? x<3 1< Vlog? v+1<2 œI<r<2

Khi dé: (*)eor? +1-2=2m, +e{[l:2] Xétham sé: f(t)=0 +4-2, re[I; 2] f'(¢)=20+1>0, Well; 2] Bảng biến thiên : t 1 2 LH) £ 70) 4 7) —” UY) Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu của bài toán ©0<2m<4 ©0<m<2 Câu IỊ 1 Tìm nghiệm xc (0:2) Điều kiện : I+sin2x #0

Ta có : cos3x + sin3x= 4cos” x~ 3cosx + 3sin x— 4sin x x=3

= 4(eos° x-sin? x)- 3(cosx ~ sinx) =(cosx-sin x)[ 4(1+ sin xcosx)-3]

Trang 8

TA lu €os3x + sin3x Do đó : 5 sitet ng 2x =cos2x+3 1+2 ._ (eosz-sinx)(+ 2sin2x) ] 3 ôâđ5|siny+> | =cos2x+3 I+2sin2x : 2 2 <> 5(sin.x + cosx —sin x) =2cos x + 2 © 2cos” x ~ Šcosx + 2 = 0 cosx=2 (loại) ° I const shin, keZ cosx = = 3 2 Do xe (0:27) =x=Ÿv 3 3 oR aay < Ps 3 : a 5z

Trang 9

Câu IV 1 Tính điện tích AAMN M,N lan lượt Goi I là wung diém BC va H = SI AMN =H là ưung điểm SI và MN Ta c6 : ASAB = ASAC => AM = AN => AAMN cantai A = AH 1 MN Mặt khác : A4 (AMN) 1 (SBC) 4(AMN)(SBC)= MN ¬W 1.(SBC) = AH L Sĩ AH C(AMN) AH LMN ASAI có AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên cân tại A > SA=AI= ae ASIB vuông tại l, ta có: Sĩ = SB? - 1B? = AAHI vuông tại H, ta có : AH =VAP -IH? = ar -( sy sat _ ả _avio _ 8 Ngoài : MN =1gC=# |goài ra 5 3 a Diện tích AAMN là : S = alana =1 a0 aa 10 (ay) 2 2 4 2 2 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) :

A, qua điểm Ă0; -2; 0) và có vectơ chỉ phương ø = (2; 3; 4)

A, qua điểm B(I;2;1) và có vectơ chỉ phương 6 =(1; l;2)

Trang 10

acd:

MH- (1-1) tÍt+1} ¢ (20-3) =J8Í£ 12011) = 66-1} +5 >v5

Trang 12

ĐỀ SỐ 2

DE THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐĂNG, KHỐI B, 2002

7âu L (Đại học: 2,0 điểm ; Cao đẳng : 2,Š điểm)

"ho hầm số y = mà” + (ar ~9)xŸ +10 (1) (m là tham số) „ Khảo sát su biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = Ị + Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị

Yau IL (Dai hoc: 3,0 điểm ; Cao đẳng - 3,0 điểm)

„ Giải phương trình : sin? 3x —cos? 4x =sin? Sx — cos? 6x

+ Giải bất phương trình : tog, [ tog, (9" -?2)|<1

Yx-yayx-y

x+ yayxryr2 7âu IỊ (Đại học: 1,0 điểm ; Cav dang : 1,5 diém) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường : „ Giải hệ phương trình :

2

x

4y2°

au IV (Dai hoc:3.0 điểm ; Cao đẳng: 3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật

va y=

ABCD có tâm (4:0) phương trình đường thẳng AB là x—2y+2=0 va AB =2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm

1 Cho hình lập phương A8CD.A,B,C,DỊ có cạnh bằng ạ

a) Tinh theo a khoảng cách giữa hai đường thing A,B va B,D

b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạch B,B, CD, A,D, Tinh góc giữa hai đường thẳng MP và C,N

Dau V (Đại học: 1,0 điểm)

Tho đa giác déu A\A, A,,(n 22, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết

ằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A¡.4; ,4;„ nhiều gấp 20 lần

Trang 13

â Min xỏc nh:D=R đô ý=4x)-l6x x=-2>y=-6 ý=00|x=0>y=10 x=2>y=-6

Trang 14

„ Tìm n acó: \ =4mx` + 2(m ~9)x '=0€s 4m +2(mŠ =9)x=0— (1) r=0 -© f(x) =2mx? +m? -9=0 (2)

'êu cầu»ài tốn ©> phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

a có: sn” 3x—cos” 4x =sin” 5x ~ cos” 6x

> (i -cos6s)-(I +cos8x) -s ~cos10x}~ ll +cosl2x)

> cos8 + cos6x =cosl2x+coslOx <> 2cos7xcos x =2cos!lxcosx

Trang 15

3 Giải hệ phương trình xa há ú) x+y=dxty+2 (2) x-y>0 x-y>0 [x-y>0 oo § @xr=yv (x-y}(x-y-I)=0 ly=z-l đ Vix=y: (2)â>2x=2x+2 2x>0 x>0 x20 ÂẦ 2 ° 2 -© ¡| âx=zy=l 2x+2=4x 2x-x-1=0 x=lVvk=-= đô Với y=x-—l, x-y>0: (2)€>2v—1=2x+l th poe ° ° 2x+1=(2x-1) il Fea gt c© wre tes ya thấu x-y>0) 2-2 ° šẽ0'0 x=Ở 2

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là :

Câu IIỊ Tính diện tích hình phẳng

Phương trình hoành độ giao điểm của y

Trang 16

lựa vào lô thị ta có diện tích cần tim: d2 3 =f 16-ede-— về b 6J2 ‘inh S, al 16~x" ki Mt x=-sint > dx=4costdt, ie -2:4] )ổi cận IN , , z y -4Ƒ 16(1—sin” r) cosr dt = 16 [ cos? tát =8 [#(1+c0s2r)ar 1 a =ắ 2n) lậy: §:2m+4~Š =2m +2 (dvdr) lạ =2z+4 0 Sau IV Tim oa d6 cdc dinh

3oi H I: hình chiếu vuông góc của 1 lên AB

Trang 17

Khi đó: AB = 25 <> AB? = 20 <> (4-41)° + (2-21)? =20 e2 (r1) =1

5 (inal

=| 2 (ot) s1a0 = Ă-2:0) B(2:2) Đ=

1 là trung điểm của AC và BD nên ta có : lẻ =2+t„-xa=3 =c(0) Ic = 29) —Ya = ees —X,=1-2=-1 = D(-L-2) Yp =2Y¡ ~ yp =0~2=~2 Vậy các đỉnh của hình chữ nhật là : Ă-2:0) 8(2:2).C(3:0).D(—I:-2) Cách khác AIHA vuông tại H, ta có: IA=\AH + HỈ = (2) = Gọi (C) là đường tròn tâm I, bán kính R = IA = ; 2 2_ 25

Phương trình đường tròn (C) có dạng: (: -5) +y= 2

Hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đường tròn (C) nén tọa độ của A, B là gia:

điểm của đường thẳng AB và đường tròn (C)

Toa độ của A, B thỏa hệ:

x-2y+2=0 #=99-2 x=-2

up aya = {fp co“ bo

Do x, <0 => Ă-2;0), B(2;2)

11a trung điểm của AC và BD nên ta có : C(3;0), D(-h-2)

2 a) Tính khoảng cách giữa A,B và B,D z

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:

Ă0; 0; 0), B(a; 0; 0),C(a; a; 0),D(0; a; 0)

Trang 18

Khoảng cách giữa giữa hai đường thẳng A,B và B,D :

3

a — 8 Vat +4a* +a4 V6"

b) Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C,N

M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh 8,8 ,CD, A,Ð, nên ta có : {a 0:2) (Ss0) [0 5:«) 2 2 2 > MP -(-« 44) Gw-(-$:0.-a] 2 2: 2 Goi ¢ 1a géc gitta MP va C\N, tacé: |MPCN| feos ca) (= J ạt (4) cosy = [meh fean| 4 tate, © soả Câu V Tìm n

Gọi đường chéo của đa giác đều đi qua tâm của (O) là đường chéo lớn

Số đường chéo lớn của đa giác đều 2n đỉnh là n

Hai đường chéo lớn của đa giác đều tạo thành một hình chữ nhật

Do đó, số hình chữ nhật được tạo thành từ 2n đỉnh của đa giác đều là Noh

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đều là: C‡„

Trang 19

ĐỀ SỐ 3

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG, KHỐI D, NĂM 2002 Câu L (Đại học: 3 điểm ; Cao đẳng : 4 điểm)

2m —1)x~ mỸ :

Cho hàm số: y= lên hen (1) (mlà tham số)

x

1, Khao sat sy bién thién va vé 46 thi (2) cla hàm số (1) tương ứng với m = -Ị 2 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ

3 Tìm m để đồ thị (1) của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x

Câu H (Đại học: 2,0 điểm ; Cao đẳng : 3 điểm)

1 Giải bất phương trình : (x” ~ 3a)N2a” - 3x =2 >0 2* = Sỷ —ay 2 Giải hệ phương trinh +4 4« , «+1 ——>y 2° +2

C4u IIL (Đại học: | diém ; Cao dang : | diém)

Tìm thuộc đoạn [0:14] nghiệm đúng phương trình : cos3x—4cos2x +3cosx-4=0

Câu IV (Đại học: 2 điểm ; Cao đẳng : 2 điểm)

1 Cho hình tứ điện ABCD có cạnh AD vuông góc với mát phẳng (ABC); AC = AD =4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) 2 Trong không gian với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxyz, cho mat phẳng (P):2x-y+2=0 (2m +1)x+(l-m)y +m-1=0 m là tham số mự +(2m +1)z+ 4m + 2 =0 ( ) và đường thẳng d„: |

Xác định m để đường thẳng d„ song song với mặt phẳng (P) Câu V (Đại học: 2 điểm)

1 Tìm số nguyên đương n sao cho :C)' +2C} + 4C? + +2"C7 = 243,

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxy, cho clip (E) có

+ về

ý xy’

hương trình : —+=~—=1,

È ° 16 9

Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao

cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ của M,N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Trang 21

m=2-x m—l=x-l m=x m-\=1-x @=| © Vớim=2-x:

(1)©>(x~U =0 : vô nghiệm với mọi xzl = m=2~x không thỏa

Trang 22

€cosx = 0 a â 3 âđx=+kz (keZ) cosx =2 (logi), 2 3, Vi xe [0:14] or-2v eas yey et 2 2 2 Vậy nghiệm của phương trình là: x =Švă =a v got v ke” 7 2 2 2 2 Câu IV

1 Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC D, [BC LAH Ta có : BC 1 AD (do AD 1(ABC)) => BC 1 (ADH) Ma BC <(BCD) => (ADH) 1 (BCD) theo giao tuyến DH - 2 Ké AK | DH (Ke DH) thi AK L(BCD) Hl => AK là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) B Ta c6 : AB? + AC? =16+9=25=BC? => AABC vuông tại A 1 1 on =——=——+——=_+ AH? AB AC” 9 16 144

AADH vudng tai A, tac: = + oh ey 25

AK? AD? AH? 16 144 12

= aK = V8 (om mì)

Cách khác:

Ta có : AB? + AC? =16+9=25= 8C? = AABC vuông tai A => 4B L 4C

Trang 24

ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 1, NĂM 2002

Cho ham s¢

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị của hàm số (1) khi z = 8

2 Xác định m sao cho dé thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân

biệt

Câu IỊ (2 điểm)

1 Giải bất phương trình : log, (4° +4)2 log, (2°"1 -3.2*)

2 2

2 Xác định m để phương trình : 2(sin* x+cos* x) +cos4x + 2sin 2x —m = 0

4 mx? +m—-1 (1) (m 1a tham sd)

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [Z]

Câu HIỊ (2 điểm)

1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt sẽ,

phẳng (SBC) theo a, biết rằng $4 = “

xì

2 Tính tích phân 7= [ede

ox? +1

Câu IV (2 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn

(C)):2? + ỷ -10x=0, (C;):x” + yŸ +4x~2ỹ20=0

1 Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C¡).(C¿) và có tâm

nằm trên đường thẳng x+6y—6=0

2 Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C¡) va (C2)

Câu V (2 điểm)

1 Giải phương trình: Vv+4+vx=4=2x~12+2ýx? ~l16

2 Đội học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12,

6 học sinh khối I1 và $ học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học

sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn Câu VỊ

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miễn trong của tam giác ABC có ba

Trang 26

» Đổ thị: hình bên ˆ

2 Xác định m

Đặt (Cạ„):y=x” — mĩ? + m —]

Phương trình hoành độ giao

điểm của (C)„) và trục Ox: x! mx? +m-1=0 (1) Dat r=x7, 120 ()©—mr+m~l=0 (2)

Yêu cầu bài tốn © phương trình (1)

tó 4 nghiệm phân biệt ©> phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt A=mÊ ~4m+4>0 ©‡S=m>0 {mt P=m-l>0 mee Câu H 1 Giải bất phương trình Ta c6: log, (# +4)> log, (2 -32) ? 2 4% 44521 3.2" oo 4*-3.2"-4>0 Pe (loi) © ©x>2 224

2 Xác định m để phương trình có nghiệm x e [oz]

Ta có : 2(sin* x +cos' x]+ cos4x + 2sin 2x ~ m =0 2 2(1-2sin’” xcos? x} + eos4x + 2sin 2x-m=0 eosin 2x) +1~2sin? 25+ 2sin2x—m=0

<> -3sin? 2x+2sin2x+3-m=0 (1)

Đặt f= sin2x Ta có : xe|s5|>re[m]: (2)=-3? +2r+3=m Xét hàm số : y=-3/? +2!+3,[0;1]

Trang 27

Bảng biến thiên x} 0 if 1 3 7 y’ + 0 = Yj, 10 7 y ey eg 77 3 2 7 2 7 Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán c2 <m < ° Câu IỊ

1 Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC)

Gọi H là trung điểm của BC, ta có :

BC 1 AH (do AABC đều) BC 1 %4 (do S4 1 (4BC)) => BC 1 (SAH) Ma BC c(SBC) => (SAH) 1 (SBC) theo giao tuyến SH Gọi K là hình chiếu vuông góc của AtrênSH A c thì AK 1 (SBC) = 4K là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) of B

AABC 1a tam gidc déu canha nén AH = fi

Trang 28

c ey -10r-0 [x2 44-10% =0 x2+ỷ®+dv 2-20 <0 Ì?z-y-10=0 x?~3y+2-0 v-l v=2 a> = 4 v y=7x-10 ly=3 y=

=>C6 hai giao diém 1a Ă1:-3) B(2:4)

3ọi (C) là đường tròn cần tìm và 1, R lẫn lượt là tâm và bán kính của (C)

fac: Led:x+6y—6=0=>1(6-61; 1)

C) qua A,B <> /4=/B=R => 14 = 1B"

©r=-I=1(12:-1) R=5/5

*hương trình đường tròn (C) có dang:(x =12}” +(y+ 1)” =125

} Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C,) và (C; )

(C,) văC,) có tâm và bán kính lần lượt là: (5:0) =5; Ly (-2:1), Ry =5

Ta có: ƒJạ =(—7:1) => ly =5 2 =0= Rị — Ñy < fự; < Rị + Rạ =10

=(C,),(C,) cắt nhau =Có hai tiếp tuyến chung

3ọi A là tiếp tuyến chung của (C,).(C;)

3o Ñ =# =5 nên A///7; =A nhận ly làm vectơ chỉ phương

?hương trình đường thang A c6 dang: x+7y+C =0

Trang 29

§-x>0 4<x<8

2) 3 2 ° exes

x” -16=(8-x) x=5

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 5

2 Số cách chọn 8 học sinh trong đội đi dự trại hè

Chon 8 học sinh tùy ý từ 18 em trong đội tuyển : Có ch cách

Ta xét các trường hợp không thỏa yêu cầu bài tốn:

Trang 31

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 2, NĂM 2002

Câu Ị (Đại học : 2,0 điểm)

1 Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình : A} + 2C?” <0n, trong đó 4‡ và C⁄ lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử

3: % 1

2 Giải phương trình : 782 (x+3)+ “tog, (x-1)" =log, (4x)

Câu IỊ (Đại học : 2,5 điểm)

Cho hàm số : „ i (1) (mà tham số)

1 Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [- 1; 0]

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ dé thị hàm số (1) khim = 1

3 Tim a để phương tình sau có nghiệm:

gil? (asayả +2a+1=0

Câu IIỊ (Đại học : 1,5 điểm)

Ÿ «4 4

1 Giải phương trình : S008 = ˆodtg2y - —L_ 8

Ssin2x 2 8sin2A

2 Xéttam giác ABC có độ dài các cạnh AB =c ; BC =a;:CA =b

Tính diện tích tam giác ABC, biết rằng : bsinC(b.cos€ + c.cos 8) = 20

Câu IV (Đại học : 3,0 điểm)

1 Cho tứ điện OABC có ba cạnh OA : OB và ÓC đôi một vuông góc Gọi

œ,ÿ, y lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC),

(OCA) và (OAB) Chứng minh rằng :C€OSŒ + COS[]}+ COSY < v3 z

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng

(P):x-y+z+3=0 và hai điểm Ă-1; -3; =2),B(-5; 7; 12)

a) Tìm tọa độ điểm Á là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)

Trang 32

GIẢI Câu Ị 1 Tìm n <.X* eN Điều kiện : | " Ìn>3 ` i Tac6: A +20"? <9n oe —"_ 2 — (n—3)! “(n- ©n(+—I)(n=2)+ n(n~—1)< 9n ©n?-2n-8<U €š3<n<4 (do n33) So với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là: n=3v n=4 2 Giải phương trình [x >0 Điều kiện : ‹ |x #1

Ta có: Foes (x43) flows (3 ~ 1) =1og (4x)

Trang 33

Bảng biến thiên x | -I 0 F(x) T7 = f(x) 9 sg Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu câu bài tốn © m >9 2 Khảo sát hàm số khi m = I Sy 2 Khii6lElL0ic6 sự sổ gy Ì x-2 x-2 ® Miễn xác dinh : D = R\ {2} Pr H4e43 | x=l=y=0 e yet y=0e (x-2) x=3>y=4

Trang 34

=a (dove[3:9})

Ta có : y(3) = 4, v9)=S

Phương trình (1) có nghiệm « Đồ thị (C) và đường, thẳng y=a có giao điểm trong đoạn [3: 9] Yêu cầu bài toán 4<“ s Câu IỊ 1 Giải phương trình Điều kiện : sin2x# 0 e x# z (I<Z) aad 4 Sin x+cos x 1 Ta có: ————————=>~€c0t#2x———

Ssin2x 2 8sin2x = 8(sin* x+cos* x)=20cos2x~5

ăt ~2sin? xcos” +) = Wcos2x-5 <9 8—4sin? 2x = 20cos2x —Š

° 8-4(I ~cos? 2x) = 20cos2x-5 <= 4cos? 2x —20cos2x-9=0 cos2x => (ogi) © 1 Lá C0S2x =— =C0S— 2 ©=2x=+Ễ +2 << + thư (keZ) So với điểu kiện, ta có nghiệm của phương trình là : x= at +kz (keZ) 2 Tính diện tích AA4BC' Theo định lí sin, tac6 : a= 2Rsin A, b=2RsinB, c=2RsinC Do đó : bsinC(bcosC + ccosB) = 20

<> 4R’ sin BsinC(sin BcosC + sinCcosB) = 20

È =5 ca SP 19 eS 5=10 4R

Câu IV

1 Chứng minh

Chọn hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxyz như hình vẽ Giả sử Ø4=a, OB=b, ÓC =e (a,b,e >0)

Trang 35

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dang :

Ta Si

a be

Các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) va

(ABC) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ï=(0:0).j=(0:1:0).K =(0;0;1) n= (i a c Do œ,B,y lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC) (OCA), (OAB)nên ta có : 2 Suy ra: cos? @ + cos” Ø+cos?y= Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có :

l.cosa +1.cosB+Ịcosy < (? +P 4 P)(cos* a+cos? B+ cos? 7) =3 (dpcm) Đẳng thức xảy ra khi : cosœ =cos[= cosy <œ ==ÿ

2.a) Tìm tọa độ điểm A"

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến fi =(1; - 1; 1)

Goj A là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) thì A nhận n làm vectơ chỉ

Trang 36

Điển Á đối xứng với A qua (P) nên [ là trung điểm AÁ: tq: =2xi—=XA==4+l=-—3 ac =2yp-Ya =-443=-1 = Á(-3;-1-4) tae = 24) -Z, =-64+2=4 b) Tm giá trị nhỏ nhất Đặt (x.y2)=x-y+z+3 [f(A)=3 |f(B)=3

= AB nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P)

Giaođiểm của ÁB với mặt phẳng (P) là điểm M cần tim

Thậtvậy: Xét điểm A⁄„ thuộc (P), ta có :

MụA+ MụB = MụÁ+ MụB > A"B (cố định)

Matthaic: 4'B = MÁ+ MB = MA+ MB Suy n: MụA +MạB>MA +MB

Đườn thẳng ÁB qua điểm À và nhận

ÁB=2(-1: 4: 8) làm vectơ chỉ phương có phương trình : Ta ce: = f(A).f(B)>0 x=-3-U y=-l+4U z=-4+8U Thamsố t` ứng với giao điểm M = ÁB/¬(P) là nghiệm phương trình : ~3~Ũ4Ưl~4+8Ư3=0 ©t'=I = M(-4; 3; 4)

Khi đó : min(MA + MB) = ÁB = V4 + 64+ 256 =18

Trang 37

BE S06

DE THAM KHAO SO 3, NAM 2002

Câu Ị (Dai hoc: 3,0 điểm; Cao đẳng: 3.5 điểm)

Cho hàm số: y aoe +mx? —2x _= (1) (m1 tham số)

1 Chome Ì,

2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng d: y=4x+2 5 2 Tìm m thuộc khoảng (s‡) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và các đường x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4 Câu IỊ (Đại học: 2,0 điểm; Cao đẳng: 2,5 điểm) x~4|y|+3=0 Vlog, x - Jlog, y =0 (2 ~ sin? 2x)sin3x 1 Giải hệ phương trình : 2 Giải phương trình : tgỶx+l= : cos xX

Câu IH (Đại học: 2,0 diém; Cao dang: 3,0 diém)

1 Cho hinh ¢ up S.ABCD cé day ABCD là hình vuông cạch a, SA vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) và SA = ạ Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính

theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BẸ

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng -{2x+y+z4+1=0

i, +y+z+2=0 và mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng A trên mặt phẳng (P)

Trang 39

e Đổ thị: hình bên

Trang 40

Vậy giá trị cần tìm là : m = Câu IỊ 1 Giải hệ phương trình Íx-4b|*3=0— @) I log, x —Jlogyy=0 (2) (2) <> Jlog, x = Jlog y logyy>0 y2l yal c© = 2° logy x =log, y logy x =logyy Xét: #li=zwef

Khi đó : (I)c»ỷ~4y+3=0 e2|Ÿ~^* y=3=x=9

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2 Giải phương trìnHẾ `` Diéukién:cosx #0 <x at km (keZ) (2 -sin? 2x)sin3x Ta có: tg”x+I=—————— cos" x

sin’ x +cos* x =(2-sin? 2x)sin3x

el ~asin 2x =(2-sin? 2x)sin3x

Định dạng
Số trang	369
Dung lượng	18,86 MB