NGUYÊN VĂN NHO (Chủ biên) NGUYEN VAN THO
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THỊ
MON TOAN
Trang 3NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIđ HÀ NỘI
1ĩ Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội
Điện thoại : (04) 9 724852 - (04) 9 724770 - Fax: (04) 9 714899
Chịu trách nhiệm xuất bản
Trang 4ĐỀ SỐ 1
ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG, KHỐI A, 2002
Câu | (Dai hoc : 2,5 điểm, Cuo đẳng : 3,0 điểm)
Cho tim sé y= ax 4 3mx? + 3(1 —m°Ìx +m — mi? (1) (m là tham số)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đỗ thị hàm số (1) khi m = 1
2 Tìm k để phương trình: -x`+3x” +#`~3& =0 cĩ 3 nghiệm phân biệt
3 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đơ thị ham sé (1)
Câu II (Đại học : 1.5 điểm, Cao đẳng : 2.0 điểm) Cho rhương trình :
log? x + Vlog} x+1-2m-1=0 (2) (ml tham số)
1 Giii phương trình (2) khi m = 2
2 Tìnm để phương trình (2) cĩ ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [I ;
Câu II (Đại học : 2,0 điểm, Cao đẳng : 2,0 điểm)
1 Tìn nghiệm thuộc khoảng (0;2 Z ) của phương trình :
cos3x +sin3x
31,
s{sin + )=cosan-3
1+2sin2x
2 Tish dién tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = |x? -4x+3|, y=x+3
Câu IV (Đại học : 2,0 điểm, Cao đẳng : 3,0 điểm)
1 Ch› hình chĩp tam giác đều S.ABC đỉnh S, cĩ độ dài cạnh đáy bằng a Gọi
Mrvà N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện
tic) tam gidc AMN, biét rằng mặt phẳng (AMN) vuơng gĩc với mặt phẳng (SBC), 2 Trang khơng gian với hệ tọa độ Để cac vuơng gĩc Oxyz cho hai đường thang : 2 se0 x=l+f x-2y+z-4= Ai và A;:4y=2+(/ x+2y-2z+4=0 - z=l+2r a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng A, và song song với Tường thẳng A; b) “ho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng A; sao cho loạn thẳng MH cĩ độ dài nhỏ nhất
Câu \ (Đại học : 2,0 điểm)
1 Treng mặt phẳng với hệ tọa độ vuơng gĩc Oxy, xét tam giác ABC vuơng tại A, hương trình đường thẳng BC là V3x-y- 3 =0, các đỉnh A và B thuộc
Trang 5trục hồnh và bán kính đường trịn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G
của tam giác 48C
2 Cho khai triển nhị thức :
at =)" at)" atyl( mx ct \f -«y""
22 a -<(2 2 vei 2 [23 }-«e' 2 [|
<x n
+c [#]
(nla số nguyên dương)
Biết rằng trong khai triển đĩ Cỷ = 5C} và số hạng thứ tư bằng 20n Tìm n và x Ghi chú : Thứ sinh chỉ thi cao đẳng khơng làm Câu V GIẢI Câu L 1 Khảo sát hàm số khi m = I Khi m = l, ta cĩ : y=-x#+3z? Miễn xác định : D = R © y'=-3x? +6x y'=0 =| Giới hạn: lim y=+0, lim y=-o- x= xơ+đ x=0>y=0 x=2=y=4 e Bảng b;ến thiên : x |-0o 0 2 +00 - y' = 0 + 0 = +00 4 0 —œ ©_ Tính lỗi lõm và điểm uốn: y"=-6x+6 y"=0€©x=l>y=2 x —œ 1 +00 y" + 0 - Đỗ D.U
thi lõm [in:2) lỗi
Trang 6“Đơ tú: Hình bên 2 Tìm k Xét phương trình : — 0 +37 +k? - 3k? =0 (*) epee 3a? =k 4 3K?
Số nghiệm của phương trình (*)
là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y= -kÌ +38? Dua vào đơ thị, ta thấy yêu cầu bài tốn © 0< -k+ 3k? <4 | -k* +3k? >0 k<3kz0 Í-l<k<3 vl lah -3k? +450 - k>-lk#2 x Het be Cách khác: Ta cĩ : (*)cs(x~#)| x” + (k~3)x + kẺ =3 ]=0 x=k = ø(x)=x” +(k~3)x+kˆ ~3k =0 (**) : Phương trình (*) cĩ 3 nghiệm phân biệt © phương trình (**) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác k 2 > Ay =(k-3) —4(k? 3k) >0 th vn = = ° ‘i g(k)=3k? -6k #0 3k(k-2)#0 ht, test
3 Viết phương trình đường thăng qua hai điểm cực trị
Tacĩ: y'= ~3x? +Õmx + 3(I -m?)
y'=0 x? —3mx +m? -1=0 (*)
=m -(m -1)= 1>0,Vm => Hàm số luơn cĩ cực đại và cực tiểu
Lấy y chia y’, ta được : y=2(x~m)y+ 2x+m—m?
Gọi A(x¡; yị),B(+x;: y;) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì xị,x; là
Trang 7Câu HH 1 Giải phương trình Xét: log? x + Jlog} x+1-2m-1=0 (2) Điều kiện : x>0 Đặt =vjlogjx+l (£>I) =logiv=/?—l (2) +1-2m-2=0 (*) Khi m = 2: (*) 1 +t—6 =0 “ log x+1 =2 © log? x=3 PS > 0; xX+1= > 10 X= 3 t=-3 (logi) 83 Đà log, x= V3 x=343 © ~ logs x=-V3 x=33 Vậy khi m= 2, phương trình cĩ nghiệm : x = 3 Vx= 3a 2 Tìm m để phương trình cĩ nghiệm Ta c: 1<x<3 ô>0<log; x< V3 âI<logix<3 âI<jlogjx+l<2 ©l<r<2 Khi đĩ : (*)c?+r-2=2m, +e[l:2] Xét hàm số: ƒ(/)=¡” +r—2, re[I;2] #'{)=2++1>0, vie[t;2] Bảng biến thiên : t 1 2 f'() + F(t) 4 2 p—— 7” UY, Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu của bài tốn ©0<2m <4 ©0<m<2 Câu II 1 Từm nghiệm x e(0;2Z) Điều kiện : I+sin2x z0
Ta cĩ : cos3x + sin3x =4cos” x—3cosx + 3sin x— 4sinÌ x
=4(cos? x-sin? x)- 3(cosx — sin x)
Trang 8- el cos3x + sin3x
Do đĩ : S[sinxs ——————|zt0s2x+3
I+2sin2x
(cos x — sin x)(I+ 2sin2x)
Trang 9Câu IV 1 Tính điện tích AAMN M, N lần lượt Gọi I là trung điểm BC và H = SI =MN => H 1A tung diém SI va MN Ta c6 : ASAB = ASAC => AM = AN => AAMN cantai A > AH 1 MN Mặt khác : (AMN) 1 (SBC) A (AMN)¬(SSC)= MN AH 1 (SBC) = AH 1.5! AH C(AMN) s AH LMN ASAI cĩ AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên cân tại A =SA=Al= Đổ 2 2
ASIB vuơng tai I, ta cé: SI = VSB? — 1B? =,|2¢- 4 4 a2 2
AAHI vuơng tại H, ta cĩ :
AH =VAP —IH? = -jA"-(Š (#] ep ee
Ngồi ra : Mw=Lpe«° ane lơ
Diện tích AAMN là :§ =2 AH.MN = ob otto oe V10 (4, lát)
2 a) Viết phương trình mặt phẳng (P)
A, qua điểm A(0; -2; 0) và cĩ vectơ chỉ phương ø = (2; 3; 4) A, qua diém B(1;2;1) và cĩ vectơ chỉ phương 6 =(1; 1; 2)
Trang 10a CĨ : > Y3 mm 3 cự vã 3 irs 5 f r MH- j(t—1) +Ít+1} t(+—3} =6f2 ~12r+!1] = j6 =Ì) +525 > minMH = V5, dat dude khi t= 1 ‘ay điển cần tìm là /7(2; 4; 3) ‘Au V » Tim« acé: BC)AOx = B10) *
Mat A(c0)e Ox (al)
Trang 12ĐỀ SỐ 2
ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG, KHỐI B, 2002
âu L (Đại học: 2,0 điểm ; Cuo đẳng : 3.5 điểm)
"ho hầm số y = mà” + (me -9)a7 +10 (1) (m là tham số)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= I
| Tìm m để hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị
"âu II (Đại học: 3,0 điểm ; Cao đẳng : 3,0 điểm)
Giải phương trình : sin” 3x —cos* 4x = sin? Sx — cos? 6x
„ Giải bất phương trình : log, [oe( -72)| s1 đJA-y=vx-y
x+y=dx+y+2
Mau TIL (Đại học: 1,0 điểm ; Cao đẳng : 1,5 điểm) ‘inh dién tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2 2 x x y= \/4-— tà y=—=
: 4 ` 4/2
3âu IV (Đụi học:3,0 điểm ; Cao đẳng: 3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đểcac vuơng gĩc Oxy cho hình chữ nhật
„ Giải hệ phương trình :
ABCD cĩ tâm {30} phương trình đường thẳng AB là x—2y+2=0 va AB=2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A cĩ hồnh độ âm
„ Cho hình lập phương ABCD.A,B,C, D, cĩ cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thing A,B va B,D
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạch B,B, CD, A,D, Tính
gĩc giữa hai đường thẳng MP và C,N
"âu V (Đại học: 1,0 điểm)
Tho đa giác đều A,A; A, ›„(H>2, n nguyên) nội tiếp đường trịn (O) Biết ằng số tam giác cĩ các đỉnh là 3 trong 2n điểm A,.4;, ,4;„ nhiều gấp 20 lần
ố hình chữ nhật cĩ các đỉnh là 4 trong 2n điểm Ar.4› 4;„ Tìm n
3hi chú : 7í xinh chỉ thí cao đẳng khơng làm Câu TV 2.b) và Câu V
GIẢI
cau I
| Khdo sat ham sé khim=1
Chim = I, tacé :y=x4 -8x? +10
Trang 14» Timn acĩ: y=4mx” + 2(m? -9)x =0 4m) +2(mŠ=9)x=0— (1) r=0 > f(x) =2mx? +m? -9=0 (2)
'êu cầu5ài tốn <> phương trình (1) cĩ ba nghiệm phân biệt
© thương trình (2) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 0
2m #0 mz0 4
=A, =-2m(m? -9)>0 m<~3 hay0<m<3 c |" Š”
33 0<m<3
#(0)=m?~9+0 ee
'ây giá rị cần tim la: m<-3v0<m<3
‘au IL Giải phương trình
a cĩ: sn” 3x—cos? 4x =sin? 5x —cos” 6x
>z -eos6x) ~ ( +eos8z) =2(I ~eosl0z]~ 2 (1+ eos12z) 2 cos8 + cos6x = cœ12x +cosl0x <> 2cos7xcosx =2cosl Ilxcos x
> (cos lx~ cos7x)cosx =0 © ~2sin9xsin2xcosx =0 _“ sin% =0 9x=kz een >|, sinx =0 2x=lxz = a x =I= 2 ea ee 'ậy nghệm của phương trình là : 9 (k,!<Z) x=12 „ Giải lất phương trình 0<xzl liểu kia: 49“ =72 >0 © x>logg73 logs (9* -72)>0
thi đĩ: log„ (logs (9" - 72) <I© log,(logs (9" - 72)) <log, x
©ogs(9*—72)<x e3?*~3”~72<0 e3” <9 œ x<2
io vdi déu kiện, ta cĩ nghiệm của bất phương trình là : logạ73 < x <2
Trang 153 Giải hệ phương trình ee (1) x+y=dx+y+2 (2) Ta cĩ: () x-y20 x-y>0 w= DO Ibo ° @x=yv TS (x-y)=(2-y) @-z@-y-=0 7 S yeael đ Vix=y: (2)â2x=v2x+2 2x>0 x>0 x>0 © 2 2 ° | t= p= 2x+2=4x 2x -x-I=0 #+=lVư=-> © Với y=x—l, x-y>0: (2)€>2x-I=2x+l th ` 2° 2 2x+1=(2x-1) 2x2 -3x=0 1 x 25 3 1 - c© ©x=_~=y=- (thỏa x-y>0) 3 2 ” 2 x=Ovx=— 2 Vậy, nghiệm của hệ phương trình là : ¬" 3 =! ~ > fy YT y= y=
Câu II Tính diện tích hình phẳng
Phương trình hồnh độ giao điểm của !
Trang 16lựa vào l thị ta cĩ diện tích cần tim: r l6—+°đ: a = t— ) =a" ính S4: ee (vi 6-x ke Mt x=-sint > dx = 4costdt, te -2:5] )ổi cận 7 + a 5, =4Ƒ 16(1 ~sin? 1) cosrdt = 16 [*cos? tdt =8 ¬(I +cos2r)dt 1 = = 4( 1 sin2r] 4 =20+4 0 lay: S:2n+4-5 =2n+4 (dvdr) xâu IV « Tim oa độ các đỉnh
3ọi H Ki hình chiếu vuơng gĩc của I lên AB
hì H là rung điểm của cạnh AB IH JAB => 1H :2x+y+C=0 A = B IellcsC=-l >IH:2x+y—-l=0 tọa độ Ga H thỏa hệ : -ly+2=0 x=0 I ae 4" => H(0:1) 2x-y-1=0~ |y=1 > 1H = (0-4) +(1-0)" = facé: AB=2AD =4/H =2J5
Ace AB => A(2t-2;1),do x, <O0>1<1 1 là trng điểm của AB nên :
pm —xạ=2-2 =B|2-2rn2—t
Trang 173 2 Khi đĩ: AB = 25 <> AB? =20 <> (4-41) +(2-21)? =20 (r=) =1 t=2 (loại * (loại) 1=0 I là trung điểm của AC và BD nên ta cĩ : ©¡=0 =A(-2;0) P(2:2) =2x,—x, =3 f “TEA => C (3:0) %c =2y¡ ~YA =0 peo eae = D(-1:-2) Yp =2y¡ ~yụ =0~2=~2 Vậy các đỉnh của hình chữ nhật là : A(—2:0) B(2:2).C(3:0).D(—I:-2) Cách khác
AIHA vuơng tại H, ta cĩ:
a= Val? +H? = (a2) +0 «(ay (4) -3 5
Gọi (C) là đường trịn tâm I, bán kính R = IA = 5
2
Phương trình đường trịn (C) cĩ dang: (: = | y= =
Hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đường trịn (C) nên tọa độ của A, B là gia:
điểm của đường thẳng AB và đường trịn (C)
Tọa độ của A, B thỏa hệ: x-2y+2=0 pea ra {3 Vv 1 25 © © 6-+/=— y(y-2)=0 \y=0 Do x,<0 = A(-2;0), B(2;2)
1 là trung điểm của AC va BD nên ta cĩ : C(3;0), D(-1;-2)
2 a) Tính khoảng cách giữa A,B va B,D Zz
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta cĩ:
Trang 18Khoảng cách giữa giữa hai đường thẳng A,B và B,D :
[Azà|Aa| — |
d(A,B,B,D) = Taza5] = t= a
vat +4at +a" v6 , b) Tính gĩc giữa hai đường thẳng MP và C,N
M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh 8,8, CD, A,D, nên ta cĩ : (40 3].M[S:«0].p[0:5:«) 2 2 2 = MP= (-«š:š): Gw -{-$.0,-4] 22 2 Goi ¢ 1a géc gitta MP va C\N, tacé: |JMPGN| - sử 0+5-(-a) [MP] ICN ica] "mau." TẾ ae Câu V Tìm n
Gọi đường chéo của đa giác đều đi qua tâm của (O) là đường chéo lớn
Số đường chéo lớn của đa giác đều 2n đỉnh là n
Hai đường chéo lớn của đa giác đều tạo thành một hình chữ nhật
COSØ = =0 =ø=909
Do đĩ, số hình chữ nhật được tạo thành từ 2n đỉnh của đa giác đều là :C?
Số tam giác cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đều là: C3„
Trang 19ĐỀ SỐ 3
ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG, KHỐI D, NĂM 2002 Câu L (Đại học: 3 điểm : Cao đẳng : 4 điểm)
—(2m-1)x—mẺ ——
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (2) cla ham sé (1) wong tng voi m= —1
2 Tính diện tích hình phẳng giới han bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ
3 Tìm m để đồ thị (1) của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x
Câu II (Đại học: 2,0 điểm : Cao đẳng : 3 điểm)
1 Giải bất phương trình : (2 -3x)\2x”-3x~2 >0
23 =5y? —4y 2 Giải hệ phương trình :4 ¿+ „ 2x*!
2° +2
Câu IHH (Đại học: 2 điểm ; Cao đẳng : 1 điểm)
Tìm thuộc đoạn [0: 14] nghiệm đúng phương trình :
Cho hàm số: y (1) (mlà tham số)
=y
cos3x—4cos2x + 3cosx-4=0
Câu IV (Đại học: 2 điểm ; Cao đẳng : 2 điểm)
I Cho hình tứ diện ABCD cĩ cạnh AD vuơng gĩc với mát phẳng (ABC);
AC = AD = 4cm; AB = 3cm ; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) 2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Đềcac vuơng gĩc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-y+2=0 (2m+1)x+(l-m)y+m-1=0 và đường thẳng dạ: | (m là tham số) mự + (2m + Ï)z+ 4m + 2 =0
Xác định m để đường thẳng d„ song song với mặt phẳng (P)
Câu V (Đại học: 2 điểm)
1 Tìm số nguyên dương n sao cho :C¡ +2C) + 4C + +2"C7 = 243
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đếcac vuơng gĩc Oxy, cho elip (E) cĩ
2 v2 wey
hương trình : ——+“— =1
, š l6 9
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tỉa Oy sao
cho đường thẳng MN luơn tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ của M, N để đoạn
MN cĩ độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đĩ
Ghi chú: Thí sinh chỉ thi cao đẳng khơng làm câu V,
Trang 20GIẢI 1 Khảo sát hàm số khi m = — Ï 34 - Khi m = -1, ta cĩ: y= eal x-l ® Miễn xúc định:2= 3\{1] 4 e y= > 20, Vee D (x=1} e_ Giới hạn và tiệm cận:
lim y=# =x= l là tiệm cận đứng
Trang 21eft es
m-\=|1-x m=2-x ® Vớim=2-x:
()=(x-U =0: vơ nghiệm với mọi x #l => m= 2—x khơng thỏa
© Với m=x : (1) luơn luơn đúng với mọi x #1
=mzl thỏa yêu câu bài tốn Vậy giá trị cẩn tìm là : m #l Câu H 1 Giải bất phương trình : Ta cĩ: (x ~3x).V2x" -3x-2>0 1 2x? -3x-250 |X”~2Y*=2 ye! ° Kì -3x-2>0© reek vx>2 x?-3x>0 2 x<O0v x23 ©œx<-2vx=2vx>3 Vậy nghiệm của bất phương trình là : x < 5 vx=2v x>3 2 Giải hệ phương trình 2** =5y? =4y (I) Xét: 4'+2 x x~+l = 2* +2 2*(2* +2) : 2° =y@2*=y>0 2) 27+2 » Thé vao (1), tac6é: y? =Sy? ~4y < y? -5y+4=0 (do y>0) es y=l>x=0 y=4>x=2 x=0 Íx=2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là {* iY { 7 y= y=
Câu II Giải phương trình
Ta cĩ: cos3x - 4cos2x + 3cos x - 4 =0
«>4cos” z~3cosx=4(2cos” x~l)+3cosx~4 =0
© cos? x.(cosx-2)=0
Trang 22cosx =0 tr ° ©x=>~+kz (keZ) cosx =2 (loại), 2 3 Sx 7x Vi xe|0;14]=x=Zvx=S=vx= vx=— 2 2 2 2 Vậy nghiệm của phương trình là: x “5 Vvxz=—vx—vx= =" Cau IV
1 Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phang (BCD)
Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên BC D BC LAH | BC LAD (do AD L(ABC)) = BC L(ADH) Mà 8C c(BCD) = (ADH) 1 (BCD) theo giao tuyến DH Kẻ 4K | DH (K€ DH) thi AK (BCD) => AK là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) B Ta cĩ : AB? + AC? =l6+9=25=8C? = AABC vuơng tại A 1 1 1 1 1 _ 25 >——=——D—=-+ —
AH? AB? AC” 9 16 144
AADH vuơng tại A, ta cĩ: -—_l ,„ 11, 25 17 AK? a AH? 16 144 72 Ta cĩ ; = aK = £2 (om ) Cách khác:
Ta cĩ : AB? + AC? =16+9=25= BC? = AABC vuơng tại A => AB L AC
Trang 24ĐỀ SŨ 4
ĐỀ THAM KHẢO SỐ 1, NĂM 2002
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số :
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 8
2 Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hồnh tại bốn điểm phân
biệt
Câu II (2 điểm)
1 Giải bất phương trình : log, (4" +4) > log, (2””'!=3.2)
2 2
xt mx? +m-1 (1) (m là tham số)
2 Xác định m để phương trình : 2(sin* x+cos* x) +cos4x + 2sin2x-m=0
cĩ ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [az]
Câu HI (2 điểm)
1 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA
vuơng gĩc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng $4 = :
I 3
2 Tính tích phân 7 =[——dv
0x +1
Câu IV (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đểcac vuơng gĩc Oxy, cho hai đường trịn
(C,):? + y? -10x=0, (C,):x7 + y? +4x-2y-20=0
1 Viết phương trình đường trịn đi qua các giao điểm của (C¡).(C¿) và cĩ tâm nằm trên đường thẳng x+6y—6=0
2 Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường trịn (C¡) và (C;) Câu V (2 điểm)
1 Giải phương trình: J/x+4 4+ Vx—4 =2x-12+42Vx? -16
2 Đội học sinh giỏi của một trường gồm I8 em, trong đĩ cĩ 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối L1 và 5 học sinh khối 10 Hỏi cĩ bao nhiêu cách cử 8 học
sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối cĩ ít nhất một em được chọn
Câu VI
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miễn trong của tam giác ABC cĩ ba
Trang 252 2 2
Trang 26° Đồ thị: hình bên ˆ
2 Xác định m
Đặt (C„):y =x” — mà + m = |
Phương trình hồnh độ giao
điểm của (C,„) và trục Ox: 2 xt — mx? +m-1=0 (1) Dat f= x", ¿>0 ()=“ —mt+m—-1=0 (2)
Yêu cầu bài tốn > phương trình (1)
tĩ 4 nghiệm phân biệt > phương trình
(2) cĩ 2 nghiệm dương phân biệt A=nt —4m+4>0 mì > | ©$S=m>0 =| : m#2 P=m-l>0 Cau IL 1 Giải bất phương trình Ta cĩ : logi (4 +4)> log (22s! “32 2 2 4% 445239" 2 4*-3.2"-420 2* <-1 (loai “| (loại) 2* 24 2x22 2 Xác định m để phương trình cĩ nghiệm x e [=|
Ta cĩ : 2(sin* x+cos* x) +cos4x+2sin2x-m=0 © 2ÍI ~2sin? xcos? x) +cos4x+2sin2x—m=0
Trang 27Bảng biến thiên x y’ y Y Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bai todn <> 2<m< ` Câu IH
1 Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) Gọi H là trung điểm của BC, ta cĩ : S BC 1 SA (do S41 (ABC)) => BC 1 (SAH) Mà BC c (SBC) = (SAH) 1 (SBC) theo giao tuyén SH Goi K là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SH thi AK L(SBC) = 4K là khoảng cách từ A dén mat phang (SBC) lx LAH (do AABC đều)
AABC là tam giác đều cạnh a nên 47 = “
Trang 28=
x°+y?~10x=0 {xt ag? —10x=0 Ce sna Ì?x y-l0=0 of 0 es [ | : Ix = 2
y=7x-10 |y=-3 ° [y=
=> C6 hai giao điểm là 4(1:-3) B(2:4)
đợi (C) là đường trịn cần tìm và I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C)
facé: Led:x+6y—6=0= /(6-61; 1) C) qua A,B <> /4=/B=R => 14 = 1B
© (6r-5)" +@+Ÿ =(6 -4y +(4-1)
eo t=-1=9 1(12:-1), R=5V5
*hương trình đường trịn (C) cĩ dang: (x — I3} +(y+ Ỷ =l125
Ệ Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường trịn (C,) và (C
(C,) va(C,) cĩ tâm và bán kính lần lượt là: 7¡(5:0) =5: /;(—2:1).Rạ =5
[a cĩ: Jụly =(-7:1) => ly =5V2 =0= Rị — R; < l1; < Rị + Rạ =10
=(Œ).(C;) cắt nhau =Cĩ hai tiếp tuyến chung
Soi A là tiếp tuyến chung của (C;),(C;
2o =2 =5 nên A////1; => A nhận 77; làm vectơ chỉ phương
Trang 29x -16=(8-x)° x=5 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 5
2 Số cách chọn 8 học sinh trong đội đi dự trại hè
Chọn 8 học sinh tùy ý từ 18 em trong đội tuyển : Cĩ Cử cách
Ta xét các trường hợp khơng thỏa yêu cầu bài tốn: © _ Chọn 8học sinh khối 10 và khối 11: C6 Ch cach
© _ Chọn 8học sinh khối 10 và khối 12: Cĩ Cï cách
Trang 302.2.2 acs
= EE (ar byes) Ls tot)! 2R c (dx+dy+ vz)
aie dp ties foe (dpem) b y=£ II Ú) q ¢ x II Đẳng thức xảy ra khi: | Cách khác:
Diện tích tam giác ABC là:
Trang 31BE $05
DE THAM KHAO SO 2, NAM 2002 Câu L (Đại học : 2,0 điểm)
1 Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình : A) +2C7” <9n, trong
đĩ 4$ và CẺ lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử
tay Pe I :
2 Giải phương trình : +o (x+3)+ 5 logy(x~ là =log; (4x)
Câu II (Đại học : 2,5 điểm) '2—2x+m
x-2
1 Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn |- l: 0| 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (I) khi m = I
3 Tìm a để phương trình sau cĩ nghiệm: gi -(4+2)3°frẺ +2a+1=0 Câu III (Đại học : 1,5 diém) mì 4 1 Giải phương trình : “ = sog2x —— ; Ssin2x 2 8sin2x
2 Xéttam gidc ABC cĩ độ dài các cạnh AB =c ; BC =a ;CA =h
Tính diện tích tam giác ABC, biết rằng : bsinC(b.cosC + c.cos 8) = 20 Câu IV (Đại học : 3,0 điểm)
1 Cho tứ diện OABC cĩ ba cạnh OA; OB và OC đơi một vuơng gĩc Gọi
a, B, y lần lượt là các gĩc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OCA) và (OAB) Chứng minh rằng :cosơ + cosB + cosy < V3
2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Đểcac vuơng gĩc Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-y+z+3=0 và hai diém A(-1; —3; —2),B(-5; 7; 12)
a) Tim toa độ điểm A' là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)
Trang 32GIẢI Câu I 1 Tìm n <.V* neN' Điều kiệt: J”' |n 2S 3 ee) nt nt Ta cĩ: A, +2C)° <9n <> —— +2 —>—_— $9n (n-3)! “(n —2)12! - ©n(n~ I)(n~2) + n(n =1) <9n
©€©n°-2n-8<(U es3<n<4 (do n 23)
So với điều kiện, ta cĩ nghiệm của bất phương trình là: n=3vnú=4 2 Giải phương trình:
re x>0 Điều kiện :
x#l
Ta cĩ: Sloe ys (x+3)+ plows 1)* = logs (4x)
Trang 33Bảng biến thiên x =' 0 f'(x) _ = 27 f(x) oo Ty bang bién thién, ta thay yéu cau bai todn <> m2>9 2 Khảo sát hàm số khi m = 1 x?—2x+l 1 —————=x+ Khi m= l, ta cĩ : y= x-2 x-2 ¢ Mién xdc dinh : D= R\{2} er H-4e43 , x=l>y=0 y'=;.y=0â (x-2) x=3> y=4
 Gidi han va tiém can:
Trang 342 x" -2x+1 X= =a (doxe [3:9]) Ta c6 : y(3) =4, ¥(9) -= Phương trình (1) cĩ nghiệm <&> Đồ thị (C) và đường thẳng y = a cĩ giao điểm 4 64 trong đoạn [3; 9] Yêu cầu bi tn âđ 4<z< a Cau Ill 1 Giải phương trình Điều kiện : sin2x #0 © x# lệ (<2) o4 4 sin” x+cos x 1 I “ Ta cĩ : ————————=~C0L82x#——— ° 8(sin" x+cosÍ +) =20cos2x-5 Ssin2x 2 8sin2x © sÍI ~2sin” xcos? x) = 2cos2x-5 <> 8-4sin? 2x = 20cos2x—-5 c8 -4Í —cos? 2x) =20cos2x-5 > 4co0s?2x-20cos2x-9=0 (loi) 7 =cos— 3 cos2x = cos2x = M[— H/o ©œ2xr=+.+2z Sư kế + (keZ) So với điều kiện, ta cĩ nghiệm của phương trình là : x = or +kz (keZ) 2 Tính diện tích AABC' Theo định lí sin, ta cĩ : a=2Rsin A, b=2RsinB, c=2RsinC Do d6 : bsinC(bcosC + ccosB) = 20
<> 2Rsin BsinC(2R sin BcosC + 2RsinCcosB) =20
<> 4R? sin BsinC(sin BcosC + sinCcosB) = 20
<= 4R’ sin BsinCsin(B+C) = 20 < R?sinAsinBsinC =5 oR A P85 6 19 8-10 2R 2R 2R 4R
Câu IV
1 Chứng mình
Chọn hệ tọa độ Đềcac vuơng gĩc Oxyz như hình vẽ
Giả sử Ø4=a, OB=b, OC =e (a,b,e >0)
ta cĩ : O(0:0:0) 4(a;0;0), 8(0;ð;0),C(0;0;e) 2
Trang 35Phương trình mặt phẳng (ABC) cĩ dạng : Rey
a be
Các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) va
(ABC) cĩ vectơ pháp tuyến lần lượt là ï=(:0;0),j=(0:1;0).K =(0:0:1) n= (2 z|- 1 a Do a, B, y lần lượt là các gĩc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OCA) (OAB)nên ta cĩ : ey 2 7 (of cosa = ia = a ¡ cosB= | j = ll Ihli se 1 | € €05?=roai=——E— Pa fi xui a2 b` cŸ 1 | l Phê in Suy ra: cos” ø + cos? + cos” y = t 5 =Ï ee e Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta cĩ :
(: +1 + (cos? a+cos? B+ cos? ) =v3 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi : cosœ =cosj] = cosy < œ =j=y
2.4) Tìm tọa độ điểm A'
Mặt phẳng (P) cĩ vectơ pháp tuyến đ =(J; - l; 1)
1.cosœ + I.cos + Ì.cosy <
Trang 36Điển A' đối xứng với A qua (P) nên I là trung điểm AA': ta: = 2X) -Xq =-44+1=-3 =4!'4:=2y¡=YA=-4+3=-l =At(-3;-l;—4) ti =274T—ZA=-6+2=-4 b) Tm giá trị nhỏ nhất Đặt (x.y,2z)=x-y+z+3 f(A)=3 ( ) =f(A)f(B)>0 |I(B)=3
= AB nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P)
Giao điểm của A"B với mặt phẳng (P) là điểm M cần tìm
Thậtvậy: Xét điểm M, thudc (P), ta cĩ : MụA+ MụB = MụA '+ MụB > A'B (cố định)
Mặt lhác: 4'B = MA'+ MB = MA+ MB Suy n: MụA + MạB > MA +MB
Đườm thẳng A"B qua điểm A' và nhận
Trang 37ĐỀ SỐ B
ĐỀ THAM KHẢO SỐ 3, NĂM 2002
Câu L (Đại học: 3,0 điểm; Cao đẳng: 3,Š điểm)
Cho hàm số : Y= 2X + mR =2x~2m =2 (1) (mà tham số)
1 Chom= +,
2,
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b)_ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đĩ song
song với đường thẳng d: y=4x+2 5 3 i zr 28 2 Tìm m thuộc khoảng (s‡) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và các đường x = 0, x = 2, y = 0 cĩ diện tích bằng 4 Câu II (Đại học: 2,0 điểm; Cao đẳng: 2,5 điểm) x-4|y|+3=0 Vlog, x - Jjlog; y =0 (2 = sin? 2x)sin3x 1 Giải hệ phương trình : | 2 Giải phương trình : tg'x + = ¬ cos X
Cau II (Dai hoc: 2,0 điểm: Cao đẳng: 3,0 điểm)
1 Cho hình c ¿p S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cach a, SA vudng gĩc
với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính
theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE
2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Đểcac vuơng gĩc Oxyz cho đường thẳng
{2x+y+z+1=0
{ +y+z+2=0 va mat phing (P): 4x -2y+z-1=0
Viết phương trình hình chiếu vuơng gĩc của đường thẳng A trên mặt phẳng (P)
Trang 39e Đồ thị: hình bên y
b) Viết phương trình tiếp tuyến Gọi A là tiếp tuyến cẩn tìm
Trang 404 0 Ta cĩ: S=4 eit Bag om= Nil n — Dia cố Enurosbe set 2d bo e, BA I Vậy giá trị cần tìm là : m “3° Cau II 1 Giải hệ phương trình x~4|y|+3=0 (1) Vlogyx -Jlogyy =0 (2) 2) Jlog, x = Vlog, y * logyy 20 y>I y2l ° = 7° Ề log, x = log; y logy x =logyy x=y y=lSx=l Xét Khi đĩ : (I) i dc (1) y7 -4y+3=0 © x y mi =] = Vậy nghiệm của hệ phương trình là Ÿ iY Ũ y=l ly= wo 2 Giải phương trùuÝ š Diéukign:cosx #0 csxz< +kx (keZ) + „ (2-sin? 2x)sin3x Ta cĩ: tg*x + | =~—— ~ cos* x
sin‘ x +cos*x =(2-sin? 2x)sin3x <= 1-2sin? xcos? x =(2 —sin? 2x)sin 3x ol -5sin? 2x =(2 —sin? 2x]sin3x c© 2É —sin? 2x) =(2-sin? 2x)sin3x =© (2-sin? 2x)( sin 3x -3) =0
sin°2x=2 (loại) |3x=Z+k2m tak
© sindx sy Sain : Ị 1 ol - e©| l8 3 (keZ)
3x= 22+ kon xa k et
So với điều kiện, ta cĩ nghiệm của = r inh là ;
xe y ne OS kế (keZ) vx=