PHAN | KIEN THC CO BAN - Vi Dd - BAI TAP Chuong I MENH DE - TAP HOP S4 Ménh dé A KIEN THUC CO BAN 1 Mệnh đề
Tu gọi là ménh dé logic hay ménh dé tốn học, nĩi gọn la mệnh đề một cầu kháng định thoa màn các yêu cầu :
1i Khăng dịnh hoặc đúng hoạc sai thuật bài trung) 3) Khơng được từa đúng, từa sai (luật phỉ mâu thuần!
Các cảu dụng như "Bơng hoa đẹp quá”, “Mở cửa ra” “hơng phái lẻ mệnh đẻ tlogic)
.- Phủ định một mệnh đề
Mệnh đẻ cĩ khẳng định trải ngược tới kháng định của mệnh đề A gọi là mệnh đề phú dịnh của mệnh để A, bí hiệu là \ Như cậy:
new A ding thi A sai nếu A sai thì 4 đúng
Ví dụ : A = "2006 la s6 chia hét cho 3" “= "2006 khong chia het cho 3°
Ménh dé kéo theo
Cho hai ménh dé A va B Ménh dé: "Néu A thi Bˆ được gọt lạ mệnh đề kéo theo, ki hiéu la A => B
Vidu: A= "Tam gidc ABC la tam gide can"
B= “Tam giác ABC cĩ hai đường trung tuyén bang nhau" A => B= “Nếu tam giác ABC là tạm giúc căn thì nĩ cĩ hat đường trung tuyên bằng nhu”
Trang 44 Mệnh đề tương đương
Cho hai ménh dé A va B Mot ménh dé co dang: "A > Bva B > A" được gọi là mệnh đề tương đương, kí hiệu A = B Ménh dé A => B được phút biếu dưới dạng : "A nếu va chi néu B" hay "A khi va chi khi B" Ménh dé A B dúng khi A tà B cùng đúng hay cùng sai
Vĩ dụ : A = "Số tự nhiên n chia hết cho 6”
B= “Số tự nhiên n chia hét cho 2 va chia hét cho 3"
A B= "S6n chia hét cho 6 khi va chi khi chia hét cho 2 va chia
hết cho 3”
Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định phụ thuộc tảo một hay nhiều biến mà câu đĩ chỉ là một mệnh đề khi cho biển một giá trị xúc dịnh Ví dụ : "Số tự nhiên x chia hết cho 5" : Câu này khơng phái là mệnh
đẻ :
Với x = 1ã thì nĩ là một mệnh đề đúng Với x = 6G thì nĩ là một mệnh
dé sai
Ki hiéu V va ki hiéu 4
Cho mệnh để chứa biển P(xv), tx là biển) Câu khẳng định voi mdi giá trị bất kì của x thuộc tập lợp X thì P(x) là mệnh đề đúng được bí hiệu là : tx eX:P(v)
Câu khang dinh cĩ íL nhất một giá trị x thuộc X mệnh đẻ Pix) đúng
được kí hiệu là : % « X : Pix)
Taco: a) VxecX :P(x)=3ve X: P(x) b) Gjxe X: Plexi =Yxe X: Pex)
B CAC Vi DU GIAI TOAN 1.1 a) c) a) b)
Trong các câu cho dưới đây, câu nào là mệnh đề :
Cuba là một nước thuộc chau Mi b) x là một số chăn
Trang 5€) 1.2 a) b) a) b) 1.3 a) b) a) b) 1.4
cùng cĩ thê sai, phụ thuộc vào x là số nào
d) Khong phái là các mệnh đẻ Bởi vì các câu này khơng cĩ tính chất khang định
Phát biểu mệnh để A => B và xét tính đúng, sai của nĩ trong các trường hợp sau đây :
A = “Tam giác MPQ cân"
B = "Tam giác MPQ cĩ hai đường cao bằng nhau” A = "2004 chia hét cho 3” B = “2005 chia hết cho 4" Hướng dẫn A => B = "Nếu tam giác MPQ cân thì nĩ cĩ hai đường cao bàng nhau” Mệnh đẻ đúng
A => B = "Néu 2004 chia hét cho 3 thì 2005 chia hết cho 4” Trong truong hop nay A dung, B sai Do đĩ A => B sai
Phát biểu mệnh để A B và xét tinh dung, sai cua nĩ trong các trường hợp sau đây :
A = "Tam giác MPQ vuơng”
B = "Tam giác MPQ cĩ một gĩc bằng tổng hai gĩc cịn lại” A = "Tứ giác MNP là hình vuơng”
B = "Tứ giác MNP cĩ 4 cạnh bằng nhau" Hướng dẫn
A <+ + "Tam giác MPQ là tam giác vuơng khi và chí khi tnếu và chỉ
nếu) nĩ cĩ một gĩc bằng tong hai gĩc cịn lại" : Mệnh dẻ A = B dung, mệnh đề B -> A đúng Vậy A = B dúng Aso B= "Tu gidc MNPQ 1a hình vuơng khi và chi khi (nếu và chỉ nếu) nĩ cĩ 4 cạnh bằng nhau” Mệnh để A -+ B dúng Mệnh để B =› A = "Tứ giác MNPQ cĩ 4 cạnh bằng nhau thì nĩ là hình vuơng" Mệnh để B = A sai (hình thoi cĩ gĩc nhọn cĩ 4 cạnh bằng nhau khơng phải là hình vuơng) Vậy A <› B trên đây là sai
Cho các mệnh để chứa biến : P(n) = "n chia hết cho 6” Qin) = "n chia hét cho 3” Rin) = Pin) => Qin), S(n) = Qin) > Pin)
Trang 6a) b) a) b) 1.5 a) b) a) b)
Phát biêu mệnh đề : vn € N:: R(n) va xét tính đúng sai của nĩ Phat biéu ménh dé vn ¢ N : Sin) va xét tinh dung sai của nĩ
Hướng dẫn
vx ¢ N: Rin) = "Một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nĩ chia hết cho 3
Mệnh đề trên đúng Vì n chia hết cho 6 thì n = 6k, k eN, 6k = 3121
2k eN Vì vậy n chia hết cho 3
vx e¢ N: Stn) = "Số tự nhiên chia hết cho 3 thì nĩ chia hết cho ( Mệnh để này sai; ví dụ 21 chia hết cho 3 nhưng 21 khơng chia hết c 6 Ghi chú : Đề chứng mình : Vx e X: P(x) là sai ta chỉ cần dẫn ra 3x e } P(x) ding Muốn chứng minh 3x e X: P(x) sai ta cần dẫn ra Vx e X: P(x) đúng Cho mệnh đề : "Cĩ số hữu tỉ x mà xỶ = 3"
Dùng kí hiệu để biểu thị mệnh đề trên
Dùng kí hiệu và phát biểu bằng ngơn ngữ thơng thường để diễn d phủ định của mệnh đề chứa biến trên
Hướng dẫn
axe Q: x =2,
3xeQ:x =2 =VWxecQ:x z2
Phát biểu : "Khơng cĩ số hữu tỉ nào bình phương của nĩ bằng 2" hoặ “Bình phương một số hữu tỉ bất kì đều khác 2" C BÀI TẬP TỰ GIẢI 1:6 a) e) e) 17 a) e) d)
Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh để ?
Câu làm bài tập chưa ? b) V2 là số hữu tỉ
Đưa cho bạn chiếc thước kẻ đ) a+ 1 là số lẻ
a+b>3
Phat biéu ménh dé phu định của mỗi mệnh dé sau :
Tu gidc ABCD 1a hinh binh hanh b) Số x là số hữu tỉ
Thổ Nhĩ Kì là một nước thuộc châu Âu
Trang 71.8 a) b) c) 1.9 a) b) e) d) a) b) c) d) Trong moi trudng hop sau day, hay phát biểu mệnh dé A = B va néu rõ tính đúng sai của nĩ A= "Tam giác MNP là tam giác vuơng” sử us + 4k 5 x x 1 Ht
B= "Tam gide MNP co mot dudng trung tuyén bang 5 canh wong dng’ A = "Tứ giác ABCD là hình vuơng”
B = "Tư giác ABCD cĩ hai đường chéo vuơng gĩc”
A="2 là số hữu tỉ" đ) A= "2 là số vơ tỉ"
B="/3 là số vơ tỉ" B= "V3 là số hừu tỉ
Biêu thị các mệnh đề sau bằng kí hiệu :
Bình phương của số tự nhiên thì lớn hơn số đĩ
Cĩ số hữu tỉ x sao cho 16x” - 1= 0
Tồn tại số hữu tỉ mà bình phương của nĩ bằng 3
Tam thức x” - x + 1 eĩ giá trị đương với mọi giá trị thực của x
Diễn đạt bằng kí hiệu và phát biểu bằng ngơn ngữ phủ định của mỗi mệnh đề sau :
Với mọi số nguyên dương n số n” - 1 chia hết cho 3
Cĩ một n tự nhiên ma n* + 1 khong chia hết cho 3
Với mọi giá trị thực của x tam thức x” + x + 1 cĩ giá trị dương €ĩ số tự nhiên n sao cho nÝ + 1 chia hết cho 4 Af dung minh dé vio 4 tudn todin hoc (2 244 (4 ‘ $2 A KIEN THUC CO BAN 1 Dinh li Trong todn hoc thong co dang: A > B A la gia thiét, B la két luan Ménh dé dao Mệnh đề đảo của mệnh đề A = B là mệnh đề B >A Định lí đảo :
Mot dinh li dang A => B la mét ménh đề đúng Nếu mệnh đê đáo
Trang 8của định lí A > B
Luu 5 rang A = B la ménh dé diing (la dinh li), B >A co thé ding, cĩ thế sai
Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều iện cần và đủ
Khi A => B là mệnh đề đúng ta báo A là điều kiện đủ để B hay B là điều biện cần để A
Nếu mệnh đề A B đúng thì ta bdo A là điều biện cần ồ đủ đế cĩ B
hay B là điều kiện cần tà đủ để cĩ A Ta cùng nĩi "A bhì vit chi khi B", hay "A néu va chí nếu B"
Chứng minh định lí
Phương pháp trực tiếp đế chứng nình định lí: “A = B” như sau :
«_ Giá thiết A đúng
e Sử dụng giả thiết uà các biến thức, các định lí đã biết, dùng các
phép suy luận tốn học dé chi ra B đúng
Phương pháp gián tiếp hay được dùng là phương pháp phản chứng
Để chứng mình định lí A = B, phương pháp phản chúng thực hiện như sau :
¢ Gid thiét A dting va B sai
«Ẳ Dùng giá thiết uà các suy luận để dân dén A sai Nhu vay A vita đúng từa sai B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN 1.11 a) b) a)
Phát biểu mệnh để đảo của mỗi định lí sau đây và xét xem cĩ phải là
dinh li dao khơng ?
Một số (tự nhiên) cĩ tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3
Một số (tự nhiên) cĩ chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 5 Hướng dẫn
Mệnh đề dảo : "Một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nĩ chia
hết cho 3” Mệnh để này đúng Đĩ là định lí đảo cúa định lí đã nêu Ta chứng mình như sau :
Gia sux e N, x = a,a,_j.- a,a), trong dé aj, a, _}, ., a), ay là các chữ
Trang 9b) 1.12 a) b) a) b) 1.13 b) b) 1.14 a) x = 101, + 10 ta, pt + 10a, + a = 99.90, 499.90, p + + Đây + ay + ý ¡+ + 8ị +idụ "đ Ichí " 2chứ
II 3(33 3a, + 33 3a, ¡ + +Ổai) + a, ta, pt ay + AY
Từ giá thiết x chía hết cho 3, hạng tử thứ nhất về phải chia hét cho 3,
SUV raa, +a, 1+ + a; + a, chia het cho 3
Mệnh dễ dao : "Mot so chia hét cho 5 thi chu’ sé tan cing là 0”, Mệnh de nay sai Vi du 15 chia hết cho 5 nhưng chữ số tận cùng khác 0 Mẹnh để này khơng phải là định lí đảo của định lí đã nêu
Dùng thuật ngữ “điều kiên cần" để phát biểu lại các định lí sau đây : Tổng của hai số là một số dương thì cĩ ít nhất một trong hai số đĩ là
số dương
Trong mật phăng hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau
Hướng dẫn
Điều kiện cản để tổng của hai số lớn hơn 0 là một trong hai số đĩ lớn
hon 0
Điều kiện cần để hai dường thắng trong mặt phẳng song song với
nhau là chúng cùng song song với một đường thẳng thứ ba * Dùng thuật ngữ "điều kiện đủ" để phát biểu lại các định lí sau đây : Tong cua hai số là một số dương thì ít nhất một trong hai số ấy là số đương Mọt tứ giác nội tiếp trong đưỡng trịn thì tổng hai gĩc đối của nĩ bằng 180" Hướng dẫn Điều kiện đủ de trong hai số cĩ ít nhất một số dương là tổng của hai so dé la số đương
Điều kiện dủ để tổng hai gĩc đối một tứ giác bằng 180” là nĩ nội tiếp
được trong một dường trịn
Trong các định lí cho dưới đây, định lí nào cĩ định lí đảo ? Trong trường hợp cĩ định lí đảo, hãy phát biểu định lí đã cho với thuật ngữ
"điều kiện cần và đủ”
Nếu tử giác T là hình thoi thì hai đường chéo của T vuơng gĩc với nhau
Trang 10b) a) b) 1.15 a) b) a) b) 1.16 10
Trong một đường trịn (hay hai đường trịn bằng nhau) nếu hai dây cung bảng nhau thì nĩ cách déu tam
Hướng dẫn
Mệnh đề đảo của định lí là : "Nếu tứ giác T cĩ hai đường chéo vuơng gĩc thì T là hình thoi” Mệnh đề này sai Vậy định lí đã nêu khơng cé định lí đảo
Mệnh để đảo của định lí đã nêu : "Hai dây cung của một đường trịn
thoặc hai đường trịn bằng nhau) cách đều tâm đường trịn thì bằng
nhau" Mệnh đẻ này đúng và là định lí đảo của định lí đã nêu Định lì
đã cho cĩ thể phát biểu 4 cách như sau :
"Điều kiện cần và đủ dé hai dây cung của một đường trịn bằng nhau
là chúng cách đều tâm của đường trịn”
“Điều kiện cản và đủ để hai dây cung của một đường trịn cách đếu
tâm đường trịn là chúng bằng nhau”
"Hai dây cung của một đường trịn bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm của đường tron”
“Hai dây cung của một đường trịn bằng nhau nếu và chỉ nêu chúng
cách đều tâm của đường tron” Chứng mình bằng phản chứng định lí sau : Nếu tổng hai số thực lớn hơn 2 thì ít nhất một trong hai số đĩ lớn hơn 1 Tích của ba số là một số dương thì cĩ ít nhất một trong 3 số là sơ dương Hướng dẫn Cho a b ¢ R, a + b > 2 Gia su trong hai số a, b khơng cĩ số nào lớn hơn 1, nghĩa là a < 1,b < 1
Thế thì a + b < 2, trái với giả thiết a + b > 2
Vậy phải cĩ ít nhất a > 1 hoặc b > 1
Cho a, b ¢ € R, abe > 0 Gia sv trong cac sé a, b, ¢ déu nhỏ hơn 0 thì
abe < 0, trái với giả thiết
Vậy phải cĩ ít nhất một trong 3 số lớn hơn 0
Trang 111.17
b)
a)
Hướng dan
Choa b+ Za’ + b* : 3 Gia su cé it nhat mét trong hai sé a, b khong chia hết cho 3, nghĩa là ta cĩ : a=3k+t, véit) ke Z0<t, <3 b= 2h + t¿ với th e Z và 0 <t¿< 3 với tị t¿ khơng đồng thời bằng 0 a +b* z 9kˆ+6kti+ Ey + 9h“ + 6ht„ + ts 3(2k* + Qh? + Qkt, + Vhtyy + tỷ +tš => tị tt = a '+b'-ân, véi n= 2k? +4 2h? + Qkt, + 2ht, e Z Vẽ phải của hệ thức cuối chia hết cho 3, trong khi tỷ + tỷ khơng chia hết cho 3 khi 0 <t¡<3.,0 <t¿< 3 và tị, t¿ khơng đồng thời bang 0
Điều này mâu thuần (Xét (tị, t¿) e (0: 1) (0; 2), (1; 0) (1; 1), (1; 9),
(2:0), (2; 1), (2: 2)01) Vậy chỉ cĩ thể a, b đồng thời chia hết cho 3
_ PHƯƠNG PHÁP CHUNG MINH QUY NAP _|
Để chúng mình định lí cĩ dạng : vn e X : Pin), trong dé Pin) la ménh đề chứa biển n lấy giá trị thuộc tập hợp con Ä của tập hợp số tự nhiên N
X=/n eNin >~nạJ, ta thực hiện như sau : Bước 1: Chúng tĩ rằng P(n,) là mệnh đề đúng
Bước 3: Giá sứ Pth) dùng uới b > nạ, chứng ninh rằng P(k + 1 đúng Phương pháp chiting minh nhu vay goi là phương pháp quy nạp Dưới đáy là một vai vi du cu thé
Chimg minh bang phuong phap quy nap :
Với mọi n € N sé Bin) = n’ + 11n chia hét cho 6
Trang 1212 b) a) b) a) (k+1J'+ 11k+1) = kÌ+11k+ 3k” + 3k + 12 k'+ 11k + 3kŒk + 1) + 12 (1)
Trong hai số k và k + 1 cĩ một số chân nên 3k(k + 1) chía hết cho 6, k}+ 11k chia hết cho 6 ttheo giả thiết quy nạp) Vậy vẽ phai của (1) là
số chia hết cho 6 Do đĩ tk + 1)” + 11(k + 1) chia hết cho 6 Nhu vay
định lí đúng với n = k + 1
Kết luận : Với mọi n €N số n” + 11n chia hết cho 6
Bước T: Với n = 1 ta cĩ : os cĩ, Hệ thức đúng với n = 1 12 141 Bước 2 : Gia sử hệ thức đúng với n = k > 1, tức là 1 +—+ + 1 1 k 12 23 7 "kk+l k+l Với n = k + 1 vế trái hệ thức cĩ dạng : 1 | EF———— 1 kk+l;| (k+1)Œ + 3) [1 1 |-—+-—z+ + 11.2 23 k + 1 — ktk+2)41 = = (k#lÙP kzl1 = k+l (k+l(k+2) (k+l(k+2) (k+l(k+2) k+2 Vậy hệ thức đúng với n =k + 1
Kết luạn : Hẹ thức đúng với mọi n nguyên đương - Chứng minh bằng phương pháp quy nạp :
Với n nguyên dương ta cĩ hệ thức :
EtŠ# „uc ROY (1) 2 Với mọi n nguyên dương ta cĩ hệ thức : lẾ 8+ nÉ= n(n + = +1) Q) Hướng dẫn
Bước 1: Với n = 1 ta cĩ: 1= Ty Ty Hệ thức dúng với n = 1
Bước 3 : Giá sử hệ thức đúng với n = k > 1 tức là ta cĩ :
k(k + 1)
2
Trang 13Voi n =k + 1 vé trai (1), theo két qua (3), co dang : [ 1 | KH TỦ +1=<đk+Ð) Ki 2 l5 3 (1l+23+ +kl+k+l= (k + 1)Uk + 2) 2 Nghĩa là hệ thức (1) đúng với n=k+ 1 Kết luận : Hệ thức (1) đúng với mọi n nguyên dương z_ 11+1/2+1) 6
b) Bước 1: Vớin= ltacĩ:1 „ nghĩa là (2) đúng với n = 1
Bước 3 : Gia sử (2) đúng với n = k, nghĩa là ta cĩ : ktk + 12k +1) 1+2”+ +k?= ————— (4) 6 Từ (4) vế trái của (2) với n =k + 1 cĩ thể viết PaO» + ack « Te k(k +1)(2k + 1) 6 +(k +1)? = ậi| Fe +1 : T1 y4 1} ac +1) 2 tks Ok +6 +kr6h xế | i 6 | | oi J (k + 100k + 2){20k + 1) + 1] 6 Vậy hệ thức (2) đúng với n =k+ 1 Kết luạn : Hệ thức (2) dúng với mọi n nguyên dương C BÀI TẬP TỰ GIẢI
1.19 Phát biểu mệnh để đảo của các định lí sau đây và trong mỗi trường
hợp xét xem mệnh để đảo cĩ phải là định lí đảo khơng a) Mỗi tam giác vuơng cĩ một gĩc bằng tổng hai gĩc cịn lại b) Hai đường chéo của hình thoi thì vuơng gĩc với nhau
ce) Hình bình hành cĩ các đường chéo cắt nhau tại trung diêm của mỗi dường
1.20 Dùng thuật ngữ "điều kiện cần" để phát biểu lại mỗi định lí sau :
a) Trong một hình chữ nhật thì hai đường chéo bằng nhau
b) Trong một tam giác cân thì đường trung tuyến ke từ đỉnh cùng là đường cao của tam giác đĩ
Trang 141.21 a) b) 1.22 a) b) 1.23 a) b) ce) 1.24 a) b)
Phát biểu lại mỗi định lí sau đây bằng thuật ngữ "điều kiện đủ' : Nếu số tự nhiên n chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của n chia hết c
9
Trong mặt phẳng, hai đường thăng (phán biệt) cùng vuơng gĩc với n đường thăng khác thì chúng song song với nhau
Phát biểu định lí đảo của định lí sau đây rồi dùng thuật ngữ "điều ki
cần và đủ" để gộp cả định lí thuận và định lí đảo
Mỗi tam giác cân cĩ hai đường trung tuyến bằng nhau
Trong tam giác vuơng đường trung tuyến tương ứng với cạnh huyền |
bằng nửa cạnh huyền
Chứng minh bằng phản chứng các định li :
Một tam giác khơng đều thì cĩ ít nhất một gĩc nhỏ hon 60"
Hai đường thăng trong mặt phẳng cùng song song với một đườ thang thứ ba thì song song với nhau
Ba số dương a b e nhỏ hơn 2 thì cĩ ít nhất một trong ba bat da
thức sau đây sai : a2-=b)>1, b(2-c)>1, c(2-a)>1 Chứng mình bằng phương pháp quy nạp : "+ ân” + õn + 3 chia hết cho 3 với mọi ne N Hy 4 ¡s8 4 ning]? - 1+2 '+ +n = ———— Với mọi n nguyên dương 4 6 Tipp hop - Cie phép (du đơn ⁄ “ A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 14
lập hợp la mot hái niệm cơ bản của tốn học
Các tập hợp thường được kí hiệu bằng chit cdi in hoa : A, B, ., X, Y Kí hiệu a e A để chỉ a là một phân tử cúa tập hợp A lay a thuộc Nếu a khơng thuộc A ta kí hiệu a e A Tạp hợp khơng chứa phần
nào gọi là tập hợp rỗng, bí hiệu là Œ
Trang 15- Tập hợp con
Ta bdo A la tap hep con cúa tạp hợp B, kí hiệu lạ ⁄% ai
AC Hiếu mơi phần tứ của A là một phản tử của B ie / AcCBexveA>xeB `¬— Tập hợp bằng nhau A=B<=A.-BraB=A Phép tốn hợp ty Hop cia hai tap hop A cà B hí hiệu là A c:B OO») A UV Be Ix/ x © A hodc x e BỊ Av B Phép giao Giao cua hai tap hop A va Bkihiéu la A 1B SO NV A 3= j4 cA cử c BỊ ( & B } Ví dụ : A = j1 3, 3, 4 5|; B = (3, 4, 6, 8) — A VB=/1, 2,3,4, 5,6, 81; A OB= (2, 4} Phép hiệu yj ¬ THiệu cua hút tập hợp A cà B kí hiệu là AXB A B À AXNB=/A/x cA cơ x e BỊ —⁄ Trên bieu do Ven, hiéu A\B là phan gạch sọc ANB Phan ba
Truong hop B = A thi AXB gọi la phan bi A (2) )
cua B trong A, ki hiéu la C8 SS ch Các tập hợp số quan trọng - Tập hợp xở tự nhiên : N=|0,1,3,3, ) Túp hựp số nguyên : — Z = | , -8, -2 -1, 0, 1, 2, 3, ] = Tap hop so hitu ti: Suy Q= y fase cZ,bz0; la ” ib |
Tap hop so thực : Đ = tập hợp các số hữu tí tả các số tơ tỉ thức là các so biểu diễn đưới dạng thập phân cơ hạn khơng tuần hồn)
Quan hệ giữa các tập hợp số tự nhiên, số nguyên,
Trang 169 M6t sé tap hop con cua tap hgp sé thuc R
- Doan: fa: b/ = ix ¢ Rl asx xb} edi hinh biéu điền trên trục số
a b
+ Khodng ta; b) = (x eRla<x<b} //////%—————,
a b
+ Nứa khống la; b) =ft eR(a sx<bJ 00000101 -
+ Nita khodng (a; b] = ix eRla<-x sb} a Te
+ Nita khodng (-7; a] = {x ¢R/x <a} —————— “1z
+ Nua khoang la; +”) = {x eR/x >a} W4 a + Khotng (-7; a) = ix ¢R/x <a} tt a + Khoang (a;+7) = ix © R/x>al “# E———————————— B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN 1.25 Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp : a) A= a, bh b) B = {a, b,c di Hướng dẫn a) ©, fa}, Ib}, A b) © fal, tbl fel tdi ta bh fa, ch fa, di, tb el, tb, di, fe, di, ta, b, el, la, c d {b, c d} B
Ghi chu : Nguoi ta chting minh duge rằng, nếu tập hợp X cé n phan t
thì số các tập hợp con của X (bao gồm Ø và chính tập hợp X) bằng 2
Trong câu a) số tập hợp con của A là 4 Trong câu b) số tập hợp co
của B là 2' = 16
1.26 Tập hợp nào là tập hợp con của tập hợp kia, nếu :
a) A=lxeZ/x= 15k, k e Zl, B=lxeZ/x=Bðk,ke< ZI b) A=lxeZ/lx| <3l, B=lxeR/x +x-2=(0l
Hướng dẫn
Trang 17
b) 1.27 1.28 1.29 a) b) 1.30 A = {-3, -2,-1,0, B=I1-2,1!x<B=sxeA Vay BoA Cho A=({1 2,3, 4 3] Xác định các tập hợp A B=146.81 C B.B::C 1.2,3l,x +x—2=0{€Sx=-2.x=1 =l2.4 ANB, BoOC.A\B 1.5 6} Hướng dẫn Aw B= /{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, A¬aB=l4l BøC=l1.6I Bw C = 12, 3, 4, 5, ,6, 81 AN Be 1, 2.3.5)
Cho các tap hop A = {x = N/x< 10], B={1 2,3 4) C = (2, 4, 6, 8}
Xde dinh cdc tap hop CR, CQ CB, Hướng daa A=(0, 1,2, 3.4.5, 6, 7, 8,9), CR =A\ B=10, 5 6, 7 8, 9: BoC ={1, 2, 3, 4, 6, 8h: Cho các tập hợp : A = fa b, ¢, dh, Chứng mình : a) AN(B\ C)=(ANB)\(AAC) by) ANIBOC)S(A\ BU (ANC) Ro rang BcA,CcA CQ =A\C = 10, 1,3, 5,7, 9) Chee" 2110/57), 51 B= {b,d,el, C =a, biel (2) Huong dan AnmC = la, bj = VT = VP (1) Taco: BX€=ldlL, AoOB={b, dl, VTilb: AM (BNC)= Id
VP ili: (Ae Bi) \ tA C) = [dỊ
Trang 181.381 Cho A.B,C Ð là các tập hợp tùy ý Chứng mỉnh các đẳng thức :
a) Ams(tBOC)=(t(AnB) (AC)
b) CÁC/B)v(C (2D) =!A¿S Cï (Bê C) C2 (A =D) c;B n D)
Hướng dẫn
a) Để chứng minh đẳng thức tập hợp X = Y ta chứng minh a eX=a
và ae Y sac X Ta chứng minh đăng thức (1): xeAm(B‹.C) =xeAvaxeBuC€
>xcAvaxe Bhoicxe AvaxeC túc là x e (Á = B)+ (A a Cj
Đảo lại xe!A@s5B)U(Ana(C) xe AsBhoặcxe AnaC =xe Avàxec Bhoặc xe A và x
=xeAvàxecBUC
>xeAniBuC)
Vậy đẳng thức (1) được chứng mỉnh b) Theo kết qua câu a) ta cĩ :
VT(2):(Á-—:B)ea(Œ 2D) z ILÁA 2B) an CỊ c¿ [LA 2B) DỊ Chú ý rằng giao cua hai tap hop co tinh chat giao hoan nghia ia XNY=YaX Lai áp dụng kết qua câu a) đối với các tạp hợp trong các | | ta cĩ : (ABI/SCE=Cn(Ac:B)=(Ac:C)(BAC) (AVB)AD=DA(AWUB)=tA Div (BD) Tu dé suy ra VT = VP (2) (1 (2 «c1 e(
1.32 Biểu diễn mơi tập hợp cho dưới đây thành hợp của các nưa khoảng vi
Trang 19[ § 7 1.93 Cho tap hop A= /xe Hức S=~ >3 Xác dinh tap hop R \ A va biéu | x24 | diễn nĩ trên trục số XU [x=2 é Ix #2 >3 <> => 2 2 © 14 8 i|x - 2] < = j-=<x-2<= II 3 —- ta 3 ` ‘ A= (4: 2]ufa 3] 3 7 \ 8) { 1 [ 4/3 2 Bà Bide (a Š lo +x} “1 7 3h L3 i x C BÀI TẬP TỰ GIẢI 1.34 Cho các tập hẹp A={x ¢ Z/-4<x<3}, B=({0, 2, 4,6, 8) Xác định các tập hợp A+:B,AS5B,AXB.BvVA 1.35 Cho cae tap hop E = (1 2 3, 4.5, 6.7.8 9h, A= {1,2,3,4!, B= {2, 4,6, 8]
Xac dinh cdc tap hgp Cp, Ch, cy ?', ch UCR
1.86 Cho cdc tap hop X = Ix ¢ N/0 <x < 10), A va B là các tập hợp con
cua X sao cho :
AB = 14, 6, 9} (1)
Ac: 13.4, 5l = I1:3,4,5, 6, 8, 9Ị (2)
Bev (4, 8} = (2, 3, 4, 5, 6 7, 8, 9) (3)
Hãy xác định các tập hẹp A va B
1.37 Hãy biểu diễn mỗi tập hợp dưới dây thành hợp của hai nửa khoảng
hay hai khoảng và biểu diễn chúng trên trục số
a) Azixe Ri ixl > 3} b) B =(-5; 6) \ [1; 3}
1.38 Cho các tập hợp A=lxeR/|x- 1Ì <9l,
B=lxeR/Ìx+1| <äl
Hãy xác định các tập hợp A ©¡ B và A ©¡ B và biểu diễn trên trục số
Trang 2094 Fab 36 - C}iich tél chuin 30 gan ding A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Giá sử œ là số gần đúng của sé a + Sai số tuyệt đối cúa số gân đúng œlà : 4,= Ìa- ứÌ - ee l : Ay a-al + Sai sé tuong déi cua sd gan dingala: 0, = jal = | bị ị a a Độ chính xác của số gần đúng
Cho ú lì số gắn đúng của số a Nĩi chung ta khơng biết chính xác a nên hhơng biết chính xác 4„ Nhưng cĩ thể dénh giá
4,=!a-a|<d hay a-dsa sat+d
Tu bao d la độ chính xác cúa số gần đúng œ 0à ciết : a =a+td
Các phép tốn về số gần đúng
Cho a, b là các sổ gân đúng uới sai số tuyệt đối theo thứ tự là A„ ‹, sưi số tương đổi theo thứ tự là ð„ ở, thì :
+_ Sai số tuyệt đối của tống, hiệu hưi số gần đúng a, b khéng vuot qua Wi + Wee
Ane S the + Ab, A, <4, + A
+ Sai số tương dối của tích, của thương hút sở ú, b, khơng vuot qua Oo, + On?
On On SO, + Obs Og £0 + Op,
b
Chữ số chắc (đáng tin) và cách viết chuẩn số gần đúng
Trang 211.41 1.42 - Sai so tuong đối 6, = Hướng dẫn Su dung may tinh bo tui ta thay : V3 = 1.732050808 28 _ 1736842105 19 _ J3] = (1.7368 - 1.73208 | < 1,737 - 1,739 = 0,005
Vậy khi dùng = làm số gản đúng của v3 thì sai số tuyệt đối mắc phải khơng vượt quá 5% Một hình hộp chữ nhật cĩ các kích thước là : x= 3m + lem; y = 5m + 2cm va z= 4in + 2cm Hay tinh thể tích và sai số tuyệt đối, sai số tương đối và số chữ số chắc của kết quả Hướng dẫn "Thể tích: V= x.y.z= 3.4.5 = 60m" Sai tương đối của các cạnh theo thứ tự là : : 1 = 2 $ 3 k= 3 & =: ồ„= —— 309 500 400 Sai số tương đối của thê tích : 1 2 2 37 bys & +84 6, = 300 500 400 to = Ee 3000 2 10% Sai so tuyet doi mac phai :.\ = —" 60.000 = 740dm" < 1m‘ 3000
Ta co thể viết thê tích của hình hộp V = 60.000-+ 740 lít
hay V = GO + 6.74 với 3 chữ sơ chắc
Các phép tính cho biết thể tích của một vật thể là V = 180,57em” và sai số tuyệt đối khơng quá 0.05em'” Tìm sai số tương đối và cho sơ chữ số chúc của kết quá Hày viết kết quả dưới dạng chuẩn Hướng dẫn 0.05 zi 5 < 0,0003 = 3.10 1 180,57 18057
Vi 0.0% > 0.01 nên chữ số 7 là khơng đáng tin Các chữ số chắc là 1 8, Ú 5 Cách viết chuẩn : V = 180,60 + 0.05em’
Trang 22c BAI TAP TỰ GIẢI 1.43 1.44 1.45 1.46 a) b) 1.47 a) b) 1.48 a) b) 1.49 1.50 1.51 a) 1.53 22 Dung = làm số gần đúng của v5 Đánh gid sai so tuyét doi cua so gần đúng đĩ Đánh giá sai số tuyệt đối của số gần đúng của z là 3.1416, Hỏi số chữ số chắc khi viết + = 3.1416
Một tam giác cĩ các cạnh đo được là a = 6,3 + 0,1em, b = 10 + 0,23em, c = 15 + 0,8cm Hay tinh chu vi của tam giác và sai số tuyệt đối mác phải
BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I
Nêu mệnh đề phú định của các mệnh để sau đây và xét tính đúng sai
của nĩ
gn ¢ N: n’ +1 chia hét cho 3
yn ¢ N: n’ +1 khong chia hết cho 4
Chứng minh bằng phản chứng định lí :
Mỗi tam giác cĩ khơng quá một gĩc tù
Tổng hai số là một số âm thì ít nhất một trong hai số là số âm
Sử dụng thuật ngữ "diều kiện cần", phát biểu lại các định lí sau đây : Hai tam giác bằng nhau thì cĩ diện tích bằng nhau
Bình phương số tự nhiên n chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3
Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần va đú” đê phát biểu định lí : Trong
Lam GiÁ€ VuƠng, dườag truag tuyến cương ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền Cho A = I2, 4, 6, 8| hãy liệt kê các tập con của A cĩ 2 phần tử Cho A=lI1,2,3,4,5,6,7,8] B=l1,2,4,6, C=l3,3,4,5, 7] Xác định ác tập hợp Cï, C/8v€!, C8), mì Gho A=(-z;1|,B= Zz tz],m c R Xác định m để : ANB=@ b) A\B#A 1 |x + 2|
Cho A=lxeR/x—-1>3l, B=lIxeR/ > 2}
Trang 23hương II
HÀM SỐ BẬC NHẤT - HÀM SỐ BẬC HAI
SY Hhii niém ham si
\ KIẾN THỨU CƠ BẢN
1 Định nghĩa
Cho D = R, D = Ta bao ham số ƒ xác định trên D là quy tắc clo tuơng3 tng moi gia tr x ¢D mot va cut mét gid tri y = R Ki hiéu:
£:D»R
xb y=fix)
x được go: lở biến số thay đơi số) Tạp hợp D được gọt là tập xác định thư» miền xác định), y„ = [vu được gọi! là giá trị của hàm số y = ffx)
tal x = x,
Đo thị của ham sé
Với mài xe D xúc định giá tri fix' Cap sé (x, ffx)) được biếu diễn trên
mat phang tọa đỏ bàng một điểm, Ds thị của hàm số £:D »ĩ rp y=flx) la tip hup iC) cae diém (x; fix) ve =D tréa mdi phairg toa do Su bién thién Ham s6 y = fix) la dong bien trén khống (a; b) néu voi moi x), x» = “ga; bì [(x,)— fixs) X2 ¬ > fx) < fey) hay >0 Uờ nghịch biến tren (ú; b) nếu ftxị;)~ ƒ(x;) Art ft) >A¿ Any 1, -Xy Tính chấn, lẻ của hàm số Hàm sở /:D -+R xe y= fix
đượa gọi l hàm số chan néu x e D = xeéeD uà_ fl-«) = fix) va duve goi lad ham sé lé nếu x œ D => -xeéeD uà ft-x) = -fix)
Trang 24Đồ thị của hàm số chẩn cĩ trục đối xứng là trục tung tà đỏ thị cú
ham số lẻ cĩ tâm đối xứng là gốc hệ trục tọa độ
Nhiều hàm số hơng phải là hàm số chẳn, cũng khơng phú: là hàm s le B CAC Vi DU GIAI TOAN 2.1 Tìm miền xác định của các hàm số : a) y= V2x+3-2-x bh gs eh 2x” -5x+3_ Hướng dẫn
a) Biểu thức 2x-3 xác định với các giá trị của x sao cho 2x ~ 3 > O, tứ là với x > : Tương tự V2-x xác định với x, sao cho 2 — x >z 0, tức Ì
với x < 9 Miền xác định của hàm số là các giá trị của x sao cho x > -
đêng thời x < 2, tức là : <x: 2 Cĩ thể viết miễn xác định là : in) = 3.9]
2]
sme — » Í„ 3|
bị Miền xúc định là: D=lxeR/2x-5x+3z0|=RV 3]
Chi chú : Khi hàm sé duce cho bang céng thic ma khéng cé gi n¢
thêm thì miễn xác định của hàm số là tập hợp các số thực sao cho cá ghép tính của cong thức cĩ nghìa
2.2 Che hain so vy = fix) =
a) Thu các giá trí f0) {(-2), fi/2)
Trang 25b) 2.3 a) a) b) 2.4 a) b) a) Do x? +2 > 0, ¥x © Rnén ham so co tap xdc dinh la R Ta co: 2 ve “ * „3 ‘ - 4 fix = x 42x43 (2x ” t4) _ 2x +1) 3 eats exe R x +2 x" +2 x +2 Ham số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = 1 Ta lai co: Ae 97+ Lig? +4x+4) 2 2 x" +2x4+3 1 (x+9! | = =—* 2 Z 2 1 fix) = — = x? +2 x° +2 Ax? +2) 2 Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi x = -2 Xác định cơng thức của hàm sé fix), néu
fla+1)=2a-1 Vae R b) fa-1)=a -3a+2 vaeR Hướng dẫn Dat t=a+ltacĩ: a=t-l fia + 1)= ft) =2(t— 1)- 1=2t-3 Hàm số cĩ cơng thức là y = fx) = 2x - 3 Dat t=a-l > a=t+l fa ~ 1) =f) =tL+ DÝ—8t+1)+2<t-t Cơng thức của hàm số là y = ĐX) = x”- x Cho các hàm số fix) = 2x7 +2 va g(x)=3x+1
và các điểm trên mặt phẳng tọa độ : A(0; 1) B(-1: 4), C2; 1)
Trong các điểm đã cho, điểm nào thuộc đồ thị hàm số f(x), diém nao
khơng thuộc đỏ thị ham số g(x)
Tìm toa do giao điểm của các đỏ thị hai hàm số Hướng dẫn
Xét điểm A(0; 1) ta thấy : f0) = 9:0” + 98 z 2 # 1 Vậy A0; 1) khơng thuộc đồ thị của ham sé fix)
Xét điểm BL-1; 4) ta thấy: fl-1) = 21-1) +2=4 Vậy BL 1: 4) thuộc đồ thị hàm số f(x)
Làm tương tự ta thấy C(2; 1) khơng thuộc dé thi ham sé f(x)
Các điểm BC 1; 4) C©; 1) khơng thuộc đỏ thị hàm số g(x)
Trang 2626 b) a) a) b) Néu diém M(x; y,) la diém chung (giao diém) cua cav ham sé y = fix) và y = gtx) thì ta phải cĩ : jy¿ =ftXu! = f(xu) = glx) |Yo = gXạ)
Nĩi khác đi x¿ là một nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (mà ta gọi là phương trình hồnh độ giao điểm các đồ thị của fx; và g(x))
Tacĩ: 2xÝ+2=3x+1 ‹s 2x -3x+1=0 = Xi=l,x;= z 1
Vậy các giao điểm của hai đồ thị cĩ các hồnh độ là x, = 1 va x, = 5
‘ (1 5
Tọa độ các giao điểm là : A(1; 4), BS: 3)
Ghi chủ : Quy tắc tìm các giao diêm các dé thi hai ham s6 y = f(x) va y = g(x) gồm các bước :
1 Giải phương trình hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) (1) 2 Với mỗi nghiệm xu của phương trình (1) ta thay vào một trong hai
cơng thức f(x) hoặc g(x) để tìm tung độ của giao điểm tương ứng
Trang 27f(x, )-flxy) (2X —3)- Xị =Xã Xị - Xy 6 Xet tinh chan, lé cua mdi hầm số cho dưới đây : It:x|-n-x 2 a) y= VÌ-X b) y= ———— c) y = 2x" + 3x— 5 ° jt >x{=[1—¥ Hướng dẫn a) Miễn xác định của hàm số D=lxe R/lxÌ <1I =[|-1; 1| Rõ ràng xe D:+› -x e D, hơn nữa fi-x)= J1-(-x? =V1-x? = fx)
Vay ham số da cho la ham sé chan
b) Miễn xác định là D=R.suyra xeD thì -xeD |i-x[-|1-tx| -[1+x|+|1 - x| —————= ji-xj+ft x} lexis fix) Ẻ f(-x) = Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ e) Miễn xác định là D=RB nên xeD tacĩ -xe D Mặt khác: — f-x)= 2(-x)” + 3(-x)— 5 = 2x?— 3x — 5 # fx) fix) # -flx) = -2x? - 8x -5 Vậy hàm số đã cho khéng chan cing khong lẻ 1 BÀI TẬP TU GIẢI .7 Tìm miền xác định của ham sé a 1 2x+1 a) y= V2-x+ b)y= ———— vx-1 x? -5x +6 ce) y= Vo-32x+D dy= fA x+1 8 Cho hàm số y=f(x)=x”+ ¥x-3 a) Tìm các giá trị f3), f4)
b) Trong các điểm trong mặt phẳng tọa độ sau đây, điểm nào thuộc dé
Trang 282.9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số 2x+1 : 4x+3 a) y= b) y= = x +2 x" +1 2.10 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số a) y=x”— 3x + 1 b)y=3- J(x-3\B-—x) 2 x” +2x-1 : ce) y= — d)y=2lx+3|'-4 2xÝ+4x+9
2.11 Xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số cho dưới đây
sợ ga Äì EX Sex b)y< Xitx-=v1=x
— Jl+xl+[l-x| x2 :
e) v= ŸÏ+x) +Ÿ-x đ)y= 2x - 1
2.12 Tìm cơng thức cho hàm số trong mỗi trường hợp sau :
a) Biet fla+2)=a°-3a+2 vaeR a 3 1-2 b) Biết f) at |= 2a? +a+—+—+2 Vaz0 \ a a a? § mx + 3 ` 2.13 Cho hàm số biến sé x: v=————— tì là tham số) x+m-l
Với giá trị nào của mì :
a) Dé thi hàm số khơng cát trục hồnh
b) Đơ thị cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ x = 4 €) Đồ thị hàm số khơng cất trục tung
Trang 29„15 Chứng minh rang mot ham sở fx) cĩ miễn xác định D cĩ tính chat xe D thì -x c D, bao giỡ cùng biểu diễn được thành tơng của một hàm Số chân và một ham số lẻ
.16 Cho hàm số biển số x: v = mxÝ - (m — 1)x - 2m + 1, (m là tham sð) Hay tim trén mat phang toa độ các điểm sao cho nĩ luơn luơn thuộc dé thi cua ham so di m lay bat kì giá trị nào 3x - › cu ` „ š = .17 Cho ham sé y = x- I Tin trén do thi cua ham số đã cho các điểm cĩ tọa độ là các số nguyên 2 " x” ~3x+3 - a to ~ oe <i 3 .18 Cho hàm số y = Ma Tìm trên đồ thị của hàm số các điểm cách —X đều hai trục tọa độ
.19 Cho các hàm số y = 3x” - 3x + 2 và y = 2x - 1 Tìm tọa độ các giao
điểm của hai đồ thị
„920 Xác định sự biến thiên của hàm số trên khoảng đã cho tương ứng :
a) y=-2x”+4x+3 trên (—z; 1)
b) y= 3-5 trén (~x; -2) va (-2; +x) lỗ
x+2 | c2 1D
.21 Đồ thị của ham sé y = ftx) là đường 3f B :
gấp khúc ABCD như hình bên al fi 2 43
Hay cho biét su bién thién cua ham tA :
so fix) tren cdc khoang (0; 1), (1; 3), (3; 4) 2 Him 36 bie nhdl va mol vad ham 36 én quan \ KIEN THỨC CƠ BẢN 1 Khảo sát hàm số bậc nhất
Hàm số biển số x là hàm số bậc nhất nếu cĩ dạng y = ax + b uới œ, b la cdc hang sé voi a #0 Ham so bậc nhất y = ax + b cĩ :
+ Tập xác định: D= R
+ Sự biến thiên : Dịng biển trên R, nếu a > 0, nghịch biển trên ], nếu
Trang 30+ Đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc O tà
điểm A(1; a), néu a = 0, b = 0, đi qua các điểm ( \ : PIO; b) va Q} 4 0 | nếu a =0, b 20 Ta goi do \ a ; thị hàm số y = ax + b la duéng thang y = ux + b cự gọi a là hệ số gĩc của đường thang do 2 Hàm số hằng y =b y Hàm số y = ax + b trong trường hợp a = 0 trở thành hàm số y = b gọt là hàm số hằng P Đị thị của hàm số hằng y = b là đường thẳng song song uới trục hồnh cà cắt trục tung tại oO điểm Pr0; b) 3 Ham số y = |ax + b| véi hing sé a >0 + Tapxacdinh:D=R + Báng biến thiên : + Đồ thị : Với a > 0 trên khoảng [-«; =| dé thi ham y = \ax + ' a trùng cới đơ thị hàm số y = -ax - b, trên khống [- — 34+ | do a
tring voi dé thi ham sé y = ax + b
B CAC Vi DU GIAI TOAN
Trang 31b) 2.23 a) b) a) b) 2.24 a) b) a) Do Al-1; 1) thudc dé thi nén ta co : l=al-l)+b => b=l+a_ (1) m)] -+ - C03; m) Thay tọa độ của B vào biêu thức ta được : B Đi —— 2=a.2+b (2) A : “HÀ: Tữ(11vã u (1) va (2) ta được : (3J Ea đượct oe a2, ba Ổ = a —1 lo 2 3 — : : 7 th aS 3 : x 7 x 4 Vậy hàm số cĩ đồ thị là đường thăng AB là y = = + 5 3 x 3 ¬ n se Le x 4
A, B, C thang hang co nghia la C(1; m) thudc dé thi ham sé y = 5 tư tức là tọa độ của C nghiệm đúng cơng thức của hàm số : 1 4 65 1= —+—==— 3 3 3 ` ee „2Š mì + 2 S đơi Cho hàm số biến số x : y= 5 ï x+m+l (m là tham số) 2m -
Với giá trị nào của m thì ham số là hàm số bậc nhất
Trang 32b) Đường thẳng y = 1, cắt trục tung tại điểm
H(0: 1) vã cắt đường thắng y = 2x + 3 tại
điểm A cĩ tung độ y¿ = 1 và cĩ hồnh do x„ mà l = 2x, + 3 ©> Xxụ = -1
Đường thăng đối xứng với dường thẳng y = 2x + 3 qua đường thang y = 1 là
đường thẳng đi qua điểm X(-1; 1) và điểm R trên trục tung sao cho PH = RH Tọa độ của R là R(0; -1)
Đường thẳng AR cĩ phương trình tổng quát y = ax + b Thay x, y È tọa độ của A và R ta được 1=a(-1)+b -l=a0+b = a=-2, b=-1 Vậy hàm số cĩ đơ thị là đường thẳng đối xứng của y = 2x + 3 q đường y = 1là: y=-2x— 1 2.25 Vẽ đơ thị của hàm số : a) y= |x-1] + l2xl b) y = [2x! Hitérea dan
a, re xác định cơng thức của hàm số khơng chứa
dấu giá trị tuyệt đối ta lập bảng sau : x ~# 0 1 +< |x - 1| -x+1 -x+l 0 x-1 |2x| 2x 0 2x 2x y -3x +1 x+1 3x-1 Qua bảng ta cĩ thể viết lại cơng thức xác dịnh hàm số như sau {-8x+1l với x<0 wxÍx-1Í4|#wÍ= | xxi voi O<xsl | 3x-1 với x>1 y § đt - ế 4I- Đơ thị của hàm số là đường gấp khúc như hình trên 3 b) Với mỗi ke Z, ta cĩ : i = l2x|=k nếu k<2x<k+l hay k+l Vk eZ -1 y=[2xl= k nếu K eee 2 3m Df [Os 1152 25
Dé thi ham sé v = [2x| la cdc doan thang :¡ ` —_ị
nua ho (dau cé mdi tên) như hình bên :
Trang 33
C BÀI TẬP TỰ GIẢI 2.26 Vẽ đơ thị các hàm số 3 a) y= —x-4 b) y = -2x + 3 2.27 a) b) 2.28 a) 2
Cho cdc ham sé: y= fix)=2x-4 va y=gix)=-x+3
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của hai hàm số và xác định toa
độ giao điểm của các đồ thị
Xác định giá trị của k để các đường thẳng :
y=fx), y= g(x) va y=3x+k+ 1 đồng quy
Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm A(1; 2), B(2; -3), C(3; k + 1) (k là một hằng số nào đĩ) Xác định hàm số cĩ đồ thị là đường thắng AB b) Tìm giá trị của k để các điểm A, B, C thẳng hàng 2.29 a) — x+3— k (klà tham số) + Cho ham s6 y =
Với giá trị nào của k hàm số đã cho là hàm hằng b) Với giá trị nào của k hàm số đã cho đồng biến
2.30 Cho hàm số y = 2m +1 x+2 [me m # "š]
m-1 2
Tìm trên mặt phẳng tọa độ các điểm mà đồ thị hàm số luơn luơn đi
qua dù m lấy bất cứ giá trị nào khác 1 và khác “5: 2.31 Vẽ đồ thị hàm số -2x+3 với x<2 det với x<l )y=}) b)y= Số |gx-? với x>2 ry 3 3 " 2 —X+— Với x>l 2 2 2.32 : : -x+2 ới <1 a) Vẽ đỏ thị của hàm số: y =f)= |" Với * 2x-1 với x>l
b) Tim điêu kiện cho m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm sé f(x)
tại hai điêm phân biệt
Trang 342.33 Vẽ đỏ thị của hàm số : a) y= |-x+1| b) y= Ì2x- 3| - 9 2.34 a) Vẽ đồ thị hàm số y = |2x - 1| + Ì~x + 9 b) Dùng đồ thị của hàm số trên, biện luận theo tham số m số nghiệm củ phương trình :l2x-1| + |-x+2]-m+1=0 2.35 Vẽ đồ thị hàm số a) y=lx] =x- [xl b) y =x + [xl]
$3 Ham 36 bie hai y = ax’ + bx + Aa #0)
A KIEN THUC CO BAN 1 2 34 Tap xac dinh: D=R Su bién thién
Với a > 0, hàm số y = ax” + bx + c nghịch biến trong khố:
[+ ¬ đơng biến trên khoảng [-&: + *) 2a a Với a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng [~: “| nghịch bié a : , b trên khoảng | ———; + ®| 2a Đồ thị Đơ thị hàm số bậc hơi y = ax’ + bx +c (a #0) là t parabol cĩ đỉnh mộ b A -—,-—|, trong đĩ se = ae“
A= bŸ — 4ac, c6 truc déi xing
lị đường thẳng song song
sở 3 b
voi truc tung la x = -—
Đồ thị của hàm số y = ax” + bx + e cĩ thế nhận được từ đơ thị hàn :
Trang 353 x 8 _ b Ob 1) Tịnh tiến sang phái ——— đơn 0ụ nếu ——— >0 hay sang trai -— 2a 2a 2a b don vi, néu — <0 2a l SA ps » “ a 2 A - a 2) Tinh tiến hình ở bước 1 lên trên i >0 hoặc xuống dưới a Đ 4a ge A don vinéu -— <0 4a
Vi du : Dé thi ham sé y = x* — 4x + 2 (hinh trén)
B CAC Vi DU GIAI TOAN 2.36 a) a) b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : 4 1 5 =x’ 4x +3 b) y= -=x? 42x45 ¥ ¥ 5 5 Hướng dẫn Tập xác định : D = R Bảng biến thiên : x |” 2 +x sin +x y Sg gee Đồ thị cĩ : - Trục đối xứng: x= _- -_- sa 2a 2 _h2 - Định: 8 co : 2a 4a <= S(;-1)
-_ Giao điểm của parabol với trục tung : K(0; 3)
Trang 36x = 2 +x ý SỐ TU Đồ thị cĩ : —_ Trục đối xứng : xe Pa ue 2a -1 _ bề - Dinh: 8 a, Ser =© s(2 3), 2a 4a 2
— Giao diém cia đồ thị với trục tung : Ho 3}
—_ Giao điểm của parabol với trục hồnh tại các điểm cĩ hồnh độ : 1240x4520 = xX, =-l x, = 5 2 2 Dé thị hình h.b 2.37 Xác định hàm số y = ax” + bx + c, biét dé thi cua hàm số đi qua các điểm A(1; -6), B(-1; 0), C(3; -4) Hướng dẫn A(;-6)eP = -6=a+b+c (1) ‘Bi-1;0)—¢€P => 0=a-b+c (2) C(3;,-4)eP -4=9a+3b+c (8) => a=l, b=-3, c=-4 Hàm số cần tìm là : y = x” - 3x - 4
2.38 Xác định hàm số y = ax” + bx + c, biết rằng đồ thị của nĩ là parabol cé
Trang 372.39 a) b) a) b) Từ (1), (2) và (3) ta tìm được a=2, b=-7, c=3 Ham số cần tim: y = 2x”— 7x + 3 Cho parabol (P): y = -2XÝ
Tịnh tiến (P) song song với trục hồnh về bên trái 2 đơn vị ta dược parabol (P¡) Hãy xác định phương trình của (P))
Tịnh tiến (P¡) song song với trục tung lên trên 3 đơn vị ta được parabol (P„) Hãy xác định phương trình của (P;) Hướng dẫn Phương trình của (P\) : y = -2(x + 2)” Phương trình của (P¿): y = -2(x + 9)” + 3 C BÀI TẬP TỰ GIẢI 2.40 a) c) 2.41 a) ce) 2.42 a) 2.43 a) b) 2.44 a) b) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số y=92x?- 3x + 1 b) y=x”+ 3x - 4 y =-x? + 4x- 4, @) y= ~Sx! + Ox + 2
Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hồnh
(nếu cĩ) của parabol
y=x”-B5x+6 b)y=23”— x— 6
1 ;¿ † 3
= =x +—x-3 đ)y=xÝ-x+1
y= 9% "9 ÿ *
Trong mỗi trường hợp sau đây hãy vẽ đồ thị của hàm so y = fix) và dựa trên đồ thị hãy xác định tập giá trị của x để fx) > 0
2 1; 7
=x +2x-3 b)y= -—x°+—x-—6
y ÿ 2 2
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy xác định giá trị của m và n trong
cơng thức của hàm số y = mx” + nx, biét
Hàm số cĩ giá trị nhỏ nhất bằng -1 tại x = 1
Đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm A(2; 0) và đi qua điểm B(3; 6)
Hãy xác định giá trị của a, b, c Biết parabol y = ax” + bx + c
Cĩ trục đối xứng là x = 1, đi qua hai điểm A(2; 3) và BÍ-h >}
Co đỉnh là I(2; 6) và đi qua điểm A(-1; -3)
Trang 382.45 2.46 b) c) 2.47 a) c) 2.48 2.49 a) ©) 2.50 2.51 b) 2.52 2.53 38 Hãy xác định giá trị của a, b, c Biết parabol y = đx” + bx + e sinh ra từ 1 ; : = : 5 parabol y= -—x” qua hai phép tịnh tiến song song với trục hồnh qua bên 2
trái 2 đơn vị và tịnh tiến song song với trục tung lên phía trên 5 đơn vị
a) Lap bảng biến thiên và vẽ đơ thị (P) của hàm số y = xỶ - 4x + 3 Từ đồ thị (P) hãy vẽ đề thị và lập bảng biến thiên của hàm số ye |x?- 4x43] Tir dé thi (P) hay vé dé thị và lập bảng biến thiên của hàm số y=x -4lx| +3 BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II Tìm miền xác định của các hàm số 2x-1 1 y= b) y= V¥x-2+ : 2x” +5x+3 J7—2x 1 ¥ Se d) y= ¥3-2x +_—_ |x+ 1| +|x- 1|~2 +Jx|x|-1 Tìm giá trị của m để hàm số y = _* ` ` xác định với x e [0; 1] - x+2-m Xét tinh chan, lé cua hàm số : y = (2 — 3x)!" + (2 + Bx)" b) y = Vx? + 2x —Vx? - 2x x9 +1 véi x<-l y= 0 với -l<x<l d)y=x'-x41 x”-1 VỚI x21 Với giá trị nào của m hàm số y = đồng biến trên nửa khoảng [0; +2) a) Lap bang bién thién va vé dé thi ham sé y = -1 S00) 2
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị với đường thang y = x + m Xác định parabol y = ax” + bx + c, biết rằng nĩ cĩ trục đối xứng là đường x = -1, đi qua gốc tọa độ và điểm A(1; 3)
Chỉ rõ hai phép tịnh tiến parabol y = 2x” để cĩ được parabol
Trang 39Chuong III
PHUONG TRINH VA HE PHUONG TRINH
$4 Khai niém prlucong tinh, prhutong hrinh bic nhil mél én A KIEN THUC CƠ BẢN
1 Phng trỡnh mt n
ôâ Mệnh đề chúa một biến x dang fix) = g(x) dugc goi la phương trình
một Gn, x la dn 86, fix) la vé trai, g(x) la vé phải của phương trình
«Ổ_ Điều biện xác định (ĐKXP) của phương trình là điều kiện cho dn
x sao cho các biếu thúc cúa hai uế cĩ nghĩa
«Mơi số xạ thỏa mãn ĐKXĐ sao cho ƒfxụ) = g(xạ) là mệnh đề đúng, là một nghiệm của phương trình Một phương trình cĩ tập nghiệm bằng Ø gọi là phương trình oơ nghiệm
2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình : file) = glx) (1)
filx) = glx) (2)
Ta báo phương trình (1) la phương trình hệ quả của phương trình (2),
` hí hiệu f(Q = ga(x) = f(x) = gi(x) nếu tập nghiệm của (2) là tập hợp
con của tập nghiệm của (1)
Hui phương trình (1) 0à (3) là tương đương, bí hiệu f¡(x) = gi(x) ©Ÿ_ đ(x)=gu(x)
nếu các tập nghiệm của (1) uà (9) bằng nhau 3 Phép biến đổi tương đương
Định 1í : Gọi D là ĐKXĐ của phương trinh f(x) = g(x) va h(x) la biéu thúc xác định vớt mọi x thỏa mãn D thì
a) fix) = glx) o ƒffx) + htx) = g(x) + h(x) b) Néu hix) = 0 vdi moi x thĩa màn D thì
fod AG) = glx) hin) fl) = gx) 4 Phương trình bậc nhất một ẩn
Trang 40cho uới a = 0 goi là phương trình bậc nhất một ấn, x la dn so, a, b la
các hệ số
Phương trình ax + b = 0 ta =0) cĩ nghiệm duy nhất x = -Š,
a
5 Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
øẲ Nếu a #0, phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = - a
a
« Nếu a=0, b z0, phương trình uơ nghiệm