Toán cơ bản và nâng cao 10 tập 2 vũ thế hựu

Trang 2

TS VŨ THẾ HỰU

TỐN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

10

Trang 3

; PHAN I KIẾN THứC CO BAN - Vi DU - BAI TAP Chương Í VECTƠ

$7 Vecto Phép cong va phép tri vecto

A KIEN THUC CO BAN

1 Khai niệm vectơ

a) Vecto la doan thang định hướng, nghĩa là cĩ chỉ rõ một đầu mút là điểm đâu, một đâu mút tà điểm cuối Vectơ cĩ điểm đầu là A,

điểm cuối là B kí hiệu là AB Ẻ

Nếu A =B thì AB là ueetơ khơng, hí liệu 0 +” Đường thắng AB gọi là giá của 0ectơ AB Độ dài của đoạn thắng AB gọi là độ dài của vecto AB, ki hiéu | ABI

b) Phương uà hướng

Hai uecctơ cĩ giá song song hay trùng nhau la hai vecto cing phương Hai uectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng c; Hơi uectơ bằng nhau

a= B khi a uà b cùng hướng 0à độ dài bằng nhau

2 Tổng của hơi vectơ

a) Dinh nghia Cho hai vecto ava b B

Lấy điểm A tùy ý uà xác định hai điểm M we 5

B va C sao cho AB =a va BẺ = b is

>

b

Khi do vecto AC duoc goi la tổng của

hai vecto a va b, kihiéula a+b

b) Tinh chGt cua téng cdc vecto

+ Tinh chat giao hoan : a+b=b+a- + Tính chất hết hợp : ta+b)+e=ga+(b+e)

Trang 4

c) Hai quy tắc của phép cộng uectơ ¡) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B; C bất kì ta luơn cĩ : B € eee fh ii) Quy tắc hình bình hành A D Nếu ABCD là hình bình hành thì : AB +AD=AC, BA +BC =BD

3 Hiéu cua hai vectd

a) Vectơ đối của uectơ a, ki hiệu aa lị uectơ cĩ cùng độ dài uới é@ nhưng ngược hướng uới a

a+ (- a) = 0 b) Định nghĩa hiệu của hai uectơ

Hiệu của @ vdi vecto 5, kí hiệu là a=b

"sẽ ẽ<

oe Dinh li vé hiéu vecto `

Trang 5

1.2 I 1.3 1.5 Dođĩ: GK- -GA Suy ra : GA +(GB+ GỊ) = GA +GK =GA+(-GA) = 0

Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác các hình bình hàn]

ABIK, BCLM và ACPQ Chứng minh hệ thức : KQ+ PL + MI = 0 Hướng dẫn Theo quy tắc ba điểm ta cĩ KQ+ PL+MI = A / NV ¿XS P Ae M KA+AQ+PC+CL+MB+ BI (KA + BI) +(AQ+ PC) + (CL + MB) = 0+0+0=0

Chứng minh rằng AB=CD khi và chỉ khi trung điểm của đoại thẳng BC trùng với trung điểm của đoạu thẳng AD

Hướng dẫn

Giả sử O là trung điểm của đoạn thẳng BC Theo quy tắc về hiệt

vectơ ta cĩ :-

AB=CD = OB-OA=OD-OC œ OB+OỞ=OA+OD

Vì O là trung điểm của BC nên OB+0C = 0 Do đĩ OA+OD=0 chứng tỏ O là trung điểm của đoạn thang AD

C BAI TAP TY GIẢI

Cho hình bình hành ABCD cĩ giao điểm hai đường chéo là O

Chứng minh các hệ thức :

a) OB+OC - AB b) Ộ +OB = DÄ

e) BC + OB + OA = 0 d) OB+OD+OF = 0

Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O Xét tập hợp các vectơ c‹ điểm đầu, điểm cuối là các điểm trong số các đỉnh và tâm của lục giác

Trang 6

b) Tìm các vectơ là vectơ đối của vectơ CD:

6 Cho tam giác đều ABC trực tâm H Đường thẳng song song với BC

và đi qua H cắt AB tại M và cắt AC tại N Chứng minh rằng: ~ |AM+ AN|= 2| HB + Hẻ|

7 Cho tứ giác bất kì ABCD Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD, O là trung điểm của EF Chứng minh :

a) AB+CD = AD+CB ) OA+0B+0C+O0D = 0 8 Cho 6 điểm A,B,C,'D, E, F Chứng minh hệ thức : ¬—, 3 ẽ ee AD+BE+ CF = AE + EF + CD = AF+BD+CE 9 Cho tam giác vuơng cân ABC với Â= 900: Tìm độ dài của veetơ BẢ+ BC, biét AB = 5cm : 10 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Vẽ các vectơ AD = GC, AE = GB Chứng minh : ,

a) ED = BC b) G là trưng điểm của EC

11 Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì khơng thuộc các đường

thẳng AB, BC và CA Gọi A', B, C' theo thứ tự là các điểm dối

xứng của M qua trung điểm của các cạnh BC, AC và AB Ching © minh rằng ba đường thẳng AA', BB' và CC' đồng quy

§2 Cich cia mbt vecto tới mbt sb

A KIEN THUC CO BAN

Định nghĩa

c) Chứng minh các hệ thức :

AB+CD+EF =0; OA+OC+OE=0; AB+AF+OC+OE = AD:

Tích của uectơ a uới số thực k là một uectơ, kí hiệu là ka, được

Trang 7

-

i) Néwk 20 thi ka cùng hướng tới a Nếu h <0 thì ha ngược uới a ti) Dé dai vecto ka bang ka

¿ Các tính chốt củo tích một vectơ với một số - Với mọi uectơ d, b bà mọi số thực È, | taco: 1) k(la)=(klja 2) (k+l)s=ha+la +e 8) k(a+b)=ka+kb; ka-b)=ka-kb 4) kaz0 << k=0 hoặc ø=0 3 Điều kiện để hai vec†ơ cùng phương + 2 Vectơ b cùng phương uới ucciơ giÉa # 0) KRỸ s& chi hiss số thực k sao cho 5 =k a

Định lí : Điêu kiện cần uà đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng - hang là cĩ số thực R sao cho : AB =kAĨ :

4 Biểu thị một vec†ơ theo hai vectd khéng cling phugng

Dinh li: Cho hai vecto khơng cùng phương a vd a Khi đĩ uới - : mỗi uectơ +, tơn tại một cặp số duy nhất m va n sao cho : + x=ma+nb Như véy ta noi vecta x được biểu thị một cách duy nhất qua «x os ava b B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN

1.12 Cho 5 điểm A, B, C, D,M bất kì Gọi E là trung điểm của AB, F la

trung điểm của CD, O là trung điểm của EF Chứng minh rằng :

Trang 8

1.13 1.14 a) Hướng dẫn Ta cĩ : _— MỎ + Ộ + MĨ+OB + MỎ + OC + MỎ + OD MẢ + MB + MC + MD

= 4 MỎ + (Ộ + OB + OỞ + OB) Theo kết quả bài 1.7 thì Ộ + OB + OC + OD = 0 Vậy : MÃ + MẺ + MỎ + MŨ = 4 MỎ Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G, tam giác A'B'C' cĩ trọng tâm Œ' Chứng minh hệ thức : “AK + BB’ +cc = 3GG’ ‘ Hướng dẫn AG + GG' +G'Ả' + BG +.GG' + GB' +CG + GG’ +¢ —> Ss —> (AG + BG +CG)+ (G'A'+ GB'+ GC’ )+ 3GŒ' AA’ + BB’ +CC’ > Theo két qué bai 1.1 tacé : @A+GB'+GC' = 6, ‘ GA+GB+GC = (- AG)+(-BG) +(-CG) = Từ đĩ suy Ta :ˆ AA’ + BB’ + CƠ = 3GGŒ' !

Khi G = G thi GG’ = 0 Ty d6 suy ra diéu kiện cẩn và đỏ đế ha

tam gidc ABC va A'B'C' cé cùng trọng tâm là : AA’ + BB’ + CC’ =0

Trang 9

AP MC _ MC 3 - ABE BC” 2c ue 3 Tính tương tự ta được AQ- “AC Vay: AM= 5 AB+2AC 2

b) |AM| = JAP? + AQ? =

1.15 Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm I trên mặt phẳng thỏa mãr _—> hệ thức: 3IA+IB+lŒ=0 (1) Hướng dẫn (1) ôâ 31A+IA+AB+IA+AC=0 AD > â 5 Al = AB+AC = 2AD > AI = ale

trong đĩ D là trung điểm của BC, khi đĩ I là điểm nằm trên trung tuyến AD thỏa mãn : 5AI = 2AD

Trang 10

b) 17 18 NA+2NC=0 > NA+2NA+2AC=0 = AN == ac (6) Thế biểu thức của AN và AP vào (9) ta được :PN=.2“AC-^ AB (7ì G2 | t9 nile

Từ (4) và (7) ta được : PM= 3PN Suy ra P, M, N thang hàng Cho tứ giác ABCD bất kì Gọi E, F, P, Q, R, S theo thứ tự là trung

điểm của AB, CD, AC, BD, BC và AD Chứng minh các đường thing EF, PQ va RS déng quy Hướng dẫn Gọi G là trung điểm của BE Ta cĩ : (GẢ : GẺ) + (G + GD) = 2GẺ + 2GÉ = 2GE+GF) =0 Mặt khác ta lại cĩ : GA+GB+GC+GD = (GA+GD) +(GB +GC) 2G8+2GR = 2(GŠ +GR) = 0 Chứng tỏ G, 8, R thẳng hàng, hay RS đi qua G Tương tự ta cĩ : - : —> ' GẢ + GB + GẺ + GŨ = (GA +GC)+(GB+GD) = 2(GP + G6) = 0

Suy ra G, P, Q thang hang hay PQ di qua G Nhu vay EF, PQ, RS déng-quy tại G,

Trang 11

1.19

1.20

1.21

1.22

(1) & |6MKs4KA)KB+KC! -|-(AB+AQ)|

Goi I la trung điểm của BC thì AB: AC -2 AI Ta chon K sao cho 4KA+KB+KC= 0 ° 4KA+KA+AB+KA+AC =6KA+AB+AC=0 Bị @ 6KA+2Al=0 => AK= wl Suy ra K cố định Khi đĩ : — (1) © |6MRKI-l3AIL = [MK | =| = [AK

Vậy qui tich M 1a đường trịn tâm K bán kính R = 5 Al,

C BAI TAP TU GIAI

Cho hình bình hành ABCD tâm © Go: trung diém eda BC, CD theo’

thứ tự là P, Q Hãy biéu didn cde vects BC, AP, AQ PQ theo các

vecto AB va AO

Cho tứ giác ABCD Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của BC và

®D Chứng minh :

a) 21K - AD-AB b) 2.AB+ Al + KA+DA)=3DB

Cho tam giác ABC ,

a) Xác định điểm K thỏa mãn hệ thức : KẢ + KB + 2KC = 0

way hy ay dad

b) Xác định điểm M thỏa mản: 2MA+MB-MC = AB

e) Xác định điểm N thỏa mãn : MA+NB-NC = AB+AC :

Cho lục giác ABCDEEF Goi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung

diém của AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh các tam giác MPR và NQS cĩ cùng trọng tâm

Trang 12

1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.29

Cho tam giác ABC và các điểm 1, J, K xác định bởi các hệ thức :

3Iể+2IB =0; 9JG+8JA=0; 2KA+3KB=0

Chứng minh rằng các tam giác ABC và IJK cĩ cùng trọng tâm

_Cho tứ giác ABCD Hãy tìm số k và điểm cố định I sao cho v‹ điểm M bất kì tạ cĩ : MẢ + MB + MỎ+ M = k MĨ

Cho hìah bình hành ABCD, M và N là các điểm trên ‘canh AB v CD sao cho am 2 on} AB 3°’ GD 2

a) Biểu thị AN theo AB và AC

b) G là trọng tâm tam giác BMN Biểu thị AG theo AB va AC Cho tam giác ABC, M và N là các điểm xác định bởi các hệ thức

3MA+4MB = 0; CN = 5 BC Goi G là trọng tâm tam giác AB( Chứng minh M, G, N thẳng hàng Cho tam giác ABC và điểm M di động Đặt MN = 2MẢ +3MB - MỎ a) Chứng minh đường thắng MN luơn đi qua điểm cố định khi M ‹ động b; Gọi P là trung điểm của CƠN Chứng minh MP đi qua điểm ‹ dinh xh: M di dong

Cho tam giác đều ABC với điểm M tuỳ ý trên cạnh BC Gọi ME v ME là các đường vuơng gĩc kẻ từ M đến AC và AB Gọi I là trun điểm của EF Chứng minh rằng MI luơn đi qua một điểm cố địn khi M di động trên BC

Cho tam giác đều ABC tam O Lấy điểm M bất kì trong tam gi

và kẻ các đường vuơng gĩc xuống các cạnh BC, CA, AB là MP, M:

và MR Gọi K là trong tâm của tam giác PQR

a) Chứng minh M, O, K thẳng hàng

b) N là điểm tùy ý trên BC Vẽ các đường vuơng gĩc NE, NF tươn

Trang 13

1.380 Cho các điểm cố định A, B phân biét Tim qui tich (tap hgp) cac

điểm M thỏa mãn hệ thúc : 'MÁ : MB - MÃ -MỗI

1.31 Cho tam giác ABC Tìm qui tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn hệ

thức : |4MÁ - MB: - (MA : 2MC

_ 1.82 Cho tam giác đều ABC tâm O,M là điểm bất kì trong tam giác cĩ hình chiếu xuống các cạnh BC, CA, AB la D, E, F io 2 b) Tim qui tích (tập hợp) các điểm M sao cho : a) Chứng minh : MÙ + ME: MF = MO |MD+ME+MF| =k (k>D khéng déi)

1.33 Cho tam giác ABC, M là trung diém cua canh AB D, E, F là ba

= điểm theo thứ tự được xác định bởi các hệ thức :

—+

3DB-2DC=0; EA+3EB=2EC, 5AF-3AỎ=Ú

a) Chứng minh EM // BC

b) Chứng minh ba đường thẳng AD, BC, MF đồng quy

§3 Cruc toa dé vd hé truc toa db

‘A KIEN THUC CAN BAN

1 Truc toa độ

Một trạc tọa độ (O; i) la mot ica see ae er: đường thẳng trên đĩ đã chọn diém O lam gốc tọa độ 0à 0ectơ i

tum vecta don vi

- 2 Tọa độ của mot điểm, một vectơ tren trục toa đọ

x >

e Cho điểm M trên trục (O; i) thi: OM =mi

Số m gọi là tọa độ của M đối uới trục (O; Eb e Vecto a trén truc (O; i) thi: a=ai

>

S6 a la toa dé cia vecto a déi véi truc (O; i)

Trang 14

3 Độ dài đợi số trên trục

Trên trục (O; ‘eho hai điểm A, B thi : AB = AB i

AB: là tạa độ của uectơ AB, gọi lị độ dài đại số của ueetz AB

AB=CD <= AB=CD

_AB+BC = AC — cv AB+BC=AC (hé thite Sa lo)

4 Hệ trục tọa độ

Một hệ hai trục tọa độ 0uuơng gĩc uới nhau : Ĩx uới uectơ đơn 0ị i, Oy vdi vecto don vi j

le hé tree tha độ uuơng Oxy hay (O} i; j)

Diém O la gée toa dé, Ox la true hoanh, Oy t là trục tung 5 Tọa độ của vectở đối với hệ trục toa độ ” > > > Đối uới hệ trục tọa độ (O; ¡; j), nếu : a=xi +3J -

thì cặp số (%; y) là tọa độ của uectơ œ đổi uới hệ trục tọa độ

(O; iy J), hí hiệu là a =(x; y) hay a(x; y) Số x là hồnh độ của ae số y là tung độ của œ

> > , x=#

a(x; y) = b(x'; y') ° | ;

=3

6 Biểu thức tọa độ của các phép tốn vectd

Cho a=(x; y), b=(x'; y') thi:

1) a+b=(x+#; y+), a-b=(x-x'; y-y')

2) ka=(kx; ky) keR

3) a cung phuong vdib © Ss = 2 “(x' #0, y' #0)

x x

Trang 15

7 Tọa độ của một điểm

Tọa độ của điểm M trong mat phos tog Oxy la toa dé của: Lĩct2 OM

Dinh li: Trong mat phany t„ y cho

iém Mixa: yyy) va Novy vy) thy

MN =; Ny aps Oe — Yap

8 Toa dé trung diém cia doan thang

Cho hai diém Mix:s; yyy) va Nlxy; yx), P la trung diém của đoạn

thang MN thi toa do cia P la (xp; vp) voi - Xu + XN : Yu + In

Xp = a eS

9 Toa dé trong tam cua tam gidc

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC uới Atxa; yA), B(xp; yp), C(xc; yo)

thì tọa độ của Gtx‹: yu¿) uới :

X4 + Wg +1 ỞA †+2n +ÿ}c

B CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN

1.34 Trên trục tọa độ (O; ¡) cho 4 điểm A, B, C, D Goi I, K, M, N lan

lượt là trung điểm của các doan thang AC, BD, AB, CD Chứng | minh rằng các đoạn thăng IK và MN cĩ cùng trung điểm

Hướng dẫn

Goi Q là trung điểm của IK, ta cĩ : QI + QK - 0 I là trung điểm của AC nên: 2QI = QA +QC K là trung điểm của BD nên: 2QK =- QB +QD

Suy ra: QA+QC+QB+QD = 2Qi+ QK)

Mặt khác M là trung điểm của AB nên : 2QM = QA+QB

N là trung điểm của CD nên : 2QN = QC+QD

Trang 16

1.35 a) b) ce) 1.36 a) b) Suy ra : 2QM+QN) = QA +QB + QC+ QD = 2(QI1+ QK) =0

Suy ra Q cũng là trung điểm của MN

Trên trục tọa độ xOx cho 3 điểm A, B, C cé toa độ lần lượt là 3 2, 4 Xác định các điểm I, K,M, biết : a) IA+IB=0 uy SS BE * KC KI e) 'AI.MC- 3MB = AC Hướng dẫn Gọi tọa độ của I, K, M lần lượt là x, y, z, ta cĩ : TA +IB=0 © (38-x)+(23-x)=0 = x= 512.8 ey ee a2 > S-¥ ,2-¥ 2 2 y=3 KC KI 4-y 5 3 y AI.MC-3MB=AC © (š-3]4-»-aa-»=a-» 18 7 eS Zz

Nhu vay K trùng với A

Trang 17

1.37 Trong hệ trục tọa đĩ vuơng gĩc Oxy, cho các + cto a3; - 2), b(2; 3) Tim toa do cua cá“ veetơ a) a+b b) 2a- sb Hướng iia a) ab = (3; -2) + (2;3) = (3 + 2;-2+3)=6; 1) b) 2a-3b = 9(3; -2) - 3(9;3) = (6; -4) + (-6; -9) = (0; ~18) 1.88 Trong hệ trục tọa đỏ vuơng gĩc Oxy cho các điểm A(1; 2), B(-1; 1), C(2; 3)

a) Tìm tọa độ trọng tám G cua tam giác ABC

Trang 18

1.39 a) b) ⁄ \ ae BG = (xg - Xq — Xp; Yo — YB Xg3 Yo —-Ys)=|—; is By) 1 J at a, ey ` BG = pAB+qAC = p(-2; - 1) + q(1; 1) = (-2p; -p) + (q; q) = (-2p + q;-p+q) = [es 1) 2 _4 p= a9 {93 = ` ~p+q=1 prq q ene 3 BG «_3B+ 2 2Ĩ 3 3 Trên hệ trục tọa độ vuơng Oxy cho ba điểm A(2; 6), B(-3; -4) và C(5; 0)

a) Chứng minh tam giác ABC vuơng

b) Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn

Tacé: AB=(-5;-10); |AB| = y(-5)? +(-10 = V125

AC = (3; - 6); |AC| = j8? + (62 = 45

BC = (8; 4); |BC| = V8? +4 = 80

Tam giác ABC vuơng tại C

Gọi I là tâm đường trịn nội tiếp AABC

Trang 19

3 [Re -¥p = = (44 - xp |5 - xp = -=(-8- xp) > 4 I œ | 3 : [Yo ~¥o =~ F On Yp? 0- yp =~=(=4—yp) > p(2: -3| 2 ? eh ‘ ¬ a, CDs 2 + Tính tọa độ củal: Ti (2) taco: Dee, =o (3) CD 1 = — == CA 2 1 (Xp - X13 Yp ~ Hy) tha ~XI; YA — Yị) =0; 0) es : © 12; 1) B BÀI TẬP TỰ GIẢI

1.40 Trên trục tọa độ x\Ox cho hai điểm A, B cĩ tọa độ theo thứ tự là -2, 3 Tim toa độ các điểm C, D, E, F sao cho :

a) C là trung điểm của AB b) D là điểm đối xứng với B qua A

BA — =

©) —=z-3 đ) AF:4FB : 0

EB

1.41 Trên trục tọa độ xOx cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh : a) AB.CD + AC DB + AD.BC =0

3 1 1

b)Nếu =—==—+=— thì CA.DB:CB.DA =0 AB AC AD

1.42 Trên trục tọa độ x'Ox cho cic diém A, B, C, D, M, N théa man cdc

điểẳ kiện: KB=5, BO=1, @=o MA.3, NB.8 ca Mc 3’ NC 3

trung điểm của AB, CD theo thứ tự là I và K

Trang 20

1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 Tính các tỉ số J va we NK

Cho hai diém A(1; 2), B(-1; 3)

a) Xác định tọa độ của các vectơ AB và BA b) Tim toa độ điểm I sao cho BI = (3; 0)

c) Tim diém K sao cho KA = (1; 1)

Cho các vectơ aq; =1, B(-9; 3) Xác định tọa độ của vectơ c=3a-4b

+ ——

Hãy biểu diễn vectơ c qua các vectơ a, b, biết :

a) a(-1; 9); b(2; 3), c(-8; 5) b) a(2; 1), b(-3 4), cd; 3)

Cho tam giác ABC với A(-1; 3), B(2; 4), C(O; 1) Tim tọa độ ;

a)-Vectơ trung tuyến AA,

b) Tầm I của đường trịn ngoại tiếp AABC

e) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Cho ba điểm A(3; 1), B(1; 2) và C(7; -1)

a) Chứng tỏ rằng ba diém A, B, C thang hang

b) Xác định điểm D sao cho CD = 2 AB

Cho ba điểm A(1; 0), B(-3; -5), C(0; 3)

a) Xác định điểm D sao cho D đối xứng với A đối với B

b) Tìm qui tích (tập hợp) các điểm M sao cho :

|2(MA + MB)-3MC| = |MB - MỎI

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(6; -1) a) Tìm điểm M trên trục Ox sao cho A, B, M thẳng hàng b) Tìm điểm N trên trục Oy sao cho A, B, N thẳng hang

Trang 21

1.51 1.52 1.53 1.54 “1.55 1.56 1.57 1.58 1.59

Cho các điểm A(0; 4) B3; 21, C13; 0)

a) Chứng minh A, B,€ là các định của một tam giác b) Tim chu vi cua tam giac ABC

Cho tam giác ABC Biet A(1:2!, B(-2; -4), C(-1; 3)

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuơng b) Tim toa độ tảm I của đường: trịn ngoại tiếp

e) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Tìm toa độ của vectơ Gl Cho hai điểm A(4; 2) và B(-1; 2) trong hệ trục vuơng Oxy

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b) Chứng minh tam giác IBO cân

e) Gọi K là điểm đối xứng của O đối với I Hỏi tứ giác OAKB là hình gì ? -

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG |

Cho tam giác ABC cĩ các trung tuyến AA;, BB¡, CC; cắt nhau tại G a) Chứng minh đẳng thức : AA, + BB, + CC, =0

b) Cho M la mét diém bat ki, Chung minh: MA+ MB+ MC = 3MG

Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy các điểm D và E sao cho

BD = DE = EC Ching minh: AB+AD+ AE+AC=4AA,

với ẠA; là trưng tuyến của tam giác ABC kẻ từ A

Cho tam giác ABC cĩ tâm đường trịn nội tiếp là I Gọi a, b, c lần

lượt là các cạnh BC, CA, AB Ching minh: alA +bIB +cIC =0

Cho tam giác ABC Dựng điểm N sao cho 3NA - 3NB+ NỞ = 0

Cho hình vuơng ABCD tâm O Chứng minh rằng các vectơ sau đây khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên mặt phẳng

Cĩ a)

a) a = 3MA-MB-MC-MD

b) b=4MÁ—3MB + MỎ- 2MD

Cho tam giác ABC Gọi D là trung điểm của BC, E là trung điểm của AB, F là điểm trên cạnh AC sao cho CF = 2AF, K là trung điểm EF Hãy biểu thị AK và DK qua AB và AC

Trang 22

1.60 Cho tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB Hãy biểu thị các vectơ AB, BC, CA theo các vectơ BE và CF 1.61 Cho tam giác ABC Goi M, N theo thứ tự là trung điểm tủa AB, AC

Hai điểm I, K được xác định bởi các hệ thức :

21A+31C =0; 2KẢ + 5 K + 3KC = 0 a) Chứng minh M, N, K thẳng hàng

b) Chứng minh K là trung điểm của BI

1.62 Cho tam giác ABC cĩ trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường trịn ngoại tiếp'O, M là trung điểm của cạnh BC, D ole điểm đối xứng của A đối với O Chứng minh :

a) BH = DC, AH = 20M b) HA+HB+ HC = 2HO

ce) OA+ OB+0C = OH ' d) O, H, G thang hàng

1.63 Cho tit gidc ABCD Goi P 1a giao diém cia AD va BC; I, K lan lượt

là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng nếu P, I, K thẳng

hang thì tứ giác ABCD là hình t! ¬g

1/64 Cho hình bình hành ABCD, M là một điểm bất kì trên mặt phẳng Hãy tìm số k và điểm cố định I sao cho

MA + MB+MC+3MD =k MI vớ: mọi M

1.65 Trên trục tọa độ xOx cho các điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là -2, 5 a) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức 3MA + 5MB = 0

b) Cho điểm C trên trục xOx Hãy biểu thị AC qua các vectơ BC va IA, véi I la trung điểm của AB

1.66 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho cdc diém A(-1; 2), B(2; 1), C(3; 5)

a) Biểu thị vectơ BC qua AG va AC, trong đĩ G là trong tam của tam giác ABC

b) Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức AM+2 AC + BỀ = 0

Trang 23

Cương II

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECIƠ VA UNG DUNG

&1 đú4 trí lu@Mg giác của một gốc bắt ki (ta O° dén 180°)

ay

1 Định nghĩa

Với mỗi gĩc œ (0° < œ < 190)) ta xác a

định một điểm M trên nửa đường /

tron don vi sao cho xOM =a ===—

Gid sit M co toa dé Mix; y) thi:

+ Tung độ y của M gĩi là sin của gĩc œ kí hiệu là sina

+ Hồnh độ x của M gọi là eosin cua goc a, ki hiéu la cosa + Tị số — (uới x #0) gọi là tang của gĩc ø, kí hiệu là tang + Tisd <eiR RIS (voi y +0) gov la cotang cua géc a, ki hiéu la cota 2 Tinh chat

+ Nếu hai gĩc bù nhau thì sùi của ching bang nhau, cosin, tang,

cotang của chúng đối nhau.,

+ Nếu hai gĩc phụ nhau thì si gĩc này bằng cosản của gĩc kia :

Trang 24

2.1 a) b) 2.2 2.3 24

B CAC Vi DU GIAI TOAN Tinh giá trị của các biểu thức : a) A =3- sin’60°cos60° + 2cot120°tan135° _ 2cos135° + sin 150° _ b)B= ——————m—- tan” 30° + cot? 120° Hướng dẫn Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt 2 A= -[#8 wag nee (-1)= 21,243 2) 2 43 8.3 1 LẺ di ?12 _ 3-62 11 4 Pee 3 3

Dùng định nghĩa các giá trị lượng giác của một gĩc và các tính chất

hin’ hoe, hay chi rõ rằng : Nếu 0 < x < y < 90° thì sinx < siny và

^§X > cosy ý :

Hướng dẫn

trên đường trịn đơn vị tâm oO

gắn với hệ trục tọa độ vuơng Oxy thình bên) Dat: AOM =x, AON =y MM, < NN, x<y ©

Suy ra dây cung MM; nhỏ hơn đây cung NN¡, suy ra :

OH = PM < QN = OK

Day.cung MM, nhé hon day cung NN; nên khoảng cách đến tâm

Trang 25

a) b) ce) 2.4 Theo dinh nghia OP = cos x, 0Q = sinx Hướng dân 4y

Trên nửa đường trịn đơn vị têm O S/o ab M gan v6i hé truc toa dé Oxy Hiém M /

trén nua dudng tron Pat AOM = x Tacé: sin’x + cos’x = 0Q +OP =OM=1 # sinx 23 Š att Với cosxz0, tanx= Theo kết quả câu a) : 2 cos x 2 2 1 sin? x + cos? x 2 sin*x+cosx=l = I~ =? ae tan’x + cos’ x cos’ x a" Ls cos x Với sinx #0, cotx= — sin x sin? x + cos” x 1 8 SSS Ee = L+cotx= ao sin* x sin* x sin* x «a Dùng định nghĩa các giá trị lượng giác và các tính chất hình học, hãy v2 tìm các giá trị lượng giác của gĩc 22°30', biết sin45° = cos45° = đt Hướng dẫn _ y Trén hinh AON = 45°, AOM = 22°30, sin45° = ON, = N,N = lia

Trang 26

Becaade sin22°30' = SAN = aot cos22°30' = V1 sìa "22030 = fp -22N2 _ V2+v2 in 22°30’ = sin22 30' _ |2 ⁄2 5-1 tan22°30' = cos 22°30° 2+2 a cot22°30' = : = Ý2+1 v251 2.5 Cho tanx ~ cotx = 1, 90” <x < 1807 Tìm các giá trị lượng giác của gĩc: x Hướng dẫn

Do 90° < x < 180° nén cosx < 0, tanx < 0, cotx < 0

tanx — cotx = thả ene tỉ tan x = 5 = tan’x-tanx-1=0 => axe ¢ cotx = : „ -1tvễ 1-5 2 1 1 E- ø an 1+ cot? x = Tự 1+5 ( 2 TY 10 : \ 2 545 cosXx = -|———— 10

2.6 Cho0°<x< 90° Sử dụng cơng thức tính giá trị lượng giác của các

gĩc bù nhau, phụ nhau, hãy chứng minh các đẳng thức : sin(90° + x) = cosx ; cos(90° + x) = -sinx

tan(90° + x) =-cotx ; cot(90° + x) = -tanx

Hướng dân

a) Theo tính chất của các gĩc bù nhau :

sin(90° + x) = sin[180° — (90° + x)] = sin[90” — x] Theo tính chất của các gĩc phụ nhau : sin(902 — x) = cosx Vậy sin(90° + x) = cosx

Trang 27

b) Lập luận tương tự ta cĩ : cos(90° + x) = -cos{180" ~ (90" + x)] = -cosi90" — x) = -sinx sin(90" +x) cos x ce) —_ tan(90° + x) = = — = = -cotx cos(90”+x) -sinx 2.7 Chứng minh các đẳng thức : tan x - sin x 1 8)————— s— sin® x cos x(1 + cos x) b) sinx+cosx-1 _ 2cosx 1~ cosx sỉn x ~ 0s x +1 Hướng dẫn si 1 1 1 \ a) VP = —"*_ - — ( -1| cosxsin® x sin’ x sin* x \cosx } = ha H Ả

1—cos2x\ cosx j/j (1+cosx)cosx

b) Ta cĩ : (sinx + cosx - 1)(sinx — eosx + 1) = sin2w — (cosx — 1)?

= sin?x — cos*x — ] + 2cosx = sin*x - cos°x — sin®x — cos’x + 2cosx

= -2cos’x + 2eosx = 2cosx(1 - cosx) + DPCM

2.8 Chứng minh các biểu thức sau khơng phụ thuơc x :

a) A = sinƠx + cosƠx + 3sin Xcos”x

b) B = (sin*x + cos'x — 1)(tan’x + cot’x + 2) Hướng dẫn

a) A = (sin?x)® + (cos"x)* + 3sin°xcos"x

= (sin®x + cos2x)(sin^x — sin®xcos’x + cos*x) + 3gin2xcos?x

Trang 28

2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15

BAI TAP TU GIAI

Tìm giá trị của các biểu thức sau (nhờ bảng các giá trị lượng giác

của các gĩc đặc biệt) :

a) A = 4 — sin’60° + 2cos30° ~ 3tan”45°

b) B = 4sin‘135° + V8 cos*150° — 3cot”120°

c) C = 8 — cos’30° + 2sin°45°- v3 tan?60°

p= - a” sin? 90° + b? cos 0°

a cot 45° + bcos180° - 2a cot 90°

Dùng định nghĩa giá tri lugng gidc cua m6t géc hay cht’1g minh :

a) Nếu 0°<x<45° thi sinx <cosx

b) Néu 45° <x < 90° thì sinx > cosx

Tính các giá trị lượng giác của gĩc x trong mỗi trường hợp sau :

a) tanx = 2, 0° <x < 90° b) sinx = m 90° < x < 180°

Cho cosx = “si 96° < x < 180° Tìm giá trị của các biểu thức sau :

a)P= i+ tanx b) Q= sin®x + cos*x — tanx

1-tanx ï ¿

Cho sinx + cosx = 1 Tính các giá trị lượng giác của gĩc x

Rút gọn các biểu thức :

_ -tanx) | 1

4tan?x | 4sin? xcos* x

Trang 29

$2 Cich v6 hung cha hai vecto

1 Géc gitta hai vecto

Cho hai vecto khac 0 la a va b Tit diém 0 tùy ý uẽ các 0uectơ

OA =a, OB=b Khi do s6 do cia gĩc AOB gọi là số đo gĩc giữa > > hai vecto a va b Goce giữa hai uectơ a uà b, bí hiệu là (a; b) | 33 ? os > Néu (a; b) = 90° ta noi a-va b a a He an ` 0uuơng gĩc uới nhau, kí hiệu là 5 a s 3 b oO alb >

2 Tích vơ hướng cua hai vecto b B Tích uơ hướng cúa hai 0ccld œ 0à b, kí hiệu œ.b được xác định như sau : a.b =|allb|eosta; b)

3 Các tính chốt của tích vơ hướng

Với mọi vecta a,b,c va moi sé thuc k taco:

b.a (tinh chat giao hodn) ol tt Ha =0 @ alb 81 ol 2) 3) (ka).b = alk b)=k(u.b) > a

4 a(b+e)=aœ.b+a.e (thính chất phân phối đối uới phép cộng) 4 Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng

Trang 30

CAC Vi DU GIAI TOAN ea 2 2.16 Ta goi binh phuong cua vecto u, ki hiéula u 1a tich vé huéng cua = ¬2 > > = u với chính nĩ:u =u.u =|uÈ Chứng minh các hệ thức : - ~ 2, 92 ~~ —* a) (a+b)? =a +b +2a.b 2 > = 5 oe +2 _,2 an! ee b) (a-b)? =a +b -2a.b ©) (a+b\(a~b)=a ~b a Hướng dẫn

a) Theo tính chất phân phối của tích vơ hướng ta cĩ :

(ä+ bề = (4+ b\(a + b) = a(a + b)+ b(a + b) a a - -a-.‹ 2 x2 oy ew = =a.at+a.b+b.a+b.b=a+b+a.b+b a Theo tinh chat giao hoản của tích vơ hướng a.b=b.a, đo đĩ : > => -3 +2 > (a+b =a +b +2a.b b, e) Chứng minh tương tự câu a)

9.17 Cho tam giác ABC cĩ AB = 6, AC = 8, BC = 11

a) Tính tích vơ huớng AB AC

b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 và trên AC lấy điểm

N sao cho AN = 4 Tính AM.AN Hướng dẫn

a) CB =(AB- AC)? = AB + AC -2AB.AC

sổ KH 2 21

= AB.AC= S(AB + AC - - 6B) = 2@? 8-11) =-2

b) Tacs: AM=2AB, 3 AN-= AC 2

Trang 31

2.18 a) b) Cho tam gidc ABC cé AB = 2, BAC= 60" AC = 3 4

a) Tinh |BC| va LAMI, AM là trung tuyến

b) Gọi AD là đường phân giác của gĩc BAC Tính cos DAM Hướng dẫn Ạ 2 — _—_ — —> _»3 —> —4+ |BG] = (AC- AB)? = AC + AB -2AC.AB = 3? +2? - 2.2.3 cos60’ =7 BC = V7 B.DM Cc —-»2 —, ¬ yt] 19 AM -lễ (AB+ AC) 1 a8 "mà +2AB AC = 7 ay 19 lam|= 229 2 Ta cĩ : re (1) | AD|.|AM| Theo tính chất của phân giác ta i, oe DC AC về 3 — @-> _” — => = Q-—>

~Suy ra Bite Điện AD = Bs BD SAB eS BC

AD.AM = [AB 286) o (ABs AG)

2

= tag lL aucac lge an-tne ac 2 2 5 5

Trang 32

2.19 a) b) Thay cosB, cosC vào (2) thì được : AD.AM = nNlo Tinh | ADI : —3 — ` — —2 — +? —> —> 2 AD =(AB+ BD)? = AB +BD +2AB.BD -4+(2 47] jaa _ 108 a Thay các kết quả vừa cĩ vào (1) thì được : a SAM == : 108 v19 ~ 0,9934 2 '(Ý25` 2 Cho tam giác ABC cĩ: đường cao AH, trung tuyến AM Chứng minh rằng : : A 2 a) AB? + AC? = 2AM? + ee (1) b) |AB? - AC? | = 2BC.MH (2) Hướng dẫn B.H M C Ta cĩ: BC AC-AB BC =(AG- AB) - AC? ‹ AB2 -2AC.AB >— 2AR.ÁC+ BC? - AC? + ÁP” rf (3) AB AC = (MB~ MAXMC- MA)

= MB MC- MAOMIB.MC})+MA = ÊC`, AMZ (4)

"thay (4) vào (3) ta được (1)

Trang 33

2.20 a) b) c) Cho tam giác ABC co trong tam G va nĩi tiếp trong đường trịn tâm O a) Ching minh rằng với diérn M bat ki trong mat phang ta cĩ : MA? + MB’ + MC? = 3MG? + GA*+GB?+GC? ` (1):

b) Tính tổng GA” + GB? + GC” the các cạnh của tam giác ABC e) Xác định vị trí của M để tổng A’ + MB? + MC? dat giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất khi M di động trên *ường trịn nae tiép

tam giác ABC 5

Hướng dẫn Với điểm M bất kì trong mặt phẳng ta cĩ :

MA? = (MG+GA)? = MG? + GA? + 2MG.GA = (MG+ GB)’ = MC? + GB? + 2MG.GB —= C? = (MƠ + GB)? = MG? + GC? + 2MC.GC =_ MA?+ MR?+MC? =3MG” +GA”+GB?+GC? + + 2M(GẢ + GB + GC) G là trọng tâm AABC nên GA+GB+GC = 0 Từ đĩ suy ra (1) Khi M trùng với A thì (1) trở thành : A

AB? + AC? = 4AG? + GB? + GC?

Tương tự, khi M trùng với B, với C ta được : (IS

AB? + BC? = 4BG” + GA? + GC” M, VN NV) M

AC? + BC? = 4CG? + GA” + GB? P o

Cộng các đẳng thức trên ta suy ra : Ne ea

2(AB’ + BC? + CA’) = 6(GA? + GB? + GC’)

= GA’ + GB + GC’ = 2 (AB? + AC” + BC’)

Ta đặt : S = MA? + MB? + MC? = GA? + GB? + GC? + 3MG?

Vi GA? + GB? + GC? khéng déi nén S dat gid trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất phụ thuộc MG

Trang 34

Từ tính chất của đường trịn, MG lớn nhất khi M ở vị trí M; với

tâm O là điểm nằm trên đoạn MỊG và MG nhỏ nhất khi M ở vị trí ˆ Mạ, lúc đĩ tâm O nằm trên đoạn M;ạG kéo dài

9.21 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Tìm tập hợp (qui tích) những _ điểm M sao cho : M =3 => 2 a) MB MC = MA? + = () E b) MA.MB+MB.MC+MC MA = (2) B D Cc Hướng dâ Ca we a) MB.MC = MAỶ + —— (1) ° (MA + AB)(MA + AC) = MA? + = — >> > —», a? © MA? + MA(AB + AC) + AB AC = MA? + — i Len Awe a? © MA 2AD+ ABACcosA = (3) 2 Tam giác ABC déu, canh bing anén AB.AC.cosA = a?.cos60° = = 2 —> —> Do đĩ MB.MC = MA? + — ` MA.AD=0,

trong đĩ AD là trung tuyến của AABC Điều này chứng tỏ tập hợp

(quĩ tích) các điểm M thỏa mãn (1) là đường thẳng đi qua A vuơng gĩc với AD

Trang 35

2.22

a)

= 2

MA +MB +MC = (MO OA)? + MƠ + OB)° + (MỎ+ OỞ)?

= 3MO? + OA? + OB? + OC?+2 MỎ(OA + OB + OC) 5 = 8MO?+a” (Vì OA = OB = OC = = oot Sle Do đĩ : (MÃ + MB+ MỎ” - 3MO? + a” + 2(MA.MB+ MB.MẺ + MỞ.MẢ) = 9MO° =a =r —+ aly —g acu: 2

Thay MA.MB+MB.MC+MC.MA = ¬ ta được :

3MO? + a” + 5a” = 9MO” =°_ˆ MO? = a? (4)

O cố định nên (4) cho thấy tập hợp (quỹ tích) các điểm M thỏa mãn (2) là đường trịn tâm O bán kính a Cho tam giác ABC Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm M sao-cho : a) MA? + MB? + MC”= AB +AC? (1) b) 2MA? = MA.MB+MA.MC (2) Hướng dẫn Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta cĩ : VT (1) = (MƠ + GÀ)? + (MƠ+ GB)? +(MG + GC)? —> —> T—> = 3MG? + GA? + GB? + GC? + 2MG(GA+ GB + GC) ở =AB?+AC” (3)

Ta lại cĩ : GB? + GC’ = (GA+ AB)? +(GA + AC)?

1 2GA? + AB? + AC? + 2GA(AB+ AC) 2GA? + AB? + AC? - 2AG.3AG

AB? + AC? - 4GA?

Trang 36

“9 bì 2.23 a) b) 2.24 Do dé: (1) < 3MG?- 3GA?=0 <= GM=GA Vậy tập hợp (quỹ tích) cần tìm là đường trịn tâm G bán kính bằng GA (2) <2 2MA -MA.MB-MA.MG=0 ce MA(MA-MB) + MẢ(MÁ - MƠ =0 ° ‘MA(BA + CA) =0 " © MA2DA =0 (AD là trung tuyến của AABC) © MÁ.DA =0

Suy ra tập hợp (quỹ tích) M là đường thẳng qua A và vuơng gĩc với

trung tuyến AD

Cho hai vectơ a = (~9; 1), b(; - 1)

Trang 37

Huéng dan

a) Tacĩ: AB=(2-0;3+1)=(2 4) AG=(5-0;0+1)- 5 2°.) 2

—> —?

a AB=4AC Vay A, B, C thang hang

b) Gia st M(x; y) AM va AB cùng phương, nghĩa là ta cĩ : x-0 _ytl y=2x-1 => M(x;2x- 1) 2-0 3+1 ; ' Goi I 1a trung diém cia EF thi I(x; y) véi : ge kee PS oy, zg te BS i1 2 2 2 2 Vậy I(-1; 1)

vì IEM+FMI=|2IM| nên |EM+ FM| nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất

hay M là hình chiếu vuơng gĩc của I trên AB, tương đương : IMLAB © IM.AB=0 © 2x+10+42x-1—1)=0 3 > Xx=- 5 3 1 Vậy MỊ ay m(2; 2) —-; —| BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bat tap về lính loĩn tích vơ hướng, độ dời, gĩc 9.25 Cho tam giác ABC cĩ AB = 5, BC = 7, CA = 8:

a) Tính các tích vơ hướng AB CA, CA.CB, cosin của các gĩc A, B,

C Ĩ

b) Tìm độ dài đường cao AH

3.36 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, đường cao AH

a) Tinh AB.HC b) Tinh (AB- AC\2 AB + BC)

Trang 38

2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 Cho hình thang vuơng ABCD, đường cao AB s 2, đáy lớn BC = 3 đáy nhỏ AD = 2

a) Tính các tích vơ hướng AB.CD, ‘BD BC, AC.BD

b) Gọi trung điểm của CD là I Tính AI.BD

Cho hai vectơ a,b với |a|l=3, |b|=8, |a+b|=4 Tính tích vê

hướng A = (a-3b)(2a + b)

Cho tam giác ABC, biết A(1; 2), B(-2; 6), C(4; 2)

a) Tinh AB.AC va cosin cua géc A

b) Tim toa độ của điểm H là chân đường cao AH của tam giác Cho tam giác ABC, biết hai đỉnh A(2; 6), B(-3; -4) và trọng tâm

G (é: HÌ

3 8

a) Chứng minh tam giác ABC vuơng

b) Tìm tọa độ điểm D chân đườn: hân giác trong của gĩc B

Bỏi lập sử dụng tích vơ hướng để chứng minh

Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường trịn tâm O, điểm M tùy ý

_ trên đường trịn Chứng minh rằng đại lượng MA? + MB? + MC? 2.92

2.38

2.34

khơng đổi khi M di động trên đường trịn

Cho tam giác ABC cĩ trực tâm H Trung điên của BC là M Chứng

minh :

a) MA.MH = 2 RC? - b) MH? + MA? = AH? + 5 BC

Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh :AM.BC + BN.CA + CP.AB =0

Cho tam giác ABC với trọng tâm G và điểm M trên mặt phẳng Chứng minh : ‘

Trang 39

2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 Cho tam giác ABCD tâm O và điểm M trên mặt phẳng Chứng minh rằng : a) MA? + MC? = MB? + MD" b) MA.MC = MB.MD c) MA? + MB.MD = 2MA.MO

Chứng minh rằng trong một tam giác thì ba đường cao đồng quy Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O và điểm H thỏa mãn hệ thức : OH = OA+0B+ OC

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC

b) Gọi M là trung điểm BC Tìm hệ thức giữa các cạnh của tam

giác ABC để OH | AM

Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác ta dựng hai hình vuơng

ABDE và ACFG Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EG Chứng minh AM L BC

=> —> — —

Cho tứ giác ABCD biết AB.AD+ BA BC + GB.CD+ DC.DA =0

Chứng minh ABCD là hình binh hành

Bỏi tập về tìm tập hợp (quỹ tích) điểm

Cho hai điểm phân biệt, cố định A và B Tìm tập hợp (quỹ tích) các

điểm M thỏa mãn :

a) 2MA? + MB=k_ (k là hằng số dương cho trước)

'_b) MA? - 8MB = k

2.41 Cho tam giác ABC

a) Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm M thĩa mãn :

MA.MB =k (k là số thực cho trươc)

ˆ b) Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm M thỏa mãn : 2.42

MA? + MA.MB =0

Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn :

Trang 40

2.43 Cho tam gidéc ABC cé trong tam G Tim tap hgp édc diém M thỏa man:

‘a) MB.MC-MB.MG = AB? _b) (2MA-3 MBXMA+2MB) = 0

2.44 Cho tam giác vuơng cân ABC, cạnh huyền AB = a Tìm tập hợp các

điểm M thỏa mãn : MA?-+ MB? + MC? = 3a?

§3 HE thie lung trong.tam gide

1 Định lí Cosin trong tam gidc

_ Trong tam giác ABC, đặt BC = a, CA = b, AB = c ta luồn cĩ :

a’ = bŸ + c? ~ 2becosA

b? = a’ +c” - 2accosB

l c? = d? + bŸ— 2abcosC

2 Định lí Sin trong tam gidc pf Với mọi tam giác ABC, ta luơn cĩ :

a 6 ee

sinA -sinB’ sinC

Trong đĩ R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

3 Cơng thức độ dịi trung tuyến củo †ơm giĩc

Ki hiệu mạ„ mụ, m lần lượt là độ dải các trung tuyến ứng uới các cạnh BC, CA, AB của tam = ABC, ta:cé cde céng thite trung

tuyển sau đây :

=82R_

4 Diện tích tam giác

Định dạng
Số trang	175
Dung lượng	13,09 MB