Giải bài tập hình học 10 nguyễn vũ thanh

Trang 1

NGUYEN VU THANH - TRAN MINH CHIEN

IẢI BĂI TẬP

sinB = cosC ; sinC = cosB ; tanB = colC ; tanC = colB

Trang 2

NHA XUAT BAN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HĂ NỘI

NGUYEN VU THANH-TRAN MINH CHIEN

Giai bac tap

HINH HOC 10

NANG CAO

Đơn vị liín kết :

Trang 3

Lai nĩi dĩiw

Quyển sâch GIẢI BĂI TẬP HÌNH HỌC 10

NĐNG CAO được biín soạn theo sâch giâo khoa

Hinh học 10 dùng cho Ban Khoa học Tự nhiín vă được trình băy như sau:

— Tom tat giao khoa

~ Nĩu phuong phap vă giải băi tập theo

sâch giâo khoa

~ Bổ sung một sổ băi tập lăm thím

Cuối sâch có bổ sung một số cđu hỏi trắc nghiệm để học sinh lăm quen với câch lăm băi trắc nghiệm

Với câch trình băy như trín, chúng tôi hi vọng quyển sâch năy sẽ lă tăi liệu tham khảo tốt trong quâ trình học tập, rỉn luyện vă ôn tập ở nhă

Quỷ thầy cô vă quý phụ huynh có thể xem quyển sâch năy như tăi liệu tham khảo thím

Chúng tôi mong đón nhận ý kiến xđy dựng từ

quý độc giả

Trang 4

Crug I VECTO

§1 CÂC ĐỊNH NGHĨA

A TÓM TẮT GIÂO KHOA

1 Vectơ

Vectơ lă một đoạn thẳng có hướng, nghĩa lă trong hai điểm mút của

đoạn thẳng, đê chỉ rõ điểm năo lă điểm đầu, điểm năo lă điểm cuối Kí hiệu vectơ AB lă AB hoặc 4, b

Vectơ có điểm đầu vă điểm cuối trùng nhau gọi lă vectơ — không, kí

hiệu lă Õ

2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Đường thẳng qua AB gọi lă giâ của vectơ AB

Hai vectơ gọi lă cùng phương nếu chúng có giâ song song hoặc trùng nhau

Vectơ-khơng Ư cùng phương với mọi vectơ

Hai vecto cùng phương thì chúng có thể cùng hướng, hoặc chúng ngược hướng

3 Hai vectơ bằng nhau

Khoảng câch giữa hai điểm A, B gọi lă độ dăi của vectơ AB vă kí

hiệu |AB| = AB

Độ dăi của vectơ ô được kí hiệu lă |ô|

Hai vectơ gọi lă bằng nhau nếu chúng cùng hướng vă cùng độ dăi

Nếu hai vectơ ô vă b bằng nhau ta viết ô = b

B PHƯƠNG PHÂP GIẢI BĂI TẬP

1 Vectơ khâc uới đoạn thẳng như thế năo?

e Trả lời: Vectơ lă một đoạn thẳng có hướng, điểm đầu gọi lă gốc, vă điểm cuối gọi lă ngọn

2 Câc khẳng định sau đđy có đúng không?

a) Hai uectơ cùng phương uới một 0ectơ thứ ba thì cùng phương

Trang 5

b) Hai uectơ cùng phương uới một 0ectơ thứ ba khâc uectơ-không 0 thi

cùng phương

c) Hai uectơ cùng phương uới một 0ectơ thứ ba thì cùng hướng

đ) Hai uectơ cùng phương uới một oectơ thứ ba khâc 0ectơ-không 0 thi cùng hướng e) Hai uectơ ngược hướng uới một uectơ khâc uectơ-không 0 thì cùng phương Ð Điều kiện cần va du để hai vecto bằng nhau lă chúng có độ dăi bằng nhau ® Trả lời a) Sai vì hai vectơ không cùng phương với nhau nhưng lại cùng phương với vectơ Ú b) Đúng c) Sai vi hai vectơ không cùng hướng nhưng chúng cùng hướng với vectơ 0 d) Đúng e) Đúng Ð Sai vì hai vectơ có độ dăi bằng nhau nhưng không chắc cùng hướng với nhau x

3 Trong hinh bĩn, hay chi ra cde vecto cung phitong, cdc

vecto cing hướng va cdc vecta bằng nhau y ® Trả lời ư OF] dì 9, Cac vecto cing phuong: 4,d, Vv, y Câc cặp vectơ cùng hướng: ô, Ÿ; ÿ, d; b,ũ Câc cặp vectơ bằng nhau : ô = ở; b=ũ 4 Gọi C lă trung điểm của đoạn thẳng AB Câc khẳng định sau dđy đúng hay sai ?

Trang 6

Cc BAI TAP LAM THEM 1 a) Câc điểm đầu la B, F, C b) Câc điểm cuối lă F, D, C @ Giải a) AB = BỈ = FO = CỬ b)_ AB = HE = ED = OC

Cho tam giâc ABC nội tiếp đường tròn tđm O- Gọi H lă trực tđm của tam giâc ABC

a) Gọi D lă điểm đối xứng của A qua O Chứng mình: BD = HC

b) Gọi K lă trung điểm của AII uă I lă trung điểm của BC Chứng

minh; OK =IH va OI = KH

®@ Hướng dẫn Chứng minh câc tứ giâc BDCH vă KOIH lă hình bình hănh Cho hinh vuĩng ABCD tam O Trong câc 0ectơ có diểm đầu va điểm

cuối lă hai trong câc điểm A, B, C, D, O

a) Hay tim cdc vecto bang vdi vecta AB, OC

b) Hêy tìm câc uectơ có độ dăi bằng độ dăi câc uectơ AC, AB, OC Gọi G lă trọng tđm của tam giâc ABC Vẽ AD = BC va DE =GB

Chứng mình GE =0

® Hướng dẫn Âp dụng tính chất trọng tđm của tam giâc

§2 TỔNG HAI VECTƠ

Định nghĩa tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ ô vă b Lấy một điểm A năo đó rồi xâc định câc điểm B

Trang 7

-2 Tính chất a) Tính chất giao hoân : a+b=b+a b) Tính chất kết hợp : (ê+b)+ĩ= ơ+(b+e} c) TÍnh chất của vectơ-khơng: ơ+Ư=ơ 3 Câc quy tắc a) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì M, N, P ta có: A B MN+NP =MP b) Quy tắc hình bình hănh: “Z7 Nếu OABC lă hình bình hănh thì ta có: lo) Cc OA +OC = OB 4 Chúý

a) Nếu M lă trung điểm đoạn AB thì MA+MB =0

b) Nếu G lă trọng tđm tam giâc ABC thì GA +@GB+G€ = ö B PHƯƠNG PHÂP GIẢI BĂI TẬP

6 Chứng minh rằng nếu AB = CŨ thì AC = BD ® Giải Âp dụng hệ thức ba điểm ta có:

AB=CD = AC + CB = CB + BD = AG = BD

7 Tứ giâc ABCD lă hình gì nếu AB = D vă I ABI= I BI ?

e Giải Từ AB = DC suy ra tứ giâc ABCD lă hình bình hănh, còn AB = BC thì tứ giâc ABCD lă hình bình hănh có hai cạnh lín tiếp

bằng nhau nín ABCD lă hình thoi

Trang 8

9 Câc hệ thức sau đđy đúng hay sai (Uới mọi d 0ă b)

4) lâ+bl=ldl+lb1 b) la-blzlal-l6l

@ Gidi a) Sai lay a,b không cùng phương thì la+bl<lal+ibl b) Dung Ap dung: la+bl<lal+lbl

Ta có: lâ-bl+lIbl>lôa-b+bl=lảl=lô-bl>lảl-IBbI

10 Cho hình bình hănh ABCD tđm O

Hay diĩn uăo chỗ trống ( ) để được B ế đảng thức đúng No 7 a) AB+ AD = b) AB+CD = c) AB+OA = d) OA+0C = fp e) OA+OB+OC+OD = A © Giai a) AB+AD = AC (quy tắc hình bình hănh) b) AB+CD = AB+BA =0

c) AB+OA = OA + AB = OB (quy tắc ba điểm) d) OA+O€ =0 (vì O lă trung điểm của AC)

e) OA + OB + OC + OD = (OA + OC) + (OB + OD) = ö + +0=0 D

11 Cho hình bình hănh ABCD tđm O A D

Mỗi khẳng định sau đđy đúng hay sai ? a) |AB+AD\=| BD! ; we b) AB + BD = BC ees c) OA+OB=OC+OD ; B c d) BD+ AC = AD+ BC @ Gidi a) sai vi AC va BD chưa chắc bằng nhau b) Dung vi AB + BD = AD = BG

c) Sai vi OA + OB = (OC + CA) + (OD + DB)

= (OC + OD) + (CA + DB) + OC + OD (do CA + DB = 0)

d) Ding vi : BD + AC = (BC + CD) + +(AD + DC)

= (BC + AD) + (CD + DC) = AD +BC

12 Cho tam giâc đều ABC nội tiếp đường tròn tđm O a) Hay xâc định câc điểm M, N, P sao cho :

OM = OA+OB, ON = OB+OC, OP = OC +OA

Trang 9

b) Chitng minh rang : OA + OB + OC = 0

® Giải M

a) Theo quy tắc hình bình hănh: từ

OM=OA+OB suy ra tứ giâc

AOBM lă hình bình hănh Gọi I a °

la trung diĩm AB thi OI = IM O c

lă trọng tđm tđm giâc ABC nín

OC = 210 = OM N

Do đó O lă trung điểm MC, tức MC lă đường kính của đường tròn Tương tự ta cũng có : M, N, P thuộc đường tròn (O) sao cho CM, AN,

BP lă câc đường kính của (O)

b) O lă trung điểm của MC nín OM + OC = 0

Ma OM=OA+OB nín OA + OB + O€ = 0

13 Cho hai lực F),F, cùng có điểm đặt tại O Tìm cường độ lực tổng hợp

của chúng trong câc trường hợp sau :

a) F, va Ể, đều có cường độ lă 100N, góc hợp bởi F, uă F; bằng 1209 b) Cường độ của F, lă 40N, của Í; lă 30N va góc giữa F, uă F; bằng 90

® Giải

a) Vẽ hình bình hănh AOBC thì AOBC lă hình thoi

Tacó E; +; =OA +OB =OC ° 100N A

OC lă phđn giâc góc AOB nín AOC = 60° § do đó tam giâc AOC đều Suy ra OC = OA =10Ci = 100N B c Vay cutmg dO lic tĩng hgp cia F,,F, 1a 100N b) Vẽ hình chữ nhật AOBC thì: if, +f, = OA +0B - 06 Ta có: OC = AB = JOA? + OB? = /2500=50 40N A Vậy cường độ lực tĩng hgp cia F, va F, 1a 50N B Cc 30N

C BAI TAP LAM THEM

1 Cho hình bình hănh ABCD uă M lă điểm tuỳ ý Chứng mình rằng :

MÊ + MC = MB + MD

® 1ướng dẫn Âp dụng quy tắc ba điểm

Trang 10

Cho lục giâc điều ABCDEF că M tuỳ ý Chứng mình rằng :

MÊ + MC + ME = MB + MŨ + MỸ

@ Inĩsng dan: MA + MC + ME =(MB + BA) +(MD + DC) + (MF + FE)

Ching minh: BA+DC+FE=0

Cho tam gidc ABC Vĩ vĩ phia ngodi tam giâc cúc hình bình hănh

ABMN, BCPQ, CARS

Ching minh: QM +NR+SP =0

Cho hai lực F),E, đặt tại điểm O đều có cường độ lă 100N, góc hợp

bởi F),E, bằng 600 Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng © Đâp số: 100/3 N Tìm diễu hiện giữa d uă Ð để có: lơ+bI=lâl+lB1 © Đâp số: ô vă b cùng hướng §3 HIỆU CỦA HAI VECTƠ A TÓM TẮT GIÂO KHOA

1 Vectơ đối của một vectơ

« Nếu tổng của hai vectơ ô vă b lă vectơ - không thì ta nói ô lă vectơ

đối của b hay b lă vectơ đối của ơ

« Vectơ đối của vectơ â ký hiệu lă - ô

ô+(-ô) = (-ô) + (ả) = Ư

« Vecto dĩi của vectơ ô lă vectơ ngược hướng với vectơ ô vă có cùng

độ dăi với vectơ a

« Vectơ đối của vectơ Ö lă vectơ Ö Hiệu của hai vectơ

« Hiệu của hai vectơ ả vă b, kí hiệu ả-b lă tổng của vectơ ô vă vectơ đối của vectơ b tức lă ê-b = â +(- b)

Phĩp lấy hiệu của hai vectơ gọi lă phĩp trừ vectơ

« _ Quy tắc về hiệu vectơ :

MN lă một vectơ đê cho vă O lă điểm tuỳ ý

Taco: MN=ON-OM

Trang 11

14 Trả lời câc cđu hỏi sau đđy:

a) Vectơ đối của uectơ -ô lă uectơ năo ? b) Vectơ đối của uectơ Ö lă uectơ năo ? c) Vectơ đối của uectơ ô+ b lă uectơ năo ?

® Trả lời a) Vectơ đối của vectơ —ô lă vectơ -(—-ô) = â b) Vectơ đối của vectơ Ö lă vectơ Ö

e) Vectơ đối của vectơ ô + b lă vectơ -(ô+b ) =- ê - b 15 Chúng mình câc mệnh dĩ sau đđy : a) Nếu ô+b =ẽ thì ô=ẽ-b,b =ẽ-ơê b) G-(6+ĩ)=a-5-@ e) ơ-(ð~£Ì=ê-b+ẽ @ Giải a) Cộng hai vế cho vectơ đối của vectơ b ta có : a+b+(-b) =¢+(-b)>a=ĩ-b Cộng hai vế cho vectơ đối của vectơ ta có : ô+b+(-ê) = ế+ (—ô) = b=ẽ-ô b) Ta có : a~(B+ẽ)+(b+£) =ê Âp dụng cđu a ta có : a-(b+¢)=a-b-ĩ c) Ap dung cau a ta cĩ :

a-(b-ĩ) = a-(b + (-@)] = a-b-(-@) = a- bre b

16 Cho hình bình hanh ABCD tĩm O Mĩi khdng dinh sau dĩy ding hay sai ? a)OA-OB = AB b) CO-OB = BA c) AB- AD = AC d) AB- AD = BD e) CD-CO = BD - BO e@ Giải a)Sai vì OA -OB = BA z AB A D b) Dung vi CO - OB = OA - OB = BA / >7 c)Sai vì AB- AD = DB z AC d)Sai vì AB- AD = DB zBD T e

e) Ding vi CD-CO = OD vă BD - BỐ = OD nín CD - CÓ = Bồ - BÖ

Trang 12

a) Tim tap hop cac diĩm O sao cho OA = OB b) Tim tap hợp câc điểm O sao cho OA = -OB

® Giải

a) Nếu có điểm O sao cho OA = OB thi A =B (vo li) Vay tap hợp

diểm O thỏaOA = OB lă tập rỗng b) Ta có: OA=-OB «> OA+OB=0

« O lă trung điểm đoạn AB

Vậy tập hợp câc điểm O sao cho OA = -OB chỉ có một điểm chung duy nhất lă trung điểm của đoạn AB 18 Cho hình bình hănh ABCD Chứng mình rằng DA - DB + DC = 0 e Giải Ta có: DA-DB=BA,ma BA=CD Nín DA - DB + D€ = CD + DC = Ö 19 Chúng mình rằng AB = CŨ khi uă chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD uă BC trùng nhau ® Giải a) Giả sử : AB = CD vă I, J lần lượt lă trung điểm của AD vă BC Ta có: IA+ID=0 ; JB+J€ =0 Ta có: IJ =IA+AB+BJ Vă IJ=ID+DC+CJ = 1j + 1j = (IA +1D) +(AB + DC) +(BU + CJ) = 0 => lj = -lJj = ÍJ =Ö=I=J b) Ngược lại giả sử I= J, tức IA + ID = Ö q) vă JB+J€ =0 (2) Lấy (1) trừ (2) ta được :

(IA - 1B) + (ID -IC) = 6 > BA+CD = 6 = AB=CD

20 Che sâu điểm A, B, C, D, E, F Chúng mình rằng :

AD + BE + CF = AE+ BF +CD = AF + BD+CE ® Giỏi

Câch 1: Gọi O lă điểm bất kì ta có :

AD + BE + CF = (OD - 0A) +(OE - 0B) +(OF - OC)

= OD+O0E+OF -O0A - OB -0C qa)

Trang 13

AE + BF + CD = (OE - OA) +(OF - OB) +(OD - OC) = OE + OF +OD -OA - OB - OC (3) AF + BD + CE = (OE - OA) +(OD - OB) +(OE - OC) = OF + OD + OE -OA - OB - OC (3) Từ (1), (2) vă (3) suy ra : AD + BE+CF = AE+ BF + CD = AF + BD +CE Câch 2: Âp dụng quy tắc ba điểm : AD + BE + CF = (AE + EB) + (BE + FE) +(CD + DF) = (AE +BF+CD) + (ED+DF+FE)-AB+BF+CD 4)

Mat khĩc: AD+BE+CF = (AF + FD) +(BD + DE) + (CE + EF)

= (AF + BD + CE) +(ED + DF + FE) = AF + BD + CE (5) Tir (4) va (5) suy ra dpem

C BAI TAP LAM THEM

1 Cho bốn điểm A, B, C,D Chứng minh rằng AB- CŨ = AC + DBì 2 Cho hai vecto khdc 0,4 va b Tim mĩi quan hĩ gida a va b

Biĩt |\a+bl =1a-bl

Đâp số : ô Lb

3 Cho hình uuông ABCD cạnh a Tìm độ dăi câc Uectơ :

AB+AD;AB- B€ uă CB- CD

4 Cho tam giâc ABC, xâc định điểm I thỏa điều biện: IA - IB - IƯ = Ư

§4 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1 Định nghĩa

Tích của vectơ ê với số thực k lă một vectơ, kí hiệu lă kả được xâc định

như sau:

e Nếu k >0 thì vectơ kôê cùng hướng với vectơ a Nếu k < 0 thì vectơ kê ngược hướng với vectơ a

Trang 14

* 66 dai vecto k a= IkI.lal

Phĩp lấy tích của một vectơ với một số gọi lă phĩp nhđn vectơ với một SỐ 2 Tỉnh chất Với hai vectơ â,b bất kì vă mọi số thực k, / ta có : k(ô) = (kl) a (k+l) da =k.atla k(a+b)=k.a+k.b;k(a - b)=k.a -k.b »« k.ả= 0œ k=0hoặc ơ = Ư

3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Vectơ b cùng phương với vectơ ô (ô z0) khi vă chỉ khi có số k sao cho

b=k.a

Điều kiện cần vă đủ để ba điểm phđn biệt A, B, C thẳng hăng lă có số k

sao cho: AB = kAC

4 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ không củng phương a va b Khi đó mọi vectơ X đều có

thể hiển thị được một câch duy nhất qua hai vectơ ả vă b, nghĩa lă có duy nhất cặp số m vă n sao cho x =maô +nb

E PHƯƠNG PHÂP GIẢI BĂI TẬP

21 Cho tam giâc uuông cđn OAB vdi OA = OB = a Hay dung cdc vecta sau đđy va tinh độ dăi của chúng :

OA+OB; OA-OB; 3OÔ + 408; Š 0Ô + 2,508; “104 -2 0B;

® Giải Về hình vuông AOBC ta có :

OA +OB=OC

=> IOA+OBI = IOỔI = a/2

OA-OB=BA

+ IƯA-OBI = IBƠI = aV2

Goi M, N la diĩm thĩa OM = 30A,ON = 40B Ñ p

Vẽ hình chữ nhật MONP thì:

OM + ON = OP = 30A + 40B = OP

= _ 13OA+4OBI = IOPI 8

= VOM? + ON? = V9a?+16a? =5a o A M

Trang 15

Tương tự : 2 OA + 2,505 = ( Goi I, J la diĩm thỏa: Oï - 1Ì Vẽ hình chữ nhật IOJK thi: 1ê _ 3B -ØK = "0A +(-208) - 01-03 = OK 4 7 4 7 2 2 > 0a - 208 = |OKi = (3) +(2a) = $6078, uO A 4 7 4 7 28

22 Cho tam giâc OAB Gọi M, N lần lượt lă trung diĩm hai canh OA va OB Hêy tìm những số m, n thích hợp trong câc đẳng thức sau đđy :

OM = mOA +nOB ; MN = mOA + nOB

AN =mOA+nOB ; MB = mOA + nOB © Gidi Tacĩ: OM = 504 = 504 + 0.08 ° M ca = ==_ Lín lựa (-3 Ñ=ØNÑ-ðM= 16B- 1ðA - [-1\ ØðA+ Ì0ơ ON 5 5° 3 O +5 —_ M N Ge a AN =ON-OA = 5 B- OA = (-1) OA + 5 0B A B MB - OB - OM = OB->OA = -50A+0B 23 Goi M uă N lần lượt lă trung điểm câc đoạn thdng AB va CD Citing mình rằng : 2MN = AC + BD= AD + BỐ ® Giải Âp dụng quy tắc ba điểm ta có : AC + BD =(AM + MN + NC) +(BM + MN + ND) = 2MN + (AM + BM) + (ÑG + ÑB) = 2MN + ö + ö= 2N AD + BC = (AM + MN + ND) +(BM + MN + NC) = 2MN + (AM + BM)+(ND + NC) = 2MN + ö + ö= 2ï

Vay 2MN = AC+ BD = AD+BC 24 Cho tam giâc ABC uă diĩm G

a) Chứng minh rằng nếu GA+GB+GC =0 thì G lă trọng tđm tam

giâc ABC

b) Chứng mình rằng nếu có điểm O sao cho OG = 2(0Ô +0B -O1C)

Trang 16

® Giải 1) Gọi Ố¡ lă trọng tđm tam giâc ABC ta có: G,A + G,B ‘ Ge 0 Tu GA 1 GB+GC- 0 suyra GG, +G,A+GG,+G,B+1GG,; +G,C = 0 3GG, +(G,A+G,B+G,C)-0 > 38GG, -0>G=G,

Vậy G lă trọng tđm tam giâc ABC

0) Goi G, la trọng tđm tam giâc ABC ta có :

OG - 4 (OA + OB + OC)

= 4 (306, +G,A+G,B +G,C) -O0G, > G=G,

Vậy G lă trọng tđm tam giâc ABC

25 Goi G la trong tam tam giâc ABC Dạt d : GA, b - GB Hêy biểu thị mĩi vecta AB,GC,BC,CA qua cdc vecto a va b

GC - -GA GB ôâ-b

BC - GC GB - -ô-b-b- -ô-9b CA -GA-GC=a+a+b=2a+b

26 Chúng mình rằng nếu Œ uă Œ' lần lượt lă trọng tđm tam gide ABC va A8C thì 3GG' - AA'+ BB' + CC" Từ đó hêy suy ra điều kiện cần uò đủ để hai tam giâc ABC vă A TC “có trọng tđm trùng nhau

® Giải G lă trọng tđm tam giâc AC nín ta có: GA+GB+GC =Ö

G lă trọng tđm tam giâc A'B'C' nín ta có: G'A'+G'B'+G'C =0 Ap dụng quy tắc ba điểm ta có : AA‘ + BB! 4 CC’ = (AG + GG’ 1 G'A‘) + (BG + GG7 + G8) + (CG + GG’ + GC’) = -(GA + GB + GC) +3 GG’ +(G‘A‘ + G’B' + GC’) = 3GG7 => Diều kiện cần vă đủ để hai tam giâc ABC vă A'B'C' có trọng tam trùng nhau lă : AA'+BB`+ CC” - 0

22 Cho lục giâc ABCDEF Gọi P, Q, l, S, T, U lần lượt lă trung diĩm câc cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng mình rằng hai tam gidc PRT va

QSU có trọng tđm trùng nhau

® Giải Ta oo er

Trang 17

PQ +RS+TU = 2 AC + CB + 2 EÔ - 1(AC 2 2 2 2 + CE+ EA) - 0

Âp dụng kết quả băi 26 thì hai tam giâc RU! p

PRT vă QSU có trọng tđm trùng nhau

Câch khâc : Ta có thể giải băi 27 trực tiếp B

sau đđy: Q

Lấy O bất ki vă gọi K,G lần lượt lă trọng

tđm tam giâc PRT vă QSU ta có : A

30G = OP + OR + Oi = 2(0A + OB) + (OC + OD) + > (0E + OF| 2 2 2

>(OA + OB + 06 + OB + OF + OF) (1)

ae - 00.08 00 ~ 1/08 08) lon on) oR ox 30K = 0G + OS + OU = 5 (OB + OC) + 5(OD + OF) + 5(OF + 0A)

= 5(OA +08 + 0 + OD + OF + OF) (2)

Từ (1) vă (2) suy ra OG = OK tite G2 K

Vậy hai tam giâc PRT vă QSU có trọng tđm trùng nhau :

28 Cho tứ giâc ABCD Chứng mình rằng :

a) Cĩ mĩt điểm G duy nhất sao cho GA +GB+GC+GD=0 Đim G

như thế gọi lă trọng tđm của bốn điểm A, B, C, D

Tuy nhiín, người ta uẫn quen gọi G lă trọng tđm của tứ giâc A3CD

b) Trọng tđm G lă trung điểm của câc đoạn thẳng nối trung điển hai

cạnh đối uới tứ giâc, nó cũng lă trung điểm hai đường chĩo cỉa tử

giâc

©) Trọng tđm G nằm trín câc đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ gúc va trọng tđm của tam giâc tạo bởi ba đỉnh còn lại ® Giải a) Gọi O lă điểm cố định bất kì ta có : GA + GB + GỠ + GD = 0 © OA-0G+0B-0G+ 0C-0G+0D-0G=0 < 406 = OA + OB + 0C + OD es 0G = =(0A + O - Đổ + 0ï)

Vậy điểm G xâc định duy nhất sao cho GA + GB + GC+ GD = 0 b) Goi I, J lần lược lă trung điểm của AB vă CD ta có :

GA + GB + G€ + GD = 0= 2GÍ + 2GJ = 0

=> GI+GJ =0 = G lă trung điển 1

Trang 18

Goi M, N lan luot la trung diem cua hai A D

đương cheo AC va BD ta co I

GA + GB+GC4 GD =(GA+ GC) + (GB GD) B J

= 2GM+2GN_ 0 => GM+GN =0 > G lă trung điểm của MN e€ Gọi K lă trọng tđm của tam giâc BCD ta có :

GB+ GC+GD=3GK -> GA+38GK =0

> GA =-2GK = G, A, K thang hăng

"Tương tự cho câc trường hợp còn lại Vậy G nằm trín câc đoạn

thâng nối một đỉnh của tứ giâc vă trọng tđm của tam giâc tạo bởi ba đỉnh còn lại

C BĂI TẬP LĂM THÍM

1 Cho tứ giâc ABCD Gọi I, J lần lượt lă trung điểm của BC va CD Chung minh rang : AB + AI + JÔ + DA = Š D8

® Hướng dẫn Âp dụng quy tắc ba điểm

2 Cho tam giâc ABC có trọng tđm GŒ Gọi I lă điểm đối xứng của B qua

G, M lă trung điểm BC Chứng minh rang : "na ¡_ gi, xa a Al = TAC- AB b) CI = ~ (AB + AC) ce Mi-1a6-2A8 6 6 3 Cho tam giâc ABC Xâc dịnh diĩm I, J, K thỏa câc điều hiện sau : A + 21C =0; QJA + 3dB = 3BC; KÊ + KB + 3K = 0 $& Eiướng dẫn Chọn A lăm gốc, biểu diễn AI, AJ, AK qua hai vectơ AB va AC 4 Cho hình bình hănh ABCD Xâc định M thỏa: 4AM = AB + AC + AD @ Hướng dẫn ` Chứng mình AM = ; AG

5 Cho A, B cố dịnh M tuỳ y va diĩm P la diĩm xdc dinh bdĩi MP - MA +3MB Chứng mình đường thẳng MP đi qua điểm cố định

+ Hướng dẫn — Gọi [ lă điểm thoả IÔ + 31B = Ö

Chứng minh M, P, I thang hang do MP = 4MI

6 Cho tứ giâc ABCD

Trang 19

b) Với M bất kì, chứng mình : MA- 2MB + 4MC = 3MI

c) Cho diĩm M thĩa | MA - 2MB + 4MCI = 3l MD] Chứng mình M chạy trín đường thẳng cố định © Hướng dẫn a) Chọn A lăm gốc ta có AI = (2A6 - AB) b) Âp dụng quy tắc ba điểm e) 3IMĨI = 3lMDI © MI = MD © M chạy trín đường trung trực đoạn ID cố định 7 Cho tam giâc ABC Gọi P, Q, R lă câc điểm xâc định bởi : 3PB + 4PC = 0, 3QA - 2QC = 0, 2RA + RB =0 a) Hêy biểu diễn câc uectơ AP,AQ,AR theo AB uă AC

b) Biĩu diĩn PQ va PR theo AB va AC Từ đó suy ra P, Q, R lă ba diĩm thdng hang

@ Huĩng dẫn

«) a8 = SAB+2AC ; AQ=-2AC ; AR -

b) PQ = AQ - AP = -

Suy ra PQ = APR Ba diĩm P, Q, R thang hang

§5 TRUC TOA DO VA HE TRUC TOA DO

A TOM TAT GIAO KHOA

1 Trục toạ độ

e Trục toạ độ lă một đường thẳng trín đó đê xâc định một điểm O vă một vectơ ï có độ dăi bằng 1

x o 4 x

e Diĩm O goi la gĩc toa dĩ, vecto i gọi lă vectơ đơn vị của trục toạ độ

se Cho trục x'Ox có vectơ đơn vị ¡ Vectơ ũ nằm trín trục thì có số a sao cho ũ = ai Số a gọi lă toạ độ của vectơ ủ đối với trục x'Ox

Trang 20

« Điểm M trín trục x'Ox thì có số m sao cho OM = mi Số m gọi lă toạ

độ của điểm M đối với trục x'Ox

« - Độ dăi đại số của vectơ trín trục

Nếu hai điểm A,B nằm trín trục Ox thì toạ độ của vectơ AB được kí

hiệu lă AB vă gọi lă độ dăi đại số của vectơ AB trín trục Ox Vậy

AB=AB-i

Taco: a) AB =CD AB =CD

b) AB+BC = AC AB+BC = AC

Hệ trục toạ độ

Hệ trục toạ độ vuông góc bao gồm hai trục toạ độ Ox vă Oy vuông góc với nhau vectơ đơn vị trín trục Ox lă

¡ ,vectơ đơn vị trín trục Oy lă j O gọi lă gốc toạ độ

Truc Ox gọi lă trục hoănh, trục Oy gọi lă trục tung

Hệ trục toạ độ được kí hiệu lă Oxy hay (O, ï, j )

Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ

Đối với hệ trục toạ độ (O, ï,j), nếu ô= xỉ +yj thì cặp số (x;y) gọi lă toạ

độ của vectơ ô, kí hiệu lă ô = (x,y) hay ô(x,y) x gọi lă hoănh độ, y gọi

lă tung độ của avecto

Ta có: ả(X;y)=b(X;y')© Ũ - Š,

Biểu thức toạ độ của câc phĩp toân vectơ Cho a(x;y) = b(x';y') khi đó :

a) ả+b=(x+x;y+y) ; ả-b=(x-xy-y

b) ka =(kx;ky) vdik eR

c) Vectơ b cùng phương với vectơ ô z Õ khi vă chỉ khi có số k sao cho

x’ = kx, y’ = ky

Toa d6 cua diĩm

Trong mat phang toa dĩ Oxy, toa dĩ ctla vecto OM dude goi lă toạ độ

của điểm M kí hiệu lă M(x;y) hoặc M = (x;y).x gọi lă hoănh độ của M, y

gọi lă tung độ của M

Với M(Xu;Yw),N(xu;yN) ta có: MÑ = (Xu ~ VwzYn ~ Yụ)

Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng vă toạ độ của trọng tđm tam giâc

Giả sử M(xu;Y),N(Xu;Yn), trung điểm P(xp;yp) của đoạn MN thì:

Trang 21

_XM!XN.v YM + Yu nn LIP g G lă trọng tđm của tam giâc ABC thì x„ - XA †Xg tXC,v_ YA +Yg tÝc G=————¡Ye=— AT”

29 Trong mặt phẳng toa độ, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) Hai vecto G = (26;9) va b = (9;26) bằng nhau

b) Hai vecto bing nhau khi va chi khi chuing cĩ hodnh dĩ bang nhau uă tung độ bằng nhau

e) Hai uectơ đối nhau thì chúng có hoănh độ đối nhau

d) Vectơ ô cùng phương uới vecto i nếu ô có hoănh độ bằng 0

e) Vectơ ô có hoănh độ bằng 0 thì nó cùng phương uới 0ectơ J

® Trả lời a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Dung 30 Tìm độ dòi của câc uectơ sau trong mặt phẳng toạ độ ô=-i ; b=5j; &=đ3i-4j; ả=2(j-Ï)¡ ĩ=0,151 +1,3); f = ni - (cos 24°); ® Giải Âp dụng :ô = (X;y) C© ả = XỈ + y] Ta có: ô=(-1;0); b= (0;5) ; c=(3;-4); d= (-4:3) : & = (0,15:1,3); f = (n; -cos24°),

31 Cho vecto a = (2;1) ; b= (3;4); & = (7;2)

a) Tìm toạ độ của uectơ :ủ = 2ô - 3B + ẻ

Trang 22

® Giải Jiải Ti Ta có : ú :u=|- (2 2 u,v cing phuong <>c6 sĩ 1 sao cho V = lu ¡-8], v =(k;-4) <> (k;-4) = (5:-s1) CS 2 © g 2 a

Vậy với k= = thi ủ,v cùng phương

33 Trong câc mệnh đí sau mệnh đí năo dúng ?

a) Toạ độ của điểm A bang toa dĩ cua vecto OA, voi O lă gốc toa dĩ b) Hoănh độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trín trục hoănh

e) Điểm A nằm trín trục tung thì A có hoănh độ bằng 0

d) P lă trung điểm của đoạn thẳng AB khi va chỉ khi hoănh độ của điểm P bằng trung bình cộng câc hoănh độ của A,B

e) Tứ giâc ABCD lă hình bình hănh khi va chi khi: Xa + XC = Xp + Xp va ya + Yo= Ye +yƠd đ Tr li a) Đúng ; b) Sai ; c) Đúng ; d) Sai e) Đúng vì ABCD lă hình bình hănh <> I vừa lă trung điểm của AC vừa lă trung điểm của BD 2Xị = XẠ †Xc = Xp +Xp <»

2y =YA tyc =Yp +Yp

34 Trong mât phẳng toạ độ, cho ba điểm A (-3;4), B(1;1), C(9;-5) a) Chung minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hang

b) Tìm toạ đô điểm D sao cho A lă trung điểm của BD c) Tim toa dĩ E trĩn trục Ox sao cho A, B, E thẳng hăng

® Giải

a) Ta có: AB =(xg -XA,Yg -YA) = (4;-3)

AG = (xe -Xạ,yc -yA) = (12-9)

Vi AC = 3AB nĩn A, B, C thang hang

Trang 23

c) Giả sử E (xg,0) trín Ox sao cho A, B, E thẳng hang Ta có : AB = (4;-3); AE = (xg - 1;~1) A,B,E thẳng hăng «>có số k sao cho AE = kAB Xp -1=4k & XE" 3 -1=-3k Vay E (2:0)

35 Cho diĩm M(x; y) Tìm toạ độ của câc điểm

a) M, đối xứng uới M qua trục Ox

b) M; đốt xúng uới M qua trục Oy c) M; đối xứng uới M qua gốc toạ độ O

® Giải a) M, (x ; ~y); b) Mo (-x ; y); e) Mg (-x ; -y)

36 Trong mặt phẳng toạ độ, cho ba diểm A(—4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2)

a) Tim tog dĩ trong tam tam gidc ABC

b) Tim toa dĩ điểm D sao cho C lă trọng tđm tam giâc ABD c) Tim toa dĩ điểm E sao cho ABCE lă hình bình hănh ® Giải a) Gọi G lă trọng tđm tam giâc ABC, ta có : Xo = S(XA +xp +Xc) = 2-4 + 8+8) =0 1 1 3 Vậy G(0 ; 1)

Yc = qÚYA +Yp +yc)= a(I+4-2)= =1

Trang 24

Cc BAI TAP LAM THEM

1 Trong mat phdng toa dĩ vho ba diĩm Mol; 1), N(2; 3), P(-1; 4), lĩn lượt lă trung diĩm ba canh AB, BC, CA cia tam gide ABC Tim toa dĩ

ba dinh va toa dĩ trong tam tam giac ABC

e@ Muĩng dan Giải hệ phương trình [XA + Xụ =2 Ya +¥p =2 tXp tXc =4 ;JYp tYc =6 [xe + xq = -2 lk tya =8 Suy ra A(-2; 2), B(4; 0), C(0; 6) Trọng tđm G (2.5) 33

Cho tam giâc ABC có cúc đính A(I; -3), B(0; 4), C(3; 2) Tìm toạ độ điểm D thỏa một trong câc trường hợp sau -

a) Dla điểm đối xứng của A qua B b) ABCD lă hình bình hănh c) ABCD la hinh thang có cạnh đây AB tả D nằm trín trục hoănh ® liướng dẫn a) B lă trung điểm của AD, D (-1; 10) b) BA = DC, D(4; -4) c) D(x; 0), p(*2:0) Cho A (1; 1), B(3; 2), C(m + 4; 2m + 1) Xac dinh m để ba điểm A, B, C thdng hang

® Hướng dẫn AB cùng phương với AC Suy ra m =1

Chứng mình câc điểm sau đđy lă câc đình của một hình uuông :

A(2; 2), B(-1;6), C(-5;3), D(-3;-1)

| {AB= BC=CD= DA

Hướng dẫn Chitng minh Spe a8 « ADP

= +

Cho hai điểm A(2; 4), B(—2; 1) Tim diĩm C trĩn truc hoănh sao cho :

a) Tam giâc ABC cđn tai A

Trang 25

ON TAP CHUONG I

A BAI TAP ON CHUONG |

1 Cho tam giâc ABC Hêy xâc định câc uectơ : AB + BC;CB + BA; AB + CA; BA + CB; BA + CA; CB - CA; AB - CB; BC - AB

CB + BA = CA

AB + CA = CA + AB = CB

BA +CB = CB + BA = CA

BA + CA = BA + AD = BD (Với D thoả CA = AD, tức D lă điểm đối xứng của C qua A) CB- CA = AB

AB - CB = AB+ BC = AG

BC - AB = BC+ BA = BE (ttc E lă điểm sao cho ABCE

la hinh binh hanh )

2 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hang Tim điều biện A

cần uă đủ để uectơ OA + ÔB có giâ lă đường phđn giâc 8 của góc AOB 0 ® Giải Gọi C lă điểm sao cho AOBC lă hình bình hănh 5 Ta có: OA +OB=0C OC la phđn giâc của góc AOB khi vă chỉ khi AOBC lă hình thoi <= OA = OB 3 Goi O lă tđm của hình bình hănh ABCD Chứng mình rằng uới điểm M bất hì ta có: MO - 2 (MẢ + Mũ + MC + MD) e Giải ABCD lă hình bình hănh ta có : OA +OB + OC + OD =(0A+0C)+(OB+ OD) =0 Từ đó suy ra: MA + MB + MỂ + MD = MÔ + OA + MO + OB + MO + MC + MO + MŨ = 4MÔ + (MA + MB + MC + MB) =- 4MO 2 MO = + (MA + MB + MC + MD)

4 Cho tam giâc ABC

a) Tìm câc điểm M uă N sao cho:

Trang 26

MA~MB+MC=0 va 2NA+NB+ NC =0 b) Với câc điểm M, N ở cđu d) Tìm câc số p tă q sao cho: MN = pAB+qAC ® Giải a) Ta có: MA - MB+ MC - 0 s BA + MG =0

= CM = BA <> M la điểm sao cho ABCM lă hình bình hănh

Gọi I lă trung điểm của BC ta có:

NB+ NC = 2NI suy ra 2NA +2NI =0

= NA +NÍ =0 = N lă trung điểm của AI

b) Chọn A lăm gốc ta sẽ biểu diễn AM vă AN qua AB vă AC, ta có: MA - MB + MC=0 c› -AM-(AB - AM) + AC - AM =0

<> AM = -AB+ AC

2NA +NH + NC =0 «3 -2AN + AB - AN + AC- AN =0

<2 4AN = AB + AG <> AN = 2(AB + AC) Vay: MN = AN ~ AM = “(AB + AG) + AB ~ AG = (5A - 3A€]

= AB - “AC 4 4 Do đó p= =o ` ;q 4

ð Cho đoạn thẳng AB va diĩm I sao cho 2IA + 31B =0

a) Tim s6k sao cho AI = kAB

b) Ching minh rĩng vdi moi diĩm M, ta cĩ: MI = 2MA + 3 MB

® Giải

a) Ta có: 3IA + 31B = Ú c+ -9Á + 3(AB - Al) = 0 ° -BẢ - -8AB es Á = 3.8 Vay k = 3

b) Ty 21A + 31B = 0 suy ra 2(MA -Mi)+ 3(MB - Mi) = 6

LQ Ln

=> SML=2MA + SMB = MÍ= MA MB

6 Cho mat phẳng tọa độ Oxy, cho ba diĩm A(-1; 3), B(4; 2), C(3; 5) a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hang

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho AD = -3BC

c) Tim tọa độ điểm D sao cho O lă trọng tđm tam giâc ABE

Trang 27

® Giải

a) Ta có: ÔB =(xp -XẠ,Yp -YA) = (ð; ~1)

AC = (Xe - XA,yc —yA) = (4; 2)

Vi oe -5 nín AB vă AC không cùng phương Do đó A, B, C không thẳng hăng b) Giả sử : D(xp; yp) ta có AD = (xp + 1;yp - 3); BỂ = (-1;3) Xp+l=3 Xp =2 = Vậy D(2; -6) yp~8=-8 ”yp =-6 Do đó AD = -aBC = { Xp = sa + Xp + Xp)

c) Goi E(xg; yg) ta có : 1

Yo= SỮA +Yp +yE)

1

= =(-1+4+ xg) -

Tư = a(3+2+ ve) 1

B BĂI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 Cho tam giâc ABC Gọi A’, B, C' lần lượt lă trung điểm của câc cạnh BC, CA, AB Vectơ AˆB` cùng

hướng uới uectơ năo trong câc uectơ sau đđy ? B A’ c (A) AB, (B) AC’; (C) BA; (D) C'B

® Trả lời AB" cùng hướng với vectơ BA Chọn (C) 9 Cho ba điểm M, N, P thẳng hăng, trong đó

điểm N nằm giữa hai điểm M uù P Khi đó M N P

câc cặp uectơ năo sau đđy cùng hướng?

(A) MN va PN; (B) MN va MP

(C) MP va PN (D) MN va NP

® Trả lời MĐ cùng hướng vĩi MP Chon (B)

Trang 28

(A) HB = HC; (B) AC = 2HC; (C)|\ AH |= a |BC\ (D) AB = AC e Trả lời Ta biết rằng đường cao tam giâc đều cạnh a bằng a Chọn (C)

5 Cho điểm B nằm giữa hai diĩm A va C vii AB = 2a, CB = 5a D6 dai vecto AC bang bao nhiĩu ?

eee

(Alta; (B)3a; (C) s ;— (D) 108° A 8 c

@ Trả lời | AC| = AC = AB + BC = 7a Chon (A)

6 Cho bốn điểm A, B, C, D Khi đó đẳng thức năo sau đđy đúng ?

(A) AB + CD = AC + BD (B) AB + CD = AD + BC (C) AB + CD = AD +CB (D) AB +CD = DA + BC

@ Trả lời Ta có: AB + CŨ = (AD + DB) +(CB + BD) = AD + CB Chon (C)

7 Cho sâu điểm A, B, C, D, E, F Khi dĩ dang thức năo dưới dđy đúng? (A)AB+CD+ FA + BC+ EF + DE =0 (B) AB +CD+ FA+ BC + EF + DE = AF (C) AB+CD+ FA+ BC + EF + DE = AE (D) AB+CD+ FA+ BC + EF + DE = AD @ Tra lei Ta c6 : AB +CD +FA + Bổ + BE + DE = AB + BC + CŨ + DE + EF + FA = 0 Chọn (A)

8 Cho hình thang ABCD uới hai cạnh đây lă AB = 3a A B

va CD = 6a Khi đó \ AB + CD bằng bao nhiíu ? ;

(A)9a; (B)3a; — (C) -3a; - (D)0 /

@ Trả lời Gọi E lă trung điểm CD D E c

Ta có: IAB+CDI= ICD + DEI = ICEI= CE = 3a Chọn (B)

9 Cho hinh vuĩng ABCD có cạnh bằng a khi đó giâ trị | AC + BDI bằng

bao nhiíu ? A D

(A) 2aV2 (B)2a (C)a (D) 0

@ Trả lời Ta có: AC + BD = AB + AD + AD - AB = 2AD

= _ IAC+BDI = I2ADI = 2a Chọn (Bì B e

10 Cho ba điểm bất kì A, B, C Đẳng thức năo dưới đđy đúng ?

(A) AB =CB-CA (B) BC = AB- AC

(C) AC -CB = BA (D) CA -CB = AB

Trang 29

® Trả lời Ta có: AB = CB - CA Chọn (A)

11 Cho tam giâc đều ABC có cạnh bằng a Giâ trị

AB - CÂ bằng bao nhiíu?

(A)2a; (B)a; (C)av3 wo BIC

® Trẻ lời Ta có : AB- CA = AB+ AC = 2AI vĩi I lă trung điểm đoan BC,

12 Cho hai tam giâc ABC uă A'BC' lần lượt có trọng tđm lă Guă G’

Đẳng thức năo dưới đđy lă sai ?

(A)3GG' = AA' + BB' + CC” (B) 3GG' = AB' + BC' - CA’

(C)3GG' = AC' + BA' + CB’ (D) 3GG' = A’ A + BB’+CC* ® Trả lời Chọn (D)

13 Cho điểm B ở giữa hai điểm A uă C uới AB = 2a, AC = 6a Đảng thức

năo dưới đđy đúng ?

(A) BC = AB (B) BC = -2AB AB c

(C) BC = 4AB (D) BC = -2BA 2a FB @ Trả lời Ta có: BG = 2AB = -2BA Chọn (D)

14 Cho ba điểm phđn biệt A, B, C Nếu AB =-3AC thì đẳng thíc năo

dưới đđy đúng ?

(A) BC = 4AC ; (B) BC = -4AC 6 % 6 (C) BC = 2AC ; (D) BE =-2AG F—*—————*——*~——' @ Tra lai AB = -3AC = AC + CB = -3AC = BC = 4AC Chọn ()

1ê Điều kiện năo dưới đđy lă cần uỉ đủ để điểm O lă trung đi(m của đoạn AB ? (A) OA = OB (B) OA=OB ~~ (C) AO = BO (D) OÔ + Œ =0 ® Trả lời Chọn (D) 16 Nếu G lă trọng tđm tam giâc ABC thì đẳng thức nằo dưới đđy aing ? A (jÔg S5 +ấU 2 (AG „ 25L ÊC 3 ` ¬ ¬ = _ 3(AB + AC) , 2(AB+ AC) (A) AG = ——————— (D) AG =——————D B M Cc 2 3

® Trả lời Gọi M lă trung điểm BC ta có :

AG = 2AM == AB+AC _ AB+ AC _ Chon (B)

3 2 3

Trang 30

17, Goi AM la trung tuyĩn cua tam gide ABC va I la trung điểm của AM Dang thuc nao sau đđy lă đúng ?

(AVIA+1B+ IC =0 (B)-IA + IB + IC = Ö (Œ)TA 3 IB - IC = 0 (D) 31A + 1B + IC =0

e Trả lời Ta có : IB + IC - 2IM 6 M Ẹ

=> ĐIA +IB+IC = 2A +IM) = 0 Chọn (D)

18 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(-1; 4) va B(3; -5) Khi đó tọa độ tectơ BA lă bao nhiíu?

(A) (3; -1) (B) (-4; 9) (C) (4; -9) (D) (4; 9)

@ Trả lời Ta có: BA = (xa -xp:YA -ypg) = (—1-3; 4+5) = (~4; 9) Chon (B) 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai diĩm A(0; 5) va B(2; -7) Tim

tọa độ trung điểm của đoạn AB la bao nhiíu ?

(A) (2; 2) (B) (-2; 12) (C) (-1; 6) (D) (1; -1)

@ Trả lời Trung điểm của AB có tọa độ lă (7.27) = (1; -1) Chon (D)

20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai diĩm M(8; -1), N(3; 2) Nĩu P la

điểm đối xứng của M qua N thì toạ độ P lă bao nhiíu ? (A) (-2; 8) (4,2) (C) (13; -3) (D)(11; -1) @ Trả lời N lă trung điểm của MP nín : Xw+X we © 3-0 = PY Vay P(-2; 5) Chon (A) Xp =-2 -m1Yp lạ ltYe We =8 N 2 2

21 Trong mặt phẳng tọa dĩ Oxy cho ba điểm A(5; -8), B(0; 3), C(-5; -1) Khi dó trọng tđm tam giâc ABC có tọa độ bao nhiíu ?

(A) (1; -1) (B) (0; 0) (C) (0; 11) (D) (10; 0)

@ Trả lời Tọa độ trọng tđm của tam giâc ABC lă :

KES== 37 ————| 3 ) =(0;0).Ch (0; 0) Chon (B) Bì)

22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giâc ABC vdi trong tđm G Biết

Trang 31

Xc =-l 0= 3(-1+2+ xc) ° 3 ° ầ (eos ` Vậy C(—1;12) Chọn (B) 7= sa +5+yc)

28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn diĩm A(3; 1) B(2; 2) uă C(I ;6)

D(1; -6) Hỏi điểm G(2; -1) lă trọng tđm của tam giâc năo sau đđy ? (A) Tam giâc ABC (B) Tam giâc ABD

(C) Tam giâc ACD (C) Tam giâc BCD

2= 23 +2+1)

-8= 2(1+2~6)

C BĂI TẬP ÔN LĂM THÍM

1 Cho lục giâc đều ABCDEF tđm O Chứng minh rằng :

a) OA + OB + O€ + OD + OE + ÖE = ö b) OA + OC + OE = OB + OD + OF c) AF+ ED+CB=0

d) 6MO = MA+MB+MC+MD+ME+MF vĩi M tuỳ ý

e) Tim tap hgp diĩm M sao cho:

I MA + MB + MG + MD + ME + MỸ I= 6I MA - MDI

2 Cho ba điểm A, B, C vă ba sĩ a, 0, ö Chứng minh rằng a) Nếu œ+.+ö= 0, thì vectơ ý =œMA +pMB + õMC

Không phụ thuộc văo vị trí điểm M

Trang 32

Chung I TICH VO HUGNG CUA

HAL VECTO VA UNG DUNG

$1 GIA TRI LUGNG GIAC CUA

MOT GOC BAT Ki (TU 0° DEN 180°)

A TOM TAT GIAO KHOA

1 Định nghĩa

Với mỗi góc ơ (0° < œ < 180”), ta xâc định điểm M trín nửa đường tròn đơn vị sao cho MOx = œ Giả sử M(x; y) Khi đó:

sina =y; cosa =X; tana = 2 (x0)

cota = Xy #0); tana = Sine ; cota = s8

y cosa sina

2 Tinh chat

sin(180° — a) = sina; cos(180°- a) = -cosa

tan(180° - a) = -tana; cot(1809~ a) = —cota (0° < a < 180°)

3 Gia tri lượng giâc của một số góc đặc biệt Góc | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 1809 1 sin | o | 1 | 42) 98), | 2 2 2 2 || 2 1 2 0 = 1 = cos 1 vs 2 4 0 == |= ve - ¥3 =† 2 2 2 2 2 2 tan | 0 v3 3 1 | V3 |kxđ| -V3 | -1 _w3 3 0 cot |kxđ | v3 | 1 = 6 = Š -1 |-v3 | kxđ B PHƯƠNG PHÂP GIẢI BĂI TẬP

1 Tính giâ trị đúng của câc biểu thức sau (không dùng mây tính bỏ túi hoặc bảng số

Trang 33

a) (2sin30° + cos135" - 8tan 150).(cos180° - cot60°)

b) sin°®90° + cos°120° + cos°0° - tan?60° + cot?135°

e Giải

v2

a) Ta có: cos135° = cos(180°-45") = — cos45° = a?

v3

tan150° = tan(180° — 30°) = -tan30° = s1

Do đó: (2sin302 + cos138' ~ 3 tan 150°)- (cos 180° — cot 60°)

-(-#-3)(=#)-(#-#¬)(-#]

+ b) Ta có: cos120° = cos(180° - 60°) = -cos60° = = cot135° = cot(180” — 4ð” ) = cot45° = —1

Do đó: sin2909+ cos21209 + cos?02~ tan?602 + cot21359

=l+1+1-#+1<1

4 4

9 Đơn giản câc biểu thức

a) sin100° + sin80° + cos16° + cos164°

b) 2sin(180° — a ).cota-cos(180° - @).tanacot(180° - ø) uới 0< a< 90

® Giải

Trang 34

sin’a +cos*a = x’ +y’=OM*%=1 2 sin? a cos? a + sin? a J b) L¥tano 214 — = = = =—s— COS“ ứ cos” a cos” a ? ; 1 % cos” & a €) lecot*a = 1+ — = 3 — = —— sin? œ sin? a sin’ a C BĂI TẬP LĂM THÍM 1 2 5 1 2 : Cho cosa = =; tinh 2sin*a + 3cos*a Chứng minh câc đẳng thức sau: a) (sina + cosa)” = 1 + 2sinacosa

b) sin‘a + cos‘a = 1 — 2sin*acos*a

e) sinŠœ + eos”œ = 1 - 3sin”œcos”ư 3sina - 4cosa „ Cho tang = 2 Tính —

4sina +5cosa

e@ Hướng dẫn Chia tử vă mẫu cho cosa

Cho tana — cota = a, tính A = tan“œ + cot?a; B = tan”œ + cot%a; C = tan‘a — cotta @ Hướng dẫn Âp dụng câc hằng đẳng thức dâng nhớ : Chứng minh rằng : a) tan’a = sin’a + sin’a.tan’a 2 3 = 1- tan“œ b) cos*a — sina = - — 1+tan*a e) tana -sina _ 1

sin’ a cosa(1 + cosa)

§2 TICH VO HUGNG CUA HAI VECTO

A TOM TAT GIAO KHOA

1 Góc giửa hai vectơ

Cho hai vecto 4 va b đều khâc vectơ 0 Tu O z Ậ vĩ OA=a, OB=b thì số đo góc AOB gọi lă số

đo góc giữa hai vectơ ô vă b, kí hiệu lă (ô, b) oO

Nếu (a, b) = 90° thi a va b vuông góc với #

nhau, kí hiệu lă â 1b B

Trang 35

2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

se Tích vô hướng của hai vectơ â vă b lă một số, kí hiệu lă ả.b, được xâc định bởi

ơ.b= lêI.Ibl.cos(ơ,b)

¢ Bình phương vô hướng: ả? = â.ôê= lảl?

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dăi của vectơ đó 3 Tính chất của tích vô hướng a) 4.b=b.a b) ơ.b=0 ©ơ 1b c) (ka).b= 4(kb) =k(a.b) d) 4(b+6) = 4.b+a.6 a(b-¢) = 4a.b- 4.6 4 Câc kết quả cần nhớ

a) Cho hai vectơ OA,OB Gọi B' lă hình chiếu của B trín đường thẳng OA thi |al= OA-OB” Vectơ OB“ gọi lă hình chiếu của vectơ OB

trín đường thẳng OA công thức OA-OB = OA-OB' gọi lă công thức chiếu

b) Cho đường tròn (O ; R) vă M cố định Một đường thẳng A di qua M

cắt đường tròn tại A vă B thì : MA.MB=MO=R? =d?-R? (với

d=OM)

Giâ trị không đổi MA-MB = dÍ - R gọi lă phương tích của M đối với

đường tròn (O), vă kí hiệu lă: ‹44 /(O) Ta có By =MA-MB = dÍ -R? (O) Khi M ở ngoăi đường tròn (O), MT lă tiếp tuyến của (O) (T lă tiếp điểm) thì Ay, = MT? =MT? (O)

5 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Cho ô=(x; y) vă b=(x'; y') Khi đó :

a) ô-b=X-X'+y-V

b) lal= yx? +y?

c) cos(a,b) = xy (a + 0,b # 0)

Trang 36

Đặc biệt â Lb co xx'+ yy'=0

Hệ quả M(xw,yw), N(XN,YN)

MN = IMNI= J(xụ ~ Xu)? + (Vy ~ Yaa)? E PHƯƠNG PHÂP GIẢI BĂI TAP

4 Trong trường hợp năo tích uô hướng G-b có giâ trị dương, có giâ trị 3m, bằng 0 ? ® Giải Ta có: a-b =!a1-!b1-cos(a,b), do dĩ ô-b>0 khi â,b khâc Ö vă góc (ô,b) < 90° ả-b<0 khi ô,b khâc Ö vă góc (ô,b) > 90° ả-b=0c>ô1b

5 Tho tam gidc ABC Tĩng (AB, BC)+(BC,CA)+(CA, AB) c6 thĩ nhĩn

ĩi@ tri nao trong cdc gid tri sau : 90°; 180°; 270°; 360° 2 s Giải A ^a có: (AB,BG) = 1809 -B (B€,CA) = 180 - C (CA, AB) = 1800 - A @ 7o đó : (AB,BC) + (BC,CA) + (CA,AB) = 3601 œ 6 Cho tam giâc ABC uuông tại A uă 8 = 300 Tính giâ trị của câc biểu thức squ :

Trang 37

sin(AB, AC) + cos(BC, BA) + cos(CA,BA) = sin90° + cos30° + cos.9C’ + v3 _ 2+ v3 2 2 7 Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D Chúng mình rằng : DA- BC + DB-CA + DC- AB = 0 Từ đó suy ra một câch chứng mình định lí “Ba đường cao của một tam giâc đồng quy” ® Giải Ta có : DA - BC + DB CA + DC:AB DA(DC - DB) + DB(DA - DC) + DC(DB - DA) DA:D€ - DA - DB + DB DA - DB D€ + D€- DB - DC.DA =0 Gọi D lă giao điểm của hai đường cao AA' vă BB' của tam giâc ABC Ta có: DA-BC = 0;DB-CA =0

Từ đó suy ra DC-AB=0 do đó DC L AB Vậy D nằm trín đường cao CC của tam giâc, tức lă ba đường cao trong tam giâc đồng quy

8 Chúng minh rằng điều kiện cđn uò đủ để tam giâc ABC vuông tại A lă BA - BC = AB? ® Giải Ta có: BA- BC = BA” © BA(BC - BA) = 0 © BA-AC=0@BA1 AC <>Tam giâc ABC vuông tai A

9 Cho tam giâc ABC uới ba trung tuyĩn AD, BE, CF Chitng minh rang BC.AD + CA.BE + AB.CE = 0

®Giải Ta có : AD = 2 (AB + Ồ) A —— | mnU cm

BE = 5 (BA + BC) F E

CF = 1 (CA + CB) 2 B D Cc

Do dĩ: BC-AD + CA- BE+ AB-CF

# B6(AB + A6) + Ì 2 CA(BÔ + BỘ) + = ABCA + CB)

= 1 A CA-BA +CA-BC+AB-CA + AB-CB)

= 2IŒB6- AB + AB- CB) + BO-AC + CA BO) + (CA-BA + AB-CA)I-0

Trang 38

10 Cho hai diĩm M, N nằm trín dường tròn đường kính AB = 2R Gọi I

lă giao điểm của hai đường thẳng AM va BN

a) Chứng mình rằng AM -A] = AB-Al ; BN - BI = BA- BI b) Tính AM -AI + BN-BỈ theo R N M e Giải a) Ta có: AM: AI = (AB + BM): AI = AB-AI+BM.-AI = AB- Al ° (vì BM- Al = 0) Tương tự : ¬——_z BN -Bi = (BA + AN)-Bi = BA Bỉ + AN Bí = BÔ Bí (vi AN- BI =0) Chú ý: Có thĩ âp dung công thức hình chiếu b) Ap dung cau a) ta có:

AM AI+BN-BI =AB- AI +BA-BI

= AB(AI - BI) = AB-AB = AB? = 4R?

LI Cho hai đường thẳng a va 6 cdt nhau tại M Trín a có hai điểm A uă B, trín b có hai điểm C va D thĩa man MA-MB = MC-MD Ching

mình rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trín một đường tròn

e@ Giải Gọi (O) lă đường tròn ngoại

tiếp tam giâc ABC Gọi D' lă giao điểm của b với (O) Ta có: MA-MB=MC.MD' Ty gia thiĩt suy ra MA- MB = MC- MD‘ = MC-(MD - MD‘) = 0 = MC-DD’ = 0 = D'D =0 (Do M, C, D, D' cùng thuộc đường thẳng b) =D=D

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trín một đường tròn

12 Cho đoạn thẳng AB cố định AB = 2a uă một số kỀ Tìm tập hợp câc điểm M sao cho : MA? -MBỲ = k?

e Giải Gọi O lă trung điểm đoạn AB, H lă

Trang 39

a asx 2 2 < HO-BA = = Suy ra H cố định nằm trín tia OB vă OH = x 4a Vậy tập hợp câc điểm M lă đường thẳng vuông góc với AB tại H, H 2 nằm trín tỉa OB sao cho OH = x

13 Trong mat phdng toa dĩ cho #= Sỉ - sĩ nữ ö=ki-47 tò a) Tìm câc giâ trị của k để ủ L ö b) Tìm câc giâ trị của k để lũ |= I ưl ® Giải Ta có -a=(2;-5); ÿ=(k;-4) a) ú 1ÿ ©s:ý=0© 2 :k*+(78):(-4) = 0e k = -40 b) fđl= ÍSf e |‡+95 = Ík? +16 œ “” = k? +16 © k-+ V57 2 14 Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giâc ABC có câc đỉnh A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2)

a) Tinh chu vi uă diện tích của tam giâc đó

b) Tìm tọa độ trọng tđm G, trực tđm E va tđm Ï của đường tròn ngoại

tiếp tam giâc ABC Từ đó hêy kiểm tra tính chết thẳng hăng của ba diĩm I, G, H ® Giải a) Ta có: AB =(6;3), AC = (6;-3), BC = (0; -6) A Suy ra AB= Ve? +3? = J45 = 35 AC = 6? +(-3)? = V45 = 3õ BC = y0? +(-6)? = 6

Tam giâc ABC cđn tai A

Chu vi tam giâc ABC lă 35 + 35 + 6 = 6(VB + 1)

Trang 40

Xg = Lie, +Xp £%e) = i449 42)=0

: ‘ Vậy G(0; 1)

Yo= QUA +Yp +Yc)= ạủ +4+(-2))=1 Goi H (x; y) lă trực tđm của tam giâc ABC Ali:BC=0 _ {(x+4)-0+(y-1)-(-6)=0 Ta có - S © BH: AC =0 (x-2)-6+(y=4)-(~8) =0 y=1 1 o 1 Vay n(2.1) x=— 2 2 Goi I(x, y) la tđm đường tròn ngoại tiếp tam giâc ABC Ta có : Lm =BIlẺ zg el ÂP = (x - 2) +(y - 4)? AP = cP |(x + 4)? + (y - 1)? = (x - 2)? + (y + 2)? oe ee x?+8x+16+y?-2y+1=x?-4x+4+y?+4y+4 (ee x= : © ° = 4 Vậy 1{=4,1] 1 4x - 2y = -3 y= 4 Khi đó ta có :IG -(4:0) ; TH -(2:0) Do dĩ: IG = —IH, suy ra I, G, H thang hang wl

C BAI TAP LAM THEM

1 Cho tam giâc ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60°

a) Tinh AB-CA b) Tinh BC

2 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tđm O Tinh AB-AC va AO-BC

3 Cho tam giâc ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 8

a) Tinh AB-AC va gĩc A b) Tinh d6 dai trung tuyĩn AM

e) Xâc định điểm I thoả BÏA + 3ÏC = Ö d) Tinh AB-IA va BI

4 Cho tam giâc ABC có AB = 3, BC = 4, CA = 6 Tính AB: B€ + B- CA + CA - AB

Định dạng
Số trang	135
Dung lượng	11,25 MB