Khóa họchttps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ 2017 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC Nguyên tắc: +) Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình dạng tích, loại bỏ hạng tử lũy thừa bậc chẵn +) Sắp xếp nghiệm hạng tử sau “thanh lọc” hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn bảng xét dấu +) Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu biết dấu khoảng +) Việc xét dấu biểu thức quy đồng mẫu số mà không nhân chéo Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Xét dấu biểu thức sau x+2 + 3 − 4x ( x + 3)(3 − x) c) f ( x) = 1− x x − 3x + e) f ( x) = − x x −1 x −1 g) f ( x) = + − x x + x2 + x a) f ( x ) = − x x −1 4x − 2x + d) f ( x) = − − x+2 x−2 f) f ( x) = − 3x + x − 1 h) f ( x) = + − x−2 x+2 x b) f ( x) = − Ví dụ 2: [ĐVH] Giải bất phương trình sau a) + < x x+3 x+2 x − x − x + x + 15 + ≥ 1− x x +1 x2 − x4 − 4x2 + e) ≥ x − x + 15 c) −4 + ≤ x + 2 x + 2x x − x3 + x d) > x − x − 30 x3 − x − x + f) > x(2 − x) b) KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC Nguyên tắc: f ( x) k g ( x) g ( x) +) Để chia đa thức lược đồ Hoocner ta phải xếp đa thức chia theo lũy thừa giảm dần, số hạng khuyết ta cho hệ số +) f(x) chia cho g(x) h(x) dư k ta viết f ( x ) = g ( x ) h ( x ) + k ⇔ = h( x) + +) Thực chia theo quy tắc: đầu rơi - nhân ngang - cộng chéo Các ví dụ điển hình: Ví dụ: Thực phép chia sau x + x3 − x + x = ……… x+3 x + mx + m c) = ……… x −1 a) −3x + x − x + 10 = ……… x −1 x2 + ( − m ) x2 + d) = ……… 2x + b) KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Xét phương trình: f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + e = 0, (1) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa họchttps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ( ) Nếu x = xo nghiệm phương trình (1) (1) ⇔ f ( x ) = ( x − xo ) ax3 + b′x + c′x + d ′ = → f ( x) x − xo = ax + b′x + c′x + d ′ Nguyên tắc: +) Nếu tổng hệ số phương trình phương trình có nghiệm x = +) Nếu tổng hệ số bậc chẵn x tổng hệ số bậc lẻ x phương trình có nghiệm x = − +) Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc nhẩm nghiệm nghiệm đơn giản 0; ±1; ±2… +) Với phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm phương trình ta cho phần hệ số tham số m 0, nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f ( x ) = x + x3 − 3x − x − b) f ( x ) = x − x − x − c) f ( x ) = x3 − ( m + 1) x − ( m − 1) x + 2m − a) f ( x ) = x + x3 − 3x − x − Hướng dẫn giải : Xét phương trình f ( x ) = ⇔ x + x3 − 3x − x − = Ta nhận thấy phương trình có tổng hệ số nên có nghiệm x = x + x3 − 3x − x − Khi f ( x ) = ⇔ ( x − 1) g ( x ) = x + x3 − 3x − x − g ( x ) = → x −1 Dùng lược đồ Hoocner ta x + x3 − 3x − x − = x3 + x + x + x + x3 − x − x − = ( x − 1) x + x + x + → x −1 b) f ( x ) = x − x − x − ( ) Xét phương trình f ( x ) = ⇔ x3 − x − x − = Tổng hệ số bậc chẵn −2 − = −3, tổng hệ số bậc lẻ phương trình − = −3 Từ ta thấy phương trình có nghiệm x = −1 x3 − x − x − Khi f ( x ) = ( x + 1) g ( x ) ⇔ x3 − x − x − = ( x + 1) g ( x ) g ( x ) = → x +1 Dùng lược đồ Hoocner ta x3 − x − x − g ( x) = = x − x − f ( x ) = x3 − x − x − = ( x + 1) x − x − → x +1 c) f ( x ) = x3 − ( m + 1) x − ( m − 1) x + 2m − ( ) Tổng hệ số đa thức − ( m + 1) − ( m − 1) + 2m − = nên f(x) = có nghiệm x = ( ) Tiến hành chia đa thức ta f ( x ) = x3 − ( m + 1) x − ( m − 1) x + 2m − = ( x − 1) x − mx − 2m + Ví dụ 2: [ĐVH] Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f ( x ) = −3 x − x + x + = …………………………………………………………… b) f ( x ) = x3 + x − x + = ……………………………………………………………… c) f ( x ) = x3 + mx − x − m = ……………………………………………………………… d) f ( x ) = x3 − x + (1 − m ) x + m = ……………………………………………………… e) f ( x ) = x3 + x − x − = ……………………………………………………………… f) f ( x ) = −2 x3 − x + x − = …………………………………………………………… KĨ NĂNG XỬ LÝ VỚI TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa họchttps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Xét phương trình bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c = 0, (1) a) Giải biện luận phương trình (1): Nếu a = (1) ⇔ bx + c = 0, (*) + b = c = (*) nghiệm với x + b = c ≠ (*) vô nghiệm c + b ≠ (*) ⇔ x = − b ∆ = b − 4ac Nếu a ≠ (1) phương trình bậc hai có biệt thức ∆′ = b′ − ac; ( b′ = 2b ) + ∆ > (1) có hai nghiệm phân biệt x1;2 = + ∆ = (1) có nghiệm kép x = + ∆ = (1) vô nghiệm −b 2a −b ± ∆ −b ± b − 4ac = 2a 2a b) Hệ thức Vi-ét: b S = x1 + x2 = − a Khi (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 ta có hệ thức Vi-ét: P = x x = c a Một số kết cần lưu ý: x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S − P 3 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S − 3SP ( x14 + x2 = x12 + x2 ) ( − x12 x2 = S − P ) − 2P2 ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S − P c) Tính chất nghiệm phương trình bậc hai: b − 4ac > ∆ > −b Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ S = x1 + x2 = >0 a x1 ; x2 > c P = x1 x2 = a > b − 4ac > ∆ > −b Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ S = x1 + x2 = Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < Phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn α b − 4ac > b − 4ac > ∆ > ∆ > −b −b ⇔ x1 + x2 > 2α ⇔ S = x1 + x2 = > 2α ⇔ S = x1 + x2 = > 2α a a x1 ,x2 > α x −α x −α >0 )( ) ( b x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α > c a + α a + α > Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa họchttps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ α b − 4ac > b − 4ac > ∆ > ∆ > −b −b ⇔ x1 + x2 < 2α ⇔ S = x1 + x2 = < 2α ⇔ S = x1 + x2 = < 2α a a x1 ,x2 < α x −α x −α >0 )( ) ( b x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α > c a + α a + α > ∆ > ∆ > ∆ > Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác α ⇔ ⇔ x1 ; x2 ≠ α g ( α ) ≠ aα + bα + c ≠ Phương trình có nghiệm nghiệm lớn α ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = x1 = x2 = −b > α x = x = −b > α x = x = −b > α x1 = x2 = −b > α 2 2a 2a 2a 2a ⇔ ⇔ ⇔ ∆ > ∆ > ∆ > ∆ > c b x x − α ( x + x ) + α2 < ( x1 − α )( x2 − α ) < x1 < α < x2 + α + α < a a Phương trình có nghiệm nghiệm nhỏ α ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = x = x2 = −b < α x = x = −b < α x = x = −b < α x1 = x2 = −b < α 2 2a 2a 2a 2a ⇔ ⇔ ⇔ ∆ > ∆ > ∆ > ∆ > c b x x − α ( x + x ) + α2 < ( x1 − α )( x2 − α ) < x1 < α < x2 + α + α < a a Ví dụ 1: [ĐVH] Cho phương trình ( m + 1) x + 4mx + 2m + = 0, (1) a) Giải biện luận phương trình cho b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm nhỏ −1 Hướng dẫn giải : a) Giải biện luận phương trình Nếu m + = ⇔ m = −1 (1) ⇔ −4 x − = ⇔ x = − Nếu m + ≠ ⇔ m ≠ −1 (1) phương trình bậc hai có ∆′ = 4m − ( m + 1)( 2m + 3) = 2m − 5m − + Nếu ∆′ < ⇔ 2m − 5m − < ⇔ − < m < (1) vô nghiệm m=3 b′ −2m + Nếu ∆′ = ⇔ 2m − 5m − = ⇔ (1) có nghiệm kép x = − = m = − a m +1 m > −2m ± 2m − 5m + + Nếu ∆′ > ⇔ 2m − 5m − > ⇔ (1) có nghiệm phân biệt x1;2 = m < − m +1 m > ′ > ⇔ m − 5m − > ⇔ b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ ( *) m < − Gọi hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với x2 > x1 b 4m x1 + x2 = − a = m + Theo định lí Vi-ét ta có x x = c = 2m + a m +1 Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa họchttps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 −1 < m < 4m − >0 m +1 x + x > m > −1 Hai nghiệm dương ⇔ ⇔ vno → x1 x2 > 2m + > m < − m +1 ( x1 + 1)( x2 + 1) > c) Hai nghiệm nhỏ −1 x1 + x2 < −2 m + 4m −m + −1 < m < m +1 − m +1 +1 > m +1 > x1 x2 + ( x1 + x2 ) + > ⇔ ⇔ ⇔ m > ⇔ < m < x1 + x2 < −2 − 4m < −2 4m − > m < −1 m +1 m +1 Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn hai nghiệm phân biệt ta < m < giá trị cần tìm Ví dụ 2: [ĐVH] Cho phương trình ( x + ) ( x + mx − 2m + 1) = 0, (1) a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, có hai nghiệm âm 2 c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x2 + x3 < Hướng dẫn giải : x = −2 a) Ta có (1) ⇔ g ( x) = x + mx − 2m + = 0, ( ) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác −2 m > −4 + ∆ g > m2 + 8m − > m < −4 − m − (1 − 2m ) > Điều xảy ⇔ ⇔ ⇔ (*) g (−2) ≠ 4 − 2m − 2m + ≠ 4m ≠ m ≠ m > −4 + Vậy với m < −4 − phương trình cho có nghiệm phân biệt m ≠ b) Do nghiệm x = −2 < nên để (1) có nghiệm nghiệm âm (2) phải có hai nghiệm trái dấu Từ ta có P < ⇔ − 2m < ⇔ m > Giá trị thỏa mãn điều kiện (*) nên giá trị cần tìm c) Không tính tổng quát, giả sử x1 = −2 Khi x2 ; x3 hai nghiệm phân biệt (2) x2 + x3 = −m Theo định lí Vi-ét ta x2 x3 = − 2m 2 Khi x12 + x2 + x3 < ⇔ + ( x2 + x3 ) − x2 x3 < ⇔ m − (1 − 2m ) − < ⇔ m + 4m − < ⇔ −5 < m < Kết hợp với điều kiện (*) ta −4 + < m < giá trị cần tìm BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Cho phương trình ( m − 1) x − 2mx + m + = a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m ≠ b) Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức x1 x2 + + = x2 x1 Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = (x – 1)(x2 + mx + m) a) Với m = 2, tính y ' giải phương trình y ' = Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Khóa họchttps://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) Tìm m để tiếp tuyến điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 2 c) Tìm m để phương trình y = có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x2 + x3 < d) Tim m để phương trình y = có ba nghiệm phân biệt, có nghiệm lớn Bài 3: [ĐVH] Cho phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1, x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 4: [ĐVH] Cho phương trình x − mx + m − = , (với m tham số) a) Chứng tỏ phươnh trình có nghiệm x1, x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) phương trình giá trị m tương ứng b) Đặt A = x12 + x2 − x1 x2 Chứng minh A = m2 – 8m + Tìm m để A = 8, Tìm giá trị nhỏ A giá trị m tương ứng c) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai lần nghiệm d) Tim m để phương trình có hai nghiệm lớn Bài 5: [ĐVH] Cho phương trình ( x − 1) ( x + 2mx + m − 3) = a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt dương 2 c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x2 + x3 = 15 d) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, có hai nghiệm âm Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01