Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Dạng Sự biến thiên hàm tham số Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y ' giải phương trình y ' = để tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên (hoặc cần bảng xét dấu y ' ) kết luận sở điểm tới hạn Chú ý: Quy tắc xét dấu hàm đa thức phân thức Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Xét biến thiên hàm số sau đây: a) y = −2 x + x + b) y = x3 − 3x + 3x + 1 x2 d) y = x5 − x − x3 + + x − Lời giải: c) y = x − x − a) y = −2 x + x + Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = −6 x + x = −6 x ( x − 1) → y ′ = ⇔ −6 x ( x − 1) = ⇔ x =1 Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ − y' + +∞ − Vậy hàm số đồng biến (0; 1) nghịch biến (−∞; 0) (1; +∞) b) y = x3 − 3x + 3x + Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = x − x + = ( x − 1) ≥ → y′ ≥ 0, ∀x ∈ D Vậy hàm số cho đồng biến tập xác định c) y = x − x − Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = x3 − x = x x − → y′ = ⇔ x x − = ⇔ x = ±1 Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ −1 ( y' ) ( − + ) − +∞ + Hàm số đồng biến (−1; 0) (1; +∞); hàm số nghịch biến (−∞; −1) (0; 1) 1 x2 d) y = x5 − x − x3 + + x − Tập xác định: D = R x = −1 Đạo hàm: y′ = x − x − x + x + = ( x + 1) ( x − 1)( x − ) → y ′ = ⇔ x = x = Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên dấu y ' phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2) Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ −1 y' + + − 0 Facebook: LyHung95 +∞ + Hàm số đồng biến (−∞; 1) (2; +∞); hàm số nghịch biến (1; 2) Ví dụ 2: [ĐVH] Xét biến thiên hàm số cho đây: x +1 x + 3x + a) y = b) y = 2x − x +1 c) y = − x + d) y = x − x + x +1 2x + e) y = x − x f) y = 3x − Lời giải: x +1 a) y = 2x − Tập xác định: D = R \ {1} Đạo hàm: y′ = −4 ( x − )2 > 0, ∀x ∈ D → hàm số đồng biến tập xác định x + 3x + x +1 Tập xác định: D = R \ {−1} b) y = Đạo hàm: y′ = ( x + 3)( x + 1) − x − 3x − = x + x x = → y′ = ⇔ x + x = ⇔ 2 x = −2 ( x + 1) ( x + 1) Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ −2 y' + −1 − 0 − || +∞ + Hàm số đồng biến (−∞; 2) (0; +∞); hàm số nghịch biến (−2; −1) (−1; 0) c) y = − x + x +1 Tập xác định: D = R \ {−1} Đạo hàm: y′ = −1 − < 0, ∀x ∈ D → hàm số nghịch biến tập xác định ( x + 1)2 d) y = x − x + Hàm số xác định x − x + ≥ ⇔ ( x − 1) + > 0, ∀x → D = R Đạo hàm: y′ = (x − 2x + )′ = x − 2x + Bảng xét dấu đạo hàm: x −1 x − 2x + 2 x y' → y ′ = ⇔ x = −∞ − +∞ + Hàm số đồng biến (1; +∞) nghịch biến (−∞; 1) e) y = x − x Hàm số xác định x − x ≥ ⇔ x ( x − ) ≤ ⇔ ≤ x ≤ → D = [ 0; 2] ′ 2x − x ) ( y′ = = Đạo hàm: 2 x − x2 1− x 2x − x2 → y′ = ⇔ x = Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Bảng xét dấu đạo hàm: x y' + − Hàm số đồng biến (0; 1) nghịch biến (1; 2) 2x + f) y = 3x − 2 x + ≥ x ≥ − 2 Hàm số xác định ⇔ → D = − ; + ∞ \ 3 x ≠ x ≠ ( 3x − ) − x + 3x − − ( x + 1) −3 x − 5 x 2 + Đạo hàm: y′ = = = → y′ = ⇔ x = − < − 2 ( 3x − ) ( 3x − ) x + ( 3x − ) x + Bảng xét dấu đạo hàm: x − +∞ − y’ || − 2 2 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến − ; ; +∞ 3 3 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Xét biến thiên hàm số sau: 1) y = −2 x + 2) y = x − x + 3) y = −2 x3 + 3x + 4) y = x − x + x − 12 5) y = x − x + 6) y = − x + x − 7) y = x + x + x − x +1 9) y = x−2 1− x 11) y = 3x − 13) y = x + x 8) y = x + x + 2x −1 10) y = x +1 x2 + 3x + 12) y = x +1 14) y = x − − x +1 Dạng Sự biến thiên hàm có tham số Phương pháp: Sử dụng tính chất tam thức bậc hai để giải Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c, gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình f(x) = 0, với x1 < x2 + Nếu a > 0: x > x2 f ( x) > ⇔ x < x1 f ( x ) < ⇔ x1 < x < x2 a > + f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < x < x2 < α < β a > → + f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) : α < β < x1 < x2 a < → x1 < α < β < x2 f ( x ) > ⇔ x1 < x < x2 + Nếu a < 0: x > x2 f ( x) < ⇔ x < x1 a < + f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ < + f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) : a > → x1 < α < β < x2 x1 < x2 < α < β a < → α < β < x1 < x2 Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm m để hàm số Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 x3 − x + ( m − 1) x + m đồng biến R b) y = − x3 + mx + ( 3m − ) x + nghịch biến R a) y = c) y = ( m − 1) x + mx + ( 3m − ) x + đồng biến R Lời giải: x − x + ( m − 1) x + m → y′ = x2 − x + m − Hàm số đồng biến R y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ ⇔ − ( m − 1) ≤ ⇔ m ≥ a) y = Vậy hàm số đồng biến R m ≥ b) y = − x3 + mx + ( 3m − ) x + → y ′ = − x + 2mx + 3m − Hàm số nghịch biến R y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ ⇔ m + ( 3m − ) ≤ ⇔ Vậy hàm số đồng biến R c) y = ( m − 1) x + mx + −3 − 17 −3 + 17 ≤m≤ 2 −3 − 17 −3 + 17 ≤m≤ 2 → y ′ = ( m − 1) x + 2mx + 3m − ( 3m − ) x + Để hàm số đồng biến R y′ ≥ 0, ∀x ∈ R Khi m − = ⇔ m = → y′ = x + Ta thấy hàm số đồng biên − ; +∞ nên không thỏa mãn yêu cầu m − > m > m > Khi m − ≠ ⇔ m ≠ → y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔ ⇔ m − ( m − 1)( 3m − ) ≤ −2m + 5m − ≤ ∆′ ≤ m > m ≥ ⇔ → m ≥ m ≤ Vậy với m ≥ hàm số cho đồng biến R BÀI TẬP LUYỆN TẬP x3 − x + ( m − 1) x + m đồng biến R 2) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx + ( 2m − 1) x + đồng biến R 1) Tìm m để hàm số y = 3) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx + ( 3m − ) x + nghịch biến R 3 x 4) Tìm m để hàm số y = + ( m − 1) x + ( 2m − 3) x + đồng biến R 3 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y ' giải phương trình y ' = để tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên dựa vào bảng biến thiên để kết luận điểm cực đại, cực tiểu hàm số Chú ý: Với số dạng hàm đặc biệt (thường hàm vô tỉ) ta phải tính giới hạn điểm biên bảng biến thiên chặt chẽ Các ví dụ điển hình: Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau: a) y = x3 + x − 36 x − 10 b) y = x + x − d) y = c) y = x − x x − x3 + Lời giải: a) y = x + x − 36 x − 10 Tập xác định: D = R x = −3 Đạo hàm: y ' = x + x − 36 = x + x − → y ' = ⇔ x2 + x − = ⇔ x = Bảng biến thiên: x −∞ −3 ( ) y' + − 0 +∞ + +∞ 71 y −∞ −54 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; 3) (2; +∞); hàm số nghịch biến (−3; 2) Hàm số đạt cực đại x = −3; y = 71 đạt cực tiểu x = 2; y = −54 b) y = x + x − Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = x3 + x = x x + → y ′ = ⇔ x = ( ) Bảng biến thiên: −∞ x − y' +∞ + +∞ +∞ y −3 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; 0) nghịch biến (0; +∞) Hàm số đạt cực tiểu x = 0; y = −3 c) y = x − x Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = x − x3 = x − x → y′ = ⇔ x − x = ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên: ( x ) −∞ y' ( −1 + ) − y −∞ + +∞ − −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; −1) (0; 1); hàm số nghịch biến (−1; 0) (1; +∞) Hàm số đạt cực đại x = −1; y = x = 1; y = Hàm số đạt cực tiểu x = 0; y = d) y = x − x3 + Tập xác định: D = R Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 x = Đạo hàm: y′ = x − x = x ( x − 3) → y ′ = ⇔ x ( x − 3) = ⇔ x = Dấu y’ phụ thuộc vào dấu biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên hình vẽ −∞ x − y' +∞ − + +∞ +∞ y − 15 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (3; +∞) hàm số nghịch biến (−∞; 3) 15 Hàm số đạt cực tiểu x = 3; y = − Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau: x +1 a) y = x − x b) y = x + x + c) y = x+3 Lời giải: a) y = x − x Hàm số xác định − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ → D = [ −1;1] x2 Đạo hàm: y′ = − x − 1− x = − 2x2 1− x → y′ = ⇔ − x = ⇔ x = ± 2 Bảng biến thiên: x −1 − − y' 2 + +1 − y − 1 Hàm số đồng biến − ; ;1 ; hàm số nghịch biến −1; − 2 2 1 1 Hàm số đạt cực đại x = ;y= đạt cực tiểu x = − ;y =− 2 2 b) y = x + x + Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = + 3x x + + 3x → y ′ = ⇔ x + + x = ⇔ x + = −3 x x +1 x < x < x < ⇔ ⇔ ⇔ →x = − x = ± 4 x + = x 5 x = Giới hạn: lim x + x + = lim x + x + = lim x − + x → −∞ x →−∞ x → −∞ x x ( x +1 = ) = +∞ Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ( 2x + ) x + = lim x + x + x → +∞ x →+∞ x Bảng biến thiên: lim x = lim x + + x → +∞ x −∞ − − y' = +∞ +∞ Facebook: LyHung95 +∞ + +∞ y ; +∞ Hàm số đồng biến −∞; − ; hàm số nghịch biến 5 Hàm số đạt cực tiểu x = − ; y = 5 x +1 c) y = x+3 Hàm số xác định x + > ⇔ x > −3 → D = [ −3; + ∞ ] Đạo hàm: y′ = x +1 ( x + 3) + x+5 x + = ( x + 3) − x − = = → y ′ > 0, ∀x ∈ D x+3 ( x + 3) x + ( x + 3) x + ( x + 3) x + x+3 − Bảng biến thiên: x −3 +∞ y' + +∞ y −∞ Hàm số cho đồng biến miền xác định cực trị BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tìm cực trị hàm số sau quy tắc I: 1) y = 3x − x3 4) y = x4 − x + 2) y = x3 − x2 + x − 5) y = x − x + 3) y = − x + x − 15 x x4 6) y = − + x + 2 DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y ' giải phương trình y ' = để tìm nghiệm + Tính y '' giá trị nghiệm tìm kết luận Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường áp dụng cho hàm số khó lập bảng biến thiên hàm lượng giác, hàm siêu việt, hàm vô tỉ Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau: a) y = sin x − x b) y = cos x + cos x Lời giải: c) y = x + x − x Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a) y = sin x − x Tập xác định: D = R π π ⇔ x = ± + k 2π → x = ± + kπ π π y ′′ + kπ = −4sin + k 2π = −2 < Đạo hàm bậc hai: y′′ = −4sin x → π π y ′′ − + kπ = −4sin − + k 2π = > Đạo hàm: y′ = 2cos x − → y ′ = ⇔ cos x = Vậy hàm số đạt cực đại x = Hàm số đạt cực tiểu x = − π π π π + kπ; y = sin + k 2π − − kπ = − − kπ 6 3 π π π π + kπ; y = sin − + k 2π + − kπ = − + − kπ 6 b) y = cos x + cos x Tập xác định: D = R 2π cos x = − x=± + k 2π Đạo hàm: y′ = − sin x − sin x = − sin x (1 + 2cos x ) → y′ = ⇔ 2⇔ x = kπ sin x = Đạo hàm bậc hai: y′′ = − cos x − 2cos x 2π 2π 4π y ′′ ± + 4nπ = − cos ± + 4nπ − 2cos ± + 8nπ = > + Nếu k = 2n → y ′′ ( 2nπ ) = − cos ( 2nπ ) − 2cos ( 4nπ ) = −3 < 2π 2π 4π y ′′ ± + 4nπ + 2π = − cos ± + 4nπ + 2π − 2cos ± + 8nπ + 4π = > + Nếu k = 2n + → y ′′ ( π + 2nπ ) = − cos ( π + 2nπ ) − 2cos ( 2π + 4nπ ) = −1 < 3 ; k = 2n Vậy hàm số đạt cực đại x = kπ; y = cos ( kπ ) + cos ( k 2π ) = − ; k = 2n + − ; k = 2n 2π 2π 4π Hàm số đạt cực tiểu x = ± + kπ; y = cos ± + kπ + cos ± + k 2π = ; k = 2n + c) y = x + x − x Hàm số xác định x − x ≥ ⇔ ≤ x ≤ → D = [ 0; 2] Đạo hàm: y′ = + − 2x 2 x − x2 = x − x2 + − x x ≥ → y′ = ⇔ x − x2 + − x ⇔ x − x2 = x − ⇔ 2 x − x = x − x + 2x − x2 x ≥ 2+ =1+ x ≥ x = ⇔ ⇔ x − x + = x = − = − →x = (1 − x )2 − 2x − x − 2 ′ x − x2 = x − x − x + x − = − Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 3mx + x − 3m + Tìm giá trị m để a) hàm số có cực trị b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = c) hàm số đạt cực tiểu điểm có hoành độ x = d) hàm số đạt cực đại điểm có hoành độ x = –1 Lời giải: ′ a) Ta có y = 3x − 6mx + Hàm số cho có cực trị y ' = có nghiệm đổi dấu qua nghiệm m> ⇔ y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ 9m − > ⇔ m > ⇔ m < − 6 Vậy với m > ; m