Bài Giảng, Giáo Trình Laplace

Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang Chương PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG Trong chương , bạn học ♦ Khái niệm hàm biến phức ♦ Khái niệm hàm gốc, hàm ảnh ♦ Phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược ♦ Các tính chất phép biến đổi Laplace ♦ Khái niệm tích chập, ảnh tích chập ♦ Một số phương pháp tìm hàm gốc ♦ Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, số phương trình tích phân, hệ phương trình vi phân ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… §1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Khái niệm hàm biến phức Giả sử A tập hợp điểm mặt phẳng phức z Nếu có qui tắc, gọi tên f , mà số phức z ∈A , tương ứng với nhiều số phức xác đònh w , ta nói tập A xác đònh hàm biến phức w = f (z ) ♦ Nếu số phức z ∈A, tương ứng với số phức xác đònh w, ta nói w = f (z ) hàm đơn trò ♦ Nếu số phức z ∈A, tương ứng với hai hay nhiều số phức xác đònh w, ta nói w = f (z ) hàm đa trò Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang ♦ Nếu w = f (z ) hàm biến phức xác đònh tập A A gọi miền xác đònh tập B = {w / ∃ z ∈ A thỏa f(z) = w} gọi miền giá trò hàm biến phức w = f (z ) ♦ Sau này, nói đến hàm phức w = f (z ) mà không nói rõ thêm ta xem hàm đơn trò Phần thực phần ảo hàm biến phức Cho hàm biến phức w = f (z ) , tức cho phần thực u phần ảo v w Nếu z = x + iy u v hai hàm thực hai biến số độc lập x y Tóm lại, cho hàm phức w = f (z ) , tương ứng cho hai hàm thực u = u(x, y) , v = v(x, y) w= f(z) z = x + iy ⇔ w = u(x, y) + iv(x, y) (2.1) Ví dụ7.0 Tìm phần thực phần ảo hàm phức b) w= z2 + 2i z a) w = z Giải 1 x − iy x −y = = +i a) w = = 2 z x + iy x + y x +y x + y2 x −y Vậy u(x,y) = , v(x,y) = x + y2 x2 + y2 b) w = (x+iy)2 + 2i(x-iy) = x2 –y2 + 2ixy + 2ix + 2y = (x2 –y2+ 2y) + i(2xy + 2x) Vậy u(x,y) = x2 –y2+ 2y , v(x,y) = 2xy + 2x ¡ Nhắc lại ♦ Lũy thừa bậc n số phức- Công thức Moivre Nếu z = r( cosϕ ± i sinϕ ) ta công thức lũy thừa bậc n số phức z n = [r(cosϕ ± isinϕ )]n = rn( cosnϕ ± i sinnϕ ) , ∀n∈ Z Công thức Moivre (cosϕ ± isinϕ ) n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z ♦ Khai bậc n số phức Cho số phức z = r(cosϕ + isinϕ) ≠ Khi n z số phức w thỏa wn = z Đặt w = ρ(cosθ + isinθ) , ta có ρn(cosnθ + isinnθ) = [ρ(cosθ + isinθ)]n = wn = z = r(cosϕ + isinϕ) Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang n ⎧ρ = r ⎧ρ n = r ⎪ ⇒ ⎨ ϕ + 2kπ ⇒⎨ , với k ∈ Z ⎩nθ = + 2kπ, với k ∈ Z ⎪⎩θ = n n z = n r (cos ϕ + k 2π n + i sin ϕ + k 2π n Suy ); k = 0,1,2, , n-1; n ∈ N+ Nhận xét Căn bậc n số phức z = r(cosϕ + isinϕ) ≠ có tất n giá trò, chúng có biểu diễn hình học n đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn tâm bán kính n r ♦ Công thức Euler- Dạng mũ số phức Công thức Euler: cosϕ + isinϕ = eiϕ Dạng mũ số phức: z = r(cosϕ + isinϕ) = reiϕ 0.1 Hàm đa thức w = anzn + an-1zn - + .+ a1z + a0 = P(z) với an ≠ 0; a0, a1, ., an số phức, n số nguyên dương gọi bậc đa thức P(z) 0.2 Hàm phân thức đại số w := P( z) Q( z ) với P(z), Q(z) đa thức 0.3-Hàm mũ ♦ w = ez = ex + iy = ex(cosy + isiny) ez+2kπi = ez e2kπi ez(cos2kπ + isin2kπ) = ez , k ∈Z ≠ a ∈ R+ : az := ezlna Ví dụ 2z = ezln2 ; 3+i = e (3+i) ln2 = e3ln2 eiln2 = e3ln2 [cos(ln2) +isin(ln2)] ¡ ♦ 0.4 -Các hàm lượng giác − eiz − e iz 2i sin z tgz = cos z sin z = − eiz + e iz cos z cot gz = sin z ; cos z = ; e − t + e t t →+∞ e − t − e t t →−∞ Với t ∈ R , cos(it) = ⎯⎯⎯→ +∞ ; sin(it) = ⎯⎯⎯→ +∞ 2 * Nhận xét Các hàm sinz, cosz không bò chặn  0.5-Các hàm Hyperbolic shz = thz = − ez − e z shz chz − ez + e z ; chz = ; coth z = chz shz 0.6 Các hàm logarit ♦ Nếu z = ew ta viết w = lnz, gọi logarit tự nhiên z z = reiϕ = rei(ϕ + k2π), k = 0, ± 1, ± 2, w= lnz = lnr + i(ϕ + k2π); k = 0, ± 1, ± 2, ª Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang Vậy w = lnz hàm đa trò Với số nguyên k cố đònh , ta xác đònh nhánh hàm, lúc hàm trở thành đơn trò Nhánh hàm lnz , ký hiệu Lnz, xác đònh bởi: Lnz = lnr + iϕ với ≤ ϕ < 2π ( lấy -π < ϕ ≤ π) Hàm lnz hàm ngược hàm ez ♦ Nếu z = aw w = logaz, < a≠ 1: ln z W = log z = a ln a 0.7-Các hàm lượng giác ngược Các hàm ngược hàm sinz, cosz, tgz, cotgz arcsinz, arccosz, arctgz, arccotgz; xác đònh sau: ⎛ + iz ⎞ ln⎜ ⎟ 2i ⎝ − iz ⎠ ⎛ z + i⎞ arc cot gz = ln⎜ ⎟ 2i ⎝ z − i ⎠ arcsin z = ln(iz + − z ) i arccos z = ln( z + z − 1) i arctgz = 0.8 -Các hàm Hyperbolic ngược Các hàm ngược hàm shz, chz, thz, cothz sh −1z , ch −1z , th −1z , coth −1 z ; xác đònh sau: ⎛1+ z⎞ ln⎜ ⎟ ⎝1− z⎠ ⎛ z + 1⎞ coth −1 z = ln⎜ ⎟ ⎝ z − 1⎠ th −1 z = sh −1 z = ln( z + z + 1) ch −1 z = ln( z + z − 1) 0.9 - Hàm lũy thừa zα , α ∈ C đònh nghóa zα := eαlnz Tương tự hàm ( f(z)) g(z) = g(z)lnf(z) e 1- Hàm gốc Hàm gốc hàm phức biến thực f(t) = u(t)+ iv(t), thỏa mãn điều kiện sau: (i) f(t) liên tục hay liên tục khúc toàn trục t (những điểm gián đoạn(nếu có) thuộc loại 1) (ii) f(t) = t < (iii) f(t) có bậc mũ Tức là, tồn số M > 0, s ≥ cho ∀t > f (t ) ≤ Me st Số s0 ≥ cho bất đẳng thức (iii) thỏa ∀s = s0 + ε (ε > 0) không thỏa với s = s0 - ε (s0- cận xác s) gọi số tăng hàm f(t) Hàm gốc f(t) t ¤ + ∞ rõ ràng hữu hạn | f(t) | tăng +∞ không nhanh hàm mũ e s0 t Ví dụ 7.1 a) Hàm bậc thang đơn vò ( unit step function, Heavisite’s unit function): ⎧0 u(t) := ⎨ ⎩1 t 〈 t > Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang hàm gốc với số tăng so = Đồ thò hàm bậc thang đơn vò vẽ hình 7.1 u(t) t Hình 7.1 ⎧ b) Hàm f(t) = ⎨ ⎩sin t t 〈 = u(t)sint hàm gốc với số tăng so = t > ⎧0 c) Hàm f(t) = ⎨ αt ⎩e t < t > = u(t)eαt hàm gốc với số tăng so = α t 〈a ⎧0 d) Hàm bậc thang đơn vò trễ a đơn vò thời gian: u(t -a) := ⎨ hàm gốc t > a ⎩1 với số tăng so = Đồ thò hàm bậc thang đơn trễ a đơn vò thời gian vò vẽ hình 7.2 u(t-a) a t Hình d) Hàm lọc: uab(t) = u(t-a) – u(t-b) , đồ thò hình 7.3 uab (t) a b Hình7.3 t Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang Hàm gọi hàm lọc nhân hàm g(t) với nó, tức g (t )[u (t − a) − u (t − b)] , hàm g(t) bò khử băng thông a < t < b giữ nguyên dạng băng thông Qui ước cách viết viết gọn ♦ Hàm u(t) ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ ♦ Hàm u(t)sint ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ sint ♦ Hàm u(t) eαt ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ eαt M viết gọn viết gọn viết gọn ♦ Hàm u(t)g(t) ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ g(t) 2- Hàm ảnh Hàm ảnh hàm f(t) hàm F(p) biến số phức p = s + iσ xác đònh tích phân +∞ Laplace F(p) := ∫ e − pt f (t )dt ký hiệu = L [f(t)] Ví dụ 7.2 a) Hàm ảnh hàm f(t) = hàm: F(p) = +∞ ∫ e − pt dt = lim a→+∞ a ∫e − pt e − pa − 1 = lim = a→+∞ −p p a ⎡ e − pt ⎤ dt = lim ⎢ ⎥ a→+∞ ⎢ − p ⎥ ⎣ ⎦0 ( với Rep > 0) b) Hàm ảnh hàm f(t) = eαt hàm: F(p) = +∞ ∫ e − pt αt e dt = lim a→+∞ a ∫e (α − p )t e ( α − p )a − 1 = lim = a→+∞ α−p p−α a ⎡ e (α − p)t ⎤ dt = lim ⎢ ⎥ a→+∞ ⎢ α − p ⎥ ⎣ ⎦0 ( với Rep > α) c) Hàm ảnh hàm f(t) = cost hàm: +∞ a a ⎡ e − pt (sin t − p cos t ) ⎤ F(p) = ∫ e − pt cos tdt = lim ∫ e − pt cos tdt = lim ⎢ ⎥ a→+∞ a→+∞ ⎢ + p ⎥⎦ ⎣ 0 ⎡ e − pa (sin a − p cos a) + p ⎤ p = ( với Rep > 0) = lim ⎢ ⎥ 2 a→+∞ ⎢ 1+ p 1+ p ⎦⎥ ⎣ d) Tương tự hàm ảnh hàm f(t) = sint hàm: Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang F(p) = +∞ − pt ∫ e sin tdt = + p ( với Rep > 0) ¡ 3- Đònh lý 7.1 Nếu f(t) hàm gốc với số tăng s0 hàm ảnh F(p) hội tụ nửa mặt phẳng Re(p) = s > s0, hàm giải tích (có đạo hàm)trong miền 4- Đònh lý 7.2 ( điều kiện cần hàm ảnh) Nếu F(p) hàm ảnh hàm f(t) với số tăng s0 lim F ( p) = p →∞ Ví dụ7.3 Cho hàm F(p)= p2 − p2 + Hỏi có tồn hàm gốc f(t) cho F(p)=L [f(t)] không? Giải Vì lim p →∞ p2 − p2 + = ≠ , nên không tồn hàm gốc f(t) cho F(p)= L [f(t)] ¡ Phép biến đổi Laplace 5.1- Phép biến đổi Laplace 5.2- Phép biến đổi Laplace ngược Phép tương ứng Phép tương ứng ngược lại f(t) → F(p) = +∞ − pt ∫ e f ( t ) dt F(p) → f(t) cho L [f(t)] = F(p) gọi phép biến đổi Laplace ngược gọi phép biến đổi Laplace hay Ký hiệu: L -1[ F(p)] = f(t) ; L -1{ F(p)} toán tử Laplace = f(t); F(p) → f(t), F(p) ≒ f(t) Ký hiệu: L [f(t)] = F(p) ; L {f(t)} = F(p) ; f(t) → F(p) ; f(t) F[p]  Nhận xét Mỗi biến đổi Laplace có biến đổi Laplace ngược tương ứng ngược lại Ví du 7.4 (xem lại ví dụ 7.2) a) L [1] = ; p b) L [eαt] = ⎡1⎤ L -1 ⎢ ⎥ = ⎣p⎦ ⎡ ⎤ αt ; L -1 ⎢ ⎥= e p−α ⎣p − α⎦ ( với Rep > 0) ( với Rep > α) Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang c) L [cost] = ⎡ p ⎤ -1 ; L ⎢ ⎥ = cost + p2 ⎢⎣1 + p ⎥⎦ ( với Rep > 0) d) L [sint] = ⎡ ⎤ -1 ; L = sint ⎢ 2⎥ + p2 ⎣⎢1 + p ⎦⎥ ( với Rep > 0) e) L [t] = p +∞ ∫ e − pt tdt = lim a→+∞ a ∫e − pt ⎡ − e − pa (pa + 1) ⎤ + = lim ⎢ = ⎥ a→+∞ ⎢ p2 p ⎦⎥ p ⎣ f) L [u(t-a)] = +∞ ∫e − pt u(t − a)dt = ⎡1⎤ ( với Rep > 0) Do L -1 ⎢ ⎥ = t ⎣p ⎦ +∞ = lim b→ +∞ e a ⎡ − e − pt (pt + 1) ⎤ tdt = lim ⎢ ⎥ a→+∞ ⎢ p ⎥⎦ ⎣ ∫e − pt dt = lim b→+∞ a − pb −e −p − pa = e − pa p b ∫e a b − pt ⎡ e − pt ⎤ dt = lim ⎢ ⎥ b→ +∞ − p ⎣ ⎦a ( với Rep > 0) ¡ - Các tính chất phép biến đổi laplace Tính chất tuyến tính Nếu L [f (t )] = F( p), L [g(t )] = G( p) α , β số phức L [αf(t) +β g(t)] = αF(p) +β G(p ) Chứng minh +∞ +∞ +∞ L [αf(t) +β g(t)] = ∫ e − pt [α f (t ) + β g(t )]dt = α ∫ e − pt f (t )dt + β ∫ e − pt g(t )dt 0 = α L [f(t)] + β L [g(t)] = αF(p) +β G(p ) ª Ví dụ 7.5 +4 a) L [5– 3e2t + 4sint] = 5L [1] -3 L [e2t] +4 L [sint] = p p−2 + p2 ⎡ e wt − e − wt ⎤ 1 ⎞ 1⎛ wt -wt ⎟ − b) L [shwt] = L ⎢ ⎥ = ( L [e ] - L [e ] ) = ⎜⎜ 2 ⎝ p − w p + w ⎟⎠ ⎣ ⎦ w = , với Rep > ⎢w⎢ p − w2 p c) Tương tự L [chwt] = , với Rep > ⎢w⎢ p − w2 d) nh hàm lọc : L [uab(t) ] = L [u(t-a)] - L [u(t-b)] = e − pa − e − pb p ¡ Tính chất đồng dạng ( thay đổi thang đo) Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang Nếu L [f (t )] = F( p) α > L [f(αt)] = p t F ( ) , L -1[ F(αp)] = f( ) α α α α Chứng minh p +∞ +∞ −α u p − pt e f (u)du = F ( ) L [f(αt)] = ∫ e f (αt )dt = ∫ α α α 0 ª Ví dụ 7.6 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ w 1⎜ 1 a) Biết L [sint] = Khi L [sinwt] = ⎜ ⎟= 2 w ⎜ ⎛ p ⎞ ⎟ p + w2 p +1 ⎜1+ ⎜ w ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎞ ⎛ p ⎟ ⎜ p p 1⎜ ⎟ w b) Biết L [cost] = Khi L [coswt] = ⎜ = 2 ⎟ w p +1 p + w2 ⎜ + ⎛⎜ p ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎝w⎠ ⎠ Tính chất dòch chuyển gốc ¡ Nếu L [f (t )] = F( p) a > L [u(t-a)f(t-a )]= e− pa F(p); L -1[ e− pa F(p)]= u(t-a)f(t-a) ⎧0 Chú ý : u(t -a) = ⎨ ⎩1 t 〈 a t > a Chứng minh +∞ f (t − a)u(t − a)dt = ∫ e − pt f (t − a)dt +∞ − pt ∫e a +∞ +∞ = ∫ e − p( u+a ) f (u)du = ∫ e − pa e − pu f (u)du L [u(t-a)f(t-a )] = = e − pa Ví dụ 7.7 a) Biết L [sinwt] = b) Biết L [t] = p ( đặt u = t – a) +∞ -pa − pu ∫ e f (u)du = e F(p) ª w p2 + w2 Khi L [u(t-2)sin(w(t-2))] = Khi L -1[ e − p p2 e− 2p w p2 + w2 ] = u(t-1)(t-1) ¡ 6.4-Tính chất dòch chuyển ảnh Nếu L [f (t )] = F( p) , f(t) có số tăng so , a số phức Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 10 L ⎡eat f (t )⎤ = F(p-a) , với Re(p-a) > so ⎢⎣ ⎥⎦ Chứng minh +∞ +∞ L ⎡eat f (t )⎤ = ∫ e − pt e at f (t )dt = ∫ e −( p−a)t f (t )dt = F(p-a) , với Re(p-a) > so ⎢⎣ ⎥⎦ 0 Ví dụ 7.8 1 a) Biết L [t] = Khi L [eαtt] = ( p − α ) p w w αt Khi L [ e sinwt] = b) Biết L [sinwt] = ( p − α) + w p + w2 p−α p αt Khi L [ e coswt] = c) Biết L [coswt] = p + w2 ( p − α) + w ª ⎤ ⎡ ⎤ p+4 p−2 -1 ⎡ d) L -1 ⎢ = e2tcos3t + 2e2tsin3t + ⎥=L ⎢ 2 2⎥ ( p − 2) + ⎦ ⎣ p − p + 13 ⎦ ⎣ ( p − 2) + ¡ 6.5 Ảnh hàm gốc tuần hoàn Đồ thò hàm tuần hoàn f(t) biểu diễn hình 7.4 f(t) Hình 7.4 Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T ảnh F(p) = L [f(t)] = − e− Tp T ∫e − pt f ( t ) dt Chứng minh 2T T +∞ − pt − pt − pt = + e f ( t ) dt e f ( t ) dt ∫ e f (t )dt +…… ∫ ∫ T 0 Trong tích phân sau ta đổi biến t = u+T, t = u + 2T… , ta L [f(t)] = T L [f(t)] = ∫ e = T − pt ∫e − pt -PT f (t )dt +e T ∫e − pu f ( u)du + e T -2PT T ∫e − pu f (u)du +… T f (t )dt +e-PT ∫ e − pt f (t )dt + e-2PT ∫ e − pt f (t )dt +… 0 T = (1+ e-PT + e-2PT +…………) ∫ e − pt f (t )dt = 1 − e− Tp T ∫e − pt f ( t ) dt ª Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 24 p Y − py (0) − y ' (0) + 9Y = p +4 2 ( với y(0) = A = const , y ' (0) = B = const) p +4 Giải phương trình với Y ẩn phân tích thành phân thức đơn giản ta hay p Y − pA − B + 9Y = Y= = Ap B + + p + p + ( p + 9)( p + 4) Ap 1 B + + ( − ) p +9 p +9 p +4 p +9 Biến đổi Laplace ngược ta y(t ) = L −1 [ Ap 3B 2 + × + ( × − )] p + p + p + p2 + 2 B sin 3t + sin 2t − sin 3t 15 B hay y(t ) = A cos 3t + sin 3t + sin 2t − sin 3t 15 2 Đạo hàm y ' (t ) = -3 A sin 3t + B cos 3t + cos 2t − cos 3t 5 B ⎧ ⎧ ⎧ π ⎪1 = − + 15 ⎪ A=−5 ⎪ y( ) = ⇔⎨ ⇔ ⎨ Ta có ⎨ π 13 ⎪ y ' ( ) = −1 ⎪− = A − ⎪B = − 5 ⎩ ⎩ ⎩ = A cos 3t + 5 Vậy nghiệm cần tìm phương trình y(t ) = − cos 3t − sin 3t + sin 2t Giải hệ phương trình vi phân Ví dụ 7.26 ⎧x'−2y = a) Giải hệ phương trình vi phân : ⎨ , với điều kiện x(0) = 3, y(0) = ⎩y'+2x = 3t ⎧ x' = −3 y b) Giải hệ phương trình vi phân : ⎨ , với điều kiện x(0) = 1, y(0) = ⎩ y '+ x + y = Giải a) Đặt X = L [x], Y = L [y] ; biến đổi Laplace hai vế ta được: 4 ⎧ ⎧ PX Y PX Y − − = − = + ′ [ ] [ ] [ ] − = x y L L L ⎪ ⎪ ⎧ P ⇔ P ⇔⎨ ⎨ ⎨ 3 ′ [ ] [ ] [ ] + = L y L x L t ⎩ ⎪PY − + X = ⎪2 X + PY = + P P ⎩ ⎩ Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 25 3P ⎧ 3P 16 ⎧ ⎪⎪X = P + + P + + P P + ⎪ X = P2 + + P2 − P2 + ⇔⎨ ⇔⎨ −6 13 P −6 2P ⎪Y= ⎪ Y= + − + − ⎪⎩ P + 4 P + 4P P + P2 + P P2 + ⎩ ⎧⎪ x = cos 2t + 6t − sin 2t 13 Biến đổi ngược hai vế ta nghiệm : ⎨ y = − sin t + cos t − ⎪⎩ 4 b) Đặt X = L [x], Y = L [y] ; biến đổi Laplace hai vế ta : −3 ⎧ P−4 4+ ⎪X = = ⎧ XP + 3Y = ⎪ (P − 1)(P + 3) P − P + ⇔⎨ ⎨ ⎩X + (P + )Y = ⎪ 2P − + = = Y ⎪ P + 2P − P − P + ⎩ t −3 t ⎧ ⎪x = − e + e Biến đổi ngược hai vế ta nghiệm: ⎨ ⎪ y = e t + e −3 t ⎩ 4 Ví dụ 7.27 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ( ) ( ) ⎧ x'−6 y = sin 5t với điều kiện x(0) = 0, y(0) = ⎨ ⎩ x + y '−7 y = Giải Đặt X = L [x], Y = L [y]; biến đổi Laplace hai vế ta được: ⎧ L [x ′] − 6L [ y ] = L [sin 5t ] ⇔ ⎨ ′ + − = [ ] [ ] [ ] [ ] L x L y L y L ⎩ ⎧ ⎪ PX − 6Y = P + 25 ⎨ ⎪ X + ( P − 7)Y = P ⎩ ⎧ 23 p − 35 p + 450 Ap + 5B C D E ⎧ = X + + + X= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ( p + 25)( p − 1)( p − 6) p p + 25 p − p − p ⇔⎨ ⇔⎨ A' p + 5B' C' D' p + 70 ⎪Y= ⎪ Y= + + ⎪⎩ p −1 p − p + 25 ⎪⎩ ( p + 25)( p − 1)( p − 6) Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm hệ phương trình ⎧ x(t ) = A cos 5t + B sin 5t + Ce t + De 6t + E ⎨ t 6t ⎩ y (t ) = A' cos 5t + B ' sin 5t + C ' e + D ' e Ap + 5B C D E 23 p − 35 p + 450 + + + Tìm A, B, C, D, E dựa vào: = 2 p + 25 p − p − p ( p + 25)( p − 1)( p − 6) p 23.6 − 35.6 + 450 450 , C=… E= = ,D= 25(−1)(−6) (6 + 25)(6 − 1)6 A' p + B' C' D' p + 70 + + Tìm A’, B’, C’, D’ dựa vào: = 2 p −1 p − p + 25 ( p + 25)( p − 1)( p − 6) Giải phương trình tích phân Volterra Phương trình sau gọi phương trình tích phân Volterra loại ¡ Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 26 t y(t) = f(t) +λ ∫ k (t − u ) y (u )du , y(t) hàm cần tìm, λ = const Giải p dụng tích chập , phương trình viết lại : y(t) = f(t) + k(t) * y(t) Đặt Y = Y(p) = L [y] , F(p) = L [f (t )] , K(p) = L [k(t )] Biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng đònh lý Borel ta : Y = F(p) + λK(p)Y ⇔ Y = ⎡ F ( p) ⎤ F ( p) ⇒ y = L −1 ⎢ ⎥ − λK ( P ) ⎣ − λK ( p ) ⎦ ª t Ví dụ 7.28 Giải phương trình tích phân: y (t ) = t + ∫ y (u ) sin(t − u )du Giải p dụng tích chập, phương trình viết lại dạng: y(t ) = t + y(t ) ∗ sin t Đặt Y = Y(P) = L [y(t )] Biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng đònh lý Borel 2 ⇔Y= + ta được: Y = + Y ⋅ P P +1 P P t4 ⎡2 ⎤ ⎡2 ⎤ Biến đổi ngược hai vế: y = L −1 ⎢ ⎥ + L −1 ⎢ ⎥ = t + 12 ⎣P ⎦ ⎣P ⎦ t4 Vậy nghiệm phương trình là: y(t ) = t + 12 Ví dụ 7.29 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân y (t ) = 12e −5t ¡ t + 5∫ y (u ) cos 2(t − u )du Giải Áp dụng tích chập, phương trình tương đương với y (t ) = 12e −5t + y(t ) * cos 2t Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] , biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng đònh lý Borel ta Y= 12 p + 5Y p+5 p +4 (*) 12( p + 4) A B C = + + ( p + 5)( p − 1)( p − 4) p + p − p − Biến đổi Laplace ngược ta y (t ) = Ae −5t + Be t + Ce 4t Từ đẳng thức (*) tính A = 58/9 , B = -10/3 , C = 80/9 ⇔Y = Giải phương trình vi tích phân Ví dụ 7.30 Giải phương trình t y’’ +y = sint+ ∫ y (u ) sin(t − u )du , với y(0)= 0, y’(0) = Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 27 Giải p dụng tích chập, phương trình viết lại dạng: y’’ +y = sint+ y(t)*sint Đặt Y = Y(P) = L[y(t )] Biến đổi Laplace hai vế phương trình , áp dụng tính chất đạo Y hàm hàm gốc đònh lý Borel ta : P2Y – +Y = + P +1 P +1 Giải phương trình với Y ẩn số ta : Y = p Biến đổi ngược hai vế ta nghiệm phương trình : y = t ¡ Ứng dụng vào học ♦ Một chất điểm P có khối lượng m chuyển động dọc trục 0x với hoành độ x(t); bò hút gốc lực hướng tâm f1(t) = kx(t) → v(t) f1 P ° x x Hình 7.5 Theo đònh luật Newton ta có phương trình chuyển động chất điểm d2x d2x m = -f1(t) ⇔ m + f1(t) = ⇔ mx’’ + k x = dt dt ♦ Nếu có thêm lực tắt dần tỷ lệ với vận tốc tức thời chất điểm f2(t) = αv(t) tác dụng vào chất điểm theo đònh luật Newton phương trình chuyển động chất điểm m d2x dt = -f1(t) - f2(t) ⇔ m d2x dt + f1(t) + f2(t) = ⇔ mx’’ + k x +αv(t) = ⇔ mx’’ +αx’(t) + k x = → f2 ° → v(t) f1 P x x Hình 7.6 ♦ Bây giờ, có thêm ngoại lực f(t) tác dụng vào chất điểm theo đònh luật Newton phương trình chuyển động chất điểm Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 28 m d2x dt = -f1(t) - f2(t) + f(t) ⇔ m d2x dt + f1(t) + f2(t) = f(t) ⇔ mx’’ + k x +αv(t) = f(t) ⇔ mx’’ +αx’(t) + k x = f(t) Ví dụ 7.31 Một chất điểm P có khối lượng m = gram chuyển động dọc trục 0x với hòanh độ x(t) ; bò hút gốc lực hướng tâm f1(t) = -8x(t) Giả sử ban đầu chất điểm đứng yên vò trí xo = x(0) = 10 Hãy tìm vò trí x(t) chất điểm thời điểm t hai trường hợp sau: a) Không có lực khác tác động lên chất điểm b) Chất điểm chòu tác dụng lực tắc dần f2(t) = -8v(t); với v(t) vận tốc tức thời chất điểm → f2 ° → v(t) f1 P x x Hình 7.7 Giải Trên hình 7.7 ta chọn chiều dương chiều trục 0x Khi x > f1 < 0; x< f1> ( lực hút hướng tâm) Khi v> (chất điểm P chạy phía bên phải) f2 < ; v< (chất điểm P chạy phía bên trái) f2 > ( lực hút tắt dần ngược chiều vectơ vận tốc) a) Theo đònh luật Newton, ta có : m x’’ = f1 ⇔ 2x’’ = -8x Ta phương trình : x’’ + 4x = , x(0) = 10, x’(0) = vo = Đặt X = L [x(t )] ; biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng tính chất đạo hàm hàm gốc ta : p2 X – 10p + 4X = ⇔ X = 10 p p2 + Biến đổi Laplace ngược hai vế ta : x(t) = 10cos2t b) Theo đònh luật Newton, ta có : m x’’ = f1 + f2 ⇔ 2x’’ = -8x -8x’ Ta phương trình : x’’ + 4x’ + 4x = , x(0) = 10, x’(0) = vo = Đặt X = L [x(t )] ; biến đổi Laplace hai vế phương trình áp dụng tính chất đạo hàm hàm gốc ta : p2 X – 10p +4(pX- 10) + 4X = ⇔ X = 10 p + 40 ⇔X= 10 20 + p + ( p + 2) p + 4p + Biến đổi Laplace ngược hai vế ta : x(t) = 10e-2t + 20t e-2t Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 29 Ứng dụng vào giải tích mạch điện v R (t ) = Ri R (t ) v L (t ) = L di L (t ) dt iC (t ) = C v C (t ) = dv C (t ) dt q iC (t )dt = ∫ C C +Mạch RLC: Xét mạch điện hình 7.8 Trong R, L, C số Hình 7.8 Mạch RLC Theo đònh luật Kirchoff ta có : vL(t) + vR(t) + vC(t) = E(t) ⇔ di(t ) q( t ) E(t ) d q(t ) R dq(t ) q(t ) L + Ri(t) + = E(t) ⇔ + + = L dt LC dt C L dt di(t ) ♦ Nếu mạch phần tử C ta có : L + Ri(t) = E(t) dt q( t ) ♦ Nếu mạch phần tử L ta có : Ri(t) + = E(t) C dq(t ) q(t ) E(t ) hay + = dt RC R Ví dụ 7.32 Xét mạch điện RL (hình 7.9) Trong i(0) = 0, R, L cacù số Hình 7.9 Mạch RL a) Cho E(t) = E0 số Tìm i(t) b) Tìm i(t) E(t) = E0sinωt , ω số Giải Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 30 di(t ) + Ri(t) = E(t) , i(0) = 0, R, L cacù số dt ⎡ di ⎤ Đặt I = I(p) = L [i(t )] ⇒ L ⎢ ⎥ = L [i' (t )] = pI-i(0) = pI ⎣ dt ⎦ a) L.i' (t ) + Ri = Eo Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta ⎛ ⎞ Eo Eo Eo Eo ⎜ 1 ⎟⎟ ⎜ ⇔ I (Lp +R) = ⇔I= ⇔ I= LIp +RI = − R p p p(Lp + R) R ⎜p p + ⎟⎟ ⎜ L⎠ ⎝ R ⎛ − t⎞ Eo ⎜ ⎟ -1 1− e L ⎟ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta : i(t) = L [ I ] = ⎜ R ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Đồ thò i(t) biểu diễn hình 7.10 i(t) Ta có : L Eo R i(t) t Hình 7.10 b) L.i' (t ) + Ri = Eosinwt Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta E w Eow LIp +RI = o ⇔ I = p +w ( p + w )(Lp + R ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ E w Eow ⎜ C ⎟⎟ o ⎜ Ap + Bw ⎜ ⎟ ⇔I= ⇔ I= + R ⎟ R L ⎜ p2 + w2 L ⎜ 2 p + ⎟⎟ ⎜ ( p + w )( p + ) ⎟ ⎜ L ⎠ L⎠ ⎝ ⎝ −Rt ⎞ E w⎛ Biến đổi ngược hai vế ta : i(t) = o ⎜ A cos wt + B sin wt + Ce L ⎟ (*) L ⎝ ⎠ Ap + Bw C (**) Tìm A, B, C cách xét : = + R R 2 p + w ( p + w )( p + ) p+ L ♦ ♦ L R R⎞ ⎛ Nhân hai vế (**) với ⎜ p + ⎟ cho p → − ta : L L⎠ ⎝ L C = lim = 2 R + w L2 p→− R p + w L Nhân hai vế (**) với p cho p → ∞ ta : Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 31 = A + C ⇒ A = -C = − L2 R + w L2 L B L wRL ♦ Từ (**) cho p = ta : = +C ⇒ B = R w R w (R + w L2 ) Thay A, B, C vào (*) ta kết : − E wL − E o wL −Rt wRL L sinwt + e i(t) = o 2 coswt + 2 2 2 R +w L R +w L (R + w L ) ¡ Ví dụ 7.33 (Sinh viên hoàn thành lời giải ví dụ này) a) Giải phương trình vi phân: y’+ 2y = u(t-π) e t (1) với điều kiện ban đầu y(0) = b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ -5y’ + 4y = 54e-2t -15et -30 sin2t-40cos2t, với y(0) = 0, y’(0) = a ( a ngày sinh bạn) c) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)= e5t+10 ∫ y (u ) cos 3(t − u )du d) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân 01 π ⎧ < < sin t t ⎪⎪ y’ - 3y = f(t) , y(0) = ; f(t) ⎨ π ⎪1 > t ⎪⎩ ⎧1 < t < y’ + y = f(t) , f(t) = ⎨ , y(0) =0 nế u t > ⎩ ⎧e -t < t < y’’ – y’ = f(t) , f(t) = ⎨ , y(0) = y’(0) = 0 nế u t > ⎩ ≤ t < ⎧ -t +1 y’ + 2y = f(t) , y(0) = , với f(t) = ⎨ t >1 ⎩ ⎧ t 6) y’ - y = f(t) , y(0) =2 , với f(t) = ⎨ ⎩e -(t -1) ≤ t < t ≥1 ≤ t < π ⎧ 7) y’ + 2y = f(t) , y(0) =3 , với f(t) = ⎨ t>π ⎩ sin2t khi ≤ t < ⎧ E 8) y’+3y = f(t) , y(0) = , với f(t) = ⎨ o t ≥1 ⎩ ⎧ t ⎩ e 9) y’ - 2y = f(t) , y(0) = , với f(t) = ⎨ ⎧ sint 10) y’ -3y = f(t) , y(0) = , với f(t) = ⎨ ⎩ kh i ≤ t < kh i t≥2 < t < π t>π 35 Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang Bài 7.12 Giải phương trình tích phân t a) y(t) = 1+2 ∫ sin(t − τ )y(τ ).dτ t 2(t − τ ) y(τ )dτ b) y(t) = e 3t − ∫ e t t − (t − τ ) d) x(t) = 4et + ∫ e 36 x(τ )dτ t e) x(t) = e2t + ∫ [cos 2(t − τ )]x(τ )dτ c) x(t) = e-t + ∫ (t − τ )x(τ )dτ t ⎧ ⎪x(t ) = t + ∫ y(u )du ⎪ t ⎪⎪ Bài 7.13Giải hệ phương trình : ⎨ y(t ) = t + ∫ z(u )du ⎪ t ⎪ ⎪ z(t ) = + ∫ x(u )du ⎪⎩ Bài 7.14 Giải phương trình vi phân: a) y’’’-3y’’+3y’ –y = t2et , y(0) =1, y’(0)= , y’’(0) = -2 b) y’’’-3y’’+3y’ –y = t2et , y(0) = A, y’(0)= B , y’’(0) = C Sinh viên hoàn thành lời giải tập từ 7.15 đến 7.24 Bài 7.15 Một chất điểm chuyển động đường thẳng cho độ dời x từ điểm cố đònh O vào lúc t cho bởi: x ′′ + x ′ + 5x = 80 sin 5t a) Tìm x(t) biết lúc t = 0, chất điểm đứng yên x = b) Tìm biên độ, chu kỳ tần số sau thời gian dài Bài 7.16 Dòng điện i(t) mạch nối tiếp RL thỏa phương trình vi phân : L di + Ri = E(t) (volts) ; i(0) = 0, R, L cacù số dt a) Tìm i(t) E(t) = E0cosωt , ω số ⎧10t , < t ≤ ⎩ 10 , t > b) Tìm i(t) E(t) = ⎨ Bài 7.17 Cho mạch điện RLC hình vẽ biết i(0) = a) Cho E = 300 (volts) Tìm i(t) , t > b) Cho E = 100sin3t (volts) Tìm i(t) , t > Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 37 Bài 7.18 Cho mạch điện RC hình vẽ biết i(0) Tìm i(t) hai trườngng hợp sau: b) Cho E = Eo e-αt (volts) a) Cho E = Eo (volts) Bài 7.19 a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ -6y’ +13y = 6te3t + 4cos2t +5sin2t, với y(0) = 0, y’(0) = a (a ngày sinh bạn) b) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎧ x'−5 y = cos 5t , với điều kiện x(0) = 0, y(0) = a (a ngày sinh bạn) ⎨ ⎩ x + y '−6 y = BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT-Đònh luật truyền nhiệt Newton (Newton’s law of cooling) Vận tốc nguội lạnh nóng lên vật môi trường tỷ lệ với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ môi trường xung quanh Tức là, gọi T = T(t) nhiệt độ vật theo thời gian Tm nhiệt độ môi trường k hệ số tỷ lệ dT = k (T − Tm ) dt Bài 7.20 Một xác chết phát vào lúc 15 ngày thứ hai nhà kho có nhiệt độ 50oF Nhiệt độ xác chết phát 80 oF 20 phút sau giảm xuống 78 o F Biết nhiệt độ người sống trung bình 98.6 oF, áp dụng đònh luật tỏa nhiệt Newton, xác đònh ngày mà người chết Bài 7.21 Dòng điện i(t) mạch nối tiếp RL thỏa phương trình vi phân : di + Ri = E(t) với R, L số L dt b) Tìm i(t) E(t) = E0cosωt , t > , với a) Cho E(t) = E0 số Tìm i(t) E0 ω số Chứng minh i(t) viết dạng i(t ) = A.e − at + Eo L a2 + ω cos(ωt − Φ ) Với Φ = arctg(ω / a) , a = R / L , A số Bài 7.22 (Resale value problem) Giá trò bán lại r (t ) máy sau t năm giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu giá trò giá trò phế liệu máy Tức là, S giá trò phế liệu máy r (t ) thỏa phương trình Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 38 dr = −k (r − S ) , với k = const > số tỷ lệ dt Xác đònh r (t ) biết giá trò mua máy $16.000, giá trò năm sau $8.000 giá trò phế liệu S = $500 Bài 7.23 (bài toán dân số – population growth) Giả sử dân số P(t ) (đơn vò triệu người) cộng đồng tăng theo quy luật hàm mũ với tỷ lệ tự nhiên r E (t ) (đơn vò triệu người/năm) cơng dân di cư khỏi cộng đồng thời điểm t, I (t ) (đơn vò triệu người/năm) cơng dân nhập cư vào cộng đồng thời điểm t Tức là, P(t ) thoả phương trình vi phân dP = rP − E (t ) + I (t ) dt Giải phương trình xác định dân số thời điểm t (đơn vò năm) trường hợp r = 0.01, E (t ) = 0.05e − t , I (t ) = 0.01 , P(0) = 90 triệu Bài 7.24 Vận tốc nguội lạnh vật không khí tỷ lệ với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ không khí p dụng biến đổi Laplce tìm quy luật nguội lạnh vật nhiệt độ không khí 20oc sau 20 phút nhiệt độ vật giảm từ 100oc xuống 60oc Hỏi sau nhiệt độ vật giảm tới 30oc Giải [...]... Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 21 §3 ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Sơ đồ ứng dụng của phép biến đổi Laplace Bài toán và các Biến đổi Laplace Phương trình điều kiện đầu đại số (Y ( P)) Lời giải của bài toán Giải phương trình đại số f(t) = L -1 [F(p)] Biến đổi Laplace ngược Tìm được Y ( P ) = F ( p) Trong sơ đồ trên, nếu bài toán với điều kiện ban đầu là hệ phương trình vi phân... bài toán với điều kiện ban đầu là hệ phương trình vi phân hoặc hệ phương trình tích phân hoặc hệ phương trình vi tích phân thì tương ứng chúng ta có hệ phương trình đại số Khi đó, chúng ta giải hệ phương trình đại số rồi biến đổi Laplace ngược sẽ được lời giải bài toán ban đầu 1 Giải phương trình vi phân Ví dụ 7.22 Giải các phương trình vi phân sau: a) y’’ +2y’ + 5y = e-tsint , y(0) = 0, y’(0) =1 ⎧e t... phương trình tích phân Volterra Phương trình sau đây gọi là phương trình tích phân Volterra loại 2 ¡ Phép biến đổi Laplace .……………………………………………… .Trang 26 t y(t) = f(t) +λ ∫ k (t − u ) y (u )du , y(t) là hàm cần tìm, λ = const 0 Giải p dụng tích chập , phương trình được viết lại : y(t) = f(t) + k(t) * y(t) Đặt Y = Y(p) = L [y] , F(p) = L [f (t )] , K(p) = L [k(t )] Biến đổi Laplace hai vế phương trình. .. biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ -5y’ + 4y = 54e-2t -15et -30 sin2t-40cos2t, với y(0) = 0, y’(0) = a ( a là ngày sinh của bạn) c) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)= e5t+10 ∫ y (u ) cos 3(t − u )du 0 d) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân 0