HỆ PHƯƠNG TRÌNH và bất ĐẲNG THỨC

H PHNG TRèNH I TểM TT L THUYT Cho h phng trỡnh: ax + by = c ( a + b 0, a '2 + b '2 ) a ' x + b ' y = c ' Gii h phng trỡnh bng phng phỏp th v cng i s Gii h phng trỡnh bng phng phỏp th x y = x 2(5 x) = x + y = y = 2x (I) Gii h phng trỡnh bng phng phỏp cng i s x y = x y = x = 14 x + y = x + y = 10 x + y = x 10 + x = x = 14 x = x = y = 2x y = 2x 2.2 + y = y =1 x = x = y = 2.2 y =1 Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim nht Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim nht (x;y) = (2;1) (x;y) = (2;1) Gii v bin lun h phng trỡnh Cỏch T mt phng trỡnh ca h tỡm y theo x ri th vo phng trỡnh th hai c phng trỡnh bc nht i vi x Gi s phng trỡnh bc nht i vi x cú dng: ax = b (1) Bin lun phng trỡnh (1) ta s cú s bin lun ca h i) Nu a=0: (1) tr thnh 0x = b - Nu b = thỡ h cú vụ s nghim - Nu b thỡ h vụ nghim b ii) Nu a thỡ (1) x = , Thay vo biu thc ca x ta tỡm y, lỳc ú h phng trỡnh cú nghim a nht Cỏch S dng Crame a b c b a c D= = ab ' a ' b , Dx = = cb ' c ' b , Dx = = ac ' a ' c a' b' c' b' a' c' Dy D D : (I) cú nghim nht (x;y), ú x = x , y = D D D = 0, Dx hoc Dy : (I) vụ nghim D = Dx = Dy = : (I) cú vụ s nghim (x;y) tha món: by + c x R x = a (nu a ) hoc ax + c (nu b ) y R y = b x + y = c vụ nghim nu c ; v vụ Chỳ ý: Nu a = b = ( hoc a ' = b ' = ) thỡ phng trỡnh s nghim nu c = Trong mt h nu cú mt phng trỡnh vụ nghim thỡ h vụ nghim; nu mt phng trỡnh ỳng vi mi giỏ tr ca n thỡ nghim ca h trựng vi phng trỡnh cũn li II CC DANG BI TP Dng Gii h phng trỡnh Bi 1: Gii cỏc h phng trỡnh x y = x + y = 1) 2) x y = x + y = 10 x (1 + 3) y = 5) (1 3) x + y = 0,2 x + 0,1 y = 0,3 6) x + y = Bi 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau: (3 x + 2)(2 y 3) = xy 1) (4 x + 5)( y 5) = xy (2 x 3)(2 y + 4) = x( y 3) + 54 3) ( x + 1)(3 y 3) = y ( x + 1) 12 1 ( x + 2)( y + 3) xy = 50 5) xy ( x 2)( y 2) = 32 2 x xy + y = x + 12 y 7) x y + = Dng Gii h bng cỏch t n s ph Bi 3: Gii cỏc h phng trỡnh sau 1 1 x + y = 12 x + y + y + 2x = 1) 2) + 15 = =1 x y x + y y + x x + y = 13 4) 2 x y = x + y = 16 5) x y = 11 2( x x ) + y + = 7) 3( x x) y + = x y + = 3) x + y = 14 x = 7) y x + y 10 = 2( x + y ) + 3( x y ) = 2) ( x + y ) + 2( x y ) = y + 27 y 5x +5= 2x 4) x + + y = y 5x ( x + 20)( y 1) = xy 6) ( x 10)( y + 1) = xy ( x + y ) ( x y 3) = 8) x y = 3x x +1 y + = 3) 2x = x + y + x + y = 18 6) x + y = 10 x y + = 8) 2 x x + + y + y + = 13 Dng Gii v bin lun h phng trỡnh Bi Gii v bin lun h phng trỡnh theo tham s m mx y = 2m mx + y = 3m 1) 2) x my = m + x + my = m + mx + y = 10 m (m 1) x my = 3m 3) 4) x + my = x y = m + x + my = 3m 5) mx y = m 2 x + y = 4) x y = 14 x my = + m 6) mx + y = + m 3( x + y ) =m x y 8) 2x y m = y x x y = + 2m 7) mx + y = ( m + 1) Dng Tỡm m tha iu kin cho trc Bi nh m nguyờn h cú nghim nht l nghim nguyờn (m + 1) x + y = m mx + y = m + a) b) 2 x + my = 2m m x y = m + 2m mx y = (m + 1) x y = m c) d) e) m x y = m + 2m x + 4(m + 1) y = 4m mx + y = x + my 2m + = x + ay = Bi Tỡm a h phng trỡnh: ax + y = a Cú nht mt nghim b Vụ nghim x + by = Bi Cho h phng trỡnh: bx ay = a) Gii h phng trỡnh a = b b) Xỏc nh a v b h phng trỡnh trờn cú nghim: i ( 1; ) ii 1; iii H vụ s nghim ( ) Bi x my = a) Cho h phng trỡnh Chng t rng h phng trỡnh luụn luụn cú nghim nht mx + y = 16 vi mi m v nh m h cú nghim (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) b) nh m, n h phng trỡnh sau cú nghim l (2; -1) 2mx (m + 1) y = m n (m + 2) x + 3ny = 2m Bi mx + y = 10 m a) Xỏc nh cỏc giỏ tr nguyờn ca m h phng trỡnh cú nghim nht x + my = (x;y) cho x> 0, y > (m 1) x my = 3m b) Cho h phng trỡnh Vi giỏ tr nguyờn no ca m hai ng thng x y = m + ca h ct ti mt im nm gúc phn t th IV ca h ta Oxy x + y = c) Tỡm m nguyờn cho h cú nghim (x;y) vi x < 1, y < x y = m ( m + 1) x y = m + d) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh cú nghim nht tha iu x + ( m 1) y = kin x + y nh nht (m 1) x my = 3m e) Cho h phng trỡnh : nh m h cú nghim nht (x ; y) x y = m + cho P = x2 + y2 t giỏ tr nh nht ( a + 1) x y = Bi 10 Cho h phng trỡnh: ax + y = a a Gii h a = b Xỏc nh giỏ tr ca a h cú nghim nht tha iu kin x + y > x + y = Bi 11 Tỡm m h phng trỡnh sau cú nghim: ( x y ) + m ( x y 1) x + y = a + 2b 4b + = Bi 12* Cho a, b tha h phng trỡnh: Tớnh a + b 2 a + a b 2b = Bi 13 Xỏc nh a, b ng thng y = ax + b i qua hai im a) A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) b) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) c) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bi 14 nh m ng thng a) 3x + 2y = 4; 2x y = m v x + 2y = ng quy b) 2x y = m; x - y = 2m v mx (m 1)y = 2m ng quy c) mx + y = m2 + 1; (m +2)x (3m + 5)y = m 5; (2 m)x 2y = -m2 + 2m ng quy Bi 15 a) nh a, b bit phng trỡnh ax2 -2bx + = cú hai nghim l x = v x = -2 b) Xỏc nh a, b a thc f(x) = 2ax2 + bx chia ht cho 4x v x + c) Cho biu thc f(x) = ax2 + bx + Xỏc nh cỏc h s a v b bit rng f(2) = , f(-1) = Bi 16 mx + y = a) Cho h phng trỡnh: Vi giỏ tr no ca m h cú nghim (x ; y) tha h x + my = 38 thc: 2x + y + = m mx y = b) Cho h phng trỡnh: Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x; y) 3x + my = m2 m2 + 3 x my = c) Cho h phng trỡnh Vi tr nguyờn no ca m h cú nghim (x ; y) tha x + mx + y = 16 y = tha h thc x + y = Dng Gii h i xng Bi 16 (i xng loi I) Gii cỏc h phng trỡnh sau: x + xy + y = 19 x + xy + y = 11 1) 2) 2 x xy + y = x + y xy 2( x + y ) = 31 x + y = 3) 2 x + xy + y = 13 x y 13 + = 5) y x x + y = Bi 17 Gii cỏc h phng trỡnh sau: x + xy + y = x + y = a) b) 2 x x y + y = 13 x y + y x = xy + x + y = 4) 2 x + y + x + y = x + x y + y = 17 6) x + y + xy = x y + y x = 30 c) 3 x + y = 35 x + y = x + y + xy = 11 x + y + xy = d) e) f) 2 2 x + y = x + y x + y + x y = 21 x + y + 3( x + y ) = 28 Bi 18 Gii cỏc h phng trỡnh sau: y( x + 1) = x ( y + 1) ( x + y )(1 + xy ) = a) b) 2 x + y + = 24 ( x + y )(1 + ) = 49 x y2 ữ ữ 2 x y ( 1 x + y + x + y = c) 1 x + y2 + + =4 x y2 x y + y x + y + x = xy y x e) xy + xy + x + y = ) x y + = 2 x +1 y +1 d) ( x + y )(1 + ) = xy xy + xy = f) ( x + y ) + ữ = xy Bi 19 (i xng loi II) Gii cỏc h phng trỡnh sau: x = x + y x y = x + y 1) 2) 2 y = 3y + x y x = y + x y2 + y y = x 3y = x x2 4) 5) x y 3x = x = x + y y2 Bi 20 Gii cỏc h phng trỡnh sau: x = x + y x = x + y a) b) y = 3y + x y = y + x 2 x = y + y d) y = + x x x + y = e) y + x = x2 y2 Bi 21 (H ng cp) Gii cỏc h phng trỡnh sau: x = x + y 3) y = y + x 2 x = y + y 6) y = x + x x = x + 8y c) y = 3y + x y2 + y = x2 f) x = x + y2 x xy + y = 1) 2 x xy + 3y = 13 x xy + y = 2) 2 x + xy + y = x + 5xy y = 38 4) 2 x xy 3y = 15 x xy + 3y = 5) 2 x xy + 5y = y xy = 3) 2 x xy + y = x 8xy + y = 6) 2 x xy y = Dng Gii h bng th Bi 22 Gii h phng trỡnh v minh bng th x y = x + = y y + = x a b x y c y = x y = x 12 + =1 4 GII TON BNG CCH LP H PHNG TRèNH I TểM TT L THUYT Bc 1: Lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh: a) Chn n v t iu kin cho n (Thng l i lng cn tỡm) b) Biu din cỏc i lng cha bit thụng qua n v cỏc i lng ó bit c) Lp phng trỡnh biu th mi quan h gia cỏc i lng Bc 2: Gii phng trỡnh, h phng trỡnh Bc 3: i chiu nghim ca phng trỡnh, h phng trỡnh (nu cú) vi iu kin ca n kt lun Chỳ ý: Tựy tng bi c th m ta cú th lp phng trỡnh bc nht mt n, h phng trỡnh hay phng trỡnh bc hai Khi t iu kin cho n phi da vo ni dung bi toỏn v nhng kin thc thc t QUAN H CC S Biu din s cú hai ch s: ab = 10a + b ( a, b N , < a 9, b ) Biu din s cú ba ch s: abc = 100a + 10b + c ( a, b, c N , < a 9, b, c ) a Biu din mt phõn s: , ( a, b N , b ) b Cho hai s x,y Khi ú: +Tng hai s x,y l x + y ; + Tng bỡnh phng hai s x,y l: x + y ; + Bỡnh phng ca tng hai s x,y l : ( x + y ) 1 + Tng nghch o hai s x,y l: + x y CHUYN NG Nu gi quóng ng l S, tc l v, thi gian l t thỡ: S = v.t v = Gi tc thc ca ca nụ l v1 ; tc dũng nc l v2 thỡ + Vn tc ca nụ xuụi dũng l: v = v1 + v2 + Vn tc ca nụ ngc dũng l: v = v1 v2 NNG SUT S S t = (v,t>0) t v Xem ton b cụng vic l hay 100% 100 % cụng vic (a>0) hay a a + Hai ngi lm vic, ngi th nht lm a gi, ngi th hai lm b gi thỡ mt gi hai 1 ngi lm c: + cụng vic a b Chỳ ý: + Nu cú hai ngi lm mt vic m bit thi gian lm vic ca ngi ny hn, kộm ngi thỡ nờn chn n v a v phng trỡnh bc hai Nu thi gian c lp thỡ chn n v a v gii h + Bi toỏn lm vic v vũi nc l tng t HèNH HèNH HC Din tớch hỡnh ch nht: S= xy (x: chiu rng, y: chiu di) Din tớch tam giỏc: S= ah (a: ỏy, h: chiu cao tng ng) 2 di cnh huyn: c = a + b2 (a,b: hai cnh gúc vuụng, c: cnh huyn) n ( n 3) S ng chộo ca mt a giỏc: (n: s nh) + Mt ngi lm cụng vic a gi thỡ gi ngi ú lm c: II CC DNG BI TP QUAN H CC S Bi Mu s ca mt phõn s ln hn t s ca nú l n v Nu tng c t v mu thờm n v thỡ c phõn s mi bng ẵ phõn s ó cho Tỡm phõn s ú? Bi Tng cỏc ch s ca mt s cú hai ch s l Nu thờm vo ú 63 n v thỡ c mt s mi cng cú hai ch s ú nhng vit theo th t ngc li Hóy tỡm s ú? Bi Tỡm hai s t nhiờn liờn tip cú tng cỏc bỡnh phng ca nú l 85 Bi em mt s nhõn vi ri tr i thỡ c 50 Hi s ú l bao nhiờu? Bi Tng hai s bng 51 Tỡm hai s bit rng 2/5 s th nht thỡ bng 1/6 s th hai Bi Tỡm mt s t nhiờn cú hai ch s, bit tng cỏc ch s ca nú l Nu i ch hai ch s hng n v v hng chc cho thỡ s ú gim i 45 n v Bi Tỡm hai s kộm n v v tớch ca chỳng bng 150 Bi Tỡm s t nhiờn cú hai ch s, bit rng s ú bng ch s to bi ch s hng v ch s hng nghỡn ca lp phng ca s ó cho theo th t ú 2.CHUYN NG a XE CHUYN NG Bi Hai tnh A v B cỏch 180km Cựng mt lỳc, mt ụtụ i t A n B v mt xe mỏy i t B n A Hai xe gp ti th trn C T C n B ụtụ i ht gi, cũn t C v A xe mỏy i ht gi 30 phỳt Tớnh tc ca mi xe bit rng trờn ng AB hai xe u chy vi tc khụng i Bi 10 Mt ngi chuyn ng u trờn mt quóng ng gm mt on ng bng v mt on ng dc Vn tc trờn on ng bng v trờn on ng dc tng ng l 40km/h v 20km/h Bit rng on ng dc ngn hn on bng l 110km v thi gian ngi ú i c quóng ng l gi 30 phỳt Tớnh chiu di quóng ng ngi ú ó i Bi 11 Mt xe ti v mt xe cựng hnh t A n B Xe ti i vi tc 30km/h, xe i vi tc 45km/h Sauk hi i c ắ quóng ng AB, xe tng tc thờm 5km/h trờn quóng ng cũn li Tớnh quóng ng AB bit rng xe n B sm hn xe ti gi 20 phỳt Bi 12 Mt ngi i xe p t A n B cỏch 33km vi mt tc xỏc nh Khi t B v A ngi ú i bng ng khỏc di hn trc 29km nhng vi tc ln hn tc lỳc i 3km/h Tớnh tc lỳc i, bit rng thi gian v nhiu hn thi gian i l gi 30 phỳt Bi 13 Hai a im A, B cỏch 56km Lỳc 6h45 mt ngi i xe p t A vi tc 10km/h Sau ú gi mt ngi i xe p t B n A vi tc 14km/h Hi n my gi h gp v ch gp cỏch A bao nhiờu km? Bi 14 Mt ngi i xe p t A vi tc 15km/h Sau ú mt thi gian, mt ngi i xe mỏy cng xut phỏt t A vi tc 30km/h v nu khụng cú gỡ thay i thỡ s ui kp ngi i xe p ti B Nhng sau i c na quóng ng AB, ngi i xe p gim bt tc 3km/h nờn hai ngi gp ti C cỏch B 10km Tớnh quóng ng AB Bi 15 Mt ngi i xe mỏy t A n B vi tc trung bỡnh l 30km/h Khi n B ngi ú ngh 20 phỳt ri quay tr v A tc trung bỡnh 24km/h Tớnh quóng ng AB bit rng thi gian c i ln v l gi 50 phỳt Bi 16 Mt ụ tụ d nh i t tnh A n tnh B vi tc trung bỡnh l 40km/h Lỳc u ụ tụ i vi tc ú, cũn 60km na thỡ c mt na quóng ng AB, ngi lỏi xe tng tc thờm 10km/h trờn quóng ng cũn li Do ú ụ tụ n tnh B sm hn gi so vi quy nh Tớnh quóng ng AB Bi 17 Mt ngi i xe p t A n B cỏch 50km Sau ú gi 30 phỳt, mt ngi i xe mỏy cng i t A n B sm hn gi Tớnh tc ca mi xe, bit rng tc xe mỏy gp 2,5 ln tc xe p Bi 18 Mt ụtụ chuyn ng u vi tc ó nh i hột quangx ng di 120km mt thi gian ó nh i c mt na quóng ng xe ngh phỳt nờn n ni ỳng gi, xe phi tng tc thờm 2km/h trờn na quóng ng cũn li Tớnh thi gian xe ln bỏnh trờn ng Bi 19 Mt ụtụ d nh i t A n B cỏch 120km mt thi gian quy nh Sau i c gi ụtụ b chn ng bi xe mt 10 phỳt Do ú, n B ỳng hn, xe phi tng tc thờm 6km/h Tớnh tc lỳc u ca ụtụ Bi 20 Mt ngi i xe p t A n B mt thi gian ó nh Khi cũn cỏch B 30km, ngi ú nhn thy rng s n B chm na gi nu gi nguyờn tc ang i, nhng nu tng tc thờm 5km/h thỡ s ti ớch sm hn na gi Tớnh tc ca xe p trờn quóng ng ó i lỳc u b CA Nễ CHUYN NG Bi 21 Mt canụ xuụi dũng t bn A n bn B ri li ngc dũng t bn B v bn A mt tt c gi Tớnh tc ca canụ nc yờn lng, bit rng quóng sụng AB di 30km v tc dũng nc l 4km/h Bi 22 Mt canụ xuụi dũng t bn A n bn B vi tc 30km/h, sau ú li ngc dũng t bn B v bn A Thi gian xuụi dũng ớt hn thi gian i ngc l gi 20 phỳt Tớnh khong cỏch gia hai bn A v B bit rng tc dũng nc l km/h Bi 23 Hai canụ cựng hnh t hai bn A, B cỏch 85km i ngc chiu Sau gi phỳt gp Tớnh tc riờng ca mi canụ, bit rng tc canụ i xuụi ln hn tc canụ i ngc 9km/h v tc dũng nc l 3km/h Bi 24 Mt ca nụ xuụi t bn A n bn B vi tc trung bỡnh 30km/h, sau ú ngc t B v A Thi gian i xuụi ớt hn thi gian i ngc l 40 phỳt Tớnh khong cỏch gia bn A v B bit rng tc dũng nc l 3km/h v tc riờng ca ca nụ l khụng i Bi 25 Hai cano hnh cựng mụt lỳc t bn A n bn B Cano I chy vi tc 20km/h, cano II chy vi tc 24km/h Trờn ng i cano II dng li 40 phỳt, sau ú tip tc chy Tớnh chiu di quóng sụng AB bit rng hai cano n B cựng mt lỳc Bi 26 Mt cano chy trờn sụng gi, xuụi dũng 108km v ngc dũng 63km Mt ln khỏc, cano ú cng chy gi, xuụi dũng 81 km v ngc dũng 84 km Tớnh tc dũng nc chy v tc riờng ca cano Bi 27 Mt tu thy chy trờn mt khỳc sụng di 80km, c i v v mt gi 20 phỳt Tớnh tc ca tu nc yờn lng, bit rng tc dũng nc l 4km/h Bi 28 Mt chic thuyn hnh t bn sụng A Sau ú gi 20 phỳt mt chic ca nụ chy t bn sụng A ui theo v gp chic thuyn ti mt im cỏch bn A 20 km Hi tc ca thuyn, bit rng ca nụ chy nhanh hn thuyn 12km/h NNG SUT a CễNG VIC Bi 29 Hai i cụng nhõn cựng lm mt vic thỡ lm xong gi Nu mi i lm mt mỡnh lm xong cụng vic y, thỡ i th nhõt cn thi gian ớt hn so vi i th hai l gi Hi mi i lm mt mỡnh xong cụng vic y bao lõu? Bi 30 Mt xớ nghip úng giy d nh hon thnh k hoch 26 ngy Nhng ci tin k thut nờn ó vt mc 6000 ụi giy ú chng nhng ó hon thnh k hoch ó nh 24 ngy m cũn vt mc 104 000 ụi giy Tớnh s ụi giy phi lm theo k hoch Bi 31 Mt c s ỏnh cỏ d nh trung bỡnh mi tun ỏnh bt c 20 tn cỏ, nhng ó vt mc c tn mi tun nờn nờn chng nhng ó hon thnh k hoch sm hn tun m cũn vt mc k hoch 10 tn Tớnh mc k hoch ó nh Bi 32 Mt i xe cn chuyờn ch 36 tn hng Trc lm vic i xe ú c b xung thờm xe na nờn mi xe ch ớt hn mt tn so vi d nh Hi i xe lỳc u cú bao nhiờu xe? Bit rng s hng ch trờn tt c cỏc xe cú lng bng Bi 33 Hai t sn xut cựng nhn chung mt mc khoỏn T I lm nhanh gp ụi t II Nu lm chung gi thỡ hon thnh c 2/3 mc khoỏn Nu mi t lm riờng thỡ mi t ny s lm xong mc khoỏn bao lõu? Bi 34 Hai t cụng nhõn lm chung 12 gi s hon thnh cụng vic ó nh H lm chung vi gi thỡ t th nht c iu i lm vic khỏc, t th hai lm nt cụng viờc cũn li 10 gi Hi t th hai lm vic mt mỡnh thỡ sau bao lõu s hon thnh cụng vic Bi 35 Hai ngi th cựng lm mt cụng vic 16 gi thỡ xong Nu ngi th nht lm gi v ngi th hai lm gi thỡ h lm c 25% cụng vic Hi mi ngi lm cụng vic ú my gi thỡ xong b VềI NC Bi 36 Hai vũi nc cựng chy vo mt cỏi b khụng cha nc ó lm y b gi 50 phỳt Nu chy riờng thỡ vũi th hai chy y b nhanh hn vũi th nht l gi Hi nu chy riờng thỡ mi vũi chy bao lõu s y b? Bi 37 Hai vũi nc cựng chy vo mt cỏi b khụng cha nc thỡ sau gi 48 phỳt s y b Nu chy riờng, vũi th nht chy y b nhanh hn vũi th hai gi 30 phỳt Hi nu chy riờng thỡ mi vũi s chy y b bao lõu? Bi 38 Mt mỏy bm mun bm y nc vo mt cỏi b cha mt thi gian quy nh thỡ mi gi phi bm c 10m Sau bm c 1/3 th tớch b cha, mỏy bm hot ng vi cụng sut ln hn, mi gi bm c 15 m3 Do vy so vi quy nh, b cha c bm y trc 48 phỳt Tớnh th tớch b cha Bi 39 Nu hai vũi nc cựng chy vo mt cỏi b cha khụng cú nc thỡ sau gi 30 phỳt s y b Nu m vũi th nht 15 phỳt ri khúa li v m vũi th hai chy tip 20 phỳt thỡ s c 1/5 b Hi mi vũi chy riờng thỡ sau bao lõu s y b? Bi 40 Hai vũi nc cựng chy vo mt cỏi b cha khụng cú nc thỡ sau gi 55 phỳt s y b Nu chy riờng thỡ vũi th nht chy y b nhanh hn vũi th hai gi Hi nu chy riờng thỡ mi vũi chy y b bao lõu? TON HèNH HèNH HC Bi 41 Tớnh cỏc kớch thc ca hỡnh ch nht cú din tớch 40 cm 2, bit rng nu tng mi kớch thc thờm cm thỡ din tớch tng thờm 48 cm2 Bi 42 Cnh huyn ca mt tam giỏc vuụng bng 5m Hai cnh gúc vuụng hn kộm 1m Tớnh cỏc cnh gúc vuụng ca tam giỏc? Bi 43 Mt hỡnh ch nht cú ng chộo bng 13m, chiu di hn chiu rng 7m Tớnh din tớch hỡnh ch nht? Bi 44 Mt tha rung hỡnh ch nht cú chu vi l 250m Tớnh din tớch ca tha rung bit rng chiu di gim ln v chiu rng tng ln thỡ chu vi ca tha rung khụng thay i Bi 45 Mt a giỏc li cú tt c 35 ng chộo Hi a giỏc ú cú bao nhiờu nh? Bi 46 Mt cỏi sõn hỡnh tam giỏc cú din tớch 180 m Tớnh cnh ỏy ca sõn bit rng nu tng cnh ỏy m v gim chiu cao tng ng l m thỡ din tớch khụng thay i? Bi 47 Mt ming t hỡnh thang cõn cú chiu cao 35m hai ỏy ln lt bng 30m v 50m ngi ta lm hai on ng cú cựng chiu rng Cỏc on ng ln lt l ng trung bỡnh ca hỡnh thang v on thng ni hai trung im ca hai ỏy Tớnh chiu rng on ng bit din tớch phn lm ng bng ẳ din tớch hỡnh thang CC DNG TON KHC Theo k hoch hai t sn xut 600 sn phm thi gian nht nh Do ỏp dng k thut mi nờn t I ó sn xut vt mc k hoch l 18% v t II vt mc 21% Vỡ thi gian quy nh h ó hon thnh vt mc 120 sn phm Hi s sn phm c giao ca mi t l bao nhiờu? Dõn s ca thnh ph H Ni sau nm tng t 200 000 lờn 048 288 ngi Tớnh xm hng nm trung bỡnh dõn s tng bao nhiờu phn trm? Bỏc An vay 10 000 000 ng ca ngõn hng lm kinh t Trong mt nm u bỏc cha tr c nờn s tin lói nm u c chuyn thnh tớnh lói nm sau Sau hai nm bỏc An phi tr l 11 881 000 ng Hi lói sut cho vay l bao nhiờu phn trm tron mt nm? Theo k hoch hai t sn xut 1000 sn phm mt thi gian quy nh Do ỏp dng k thut mi nờn t I vt mc k hoch 15% v t II vt 17% Vỡ vy thi gian quy nh c hai t ó sn xut c 162 sn phm Hi s sn phm ca mi t l bao nhiờu? Ngi ta trn 8g cht lng ny vi 6g cht lng khỏc cú lng riờng nh hn nú l 0,2g/cm3 c hn hp cú lng riờng 0,7g/cm3 Tỡm lng riờng ca mi cht lng Mt phũng hp cú 240 gh c xp thnh cỏc dóy cú s gh bng Nu mi dóy bt i mt gh thỡ phi xp thờm 20 dóy mi ht s gh Hi phũng hp lỳc u c xp thnh bao nhiờu dóy gh Hai giỏ sỏch cú 400 cun Nu chuyn t giỏ th nht sang giỏ th hai 30 cun thỡ s sỏch giỏ th nht bng s sỏch ngn th hai Tớnh s sỏch ban u ca mi ngn? Ngi ta trng 35 cõy da trờn mt tha t hỡnh ch nht cú chiu di 30 m chiu rng l 20 m thnh nhng hng song song cỏch u theo c hai chiu Hng cõy ngoi cựng trng trờn biờn ca tha t Hóy tớnh khong cỏch gia hai hng liờn tip? Hai ngi nụng dõn mang 100 qu trng ch bỏn S trng ca hai ngi khụng bng nhng s tin thu c ca hai ngi li bng Mt ngi núi vi ngi kia: Nu s trng ca tụi bng s trng ca anh thỡ tụi bỏn c 15 ng Ngi núi Nu s trng ca tụi bng s trmg ca anh tụi ch bỏn c ng thụi Hi mi ngi cú bao nhiờu qu trng? 10 Mt hp kim gm ng v km ú cú gam km Nu thờm 15 gam km vo hp kim ny thỡ c mt hp kim mi m ú lng ng ó gim so vi lỳc u l 30% Tỡm lng ban u ca hp kim? BT NG THC GI TR LN NHT NH NHT I TểM TT L THUYT nh ngha a>b a- b>0 Chỳ ý: A2 0, A Tớnh cht 1) a > b, b > c ị a > c 2) a > b a + c > b + c 3) c > thỡ a > b ac > bc c < thỡ a > b ac < bc 4) a > b v c > d thỡ a + c > b + d 5) a > b > v c > d > thỡ ac > bd 6) a > b > thỡ 1 < a b 7) a > b > thỡ a n > b n , " n ẻ N * 8) - a Ê a Ê a 9) a - b Ê a b Ê a + b , " a, b ẻ R a thỡ b 10) Nu a a +c < , c>0 b b +c a a +c > , c>0 b b +c 11) Nu a,b,c l cnh ca mt tam giỏc thỡ: a - b < c, a + b > c 3.Bt ng thc Cụ-si Cho s dng: a + b ab hoc a + b 2ab Du = xy a = b Cho s dng: a + b + c 3 abc hoc a3 + b3 + c3 3abc Du = xy a = b = c 4.Bt ng thc Bunhia cp xki ( Cho s thc: ab + cd ) ( Ê ( a2 + c2 )( b2 + d ) Du = xy Cho s thc: ab + cd + ef Du = xy ) a c = b d Ê ( a2 + c2 + e2 )( b + d + f ) a c e = = b d f 5.Trờ b sộp Cho dóy sp th t a1 Ê a2 Ê a3 , b1 Ê b2 Ê b3 , c1 Ê c2 Ê c3 thỡ 3( a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ) ( a1 + a2 + a3 ) ( b1 + b2 + b3 ) 3( a1c1 + a2 c2 + a3c3 ) Ê ( a1 + a2 + a3 ) ( c1 + c2 + c3 ) II CC DNG BI TP 1.DNG NH NGHA Bi Vi mi x, y, z chng minh rng: a x + y + z xy + yz + zx b x + y + z xy yz + zx 2 c x + y + z + ( x + y + z ) Bi Cho s thc a,b,c Chng minh rng: 2 a + b2 a + b a + b2 + c a + b + c a b ữ ữ 3 Bi Chng minh m, n, p, q ta u cú: m + n + p + q + m ( n + p + q + 1) 2.BIN I TNG NG Bi Cho s thc a,b,c,d,e Chng minh: b2 a a + ab b a + b + ab + a + b 2 2 c a + b + c + d + e a ( b + c + d + e ) d Chng minh: a + b a3b + b3a 10 10 2 8 4 Bi Chng minh rng: ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) x2 + y 2 Bi Cho x > y v x.y =1 Chng minh rng: x y Bi Chng minh a P ( x, y ) = x y + y xy y + 0, x, y R b a + b2 + c2 a + b + c xyz = c Cho s thc khỏc khụng x,y,z tha món: 1 x + y + z < x + y + z Chng minh rng cú ỳng mt s x, y, z ln hn DNG BT QUEN THUC (Cụ-si Bunhia cp ski Trờ b sộp) Bi Cho s thc khụng õm a, b, c, d Chng minh rng: a ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8abc ( )( ) c ( a + b + c)( ab + bc + ca) b a + b ab +1 4ab ổ ửổ ửổ ố ứố ứố ứ a ỗ b ữỗ c ữ 1+ ữ + ữ ữ1 + ữ d ỗ ỗ ỗ b ữỗ ỗ c ữỗ ỗ aữ ổa + b + c + d ữ ỗ e ỗ abcd ữ ữ ỗ ữ ố ứ 9abc Bi Cho s thc khụng õm a, b, c 1 a Nu a + b + c = thỡ + + a b c b Nu a + b + c = thỡ x + y + z ( x ) ( y ) ( z ) a b c + + b+c c+a a+b d Nu a b = thỡ a + b c CMR: e a + b + c 3 abc + ( a- ) b a3 b3 c3 + + b+c c+a a+b Bi 10 Cho s thc dng a, b, c, d v abcd=1 Chng minh rng: a + b + c + d + a ( b + c ) + b ( c + d ) + d ( c + a ) 10 Bi 11 Cho s thc x,y,z,t chng minh rng: f Nu a + b + c = thỡ ( x + z) + ( y + t ) x2 + y + z + t Bi 12 Chng minh: x + y + z xy + yz + zx vi mi x,y,z DNG TNH CHT BC CU Bi 13 Cho a,b,c,d >0 tha a > c+d v b > c+d Chng minh: ab > ad + bc 1 1 2 Bi 14 Cho a, b,c > tha a + b + c = Chng minh: + < a b c abc Bi 15 Cho < a,b,c,d < Chng minh rng: ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) > a b c d Bi 16 Cho < a,b,c < Chng minh rng: 2a + 2b3 + 2c < + a 2b + b 2c + c a DNG TNH CHT T S a b c d + + + v < Chng minh rng: < b d b b + d2 d Bi 19 Cho a,b,c,d l cỏc s nguyờn dng tha món: a+b = c+d = 1000 Tỡm giỏ tr ln nht ca a b + S: 999+1/999 a=d=1 v b=c=999 c d Bi 17 Cho a,b,c,d chng minh rng: < PHNG PHP LM TRI Bi 20 Vi mi s t nhiờn n > 1, chng minh rng: 1 1 + + + < a < n +1 n + n+n 1 + + + > n +1 b + n 1 c + + + < n ( ) PHNG PHP DNG BT TRONG TAM GIC Bi 21 Cho a, b, c l s o ba cnh ca tam giỏc chng minh rng: 2 a ab + bc + ca < a + b + c < ( ab + bc + ca ) b abc > ( a + b c ) ( b + c a ) ( c + a b ) c Nu a + b + c = thỡ a + b + c + 2abc < I BIN S a b c + + b+c c+a a+b Bi 23 Cho s thc dng a,b,c tha món: a + b + c < Chng minh rng: 1 + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bi 24 Cho s thc dng a,b tha a b = Chng minh a + b Bi 22 Cho s thc dng a,b,c Chng minh rng: PP DNG TAM THC BC HAI ( ) ( Bi 25 Tỡm giỏ tr nh nht ca: f x = x - a ) 2 + ( x - b) 2 Bi 26 Chng minh rng: f ( x, y ) = x + y xy + x y + > 2 Bi 27 Chng minh rng: f ( x, y ) = x y + ( x + ) y + xy + x > xy 10 PP QUY NP 1 1 + + + < 2 n n n n a + bn a+b Bi 29 Vi mi s t nhiờn n v a + b >0 Chng minh rng: ữ Bi 28 Vi mi s t nhiờn n>1 Chng minh rng: + 11 PP PHN CHNG Bi 30 Cho s thc a,b,c tha món: a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > Chng minh rng a, b, c l s dng Bi 31 Cho bn s a , b, c, d tha món: ac ( b + d ) Chng minh rng cú ớt nht mt cỏc bt ng thc sau l sai: a < 4b, c < 4d xyz = Bi 32 Cho s thc khỏc khụng x,y,z tha món: 1 x + y + z < x + y + z Chng minh rng cú ỳng mt s x, y, z ln hn