Đang tải... (xem toàn văn)
file gồm 4 chuyên đề gồm xác suất hệ phương trình bất phương trình và bất đẳng thức gồm những bài toán hay được chọn lọc và giải chi tiết thích hợp với học sinh ôn luyện lấy điểm 7 8 9 10 trong đề thi đại học .
I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger tetu Group TRẦN ANH HÀO – NGUYỄN THỊ HƯƠNG CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC MƠN TỐN An Giang, ngày 31 tháng năm 2015 “ Ngày thành lập Tetu Group” I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger A CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ TỔ HỢP Bài Cho tập hợp số tự nhiên có dạng abc với a a , b , c theo thứ tự tăng dần Tính xác xuất để chọn số chẵn từ tập hợp Ta có a , b , c phân biệt a b c nên chọn số từ đến có cách xếp thoả mãn Không gian mẫu số cách chọn số từ đến Do C 84 Gọi A tập hợp số chẵn có tập hợp Ta có trường hợp sau: c khơng có trường hợp thoả mãn c ta chọn hai số cịn lại từ 1, 2,3 Vậy có C3 cách c ta chọn hai số lại từ 1, 2, 3, 4, Vậy có C5 cách c ta có thểcc chọn hai số cịn lại từ 1, 2,3, 4, 5,6,7 Vậy có C7 cách 2 Do A C C C7 34 Vậy xác xuất để chọn số chẵn P A 34 17 84 42 Bài Cho tập hợp X 0,1, 2, 3, 4, 5 Từ X lập số tự nhiên có chữ số phân biệt cho hai chữ số đầu lớn hai chữ số cuối đơn vị Gọi abcd với a 0,0 a, b, c , d 5, a, b, c , d a b c d số có dạng cần tìm Do a , b , c , d đôi phân biệt nên a b 9, suy c d c d Hơn c d 2, suy a b Nếu a b ta có: a 4, b ngược lại Khi max c d 1 Do trường hợp khơng thoả Nếu a b ta có: a 3, b ngược lại Khi max c d 1 Trường hợp khơng thoả Nếu a b ta có: a 5, b ngược lại Khi c d 1 2, 4, 5,6,8 Do trường hợp không thoả a 3, b ngược lại Khi c; d 1; , 5;1 Vậy trường hợp có số thoả mãn Nếu a b ta có: a 5, b ngược lại Khi ta có: c ; d 2; ; 3; Vậy trường hợp có số thoả mãn a 2, b ngược lại Khi ta có: c , d 5; ; 0; Vậy trường hợp có số thoả mãn Nếu a b ta có: a; b 2; ; 3; Ứng với trường hợp ta có: c; d 4; ; 0; Trường hợp có số thoả mãn a; b 5; Ứng với trường hợp ta có: c; d 1; ; 3;1 Trường hợp có số thoả mãn a; b 1; ; 1; Trường hợp không thoả mãn I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Nếu a b ta có: a; b 4; Ứng với trường hợp ta có: c; d 1; ; 2;1 Vậy trường hợp có số thoả mãn a; b 1; ; 3; 1 khơng thoả mãn Dễ thấy trường hợp a b a b không thoả mãn Vậy có 20 số thoả mãn Bài Cho tập hợp A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7; 9 Từ A lập số có chữ số khác thoả mãn số lớn 1997 Gọi N abcd với a , b, c , d A số cần tìm Nếu N 2000 ta có số cần tìm 1999, 1998 Nếu N 2000 Ta có: a : có cách chọn 2, 3, 4,5,7, b : có cách chọn c : có cách chọn d : có cách chọn Do có 2016 số Vậy có 2018 số lập từ A thoả mãn lớn 1997 Bài Có số tự nhiên gồm chữ số có dạng abcd cho a b c d Nếu c d ta cần chọn số từ đến Một cách chọn có cách xếp thoả mãn Vậy có C9 84 số Nếu c d ta cần chọn số từ đến Một cách chọn có cách xếp thoả mãn Vậy có: C9 126 số Do 210 số tự nhiên thoả mãn yêu cầu toán Bài Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2015, thí sinh dự thi tối đa mơn: Tốn, Lí, Hóa, Sinh, Văn, Sử, Địa Tiếng anh Một trường Đại học dự kiến tuyển sinh dựa vào tổng điểm mơn kì thi chung có hai mơn Tốn Văn Hỏi trường Đại học có phương án tuyển sinh? Chọn môn tuỳ ý từ mơn cho ta có: C8 56 cách Chọn mơn mà khơng có Tốn Văn có: C6 20 cách Vậy trường Đại học có: 56 20 36 phương án tuyển sinh Bài Một lớp học có 10 học sinh nam 15 học sinh nữ Trong Đại hội chi lớp, giáo viên chủ nhiệm cần chọn học sinh làm cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư kí Giáo viên chủ nhiệm có cách chọn mà có nam nữ, thư kí phải học sinh nữ Chọn nữ làm thư kí có C15 cách chọn Cịn lại chọn bạn làm lớp trường lớp phó, có hai trường hợp: nam, nữ hai người hoán đổi chức vụ cho nhau, nhiên chọn bạn nữ làm thư kí nên số 1 cách chọn C14 C10 nam, hai người hoán đổi chức vụ cho nên số cách chọn C10 I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger 1 Vậy số cách chọn học sinh thoả mãn toán là: C15 C14 C10 C10 5550 Bài Một hộp có chín thẻ giống đánh số liên tiếp từ đến Rút ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ (không kể thứ tự) nhân hai số ghi thẻ với Tính xác xuất để kết nhận số chẵn Không gian mẫu số cách rút hai thẻ, ta có: C 36 Rút hai thẻ đồng thời ngẫu nhiên số chẵn ta có: C4 cách rút Vậy xác xuất cần tìm P 36 Chú ý: tính thứ tự ta phải nhân thêm với để xét thẻ rút trước thẻ rút sau Bài Một hộp đựng viên bi màu đỏ viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác xuất để viên lấy có đủ hai màu số viên màu đỏ nhiều số viên bi màu xanh Không gian mẫu số cách lấy viên bi hộp ra, ta có: C11 330 Theo đề bài, có trường hợp lấy viên đỏ viên xanh thỏa yêu cầu Số cách chọn bi đỏ C5 10 Số cách chọn bi xanh C6 Vậy có 60 cách chọn thoả mãn đề Do xác xuất cần tìm là: P 60 330 11 Bài Đội niên xung kích trường phổ thổng có 12 học sinh gồm học sinh lớp A , học sinh lớp B học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh làm nhiệm vụ Tính xác xuất để học sinh chọn khơng có q lớp Số cách chọn học sinh tham gia C12 495 Gọi X số cách chọn học sinh cho lớp có học sinh tham gia 1 Chọn hai học sinh lớp A học sinh lớp B , học sinh lớp C Ta có: C5 C4 C3 120 cách chọn Chọn hai học sinh lớp B học sinh lớp A , học sinh lớp C Ta có: C5 C4 C3 90 cách chọn 1 Chọn hai học sinh lớp C học sinh lớp A, học sinh lớp B Ta có: C5 C4 C3 60 cách chọn Ta có: X 120 90 60 270 Do số cách chọn mà học sinh chọn khơng có q lớp 495 270 225 Vậy xác xuất để chọn học sinh tham gia mà khơng có q lớp là: P 225 495 11 Bài 10 Có 14 thẻ giống đánh số từ đến 14 Chọn ngẫu nhiên thẻ khơng tính thứ tự Tính xác suất để thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho Số phần tử không gian mẫu C14 3432 Có thẻ mang số chẵn thẻ mang số lẻ Ta xét trường hợp: I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Trường hợp 1: Tấm thẻ mang số chia hết cho thẻ mang số Khi đó, số cách chọn thẻ mang số lẻ thẻ lại C6 , số cách chọn thẻ mang số chẵn C7 Vậy số cách chọn trường hợp C6 C7 525 Trường hợp : Tấm thẻ mang số chia hết cho thẻ mang số 10 Khi đó, số cách chọn thẻ mang số 3 lẻ C7 , số cách chọn thẻ mang số chẵn thẻ lại C6 Vậy số cách chọn trường 3 hợp C7 C6 700 Vậy xác suất cần tìm P 525 700 1225 3432 3432 Bài 11 Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A , 10 học sinh khối B , học sinh khối C , chọn 15 học sinh trực nhật cho có học sinh khối A học sinh khối C Hỏi có cách chọn 13 Chọn học sinh lớp C có C5 10 cách Chọn tuỳ 13 học sinh tuỳ ý từ hai lớp A B có C25 5200300 cách Ta đếm số cách chọn cho lớp A có học sinh 13 học sinh, dễ thấy có hai trường hợp thoả mãn: 10 Chọn học sinh lớp A 10 học sinh lớp B có C15 C10 455 cách Chọn học sinh lớp A học sinh lớp B có C15 C10 13650 cách Vậy số cách chọn 13 học sinh từ hai lớp A, B cho lớp A có nhiều học sinh là: 5200300 455 13650 5186195 Vậy số cách chọn thoả mãn toán 51861950 Bài 12 Từ 16 chữ chữ "KI THI THPT QUOC GIA" chọn ngẫu nhiên chữ Tính xác xuất để chọn chữ đôi phân biệt Trong "KI THI THPT QUOC GIA" có: 1K, 3I, 3T, 2H, 1P, 1Q, 1U, 1O, 1C, 1G, 1A Ta xem chữ xuất lần thành nhóm gọi nhóm A, dễ thấy A có phần tử Khơng gian mẫu tốn chọn chữ từ 16 chữ cái, ta có: C16 4368 Ta đếm số cách chọn chữ đôi phân biệt Trong chữ lấy thuộc nhóm A, có C8 56 cách chọn Trong chữ lấy có chứa: chữ I chữ nhóm thuộc nhóm A, có C1 C8 210 cách chữ T chữ nhóm thuộc nhóm A, có C1 C8 210 cách chữ H chữ nhóm thuộc nhóm A, có C1 C8 140 cách Trong chữ lấy có chứa chữ I, T chữ nhóm thuộc nhóm A, có C1 C1 C8 504 cách 3 chữ T, H chữ nhóm thuộc nhóm A, có C1 C1 C8 336 cách chữ I, H chữ nhóm thuộc nhóm A, có C1 C1 C8 336 cách Trong chữ lấy có chứa chữ I, chữ T, chữ H chữ thuộc nhóm thuộc nhóm A, có: C1 C1 C1 C8 504 cách 3 Vậy số cách chọn chữ đôi phân biệt là: 56 210 210 140 504 336 336 504 2296 I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Do xác xuất cần tìm là: P 2296 41 4368 78 Bài 13 Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì số để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tính xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống 3 Không gian mẫu số trường hợp A B chọn câu hỏi, ta có: C10 C10 14400 Để A B chọn giống cách chọn câu hỏi A cách chọn câu hỏi B , số cách chọn giống là: C10 120 Vậy xác xuất cần tìm là: P 120 14400 120 Bài 14 Trong thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vịng chung kết, có bạn nữ 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi, Ban tổ chức chia bạn thành nhóm A, B, C , D cho nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc nhóm 5 5 Khơng gian mẫu số cách chia 20 bạn thành nhóm, ta có: C 20 C15 C10 C Gọi X biến cố cho bạn nữ thuộc nhóm 5 Xếp bạn nữ vào lớp có cách xếp Xếp 15 bạn nam cịn lại lớp có C15 C10 C5 5 Suy X C15 C10 C Vậy xác xuất cần tìm là: P X X C 20 3876 φ Bài tập rèn luyện Xếp ngẫu nhiên học sinh Nam học sinh Nữ thành hàng dọc Tính xác suất để học sinh Nam Nữ đứng xen kẽ Cho tập A gồm n phần tử phân biệt có phần tử x Gọi S tập hợp tập A Tính số phần tử S, lấy ngẫu nhiên phần tử từ S tính xác suất để phần tử có chứa x Có hai hộp đựng bút, hộp thứ đựng bút đen bút xanh; hộp thứ hai đựng bút đen bút xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên hai bút, tính xác suất để lấy hai cặp bút kh ác màu Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác , chọn ngẫu nhiên số từ A , tính xác suất để số chọn lớn 2015 Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác , chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp S Tính xác suất để số chọn ước 1995 Hai thí sinh A B tham gia buổi vấn đáp Mỗi thí sinh chọn câu hỏi 10 câu hỏi khác đựng 10 phong bì có hình thức giống nhau, phong bì câu hỏi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tính xác xuất để A chọn câu hỏi B chọn câu hỏi cho có câu giống Một trị chơi quay số trúng thưởng với mâm quay đĩa trịn chia thành 10 vng đánh số tương ứng từ đến 10 Người chơi tham gia cách quay liên tiếp mâm quay lần, mâm quay dừng quay kim I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger tương ứng với ô đánh số Người chơi trúng thưởng tổng số kim quay mâm quay dừng số chia hết cho Tính xác suất để người chơi trúng thưởng B CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH y x x xy x 10 Bài Giải hệ phương trình: 2 y y xy x y y x 10 y y Điều kiện xác định: x2 xy y y y x 5y Áp dụng bất đẳng thức a b a b , ta có: y y xy x y xy x y xy x y y x 10 y x y 1 Lại có: y y xy x y y x 10 y Bất đẳng thức cuối đúng, ta có: Đẳng thức xảy x y Thay x y vào phương trình thứ ta được: y y 11 y y y 13 y y 11y 14 y 2y y Vì y y y 13 y y y 13 y y y y2 2y y y 3 y y 13 y y y y 13 y 3 y y y 13 y y y y 13 y y2 2y Suy y y y y 13 y y y y 13 y y y y 13 y y với y 1, nên ta có: y2 2y y2 0 y 2y * y 2 y2 y y 3y 0 y3 y3 y 2y 0, nên ta có: y y 2 y Với y 2 , ta có x 2 Ta thấy cặp nghiệm thoả mãn điều kiện cho Vậy hệ cho có nghiệm x; y 2;1 2 x y 1 x y Bài Giải hệ phương trình: x y xy x y * I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger x 2, y Điều kiện xác định: x y Đặt a x 1, b y 2, ta có a, b 1 a b 1 a 1 b 1 a b 1 Khi hệ cho trở thành: a b a b 2ab Với a, b , ta có: a b 2ab 2 , suy ra: a b 3 a b a b a b a b 1 a b Áp dụng bất đẳng thức 1 bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có: m n mn 1 4 a 1 b 1 a 1 b 1 a b 2 Lại có: a b 2 , bất đẳng thức tương đương: a b 1 a b a b 2 a b Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh x 1 Đẳng thức xảy a b x y Thử lại thấy thoả mãn y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1; x y 1 2 y x2 Bài Giải hệ phương trình: 3x y 2 x y x Điều kiện xác định: x ; y 2, x y Nhận xét cặp x; y 0;0 không nghiệm hệ Với x, y , x, y ta có: Khi 3P x 1 3y x 3x y y 1 3x y y x2 Đặt a x 3x y y y x2 x y ;b ab 3 y x P I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Với ab 1, ta có bất đẳng thức sau: 1 2 a b ab Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: ab 1 a b 1 a 1 b 2 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ab a b Ta có: 3P 1 a Suy P Do 1 2 2 2 2 ab ab 1 a 1 b 1 b x 3x y y y2 x2 Đẳng thức xảy x y Suy x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x x x Nhận xét x nghiệm phương trình, xét x 2, ta có: 4x x2 x x x 1 x x 2x x 2 4x 1 x 1 2x x 2 x2 x 0 1 x x 2 0 4 x 2 x 4x x Vậy phương trình cho vơ nghiệm x y 1 x xy x x Bài Giải hệ phương trình: 2 x 3xy x y xy 11x Điều kiện xác định: x , y Nếu x 0, từ phương thứ hệ ta có y Thay vào phương trình thứ hai thấy khơng thoả Vậy x Khi hệ cho tương đương: x y 1 y 1 x y 1 x 3 3 x y y y 12 x y x x y 1 x y 12 x a x y Đặt với a , b 0, hệ cho trở thành: b 1 y x 2 a 1 b 1 11 b b 1 b b 4b ab3 a b2 12 a 12 b2 a 12 b I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger 2 x y y 2x Với a b 3, ta có: 1 y x x 2x x x Lại có: x x 2x x x x 3x x2 x 2x 2x2 3x 0 x3 2 x 3x x2 x 2x x 1 0 x3 2 x 2x2 x x Với x 1, ta có y Các nghiệm thoả điều kiện xác định Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1;1 x x xy y y xy y Bài Giải hệ phương trình: 2 2 y y x x Điều kiện xác định: 1 x Khi ta có: x x xy y y xy y x xy x xy y y x y x y 1 x y 1 Vì 1 x nên x y Do ta có: 1 x y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x2 2x x x 2x 2x 3 x 2x 2x 2x x x2 x2 x Bất đẳng thức cuối nên ta có: Lại có: x2 x x x x x x x x x x Với x 1; 1 , ta có: x 2 x2 2x x x2 x x 1 x x x 1 x x x x x 2x 2 x 2x với x 1;1 Từ ta suy ra: I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger b) Nếu x , xét hàm số f ( x) x f ( x) 4 x 35 x 24 ; , ta có: 5 1 x 35 x 24 x với x x 24 x 35 4 Do hàm số cho đồng biến ; Lại có f ( x) f 1 11 x 5 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S 1; Bài 20 Giải bất phương trình: x x x x x x2 2 Điều kiện xác định x Khi bất phương trình tương đương: x 3x 3x 3x x x x x 1 3x Xét hàm số f (t ) t t t 0; , ta có: f (t ) t Do f (t ) đồng biến 0; Ta có: f ( x) f φ Bài tập rèn luyện Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: x3 3x x 16 x 2 x x x x x x2 x2 x x x 2 x x 3x x2 3x x x x x x x x x x x 1 x x 15x x x 3x x 10 x 11 2 x x1 x x x x2 3x x x x 3x 2 2 t2 t2 với t x 3x x x 1 x x 3x So với điều kiện xác định tập nghiệm bất phương trình là: S 1; x2 I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger 12 5x 3x x x 2 13 x x2 x 18 x x x3 10 x 81 14 16 x x x 15 x x x4 x2 x y x2 y2 x3 y3 2 2 16 xy 8x x x y x2 y2 x y xy x2 17 y x 3y x x xy y xy 18 1 x x1 y 1 y x x y x 1 x x y 19 1 x y y 6x 16x 3y x x 10y 3xy 12 20 3 5y x 6y xy x y 1 y x x1 y 21 x 1 8y x 1 y 4x 12x 9x y 2y 22 2 2x 5x 2y 3y 16 y x y3 23 xy xy C BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT Bài Cho a , b , c số thực thoả mãn b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b c a 2b c 18 a2 b c a b2 c I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Đặt x a 1, y b 1, z c với y , z Khi biểu thức trở thành: x2 y z2 P Vì 18 2 x 1 y z 1 2 x 1 y 1 z 1 4 , nên ta có: a b ab a b 2 x 1 y z 1 2 x 1 y 1 z 2 x2 y z 2x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có: 2x y z 2x y z Suy : P x2 y2 z2 18 2 12 12 x 2 y z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y z2 t 18 2 với t x y z t t6 Lại có: t 18 t2 t 6 t t 4 18 t 1 2 18 18 18 t 6t 36 t 6t 36 t 6t 36 Nếu t 18 ta có điều phải chứng minh, xét t 18, ta có: 18 t 1552 18 t t 6t 36 t t 18t 108 48 t 6t 36 18 Đẳng thức xảy x 2, y z 1 a 3, b c Bất đẳng thức cuối t 18 Do ta có: P Vậy giá trị nhỏ P Cho số thực dương x, y , z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z x y4 z4 Với x , y , z ta chứng minh: x y z 24 x y z Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự ta suy ra: x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: x x , suy x x x Bây ta chứng minh: 4 2 2 I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger x y2 z2 x y z x y z x y y z z x x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y y z z x xy yz zx x y z Dễ thấy x2 y z xy yz zx Bây ta chứng minh: x y y z z x xy yz zx x y z Đặt a xy , b yz , c zx với a , b , c Ta chứng minh: a b2 c a b c abc Khống tính tổng quát giả sử a b c Nếu c 1, ta có: abc abc Khi ta có: a b2 c a b c abc a b c 14 a b c 8 Do ta có điều phải chứng minh Nếu c 1, ta có: a b c a b c abc a b a b 2 2 a b c 2c 5c 2 a b 4abc a b a b c a b c a b c a b 2 Bây ta chứng minh: a b a b a b c 2c 5c 1 Xem (1) tam thức bậc hai theo a b có biệt thức c 1 2c Nên bất đẳng thức cho x y z Vậy ta có: x y z 24 x y z x y4 z4 24 Suy P 24 Đẳng thức xảy x y z Vậy giá trị lớn P 24 x 3y Bài Cho hai số thực x , y thoả mãn x y x y 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 3 12 x x y x y x y Với a , b 0, ta có: a b a b3 Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a b 3a 2ab 3b Đẳng thức xảy a b Áp dụng bất đẳng thức ta có: x y x y x 3y x y 216 Suy ra: x y Lại có: 12 x x y y Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger x y 3x xy y x y 3 Từ suy P x y x y Áp dụng bất đẳng thức a b a b x y , ta có: P x y 75 t3 Đặt t x y , khảo sát hàm số f (t ) 4t 3; , ta có: P f (t ) f (3) 4 75 Đẳng thức xảy x y Vậy giá trị nhỏ P Bài Cho số thực dương x , y , z thoả mãn x2 y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 xy z x y2 z2 3z 1 z z2 Đặt a 2xy với a 0, ta có: 1 xy z P 1 z x Xét hàm số f ( a) 1 a z 1 z y2 a2 z2 4x2 y2 3z 1 z 3z 1 z f ( a) 1 a z 1 z a2 z2 3z 1 z 0; , ta có: z2 z z2 z2 z2 a a z2 ; f ( a) a z Từ lập bảng biến thiên ta có: P f ( a) f z Khảo sát hàm số g( z) 1 z2 3z 1 z Đẳng thức xảy x Vậy giá trị lớn P 1 z2 3z z2 z2 g( z) 16 0; , ta có: P g z2 125 5 , y4 ,z 64 64 16 Bài Cho x , y , z độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn x y z Chứng minh rằng: 1 1 1 5 2 x y yz zx x y z Cách 1: Dùng phương pháp hệ số bất định (tiếp tuyến) Vì x, y , z độ dài ba cạnh tam giác nên x y z z z z z2 I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Đánh giá hai bất đẳng thức ta có: x , y , z Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 2 2 x x3 y y3 z z3 3 13t 11 Với t 0; , ta có: Thật vậy, ta có: t t3 4 2 t 1 13t 24 13t 11 0 t t3 4 4t t Bất đẳng thức cuối đó, ta có: 13t 11 t t3 4 Thay t x , y , z cộng ba bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh Cách Dùng tính chất đồ thị tam thức bậc hai Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: x y z x y z z x z x x y xy yz zx 10 xyz x y y z z x x y y z z x xy yz zx 10 xyz x y z xy yz zx xy yz zx xyz xy yz zx xyz 10 Đặt a xy yz zx , b xyz , ta có a 3,0 b Chú ý a b 3a b Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: a9 2a 12 a 5ab 3b 90b 3a b 10 5b Xét tam thức bậc hai f ( a) 12a 5ab 3b2 90b dựa vao đồ thị ta thấy rằng: f ( a) max f (0); f (3) Ta có: f (0) 3b2 90b f (3) Do ta có điều phải chứng minh Cách Dùng dồn biến Bất đẳng thức cần chứng minh đương với: 1 10 x 10 y 10 z x y z 21 x y z yz zx yx 1 10 x 10 y 10 z Giả sử x y z Đặt f ( x , y , z) x y z x y z yz zx yx I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger yz yz 10 Ta có: f ( x , y , z) f x , , x y z y z 2 yz y z x y y z x y z Lại có: x y y z x y z y z y z y z 32 yz y z 10 yz y z x x x x 1 f x; ; 2 x x x yz yz Do ta có: f ( x , y , z) f x; ; 2 Bất đẳng thức cuối Vậy ta có điều phải chứng minh Bài Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a b c Chứng minh ab bc ca a b3 c3 a 3b3 b3c3 c 3a 36 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 36 ab bc ca a3b3 b3c3 c3a3 a3 b3 c3 a 3b3 b3c3 c3 a 3a 2b c ab bc ca a 2b b c c a 3abc ab bc ca ab bc ca 9abc Và 3 ab bc ca 9abc ab bc ca a 3b3 b 3c3 c 3a ab bc ca ab bc ca abc 3a 2b 2c a3 b3 c3 3abc a b c a b2 c ab bc ca 27 ab bc ca Suy a b c 27 ab bc ca 3abc Đặt x ab bc ca, y abc, ta có: x 3, y Và ý y 1, x Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 36 x x3 xy y 27 x y x3 xy y 3x y 12 x Vì x3 xy y x3 xy y y 0;1 Khi ta có: x xy y 3x y 12 x x3 xy y 3x y 12 x f ( y ) Khai triển f ( y ) ta hàm bậc hai theo y hệ số y nên để chứng minh f ( y ) ta cần chứng minh f (0) f 1 không dương Thật f x3 3x 12 x 3 x x x 1 Đúng Lại có: f (1) x3 x 10 3x 12 x 3x 10 x3 27 x 111x 30 33 Đúng Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a 1, b 2, c hoán vị Bài Cho số thực dương a , b , c thoả mãn a2 bc b2 c Tìm giá trị lớn biểu thức: P b c 3a 2 a c a b b c 6 Ta có biến đổi sau: b c b2 bc c a b c b3 c a b c a2 b c b c 2 2 a c a2 b2 a c a b2 a2 b2 a c a b a2 c Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có: a b c a ac ba a b c Suy ra: I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger b c 2 bc a c a b 2 2 Lại có: b c bc a b c 3bc a b c bc a 2 a a b c b c a 3 Khi ta có: P bc b c b c b c bc Đặt t 3t với t ta có: P 2t f (t ) b c 3t 3t 3t (t ) 9t Lại có: f (t ) t Dựa Xét hàm số f (t ) 2t 0; , ta có: f 8 16 vào bảng biến thiên ta có: P f (t ) f Đẳng thức xảy a b c 3 Vậy giá trị lớn P 16 Bài Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Ta có: x y z2 x yz y zx z xy x x x x x yz x y x y 1 y xy x y x y y 1 2 y y z x y 1 x y 1 Ngoài ra: Tương tự ta có: y zx x y y 1 z xy x y xy x 1 y 1 Từ ta có: x y 1 x y x y x y 1 P x y y 1 x y x 1 x 1 y 1 x y x 1 y 1 x 1 y 1 x y 2 Với x, y ta có: x y x y x 1 y 1 x y Do P 2 x y 4 x y x y x y 2 x y 1 Đặt t x y 1, ta có: t P Xét hàm số f (t ) x y 2 2 x y 1 x y2 x y 2 4t f (t ) t t 1 t 3 4t 1; , ta có: f (t ) ; f (t ) t 3 t t 1 t 1 Từ dựa vào bảng biến thiên ta có: P f (t ) f (3) Đẳng thức xảy x y 1, z 13 I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Vậy giá trị nhỏ P 13 Bài Cho hai số thực x, y khác Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: x A 3x y Với x, y , x, y ta có: A Khi 3P x 1 3y x 3x y y 1 3x Với ab 1, ta có bất đẳng thức sau: Đặt a y y2 x2 y y x2 x 3x2 y y y x2 P x y ;b ab 3 y x 1 2 a b ab Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: ab 1 a b 1 a 1 b 2 Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ab a b Ta có: 3P 1 a2 1 2 2 2 2 ab ab 1 a 1 b b2 Suy P Suy 1 A Vậy giá trị nhỏ A 1 đạt x y Giá trị lớn A đạt x y Bài 10 Cho hai số thực dương x, y thoả mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 x xy y2 y xy Trước hết ta có biển đổi sau: x xy 2x y 1 x 2 x2 y x y y y xy y y y xy y x y y Đặt t x 1 , ta có: t y 3t Khi P t 3t f (t ) y y t Xét hàm số f (t ) t 3t 0; , ta có: t 1 2t 3t t 1 2t 1 f (t ) 2t ; f (t ) t 2 t t t 13 1 Từ lập bảng biến thiên ta có: P f (t ) f 2 I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Đẳng thức xảy x ; y Vậy giá trị nhỏ P 13 Bài 11 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P Trước hết ta có: P a b a c a b a c 8bc bc b c 8bc 4bc 2 bc b c a ab ac bc b c Đặt x ab, y bc, z ca Khi abc a b c trở thành xy yz zx Và P Đặt t xz x y z y 4y y 4 y xy yz zx y 4y y 4 y 4y y 4 y 4 y y 1 Suy ra: t 0; , áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: y 4 y 4 2 1 Xét hàm số f (t ) t 4t liên tục 0; , ta có: f (t ) 8t ; f (t ) t 2 1 Từ lập bảng biến thiên, ta có: P f (t ) f 2 Đẳng thức xảy a 2, b c Vậy giá trị nhỏ P Bài 12 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn ab bc ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a a 3 b7 b 3 c c 3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: a7 a7 a a 7a Suy ra: a 3 a Hay a a a 3 Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta lại có: 4 a a 2a a 1 Do đó: a a a 1 Đánh giá hai bất đẳng thức tương tự nhân vế theo vế ta có: P 27 a 1 b2 1 c 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta lại có: I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger a Từ suy ra: P 11 b a b, b 11 c b c, c 11 a c a 27 a b b c c a Lại có: a b b c c a 8 a b c ab bc ca a b c ab bc ca 3 Do P 27 Đẳng thức xảy a b c Vậy giá trị nhỏ P 27 Bài 12 Cho số thực a, b 0;1 thoả a b a b b a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 a 1 b 9 1 a 1 b Ta có: a b2 a b2 b a2 a a b2 b b a2 a a b 1 a b2 b a b 1 b a2 0 a b a b 1 b a2 a 1 b a b 0 Do tồn x 0; cho a cos x, b sin x Khi đó: 4 P 1 a a 1 cos x sin x 8sin x cos x sin x 9 9 1 a 1 a cos x sin x cos x cos x sin x cos x cos x sin x 1 tan x 4 Lại có: tan x tan x cos x sin x sin x tan x 4 4 Từ suy ra: P tan x 18 18 Đặt t tan x với t 0, ta có: P 8t tan x t 1 8t 16t 8t 18 18 Xét hàm số f (t ) 8t 0; , ta có: f (t ) 16t 2 t 1 t 1 t 1 1 f (t ) t Từ ta có: f (t ) f 2 Đẳng thức xảy tan x a ,b 5 Vậy giá trị nhỏ P I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Bài 14 Cho x, y , z 1 x y z z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y 2z z 1 Đặt a x 1, b y 1, c z ta có: a , b, c a b c Khi P a b2 2c2 c (a b)2 2ab 2c2 c (a b)2 2c2 c c 9c 25 Xét hàm số f (c) c2 9c 25 liên tục [0;5] Ta có f (c ) 2c với c (0;5) Suy f (c ) nghịch biến [0;5] Do max P max f (c) f (0) 25 [0;5] Đẳng thức xảy a 0, b 5, c a 5, b 0, c Hay x 1, y 24, z 1 x 24, y 1, z 1 Vậy giá trị lớn P 25 Bài 15 Cho x , y , z số thực dương thoả mãn x y xy xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: P yz xz z z3 x y z y x z x y Từ giả thiết ta có: x y xy z 1 0, suy z Áp dụng bất đẳng thức a b 4ab , ta có: x y xy z 1 z 1 x y x y z 1 Do ta có: z x y Mặt khác ta lại có: z z z 1 z 2 z z Mặt khác từ giả thiết ta có: z 1 xy x y z 1 xy yz xy xz , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: xy y x z y x z 2 y x z x y z yz xy xz 1 xy x y z y x z x y xy x z y z 2 y x z x y z x y x z y z z x y Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy x y 5 7 Từ ta có: P z 1 z z 2 z z 2 z Đẳng thức xảy x y 2, z 4 8 Vậy giá trị nhỏ P Bài 16 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b 2c I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger P a b c bc ca a2 b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có: x2 y xy x y x2 y2 ( x y)2 x y xy y x xy x xy y xy x y xy x y xy x y Áp dụng bất đẳng thức m n ( m n) , ta lại có: x y x y xy x2 y2 xy xy Từ suy P xy xy x2 y2 1 x2 y2 1 t4 với t xy t2 1 Vì x y x y xy xy Do t Xét hàm số f (t ) t4 1 t liên tục [4; ) Ta có f (t ) 3 6 2 t2 t t 1 1 1 2 2 Ta có: t2 3t 2 t2 t2 1 3t 1 9t t 6t 60t t t 6t 60 2 2 Bất đẳng thức với t 4, suy f (t ) với t Do f (t ) đồng biến [4; ) Từ ta có: P f (t ) f (4) Đẳng thức xảy x y a b 2c Vậy giá trị nhỏ P đạt a b 2c φ Bài tập rèn luyện Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 yz x3 y2 zx y z2 xy z Cho hai số thực dương x, y thoả mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 y 2x y P xy Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a 2b c a b c ab bc ca Tìm giá trị lớn biểu thức: P ac2 a b 1 a b c a b a c a 2b c I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger Cho hai số thực dương a , b thoả mãn a b a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 2b a b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn a b c a b c b c a 2 abc a b c Chứng minh rằng: 3 Cho số thực không âm x, y , z thoả xy x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: 2 x y z xy x y P 3 2 z 1 x y x 2 y 2 Cho số thực khơng âm a, b, c đơi phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b c ab bc ca bc ca ab abc Cho ba số thực a,b,c đôi phân biệt thỏa mãn a b c ab bc ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2 a b b c c a ab bc ca Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x3 y3 x yz y xz z xy 10 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a b c a b c Chứng minh rằng: a b b c c a ab bc ca 11 Chứng ming với tam giác ta ln có: A B C A B C sin sin sin cot cot cot 2 2 2 12 Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 yz x3 y2 zx y z2 xy z 13 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a b c 14 Tìm giá trị lớn biểu thức: P 4(a c) 4a 2 a 3c 28 a bc (a b) a (b c) 14 Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 27 32a b c 2a 2b c 13 2 I believe whatever doesn’t kill you, simply makes you…stranger ... B có C15 C10 13 650 cách Vậy số cách chọn 13 học sinh từ hai lớp A, B cho lớp A có nhiều học sinh là: 5200300 455 13 650 518 619 5 Vậy số cách chọn thoả mãn toán 518 619 50 Bài 12 Từ 16 chữ... C10 C10 14 400 Để A B chọn giống cách chọn câu hỏi A cách chọn câu hỏi B , số cách chọn giống là: C10 12 0 Vậy xác xuất cần tìm là: P 12 0 14 400 12 0 Bài 14 Trong thi “Rung chuông vàng”... tổng số kim quay mâm quay dừng số chia hết cho Tính xác suất để người chơi trúng thưởng B CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH y x x xy x 10 Bài Giải