Điểm bất động và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI ĐINH THỊ NGOAN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Lê Đình Định HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Định, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Đinh Thị Ngoan Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Lê Đình Định luận văn: Điểm bất động ứng dụng công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Đinh Thị Ngoan Mục lục Mở đầu, 17 Sự tồn nghiệm phương trình sai phân 17 Nghiệm đơn điệu phương trình sai phân 19 2.2 Tính bị chặn nghiệm 22 Nghiệm đơn điệu không bị chặn 26 2.3 Sự ổn định địa phương 31 37 Chương ứng dụng 37 3.1 Giải phương trình sai phân Dáng điệu toàn cục phương trình •En+1 42 51 52 Mở đầu Lí chọn đề tài Bài toán nghiên cứu tồn tại, tính điểm bất động ánh xạ vấn đề thời thu hút quan tâm nhà toán học giới đạt nhiều kết quan trọng Với không gian X / : X — > X ánh xạ Điểm X G X thỏa mãn £o = f { x o) gọi điểm bất động ánh xạ / vấn đề đặt với điều kiện không gian X ánh xạ / / có điểm bất động điểm bất động Các định lý điểm bất động xuất từ đầu kỷ XX Công trình Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Nguyên lý ánh xạ CO Banach định lý điểm bất động đơn giản sử dụng rộng rãi sau, kết kinh điển mở rộng nhiều lớp ánh xạ không gian khác ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học Một ứng dụng xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu, tính bị chặn phương trình sai phân phi tuyến đề cập luận văn Nội dung luận văn tham khảo chủ yếu tài liệu [4, 6J Luận văn cấu trúc thành 03 chương: Chương dành để trình bày số kiến thức phương trình sai phân, tập hợp thứ tự, định lí điểm bất động dùng để nghiên cứu chương sau Chương luận văn trình bày tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân Chương luận văn trình bày áp dụng định lí điểm bất động ứng dụng điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: _ ^ _ _ Pxn X n + = g { x n ) f { x n - 1) X n + = — X + n-1 Mục đích nghiên cứu • Giúp hiểu định lý điểm bất động Amman không gian thứ tự • Áp dụng định lý để xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân Nhiệm vụ nghiên cứu Áp dụng định lý điểm bất động Amman để xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Điểm bất động ứng dụng điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: _ ^ _ _ Pxn X n + = g { x n ) f { x n - 1) X n + = — X + n-1 Phương pháp nghiên cứu • Các phương pháp giải tích hàm • Các phương pháp phương trình sai phân Những đóng góp đề tài Luận văn trình bày áp dụng định lý điểm bất động Amman ứng dụng định lý vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: xn+1 = g ( x n ) f ( x n _ i) xn+1 = 1+Xn-1 Ị3x^ ™— Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tính ổn định phương trình sai phân Mục trình bày khái niệm tính ổn định phương trình sai phân tổng quát Định nghĩa 1.1 Phương trình sai phân cấp k + phương trình có dạng xn+1 = f ( x n , x n - U , x n - k ) , n = , , (1.1) f ỉà hàm liên tục ánh xạ tập J k + l vào J Tập hợp J khoảng hay đoạn K, hợp khoảng J c z Định nghĩa 1.2 Một nghiệm phương trình ( L I ) dãy {£n}“=_fc mà thỏa mãn (1.1) với n > Nếu phương trình (1.1) có điều kiện ban đầu Xị = f(x0,1-1, , X - k ) x2 = ỉix^Xo, ,X-k ) + nghiệm {xn}™=_k ( L l ) tồn với n > —k xác định nhờ điều kiện ban đầu Một nghiệm phương trình ( L l ) số với n > —k gọi nghiệm phương trình ( L l ) Nghĩa là, xn = X V n > — k nghiệm phương trình (1.1), X gọi điểm phương trình ( ) Định nghĩa 1.3 (Tính ổn định) Ta nói điểm X phương trình ( L I ) i) Ôn định địa phương với e > , tồn ỏ > cho { x n } ^ = _ k nghiệm phương trình ( L l ) mà \ x _ k — x \ + \ x i - k — x \ + • • • + l^o — x \ < ỏ \ x n — x \ < e, Vn > — k ? Ồn định tiệm cận địa phương X ỗn định địa phương tồn > cho nghiệm phương trình ( ) mà \ x - k — x \ + \ x i - k — x \ + ■ ■ ■ + |a:o — x \ cho với nghiệm { x n } ™ = _ k phương trình (ỊL1) mà < |z_fc — x\ + \xi_fc — x\ + ■ ■ ■ + |z0 — x\ < r tồn N > cho |ZJV — x\> r Rõ ràng từ định nghĩa ta thấy điểm gốc điểm không ổn định phương trình ( ) Giả sử / hàm khả vi liên tục lân cận mở điểm X Đặt Pi = ^ - { x , X , , x ) với ỉ = , , , k Ởìiị đạo hàm riêng f ( u , U ị , , U k ) theo biến U i điểm cân X phương trình ( ) Khi phương trình Vn+ = PoZn + PiZn-i H - -1 - PkZn-k, n = , , (1.2) Xét phương trình X = G(x) = ạxk (3.4) + xk hay XI ạx k ' + xk = Do đó, hiển nhiên £o nghiệm phương trình (3.4) Các nghiệm không âm khác, có nghiệm phương trình gi(x) = x k — fỉx k +(3.5) = Trường hợp 1: Khi k = ta có, gi(x) = X + (1 - /3) Nếu /3 < 1, g\{x) > với X > phương trình có điểm cân XQ Nếu /3 > 1, tồn điểm cân dương, Xi = Ị3 — Trường hợp : Khi k Ỷ 1- Thì ta có g[{x) = x k ~ (kx - Ị5{k - 1)) Nếu < k < ta có g[(x) > với X > 5li(0+) = —oo, ) = oo, ta có tồn điểm cân dương Xị Nếu k > 1, dễ dàng thấy hàm gi(x) có giá trị tuyệt đối cực tiểu P{k- 1) xk c = - Vì 01 (0) = l,ỡi(oo) = 00, gỵ{xc) = - k- /3k(k — hàm g\{x) có hai không điểm dương gi(x c ) < 0, có không điểm dương gi(x c ) = 0, không điểm dương gi(x c ) > Do đó, k > 1, mệnh đề sau đúng: (a) Xét trường hợp phương trình (3H) có điểm cân X Q k — phương trình (3rì) điểm cân (i) Nếu /3 < k - i yx- k không khả vi X = ta áp dụng +) Với < k < 1, {hàm dương; kết tính ổn định phương trình tuyến tính hóa k (ii) Nếu /3 = phương có +) Với k = phương trình tuyến tínhtrình hóa (3H) điểm cânđiểm bằngcân (fc- 1) * X Q = dương X ị = P { k - 1) V n + Ì -kpy n + 0y n -l = 0, = , , với phương trình trưng-k—-¡—¡r phương trình (3.1) có hai điểm cân (iii) Nếu /3 >đặc -(k — 1) k , lx _ _ , _ P{k-1) P{X) = X - ạx = _ dương la X \ va x cho X i < < x Hiển nhiên, ta có \ị = vầ \ = /3 Xo = ổn định tiệm cận địa phương với Ị3 < +) Với k > phương trình đặc trưng trở thành: P{ X) = A2 = nghiệm phương trình đặc trưng Ai = A2 = Vì thế, với k > 1,^0 ổn định tiệm cận địa phương (b) Xét trường hợp phương trình (ỊT1) có X điểm cân dương Khi đó, phương trình tuyến tính hóa X , kx (3.6) V n + - ky n + —y n -\ =0, n = 0,1, với phương trình đặc trưng “—TT) G ' { x l ) = H \ x ì ) k k {k- 1) (3.7) P{A)Ị 3= A - k\-^~ — = X G { x ) H{x) Từ Bảng|3.l|khi < k < 2, phương trình đặc trưngk có nghiệm Ai = < A 1+x ’ + xk ( 3có— < Với k= nghiệm = A2 =H 'và với k > ta Ai = A2 > (3.8) G ' { xlà) Ai = —^-r, { x ) = k + xrằng ’ /3(1 + x k) +) Xét điểm X ị , ta se chứng1 tỏ Hơn nữa, Trước tiên, xét trường hợp điểm cân dương X\ Khi Sitrình -JZT tương đương với bất đẳng , K— i thức thứ hai (T9) Để chứng minh bất đẳng thức thứ (3.9) cần chứng tỏ Khi xk G (xi) - k _ k - ữ _ k - i > 1, + xị pxỊ ta thấy X\ điểm yên ngựa nghiệm tương ứng Điều tương đương với (3.12) k = Ị3 > < k < l v ( > phương trình gi(x) = có nghiệm đoạn ĩ P { k - 1) /3n P { k - Ỉ ) ^ p * X u? ố ^7-^-0 \ĩ> Chứng minh chứng (a) ta sẽ1sử , — Với Hiên nhiên,minh -phần < — nêu va (b), nêu < kdụng < V! k k k k Định lí Ả Bổ đề Ả Định lí 2JỊ Với số L > ta có g ( x ) = / x k f ( x ) < — với X > B{k — 1) \ B(k — 1) điều kiện (243) (2/7) thỏa mãn Trong trường hợn này, -J < hàm gi(x) = tăng X > , ta có p = q = k Hơn nữa, g không bị chặn, nên theo Định lí Á H'(x2) > tương đương với < k < Vì nghiệm phương trình (3.1) bị chặn số dương ( k < 4k , điều tương đương với (3.10) (fc- l)P h k k = 11 < k < k Do H'(x2) > chỉĨ H -+ỵ1 Hiển nhiên giả thiết (H1)-(H3) thỏa mãn Do Khi X2 điểm hút hai nghiệm phương trình đặc trưng thỏa mãn | định với giá trị khác ¡ k (xem trang 50) Ai|, |A2| < Trường hợp lại H'(x2) < 0, điều / < X với X > L = max{l, G(x) 3.2 Dáng điệu toàn cục + phương trình Trong mục ta trình bày dáng điệu toàn cục phương trình (3.1) k (3 k > l < f c < v / > *£71+1 { k -điều l ý sau tương đương: Định lý 3.1 Giả1 +sửxk(Ị3.2Ị) Khi với X điểm cân bằng71không âm lớn phương trình (3.1) Theo Bổ đề 2.4 điều kiện (H4) thỏa man Theo Định lí 2.6 ta thu (a) (b) (c) Từ tính ổn định địa phương, ta suy điểm cân £o = điểm hút với k > với k = l v ầ O < ( < Rõ ràng, trường hợp phương trình (TI) không ổn định Nếu điều kiện (3.12) áp dụng định lí 1Ả ta thu (c) Định lý 3.2 G i ả s r ằ n g (Ị3.2Ị) đ ú n g K h i đ ó c c p h t b i ể u s a u ỉ (a) Điểm, X o = ỉà điểm hút toàn cục nghiệm c ủ a p h n g t r ì n h (3.1) n ế u v c h ỉ k = l < / < l l < k < : v k (3.13) (fc- 1) * (b) Tồn điểm dương X \ (3.1) m ỉ đ i ể m h ú t t o n c ụ c m ọ i n g h i ệ m d n g n ế u v < k < l (3.14) v / > k = Chứng minh, (a) Điều kiện (3.13) điều kiện cần Thật vậy, từ bảng 3.1 ta thấy rằng, (3.13) không thỏa man, tồn điểm cân dương tương ứng với nghiệm số mà không bị hút điểm x = Bây giờ, ta se chứng tỏ (3.13) điều kiện đủ cho tính hút toàn cục Hiển nhiên, từ bảng 3T ta suy X o = điểm cân phương trình (3.1) Hơn nưa, từ Định lí 3.1, nghiệm bị chặn số dương tồn số nguyên N cho X N < xN-\ (3.15) Trái lại, với n = , , n Xn > X {&„} bị chặn, nên tồn giới hạn dương dãy {&„} điều vô lí _ Bx k ~^ Từ phương trình (3T) (3.15) —- < với X > nên + xk (b) Bây giờ, ta xét nghiệm ,dương phương trình (3.1), tức + xi, " ~ "Tl1 X+ N x í J — < % N X N nghiệm với điều kiện ban đầu x 'N-1 ‘*'JV —1 Bằng cách quy nạp theo n ta thu tăng, dãy không £0 > và{&„} X - I là> không âm, Từ nênbảng dãy tụ vềrằng Ẽo =với k > với k = /3 < 1, £0 = ổn (3T)hội ta thấy định tiệm cận địa phương, từ không tồn điểm hút toàn cục Điều chứng tỏ điều kiện (3.14) điều kiện cần Bây giờ, giả sử (3.14) đúng, ta thấy từ giả thiết Định lí 1J) thỏa man Cụ thể hàm F(u, V) = Ị5u k ~ l + vk liên tục (0, 00) X (0, 00) Do đó, F không tăng theo u giảm theo V, hàm uF(u,u) tăng theo u Khi đó, điểm cân dương X ị hút toàn cục nghiệm dương phương trình (3.1) □ Ta có kết sau: Hệ 3.1 Giả sử điều kiện (Ị3.2Ị) Khi phát biểu sau đúng: (a) Nếu (3.13) Xo ỉà ổn định tiệm cận toàn cục; (b) Nếu (3.14) điểm dương Xi ổn định tiệm, cận toàn cục Bây ta xét trường hợp phương trình fl3.ip có hai (¿0 ãh) ba ( X Q , X I x 2) điểm cân Trước tiên, ta giới thiệu tập hợp sau: s = tập tất nghiệm phương trình (3.1); S o = tập tất nghiệm không tầm thường giảm thực phương trình (]3■ lị) mà hội tụ tới £0; S ị = tập tất nghiệm không tầm thường tăng thực phương trình (]3■ lị) mà hội tụ tới X \ \ S ỵ = tập tất nghiệm không tầm thường giảm thực phương trình (3T) mà hội tụ tới X \ ] S o a = tập tất nghiệm không tầm thường không bị chặn giảm phương trình (3.1) Định lý 3.3 Giả sử (3.2) k (3.16) k > ¡3 = {k-iy-T^ cho {x n} c s Khi phát biểu sau đúng: (a) Phương trình (3.1) có hai điểm Xo = X\ = kk- 1) (b) Nếu < k < 2, Do S o , S7 Ỷ 0, Soo = 0, So u S7 c (3.17) Hơn nữa, điều kiện ban đầu X - X o chọn cho < z < X - , X < X ị , {&„} c SQ (c) Nếu < k < 4, (3.18) So, Sĩ Ỷ % , sĩ.s«, = 0, SoUST c s- (d) Nếu k > 4, So, sr, Soo Ỷ 0, ^1+ = 0, 5o u S7 u Soo = (3.19) Chứng minh Theo phần (a) bảng 3T, ta có Hơn nữa, /0 Ỷ IQ = từ Định lí 2.2 suy tồn nghiệm P G ( x < X với X > đơn điệu tăng phương trình 1(3T) k hội tụ X ị Từ Định lí Z3 + mà cấc điều kiện biên X- £o chọn cho < £o < X-1 ,X0 < Xi, nghiệm {&„} giảm lim x n = XoTừ Định lí 3T, k > 4, tồn nghiệm đơn điệu tăng không bị chặn < k < không tồn nghiệm Chứng minh phần (b) hoàn thành Để chứng minh phần (c) (d) ta cần chứng tỏ k > 2, nghiệm mà không đơn điệu tăng đơn điệu giảm thực hội tụ Giả sử {xn} dãy nghiệm không tăng, tồn số nguyên N cho x N o < £JV0-1' + N < X < N0-1 x l+ i Trong bất đẳng thức làNngặt Trái lại, ZjVo + l XNO-1 = x N o = £JV0+I = ^1 nghiệm {&„} tầm thường, điều mâu thuẫn Tiếp theo, quy nạp ta kết luận x n + < x n với n> NQ Vì x n > nên {&„} hội tụ Ta chứng tỏ lim x n = nToo Trái lại, tồn x' > cho lim x n = x' n—> 00 Xét dãy {yn} xác định xn _n V n = —n = 0,1, xn — Hiển nhiên, l i m yn = n —> 00 y n < v i n > NQ + (3.20 Hơn nưa, x n Ị5xkn x n - i xn pxkn_ị xn l i f e ^ life— Un+1 ■ x n — 1 T X n _ ỵ xn—l T X n _ ỵ xn—l Điều mâu thuẫn với (3.20) chứng minh hoàn thành □ x n X — Un-l Nhận xét 3.1 N ế u (3.16) đ ú n g , Đ ị n h l í Ĩ L c h o t a m ộ t đ ặ c t r n g đ ủ c ủ a m ọ i n g h i ệ m d n g c ủ a p h n g t r ì n h (3.1) t r ứ k h i < Định lý 3.4 G i ả s r ằ n g { / ) v k > l (3 = k {k- 1)V Khi đó, phát biểu sau ỉà ( a ) P h n g t r ì n h (3.1) c ó h a i đ i ể m c ă n b ằ n g ỉ X o = v < Xi < Ỵ { kk - 1) < ( b ) N ế u < k < 4, t h ì So, Sf, S+ Ỷ 0, Soo = 0, So u u S7 + Si c (3.21) Hơn nữa, điều kiện ban đầu X - Xo chọn s a o c h o < a:0 < X - \ , X Q < X \ , t h ì {a:n} c S o So, SỊ, Soo ^ 0, So u Sf u SỊ u Soo c s Hơn nữa, điều kiện ban đầu X -1 X o chọn s a o c h o < X o < X - i , X o < X ị , t h ì {x n } c So 0