CÔNG THỨC XÁC SUẤT CƠ BẢN Công thức tính xác suất Công thức tính xác suất theo Định nghĩa cổ điển: ỚC LƯỢNG THAM SỐ Ước lượng không chệch của tham số ...................................................
Chương MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUAN TRỌNG 1.0.1 Phân phối Bernoulli Định nghĩa 1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối Bernoulli với tham số p (0 < p < 1) X có hàm mật độ xác suất p(x; p) = px (1 − p)1−x x ∈ {0, 1} x ∈ {0, 1} Kí hiệu: X ∼ Ber(p) Ví dụ 1.2 Chọn ngẫu nhiên sinh viên Đặt X= sinh viên hút thuốc sinh viên không hút thuốc Nếu có 20% sinh viên hút thuốc hàm mật độ xác suất X 0.8 if x = p(x) = 0.2 if x = if x ∈ {0; 1} Nếu X ∼ Ber(p) E(X) = p V ar(X) = p(1 − p) 1.0.2 Phân phối nhị thức Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối nhị thức với tham số n p (n ∈ N \ {0}, < p < 1) X có hàm mật độ xác suất p(x; n, p) = Cnx pk (1 − p)n−x x ∈ {0, 1, 2, , n} trái lại Kí hiệu: X ∼ Bin(n, p) Giáo trình xác suất thống kê Ví dụ 1.3 Trong quần thể heo tính mẫn cảm bệnh xác định locus gene gồm hai alen: B b Heo có kiểu gen bb có bệnh, Bb BB không bệnh Tần số alen B = b = 0.5 Nếu heo đực heo nái có kiểu gen Bb giao phối với sinh lứa 10 heo Hãy tính: a) Số heo có khả mang bệnh b) Xác xuất để heo bệnh c) Xác suất để có heo bị bệnh d) Xác suất để có nửa đàn heo bị bệnh (i) Nếu X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Ber(p), S = X1 + X2 + + Xn ∼ Bin(n, p) (ii) Cho X ∼ Bin(n, p), E(X) = np V ar(X) = np(1 − p) Ví dụ 1.4 Giả sử siêu thị có đến 75% khách hàng toán thẻ tín dụng Chọn ngẫu nhiên 10 khách hàng siêu thị đó, gọi X số khách hàng toán thẻ tín dụng, X ∼ Bin(10; 0.75) Do ta có E(X) = np = 7.5, V ar(X) = np(1 − p) = 1.875 Ví dụ 1.5 Một sinh viên cần hoàn thành kiểm tra gồm câu hỏi trắc nghiệm Xác suất trả lời câu hỏi sinh viên 0.65 Mỗi câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Tính số điểm trung bình sinh viên đạt Đặt X = số câu hỏi sinh viên trả lời đúng, X ∼ Bin(5; 0.65) Đặt Y = số điểm sinh viên đạt được, Y = 4X − 2(5 − X) = 6X − 10 Số điểm trung bình sinh viên đạt E(Y ) = 6E(X) − 10 = 6(5.0.65) − 10 = 9.5 1.0.3 Phân phối chuẩn Định nghĩa 1.6 Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối chuẩn với tham số µ σ (−∞ < µ < ∞ and σ > 0) X có hàm mật độ xác suất (x−µ)2 f (x; µ, σ) = √ e− 2σ2 , x ∈ R σ 2π Kí hiệu: X ∼ N (µ; σ ) Giáo trình xác suất thống kê Phân phối chuẩn tắc Biến ngẫu nhiên chuẩn có tham số µ = σ = gọi phân phối chuẩn tắc Một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc kí hiệu Z Hàm mật độ xác suất Z x2 f (x; 0, 1) = ϕ(x) = √ e− ; 2π Hàm phân phối xác suất Z , kí hiệu Φ(x), x x ϕ(t)dt = √ 2π Φ(x) = −∞ t2 e− dt −∞ Các giá trị Φ(x) cho Bảng I Chú ý Φ(−x) = − Φ(x), ∀x ∈ R Tính Φ(x) máy tính Casio 1) CASIO FX570MS: - Vào Mode tìm SD: Mode→Mode→1 (SD); - Shift→ (Distr) →1; - Nhập x 2) CASIO FX570ES: - Vào Mode tìm 1-Var: Mode→3 (Stat)→1 (1-Var)→ AC - Shift→ 1(Stat)→ (Distr) →1; - Nhập x Ví dụ 1.7 Tính Φ(1, 96), Φ(−1, 65) Giáo trình xác suất thống kê Định lý 1.8 Cho X ∼ N (µ, σ ) Khi (i) E(X) = µ, V ar(X) = σ X −µ ∼ N (0; 1) σ (iii) Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối (ii) Z = chuẩn với tham số µ σ S = X1 + X2 + + Xn ∼ N (nµ; nσ ) X = (iv) P (X < a) = P (X ≤ a) = Φ( X1 + X2 + + Xn ∼ N (µ; σ /n) n a−µ ) σ (v) Với α < β , P (α < X < β) = P (α ≤ X ≤ β) = Φ( α−µ β−µ ) − Φ( ) σ σ Ví dụ 1.9 Cho X ∼ N (1; 4) Tính P (X < 3, 5), P (X > 0), P (0.5 < X ≤ 2, 5) 3, − ) = Φ(1, 25) = 0.8944; P (X > 0) = − P (X ≤ 0) = − Φ(−0.5) = Φ(0.5) = 0.6915; P (0.5 < X ≤ 2, 5) = Φ(0.75) − Φ(−0.25) = 0.3721 Giải P (X < 3, 5) = Φ( Ví dụ 1.10 Chiều cao nam niên trưởng thành Việt Nam có phân phối chuẩn N (µ; 0.12 ) Chọn ngẫu nhiên 100 nam niên trưởng thành Tính xác suất sai số tuyệt đối chiều cao trung bình 100 nam niên chọn µ không vượt 0.03 Giải Đặt Xk chiều cao nam niên thứ k th (k = 1, 2, , 100) Khi đó, X= X1 + X2 + + X100 100 có phân phối chuẩn N (µ; 0.012 ) Do P (|X − µ| < 0.03) = 2Φ(3) − = 0.9974 1.1 Phân bố Student 1.2 Các định lí giới hạn 1.2.1 Luật số lớn Định lý 1.11 (Law of Large numbers) Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối xác suất với kì vọng chung = µ phương sai chung σ Giáo trình xác suất thống kê Khi đó, với ε > 0, lim P (| n→∞ n n Xk − µ| ≤ ε) = k=1 Nói cách khác, với n đủ lớn ta có X= X1 + X2 + + Xn ≈ E(X) n 1.2.2 Định lí giới hạn trung tâm Định lý 1.12 (Law of Large numbers) Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối xác suất với kì vọng chung = µ phương sai chung σ Khi S − nµ lim P ( √ < x) = Φ(x) x ∈ R, n→∞ nσ S = X1 + X2 + + Xn Nói cách khác, với n đủ lớn ta có S = X1 + X2 + + Xn ≈ N (nµ; nσ ), X= X1 + X2 + + Xn ≈ N (µ; σ /n) n Ví dụ 1.13 Một thang máy vận chuyển hàng hóa lớn vận chuyến lần tối đa 9800 kg Giả sử lô hàng có 49 thùng hàng cần vận chuyển Kinh nghiệm cho thấy trọng lượng thùng hàng biến ngẫu nhiên có kì vọng µ = 205 kg độ lệch chuẩn σ = 15 kg Tính xác suất thang máy chuyển lô hàng chọn ngẫu nhiên gồm 49 thùng hàng trên? Giải Đặt Xi = trọng lượng thùng hàng thứ i Ta có E(Xi ) = µ = 205, V ar(Xi ) = σ = 152 với i = 1, 2, , 49 Vì P (S = X1 + + X49 < 9800) ≈ Φ( 9800 − 49.205 √ ) = Φ(−2.33) = 0.0099 49.15 Chương THỐNG KÊ MÔ TẢ 2.1 Khái niệm mẫu tổng thể Trước hết ta xét ví dụ sau: để điều tra chiều cao niên Việt Nam từ 18 tuổi đến 25 tuổi, người điều tra phải lập danh sách tất niên Việt Nam có độ tuổi từ 18 đến 25 Ứng với niên, ghi chiều cao niên Khi đó: - Tập hợp toàn niên Việt Nam có độ tuổi từ 18 đến 25 gọi tổng thể (population) - Mỗi niên điều tra gọi phần tử tổng thể - Vì số lượng niên có độ tuổi từ 18 đến 25 nước lớn nên ta điều tra hết mà chọn tập hợp để điều tra Tập hợp chọn gọi mẫu (sample), số phần tử mẫu gọi kích thước mẫu, tập tất giá trị chiều cao cá thể mẫu gọi mẫu số liệu(sample data) a)Tổng thể tập hợp tất phần tử có chung tính chất X mà quan tâm nghiên cứu b) Mẫu tập tổng thể chọn đề nghiên cứu Số phần tử mẫu gọi kích thước mẫu c) Nếu phần tử tổng thể có tính chất X số thực X gọi biến số, tập giá trị X mẫu gọi mẫu số liệu Giáo trình xác suất thống kê 2.2 Các số đặc trưng mẫu số liệu 2.2.1 Trung bình mẫu, phương sai mẫu độ lệch chuẩn mẫu Cho {x1 , x2 , , xn } mẫu số liệu biến số X 1) Trung bình mẫu, kí hiệu x, tính theo công thức: x= n x1 + x2 + + xn = n n xi i=1 2) Phương sai mẫu, kí hiệu s2 , tính theo công thức: n s = n−1 (xi − x) = n−1 n i=1 x2i − nx2 i=1 3) Độ lệch chuẩn mẫu √ s= s2 = n−1 n x2i − nx2 i=1 Ví dụ 2.1 Giả sử ta có mẫu số liệu chiều cao (mét) 10 sinh viên trường đại học sau: 1,75 1,69 1,73 1,77 1,68 1,73 1,77 1,70 1,74 1,71 Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu độ lệch chuẩn mẫu Chú ý 2.2 1) Mẫu số liệu cho dạng bảng phân bố tần số rời rạc X ni x1 n1 x2 n2 xm nm - Kích thước mẫu: n = n1 + n2 + + nm m n i xi n i=1 m ni x2i − nx2 - Phương sai mẫu: s2 = n − i=1 - Trung bình mẫu: x = 2)Mẫu số liệu cho dạng bảng phân bố tần số liên tục Giáo trình xác suất thống kê X a0 − a1 a1 − a2 am−1 − am n1 n2 nm ak−1 − ak = [ak−1 ; ak ) ni Đặt xk = ak−1 + ak ta X ni x1 n1 x2 n2 xm nm ta đưa Chú ý để tính x, s2 s Ví dụ 2.3 Chọn ngẫu nhiên 100 sợi dây thép kho hàng người ta thu mẫu số liệu chiều dài sau: X(mét) 1, 90 − 1, 94 1, 94 − 1, 98 1, 98 − 2, 02 2, 02 − 2, 06 2, 06 − 2, 10 ni 15 25 30 20 10 Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu độ lệch chuẩn mẫu 2.2.2 Trung vị mẫu Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần, giả sử x1 < x2 < < nn Trung vị mẫu, kí hiệu x˜, xác định x˜ = n lẻ x n+1 x n2 + x n2 +1 n chẵn 2.3 Biểu đồ 2.3.1 Biểu đồ phân bố tần số (Histogram) Cho (x1 , x2 , , xn ) mẫu số liệu biến số X Trường hợp 1: X biến số rời rạc Lập bảng phân bố tần số rời rạc số liệu cho sau: X ni x∗1 n1 x∗2 n2 x∗m nm Sử dụng hệ trục tọa độ Descartes vuông góc để với trục hoành khoảng giá trị x∗1 , x∗2 , , x∗m , trục tung tần số (hoặc tần số tương đối) Ví dụ 2.4 Trong thi game online có 27 tổ chức có 19383 game thủ tham gia Kết cho bảng sau Giáo trình xác suất thống kê Vượt Vượt Số Tần số Số Tần số qua game thủ tương đối qua game thủ tương đối 20 0.0010 14 569 0.0294 72 0.0037 15 393 0.0203 209 0.0108 16 253 0.0131 527 0.0272 17 171 0.0088 1048 0.0541 18 97 0.0050 1457 0.0752 19 53 0.0027 1988 0.1026 20 31 0.0016 2256 0.1164 21 19 0.0010 2403 0.1240 22 13 0.0007 2256 0.1164 23 0.0003 10 1967 0.1015 24 0.0001 11 1509 0.0779 25 0.0000 12 1230 0.0635 26 0.0001 13 834 0.0430 27 0.0001 Trường hợp 2: X biến số liên tục Lập bảng phân bố tần số liên tục X [a0 ; a1 ) [a1 ; a2 ) [am−1 ; am ) n1 n2 nm ni Trong đó, số khoảng cần chia tốt từ đến 20 khoảng, chọn xấp xỉ √ n (hoặc + log2 (n)) Nếu ta chia liệu thành m khoảng độ dài khoảng xấp xỉ (max{xk } − min{xk })/m Sử dụng hệ trục tọa độ Descartes vuông góc với trục hoành khoảng giá trị [ak−1 ; ak ), trục tung tần số (hoặc tần số tương đối) Ví dụ 2.5 Nghiên cứu sức chịu nén mẫu hợp kim Nhôm-Liti sản xuất (hợp kim sử dụng làm vật liệu chế tao máy bay) người ta thử nghiệm 80 mẫu thu số liệu sau (đơn vị pound/inch2 ) Giáo trình xác suất thống kê 105 97 245 163 207 134 218 199 160 196 Vì n = 80, 221 154 228 131 180 178 157 151 175 201 √ 183 153 174 154 190 76 101 142 149 200 186 174 199 115 193 167 171 163 87 176 121 120 181 160 194 184 165 145 160 150 181 168 158 208 133 135 172 171 237 170 180 167 176 158 156 229 158 148 150 118 143 141 110 133 123 146 169 158 135 149 80 ≈ nên ta chia số liệu thành khoảng, khoảng có độ dài d = (max{xi } − min{xi })/9 ≈ 20 Từ ta có bảng phân bố tần số liên tục: Lớp 70 − 90 90 − 110 110 − 130 130 − 150 150 − 170 Tần số 14 22 Lớp 170 − 190 190 − 210 210 − 230 230 − 250 Tần số 17 10 Do đó, biểu đồ histogram sau: 2.3.2 Biểu đồ thân-lá(Stem-and-Leaf Plots) Biểu đồ tương tự histogram, khác chỗ chúng trình bày giá trị liệu thay dùng cột Biểu đồ thân - gồm thành phần phần thân (gồm chữ số đầu số liệu) phần (gồm chữ số lại) tần số, thường dùng cho nhóm liệu nhỏ Để tạo biểu đồ thân - ta làm sau: (1) Chia số liệu xk thành phần: phần thân gồm chữ số đầu, phần chữ số lại; 10 Giáo trình xác suất thống kê Mùa Thời điểm Đầu mùa Khô Giữa mùa Cuối mùa Đầu mùa Mưa Giữa mùa Cuối mùa Miền Nam Trung 2.4 2.1 2.4 2.2 2.5 2.2 2.5 2.2 2.5 2.3 2.6 2.3 Bắc 3.2 3.2 3.4 3.4 3.5 3.5 Với mức ý nghĩa α = 0.05 cho biết hàm lượng saponin có khác theo mùa hay miền không? Nếu có yếu tố mùa miền có tương tác với hay không? Giải Ta có bảng giá trị Tij : Miền Mùa Khô Mưa T∗j Nam Trung Bắc 7.3 7.6 14.9 9.8 23.6 9.8 10.4 20.2 T = 48.4 6.5 6.8 13.3 Ti∗ Q = 134.64 Suy bảng ANOVA nhân tố sau: Nguồn Nhân tố Mùa Nhân tố Miền Tương tác Sai số Tổng SS Bậc tự MS SSA = 0.08 M SA = 0.08 SSB = 4.3478 M SB = 2.1739 SSI = 0.01 M SI = 0.005 SSE = 0.06 12 M SE = 0.005 SST = 155699.6 17 F FA = 16 FB = 434.78 FAB = Với mức ý nghĩa α = 0.05 miền bác bỏ H0A W = [4.7472; +∞), miền bác bỏ H0B W = [3.8853; +∞), miền bác bỏ H0AB W = [3.8853; +∞) Vì kết luận: hàm lượng saponin dược liệu khác theo mùa , theo miền tương tác mùa miền hàm lượng saponin Kiểm tra giả thiết mô hình Để kiểm gia giả thiết môn hình: sai số ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N (0; σ ) ta vẽ biểu đồ xác suất chuẩn phần dư -0.033 -0.067 -0.033 0.033 0.067 0.033 -0.033 -0.067 -0.033 0.033 Ta có số liệu phần dư sau: -0.067 -0.067 0.133 -0.067 0.033 83 Giáo trình xác suất thống kê Biểu đồ xác suất chuẩn phần dư năm đường thẳng qua gốc tọa độ nên giả thiết sai số ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N (0; σ ) xem thỏa mãn 6.3 Đại cương bố trí thí nghiệm 6.3.1 Một số khái niệm Bố trí thí nghiệm (experimental design): lập kế hoạch bước cần tiến hành để thu thập số liệu cho vấn đề nghiên cứu Mục đích để có nhiều kết luận xác với chi phí thấp Đơn vị thí nghiệm (Experimental Unit): đơn vị thí nghiệm đơn vị nghiên cứu thí nghiệm, cụ thể đơn vị nhỏ mà nghiệm thức ứng dụng Ví dụ 6.5 Đơn vị thí nghiệm gà, đàn heo, ruộng lúa 6.3.2 Hai nguyên tắc bố trí thí nghiệm Lặp lại (Replication) Một nghiệm thức phải lặp lại nhiều đơn vị thí nghiệm Điều cho phép so sánh ảnh hưởng nghiệm thức với mức biến thiên sinh học đơn vị thí nghiệm Số nghiệm thức tăng sai số chuẩn nhỏ độ xác thí nghiệm cao Số lần lặp lại giới hạn cần phải cân độ xác chi phí thí nghiệm 84 Giáo trình xác suất thống kê Ngẫu nhiên hoá (Randomisation) Mẫu phải chọn cho tất đơn vị thí nghiệm bố trí ngẫu nhiên vào nghiệm thức Điều giúp tránh thành kiến người làm thí nghiệm biến động sinh học, môi trường, 6.3.3 Kỹ thuật ngẫu nhiên hoá Để thực việc ngẫu nhiên hoá, tránh sai sót chủ quan người thí nghiệm ta dùng cách: – tung đồng xu (sấp, ngửa) – dùng bảng số ngẫu nhiên – tạo số ngẫu nhiên máy tính 6.3.4 Các kiểu bố trí thí nghiệm phổ biến Bố trí ngẫu nhiên hoàn toàn (Completely Randomised Design = CRD) Đây kiểu bố trí thí nghiệm đơn giản nhất, tất đơn vị thí nghiệm bố trí vào nghiệm thức Kiểu bố trí dùng đơn vị thí nghiệm sai khác mang tính hệ thống Chẳng hạn tất động vật thí nghiệm có độ tuổi, tất nông trại có kỹ thuật canh tác giống Ví dụ 6.6 CRD cho thí nghiệm có nhân tố: – Các mức nhân tố A, B, C – 15 lô (plot) đất khác biệt – Bố trí lô vào nghiệm thức 1A 2B 3B 4C 5A B B C C 10 C 11 A 12 C 13 A 14 B 15 A Những hạn chế CRD CRD đòi hỏi tất đơn vị thí nghiệm phải tương tự trước bố trí vào nghiệm thức Thông thường thí nghiệm thực địa 85 Giáo trình xác suất thống kê đủ đơn vị thí nghiệm bảo đảm cho điều Do có biến động đơn vị thí nghiệm bỏ qua dẫn đến hai kết quả: 1) Mất độ xác 2) Kết luận sai Ví dụ 6.7 giả sử CRD dùng thí nghiệm ruộng với nghiệm thức A, B, C phần lô thí nghiệm có độ ẩm cao chúng nằm gần nhánh sông: Trong sơ đồ ta thấy lô chứa nghiệm thức A có độ ẩm cao Do khó phân biệt kết thí nghiệm chịu chi phối nghiệm thức A hay độ ẩm Thí nghiệm không thích hợp với kiểu bố trí ngẫu nhiên hoàn toàn Bố trí khối hoàn toàn ngẫu nhiên (Randomised Complete Block Design = RCBD) Là kiểu bố trí đơn vị thí nghiệm tập hợp thành khối (block) cho khối có đầy đủ tất nghiệm thức, khối đơn vị thí nghiệm có tính chất đồng Như số đơn vị thí nghiệm khối = số nghiệm thức, số khối = số lần lặp lại Ví dụ 6.8 Trong Ví dụ 6.7 trên, bố trí theo kiểu RCBD sơ đồ đây: 86 Giáo trình xác suất thống kê ta thấy khối có đủ tất nghiệm thức, nghiệm thức có độ ẩm tương tự Bố trí ô vuông La tinh (Latin Square Designs) Bố trí thí nghiệm kiểu RCBD khắc phục vấn đề CRD đơn vị thí nghiệm không đồng theo hướng Tuy nhiên thực tế ta gặp phải trường hợp biến động xảy theo hai hướng, bố trí thí nghiệm kiểu RCBD không phù hợp Bố thí theo ô vuông La tinh cách xếp nghiệm thức cho phù hợp theo hai hướng Ví dụ 6.9 Độ màu mỡ đất thí nghiệm nông nghiệp, sơ đồ đây: Trong trường hợp bố trí theo kiểu RCBD ta gặp phải hai vấn đề độ xác kết luận sai Vì cần bố trí khối theo hai hướng Sau cách bố trí ô vuông La tinh cho trường hợp 87 Giáo trình xác suất thống kê BÀI TẬP 6.1 Hàm lượng Oxygen nước tiêu để xem xét mức độ ô nhiễm môi trường Trong lần khảo sát người ta lấy ngẫu nhiên 24 mẫu khu vực khác nhau, ký hiệu KV1, KV2, KV3, KV4 Mẫu đem phân tích đo hàm lượng oxygen hòa tan (đơn vị tính theo phần triệu) Kết ghi nhận bảng sau: KV1 KV2 KV3 KV4 Mẫu số Mẫu số Mẫu số Mẫu số Mẫu số Mẫu số 6.3 6.8 6.5 5.9 5.8 5.7 6.9 6.3 6.2 5.4 5.7 5.9 4.8 4.7 4.5 4.8 4.9 4.6 4.8 4.9 5.2 5.6 5.8 5.7 Bốn khu vực có thật khác hàm lượng oxygen hòa tan hay không? Từ kết luận mức độ ô nhiễm khu vực 6.2 Nghiên cứu suất giống bắp lai thụ phấn ngẫu nhiên, thí nghiệm lặp lại lần giống, kết ghi nhận bảng sau: Giống Giống Giống Giống Giống 4.5 3.8 4.4 4.7 3.5 4.6 4.2 6.3 4.3 4.2 4.8 3.8 4.5 4.6 4.3 4.6 3.9 5.3 4.6 4.2 4.1 4.1 5.9 3.8 3.2 Hãy kiểm tra xem suất giống bắp nầy có phụ thuộc vào phẩm chất giống hay không 6.3 Một nhà nông học khảo sát hàm lượng phosphorus từ giống táo (1, 3) Mẫu lấy ngẫu nhiên từ giống đem phân tích hàm lượng phosphorus Dữ liệu trình bày bảng sau: Giống Hàm lượng phosphorus 0.35 0.40 0.58 0.50 0.47 0.65 0.70 0.90 0.84 0.79 0.60 0.80 0.75 0.73 0.66 Hãy kiểm tra giả thuyết "hàm lượng phosphorus trung bình ba giống táo giống nhau" 88 Giáo trình xác suất thống kê 6.4 Một phòng thí nghiệm lớn có loại thiết bị để đo độ pH mẫu đất Họ muốn xác định liệu có sai khác giá trị trung bình đọc từ bốn thiết bị hay không nên bố trí thí nghiệm sau: 24 mẫu đất có độ pH biết phân bố ngẫu nhiên thành nhóm ứng với thiết bị, nhóm gồm mẫu đất Các mẫu đất đo pH thiết bị sai khác pH đọc từ thiết bị với pH biết ghi nhận Kết trình bày bảng sau: Các mẫu đất Thiết bị A B C D -0.307 -0.294 0.079 0.019 -0.136 -0.324 -0.176 0.125 -0.013 0.082 0.091 0.459 0.137 -0.063 0.240 -0.050 0.318 0.154 -0.042 0.690 0.201 0.166 0.219 0.407 Hãy xác định xem trung bình pH đọc từ bốn thiết bị có sai khác hay không? 6.5 Các nhà nghiên cứu tiến hành thí nghiệm để so sánh hàm lượng tinh bột khoai tây trồng đất cát bổ sung chất dinh dưỡng A, B, C Nhóm A nhóm đối chứng (tưới nước cất), nhóm B cung cấp chất dinh dưỡng Hoagland với nồng độ thấp nhóm C cung cấp chất dinh dưỡng Hoagland với nồng độ cao 18 khoai tây giống bố trí ngẫu nhiên vào ba nhóm hàm lượng tinh bột cuống (µg/mg) ghi nhận sau 25 ngày trồng bảng sau: Hàm lượng dinh dưỡng A 22 20 21 18 16 14 Hàm lượng dinh dưỡng B 12 14 15 10 Hàm lượng dinh dưỡng C Hãy phân tích phương sai để kiểm tra khác biệt hàm lượng tinh bột thuộc ba nhóm 6.6 Lượng trứng đẻ/ngày (trong 14 ngày đầu chu kỳ sống) 75 ruồi giấm (Drosophila melanogaster) thuộc dòng RS SS dòng chọn lọc cho tính kháng tính mẫn cảm DDT NS dòng đối chứng không chọn lọc cho bảng sau: 89 Giáo trình xác suất thống kê Kháng DDT (RS) 12.8 22.4 21.6 27.5 14.8 20.3 23.1 38.7 34.6 26.4 19.7 23.7 22.6 26.1 29.6 29.5 16.4 38.6 20.3 44.4 29.3 23.2 14.9 23.6 27.3 Mẫn cảm với DDT (SS) Đối chứng (NS) 38.4 23.1 35.4 22.6 32.9 29.4 27.4 40.4 48.5 16.0 19.3 34.4 20.9 20.1 41.8 30.4 11.6 23.3 20.3 14.9 22.3 22.9 37.6 51.8 30.2 22.5 36.9 33.8 33.4 15.1 37.3 37.9 26.7 31.0 28.2 29.5 39.0 16.9 23.4 42.4 12.8 16.1 33.7 36.6 14.6 10.8 29.2 47.4 12.2 41.7 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra hai giả thuyết: a) Các dòng chọn lọc (RS SS) dòng đối chứng (NS) khác biệt độ mắn đẻ (fecundity) b) Dòng RS dòng SS khác biệt độ mắn đẻ 6.7 Ba kiểu gen khác BB, Bb, bb loài bọ cánh cứng Tribolium castaneum nuôi mật độ 20 con/1 gram bột Trọng lượng khô (mg) kiểu gen ghi nhận thời điểm khác nhau, thời điểm cách vài tháng Kiểu gen Thời điểm BB Bb bb 0.958 0.986 0.925 0.971 1.051 0.952 0.927 0.891 0.829 0.971 1.01 0.955 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem nhân tố A (kiểu gen) nhân tố B (thời điểm) có ảnh hưởng đến trọng lượng bọ hay không 6.8 Nhằm khảo sát sai khác tiêu thụ thức ăn mỡ tươi thay mỡ ôi phần ăn chuột, người ta bố trí thí nghiệm 12 chuột (6 đực, cái) có độ tuổi từ 30 đến 34 ngày, phần ăn cho giới gồm chuột Lượng thức ăn tiêu thụ (gram) suốt 73 ngày ghi nhận bảng sau 90 Giáo trình xác suất thống kê Khẩu phần ăn Giới tính Đực Cái Mỡ tươi Mỡ ôi 709 679 699 657 594 677 592 538 476 508 505 539 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem: a) có khác tiêu thụ thức ăn chuột đực chuột không? b) có khác tiêu thụ thức ăn mỡ tươi mỡ ôi không? 6.9 Nhằm khảo sát ảnh hưởng stress cường độ sáng lên tăng trưởng đậu nành, thí nghiệm bố trí ngẫu nhiên thành nghiệm thức, nghiệm thức gồm 13 hạt đậu trồng 13 chậu Để gây stress người ta cho chậu vào máy lắc, ngày lắc lần, lần 20 phút Có thể tóm tắt bố trí thí nghiệm sau: Nghiệm thức 1: đối chứng, ánh sáng yếu Nghiệm thức 2: stress, ánh sáng yếu Nghiệm thức 3: đối chứng, ánh sáng trung bình Nghiệm thức 4: stress, ánh sáng trung bình Sau 16 ngày trồng, thu hoạch đo tổng diện tích (cm2 ) Kết ghi nhận bảng sau: NT1 NT2 NT3 NT4 264 235 314 283 200 188 320 312 225 195 310 291 268 205 340 259 215 212 299 216 241 214 268 201 232 182 345 267 256 215 271 326 229 272 285 241 288 163 309 291 256 230 337 269 288 255 282 282 230 202 273 257 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem: a) Nhân tố ánh sáng có ảnh hưởng đến diện tích không? 91 Giáo trình xác suất thống kê b) Nhân tố tress có ảnh hưởng đến diện tích không? c) Hai yếu tố ánh sáng tress có tương tác không? 92 Giáo trình xác suất thống kê BẢNG I: CÁC GIÁ TRỊ CỦA HÀM PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC Φ( x) = 2π x ∫ − t2 e dt −∞ Hàm tìm Φ ( x) Excel: Φ ( x) = NORMDIST ( x, 0,1,1) x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 93 Giáo trình xác suất thống kê BẢNG III: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN PHỐI STUDENT Hàm tìm tn(α) Excel tn(α) =TINV(2α, n) α n 0.250 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1.0000 0.8165 0.7649 0.7407 0.7267 0.7176 0.7111 0.7064 0.7027 0.6998 0.6974 0.6955 0.6938 0.6924 0.6912 0.6901 0.6892 0.6884 0.6876 0.6870 0.6864 0.6858 0.6853 0.6848 0.6844 0.6840 0.6837 0.6834 0.6830 0.6828 0.6825 0.6822 0.6820 0.6818 0.6816 0.6814 0.6812 0.6810 0.6808 0.6807 3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759 1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722 1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406 1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253 1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163 1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104 1.3095 1.3086 1.3077 1.3070 1.3062 1.3055 1.3049 1.3042 1.3036 1.3031 6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6955 1.6939 1.6924 1.6909 1.6896 1.6883 1.6871 1.6860 1.6849 1.6839 12.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1314 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0395 2.0369 2.0345 2.0322 2.0301 2.0281 2.0262 2.0244 2.0227 2.0211 31.8205 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 2.4528 2.4487 2.4448 2.4411 2.4377 2.4345 2.4314 2.4286 2.4258 2.4233 63.6567 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 2.7440 2.7385 2.7333 2.7284 2.7238 2.7195 2.7154 2.7116 2.7079 2.7045 n > 40 : tn (α) ≈ z(α) 94 Giáo trình xác suất thống kê BẢNG IV: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG Hàm tìm χ n2 (α ) Excel χ n2 (α ) =CHINV(α, n) α n 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0.0000 0.0100 0.0717 0.2070 0.4117 0.6757 0.9893 1.3444 1.7349 2.1559 2.6032 3.0738 3.5650 4.0747 4.6009 5.1422 5.6972 6.2648 6.8440 7.4338 8.0337 8.6427 9.2604 9.8862 10.5197 11.1602 11.8076 12.4613 13.1211 13.7867 14.4578 15.1340 15.8153 16.5013 17.1918 17.8867 18.5858 19.2889 19.9959 20.7065 0.0002 0.0201 0.1148 0.2971 0.5543 0.8721 1.2390 1.6465 2.0879 2.5582 3.0535 3.5706 4.1069 4.6604 5.2293 5.8122 6.4078 7.0149 7.6327 8.2604 8.8972 9.5425 10.1957 10.8564 11.5240 12.1981 12.8785 13.5647 14.2565 14.9535 15.6555 16.3622 17.0735 17.7891 18.5089 19.2327 19.9602 20.6914 21.4262 22.1643 0.0010 0.0506 0.2158 0.4844 0.8312 1.2373 1.6899 2.1797 2.7004 3.2470 3.8157 4.4038 5.0088 5.6287 6.2621 6.9077 7.5642 8.2307 8.9065 9.5908 10.2829 10.9823 11.6886 12.4012 13.1197 13.8439 14.5734 15.3079 16.0471 16.7908 17.5387 18.2908 19.0467 19.8063 20.5694 21.3359 22.1056 22.8785 23.6543 24.4330 0.0039 0.1026 0.3518 0.7107 1.1455 1.6354 2.1673 2.7326 3.3251 3.9403 4.5748 5.2260 5.8919 6.5706 7.2609 7.9616 8.6718 9.3905 10.1170 10.8508 11.5913 12.3380 13.0905 13.8484 14.6114 15.3792 16.1514 16.9279 17.7084 18.4927 19.2806 20.0719 20.8665 21.6643 22.4650 23.2686 24.0749 24.8839 25.6954 26.5093 0.0158 0.2107 0.5844 1.0636 1.6103 2.2041 2.8331 3.4895 4.1682 4.8652 5.5778 6.3038 7.0415 7.7895 8.5468 9.3122 10.0852 10.8649 11.6509 12.4426 13.2396 14.0415 14.8480 15.6587 16.4734 17.2919 18.1139 18.9392 19.7677 20.5992 21.4336 22.2706 23.1102 23.9523 24.7967 25.6433 26.4921 27.3430 28.1958 29.0505 2.7055 4.6052 6.2514 7.7794 9.2364 10.6446 12.0170 13.3616 14.6837 15.9872 17.2750 18.5493 19.8119 21.0641 22.3071 23.5418 24.7690 25.9894 27.2036 28.4120 29.6151 30.8133 32.0069 33.1962 34.3816 35.5632 36.7412 37.9159 39.0875 40.2560 41.4217 42.5847 43.7452 44.9032 46.0588 47.2122 48.3634 49.5126 50.6598 51.8051 3.8415 5.9915 7.8147 9.4877 11.0705 12.5916 14.0671 15.5073 16.9190 18.3070 19.6751 21.0261 22.3620 23.6848 24.9958 26.2962 27.5871 28.8693 30.1435 31.4104 32.6706 33.9244 35.1725 36.4150 37.6525 38.8851 40.1133 41.3371 42.5570 43.7730 44.9853 46.1943 47.3999 48.6024 49.8018 50.9985 52.1923 53.3835 54.5722 55.7585 5.0239 7.3778 9.3484 11.1433 12.8325 14.4494 16.0128 17.5345 19.0228 20.4832 21.9200 23.3367 24.7356 26.1189 27.4884 28.8454 30.1910 31.5264 32.8523 34.1696 35.4789 36.7807 38.0756 39.3641 40.6465 41.9232 43.1945 44.4608 45.7223 46.9792 48.2319 49.4804 50.7251 51.9660 53.2033 54.4373 55.6680 56.8955 58.1201 59.3417 6.6349 9.2103 11.3449 13.2767 15.0863 16.8119 18.4753 20.0902 21.6660 23.2093 24.7250 26.2170 27.6882 29.1412 30.5779 31.9999 33.4087 34.8053 36.1909 37.5662 38.9322 40.2894 41.6384 42.9798 44.3141 45.6417 46.9629 48.2782 49.5879 50.8922 52.1914 53.4858 54.7755 56.0609 57.3421 58.6192 59.8925 61.1621 62.4281 63.6907 7.8794 10.5966 12.8382 14.8603 16.7496 18.5476 20.2777 21.9550 23.5894 25.1882 26.7568 28.2995 29.8195 31.3193 32.8013 34.2672 35.7185 37.1565 38.5823 39.9968 41.4011 42.7957 44.1813 45.5585 46.9279 48.2899 49.6449 50.9934 52.3356 53.6720 55.0027 56.3281 57.6484 58.9639 60.2748 61.5812 62.8833 64.1814 65.4756 66.7660 95 Giáo trình xác suất thống kê Bảng V: Phân vị mức α = 0,05 phân phối Fisher Fm,n Tính Excel: fm,n(α)=FINV(α,m,n) n m 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768 238.883 240.543 241.882 242.983 243.906 244.690 245.364 245.950 246.464 246.918 247.323 247.686 248.013 248.309 248.579 248.826 249.052 249.260 249.453 249.631 249.797 249.951 250.095 250.230 250.357 250.476 250.588 250.693 250.793 250.888 250.977 251.062 251.143 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371 19.385 19.396 19.405 19.413 19.419 19.424 19.429 19.433 19.437 19.440 19.443 19.446 19.448 19.450 19.452 19.454 19.456 19.457 19.459 19.460 19.461 19.462 19.463 19.464 19.465 19.466 19.467 19.468 19.469 19.469 19.470 19.471 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 8.763 8.745 8.729 8.715 8.703 8.692 8.683 8.675 8.667 8.660 8.654 8.648 8.643 8.639 8.634 8.630 8.626 8.623 8.620 8.617 8.614 8.611 8.609 8.606 8.604 8.602 8.600 8.598 8.596 8.594 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.844 5.832 5.821 5.811 5.803 5.795 5.787 5.781 5.774 5.769 5.763 5.759 5.754 5.750 5.746 5.742 5.739 5.735 5.732 5.729 5.727 5.724 5.722 5.719 5.717 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.604 4.590 4.579 4.568 4.558 4.549 4.541 4.534 4.527 4.521 4.515 4.510 4.505 4.500 4.496 4.492 4.488 4.484 4.481 4.478 4.474 4.472 4.469 4.466 4.464 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.027 4.000 3.976 3.956 3.938 3.922 3.908 3.896 3.884 3.874 3.865 3.856 3.849 3.841 3.835 3.829 3.823 3.818 3.813 3.808 3.804 3.800 3.796 3.792 3.789 3.786 3.783 3.780 3.777 3.774 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.603 3.575 3.550 3.529 3.511 3.494 3.480 3.467 3.455 3.445 3.435 3.426 3.418 3.410 3.404 3.397 3.391 3.386 3.381 3.376 3.371 3.367 3.363 3.359 3.356 3.352 3.349 3.346 3.343 3.340 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.313 3.284 3.259 3.237 3.218 3.202 3.187 3.173 3.161 3.150 3.140 3.131 3.123 3.115 3.108 3.102 3.095 3.090 3.084 3.079 3.075 3.070 3.066 3.062 3.059 3.055 3.052 3.049 3.046 3.043 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.102 3.073 3.048 3.025 3.006 2.989 2.974 2.960 2.948 2.936 2.926 2.917 2.908 2.900 2.893 2.886 2.880 2.874 2.869 2.864 2.859 2.854 2.850 2.846 2.842 2.839 2.835 2.832 2.829 2.826 10 11 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 2.943 2.913 2.887 2.865 2.845 2.828 2.812 2.798 2.785 2.774 2.764 2.754 2.745 2.737 2.730 2.723 2.716 2.710 2.705 2.700 2.695 2.690 2.686 2.681 2.678 2.674 2.670 2.667 2.664 2.661 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.701 2.685 2.671 2.658 2.646 2.636 2.626 2.617 2.609 2.601 2.594 2.588 2.582 2.576 2.570 2.565 2.561 2.556 2.552 2.548 2.544 2.541 2.537 2.534 2.531 96 Giáo trình xác suất thống kê Bảng V: Phân vị mức α = 0,05 phân phối Fisher Fm,n (tiếp theo) n m 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 2.717 2.687 2.660 2.637 2.617 2.599 2.583 2.568 2.555 2.544 2.533 2.523 2.514 2.505 2.498 2.491 2.484 2.478 2.472 2.466 2.461 2.456 2.452 2.447 2.443 2.439 2.436 2.432 2.429 2.426 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 2.635 2.604 2.577 2.554 2.533 2.515 2.499 2.484 2.471 2.459 2.448 2.438 2.429 2.420 2.412 2.405 2.398 2.392 2.386 2.380 2.375 2.370 2.366 2.361 2.357 2.353 2.349 2.346 2.342 2.339 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 2.565 2.534 2.507 2.484 2.463 2.445 2.428 2.413 2.400 2.388 2.377 2.367 2.357 2.349 2.341 2.333 2.326 2.320 2.314 2.308 2.303 2.298 2.293 2.289 2.284 2.280 2.277 2.273 2.270 2.266 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 2.507 2.475 2.448 2.424 2.403 2.385 2.368 2.353 2.340 2.328 2.316 2.306 2.297 2.288 2.280 2.272 2.265 2.259 2.253 2.247 2.241 2.236 2.232 2.227 2.223 2.219 2.215 2.211 2.208 2.204 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 2.456 2.425 2.397 2.373 2.352 2.333 2.317 2.302 2.288 2.276 2.264 2.254 2.244 2.235 2.227 2.220 2.212 2.206 2.200 2.194 2.188 2.183 2.178 2.174 2.169 2.165 2.161 2.158 2.154 2.151 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 2.413 2.381 2.353 2.329 2.308 2.289 2.272 2.257 2.243 2.230 2.219 2.208 2.199 2.190 2.181 2.174 2.167 2.160 2.154 2.148 2.142 2.137 2.132 2.127 2.123 2.119 2.115 2.111 2.107 2.104 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 2.374 2.342 2.314 2.290 2.269 2.250 2.233 2.217 2.203 2.191 2.179 2.168 2.159 2.150 2.141 2.134 2.126 2.119 2.113 2.107 2.102 2.096 2.091 2.087 2.082 2.078 2.074 2.070 2.066 2.063 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 2.340 2.308 2.280 2.256 2.234 2.215 2.198 2.182 2.168 2.155 2.144 2.133 2.123 2.114 2.106 2.098 2.090 2.084 2.077 2.071 2.066 2.060 2.055 2.050 2.046 2.042 2.037 2.034 2.030 2.026 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 2.310 2.278 2.250 2.225 2.203 2.184 2.167 2.151 2.137 2.124 2.112 2.102 2.092 2.082 2.074 2.066 2.059 2.052 2.045 2.039 2.033 2.028 2.023 2.018 2.013 2.009 2.005 2.001 1.997 1.994 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 2.283 2.250 2.222 2.197 2.176 2.156 2.139 2.123 2.109 2.096 2.084 2.073 2.063 2.054 2.045 2.037 2.030 2.023 2.016 2.010 2.004 1.999 1.994 1.989 1.984 1.980 1.976 1.972 1.968 1.965 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 2.259 2.226 2.198 2.173 2.151 2.131 2.114 2.098 2.084 2.071 2.059 2.048 2.038 2.028 2.020 2.012 2.004 1.997 1.990 1.984 1.978 1.973 1.968 1.963 1.958 1.954 1.949 1.945 1.942 1.938 97 [...]... KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT 4.1 Khái niệm chung 4.1.1 Giả thuyết thống kê và kiểm định giả thuyết thống kê Giả thuyết thống kê là một khẳng định về giá trị tham số đặc trưng nào đó của một tổng thể (kì vọng, phương sai, tỉ lệ, ), hoặc khẳng định về phân bố của X trong một tổng thể, Ví dụ: (1) µ là tuổi thọ trung bình của người Việt Nam Giả thuyết thống kê có thể là: µ = 60 (tuổi) hoặc µ > 60, hoặc µ = 60, (2)... của một nhà máy Giả thuyết thống kê có thể là σ 2 = 1, hoặc σ 2 = 0, 5, (3) p là tỉ lệ phế phẩm của nhà máy A Giả thuyết thống kê có thể là: p < 0, 1 hoặc p = 0, 1 hoặc p = 0, 1, (4) X là chiều cao của nam thanh niên Việt Nam Giả thuyết thống kê có thể là: X có phân bố chuẩn hoặc X không có phân phối chuẩn, (5) X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử Giả thuyết thống kê có thể là X có phân bố... chuẩn σ/ n Định lý 2.12 Nếu (X1 , X2 , , Xn ) là mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể có phân bố chuẩn N (µ; σ 2 ) thì biến ngẫu nhiên X −µ √ S/ n 16 Giáo trình xác suất và thống kê có phân phối Student n − 1 bậc tự do (Tn−1 ) 17 Giáo trình xác suất và thống kê BÀI TẬP 2.1 Công ty bao bì Hải Pack đang nhập lô hàng 20.000 bao hạt nhựa của một nhà cung cấp quen Dữ liệu quá khứ cho thấy khối lượng của các bao... phẩm loại I sau cải tiến kĩ thuật 34 Giáo trình xác suất và thống kê Giả sử rằng H0 đúng Tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên n sản phẩm, gọi số sản phẩm loại I trong n sản phẩm là k Khi đó pˆ = k/n càng lớn thì càng có cơ sở bác bỏ H0 Trong trường hợp này pˆ = k/n là kiểm định thống kê 4.1.2 Sai lầm loại I và sai lầm loại II Khi tiến hành kiểm định giả thuyết thông kê ta phải đưa ra quyết định hoặc là bác... Biết rằng lượng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn 3.5 Để định mức thời gian gia công một chi tiết máy, người ta theo dõi ngẫu nhiên quá trình gia công 25 chi tiết và thu được số liệu sau: 30 Giáo trình xác suất và thống kê Thời gian gia công (phút) Tần số [15; 17) [17; 19) [19; 21) [21; 23) [23; 25) [25; 27) 1 3 4 12 3 2 Bằng khoảng tin cậy đối xứng hãy ước lượng khoảng thời gian... hộp của một kho đồ hộp, người ta thấy có 28 hộp bị biến chất Với độ tin cậy 0,95, bằng khoảng tin cậy đối xứng, hãy ước lượng tỷ lệ đồ hộp biến chất ở trong kho 31 Giáo trình xác suất và thống kê 3.10 Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 1600 cử tri thì được biết 960 người trong số đó sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A Với độ tin cậy 90%, ứng cử viên A sẽ chiếm được tỷ lệ phiếu... trên Và trên thực tế phương pháp chọn mẫu không hoàn lại được áp dụng nhiều hơn Trong phạm vi giáo trình này chúng tôi luôn giả thiết n/N ≤ 0, 05 Để áp dụng phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại ta có thể sử dụng bảng số ngẫu nhiên hoặc sử dụng phần mềm máy tính 14 Giáo trình xác suất và thống kê 2.5.2 Chọn mẫu từ tổng thể vô hạn Trong một số trường hợp ta cần chọn mẫu kích thước n từ 1 tổng... rằng lượng xăng hao phí là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn 2.5 Để định mức thời gian gia công một chi tiết máy, người ta theo dõi ngẫu nhiên quá trình gia công 25 chi tiết và thu được số liệu sau: 18 Giáo trình xác suất và thống kê Thời gian gia công (phút) Tần số [15; 17) [17; 19) [19; 21) [21; 23) [23; 25) [25; 27) 1 3 4 12 3 2 Bằng khoảng tin cậy đối xứng hãy ước lượng khoảng thời gian... bình mẫu x để làm cở sở bác bỏ H0 Giá trị x càng lớn thì càng có cơ sở bác bỏ H0 Ở đây x là một hàm đối của mẫu ngẫu nhiên (x1 , x2 , , xn ) Một hàm như vậy được gọi là kiểm định thống kê (test statistics) Kiểm định thống kê là một hàm của mẫu ngẫu nhiên được sử dụng để đưa ra quyết định bác bỏ hay chấp nhận H0 Ví dụ 4.2 Tỉ lệ sản phẩm loại I của một dây chuyền sản xuất là 85% Sau khi tiến hành cải... hộp của một kho đồ hộp, người ta thấy có 28 hộp bị biến chất Với độ tin cậy 0,95, bằng khoảng tin cậy đối xứng, hãy ước lượng tỷ lệ đồ hộp biến chất ở trong kho 19 Giáo trình xác suất và thống kê 2.10 Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 1600 cử tri thì được biết 960 người trong số đó sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A Với độ tin cậy 90%, ứng cử viên A sẽ chiếm được tỷ lệ phiếu