Toán 11HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 20152016 khóa ngày 1832016 Lê Quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Câu1 : a) giải phương trình : Giải Điều kiện có nghiệm : x , 1 − 2 x + x => x + 2 x − = ≤ => x = − 2± ≤− => x = − 2− k −1 k −1 k 2n n +1 b) Tìm n , biết C n+1 + − 2.2C n+1 +…+ (−1) k C n +1 +…+ (2n + 1).2 C n+1 =2015 Kết hợp điều kiện => nghiệm phương trình cho x = , x= Giải Ta có : (−1) k −1 k k −1 C 2kn +1 = (−1) k −1 k −1 C 2kn−1 (2n + 1) n +1 2n k =1 k =0 k −1 k −1 k −1 k k k Khí : VT= ∑ (−1) C n (2n + 1) = (2n + 1)∑ (−1) C n =(2n+1)(-1)2n = 2n+1 Ta có : 2n+1=2015 n=1007 Câu : C Tam giác ABC có BC=a ,CA=b a + b = tan (a tan A + b tan B) Chứng minh tam giác ABC cân Giải Biến đổi hệ điều kiện ta có : C C C C ) + b (1 − tan B tan ) sin A(1 − tan A tan ) + sin B (1 − tan B tan ) = 2 2 C C sin A sin sin B sin 2 2 )=0 ) + sin B(1 − sin A(1 − C C cos A cos cos B cos 2 2 sin A C sin B C cos A + + cos B + = (*) C C 2 2 cos A cos cos B cos 2 C C C C Vì A + + B + = 180 nên cos A + = − cos B + 2 2 2 2 C C C C (*) sin A cos B cos cos( A + ) − sin B cos A cos cos( A + ) = 2 2 C C ( (sin A cos B − sin B cos A) cos cos( A + ) = 2 a (1 − tan A tan C C A B C i) cos A + = A + = + + A=B 2 2 2 C sin A sin B − = , cos A + = ii) 2 cos A cos B 2 − cos A − cos B − = (cos A − cos B )(1 − cos A cos sB ) = cos A cos B => cos A − cos B = => A=B i) ii) => đpcm 2 Câu : Cho dãy số (un) , biết u1=10 , (6-un)(16+un+1)=96 a) Xác định un , tính limun Giải Biến đổi :(6-un)(16+un+1)=96 => 6un+1- 16un- unun+1=0 => un+1(6-un)=16un 1 1 => u = 8u − 16 => u + 10 = ( u + 10 ) n +1 n n +1 n 1 3 Đặt u + 10 =vn , ta có : vn+1 = vn cấp số nhân có công bội q= , v1= 8 n 1 1 1 3 = ( )n-1 => u + 10 = ( )n-1 u = − 10 + ( )n-1 8 n n 10.8 n −1 10.8 n −1 lim u = lim = −10 , n 2.3 n −1 − n −1 2.3 n −1 − n −1 1 b) Tính tổng : S = + + + u1 u u 2016 1 1 + 2016 Giải : Ta có : v1 + v + + v 2016 = + + + u1 u u 2016 10 2016 1 2016 − 2016 2016 − => S= + + + = v1 + v + + v 2016 − = u1 u u 2016 10 10 25.8 2015 un = Câu : Cho tam giác ABC nhọn , nội tiếp đường tròn (O), đường cao cắt đường tròn (O) A’,B’C’ , đường thẳng OA’,OB’,OC’ cắt BC,CA.AB D,E,F a) Chứng minh BD sin B = DC sin 2C Với tam giác ABC nhọn , nội tiếp đường tròn (O) , đường cao kẽ từ A cắt (O) A’ , OA’ cắt BC D , ta có : DB.sin2C=DC.sin2B Thật : BD sin BOA' sin BAA' BD sin B = = = Mà AA’ ,BC vuông góc nên DC sin COA" sin 2CAA' DC sin 2C b) Chứng minh AD,BE,CF đồng quy Tương tự ta chứng minh : CE sin 2C AF sin A = = , EA sin A FB sin B BD CE AF = , ( định lý Xeva) => AD,BE,CF đồng quy DC EA FB 1 Câu : Cho a, b,c dương thõa điều kiện + + = , chứng minh a b c b + 3a b + 3a b + 3a + + ≥2 ab ab ab => Giải Ta có : VT = Mà 3 + + + + + ≥ 2 a b b c c a 1 + + = nên VT ≥ => đpcm a b c 1 3 ( + + )2 + ( + + ) a b c a b c