DẠNG TOÁN HÌNH THI VÀO THPT CÓ ĐÁP ÁN

CC BI TON CHNG MINH HèNH HC Cõu 1: Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB V dõy cung CD vuụng gúc vi AB ti I (I nm gia A v O ) Ly im E trờn cung nh BC ( E khỏc B v C ), AE ct CD ti F Chng minh: a) BEFI l t giỏc ni tip ng trũn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chy trờn cung nh BC thỡ tõm ng trũn ngoi tip CEF luụn thuc mt ng thng c nh ỏp ỏn: ã = 900 (gt) (gt) a) T giỏc BEFI cú: BIF C E ãBEF = BEA ã = 90 (gúc ni tip chn na ng F trũn) Suy t giỏc BEFI ni tip ng trũn B A I O ng kớnh BF ằ = AD ằ , b) Vỡ AB CD nờn AC ã ã suy ACF = AEC D Xột ACF v AEC cú gúc A chung v ã ã ACF = AEC AC AE = Suy ra: ACF ~ vi AEC AF AC AE.AF = AC2 ã ã c) Theo cõu b) ta cú ACF , suy AC l tip tuyn ca ng trũn = AEC ngoi tip CEF (1) ã Mt khỏc ACB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn), suy AC CB (2) T (1) v (2) suy CB cha ng kớnh ca ng trũn ngoi tip CEF, m CB c nh nờn tõm ca ng trũn ngoi tip CEF thuc CB c nh E thay i trờn cung nh BC Cõu 2: T mt im A nm ngoi ng trũn (O;R) ta v hai tip tuyn AB, AC vi ng trũn (B, C l tip im) Trờn cung nh BC ly mt im M, v MI AB, MK AC (I AB,K AC) a) Chng minh: AIMK l t giỏc ni tip ng trũn ã ã b) V MP BC (P BC) Chng minh: MPK = MBC c) Xỏc nh v trớ ca im M trờn cung nh BC tớch MI.MK.MP t giỏ tr ln nht ỏp ỏn: ã ã a) Ta cú: AIM = AKM = 900 (gt), suy t giỏc AIMK ni tip ng trũn ng kớnh AM ã ã b) T giỏc CPMK cú MPC = MKC = 900 (gt) Do ú CPMK l t giỏc ni ã ã tip MPK (1) Vỡ KC l tip tuyn ca (O) nờn ta cú: = MCK ã ã ẳ ) (2) T (1) v (2) suy MPK ã ã (cựng chn MC (3) MCK = MBC = MBC c) Chng minh tng t cõu b ta cú BPMI l t A giỏc ni tip ã ã Suy ra: MIP (4) T (3) v (4) suy = MBP K ã ã MPK = MIP I M ã ã Tng t ta chng minh c MKP = MPI MP MI H C = Suy ra: MPK ~ MIP B MK MP P MI.MK = MP2 MI.MK.MP = MP3 O Do ú MI.MK.MP ln nht v ch MP ln nht (4) - Gi H l hỡnh chiu ca O trờn BC, suy OH l hng s (do BC c nh) Li cú: MP + OH OM = R MP R OH Do ú MP ln nht bng R OH v ch O, H, M thng hng hay M nm chớnh gia cung nh BC (5) T (4) v (5) suy max (MI.MK.MP) = ( R OH )3 M nm chớnh gia cung nh BC Cõu 3: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O;R) Cỏc ng cao BE v CF ct ti H a) Chng minh: AEHF v BCEF l cỏc t giỏc ni tip ng trũn b) Gi M v N th t l giao im th hai ca ng trũn (O;R) vi BE v CF Chng minh: MN // EF c) Chng minh rng OA EF ỏp ỏn: ã ã a) T giỏc AEHF cú: AEH = AFH = 900 (gt) Suy AEHFl t giỏc ni tip ã ã - T giỏc BCEF cú: BEC = BFC = 900 (gt) Suy BCEF l t giỏc ni tip ã ã ã ã ã b) T giỏc BCEF ni tip suy ra: BEF = BCF (1) Mt khỏc BMN = BCN = BCF ã ã ằ ) (2) T (1) v (2) suy ra: BEF (gúc ni tip cựng chn BN = BMN MN // EF ã ã ẳ = AN ằ AM = AN, li c) Ta cú: ABM = ACN ( BCEF ni tip) AM cú OM = ON nờn suy OA l ng trung trc ca MN OA MN , m MN song song vi EF nờn suy OA EF Cõu 4: Cho hỡnh vuụng ABCD cú hai ng chộo ct ti E Ly I thuc ã cnh AB, M thuc cnh BC cho: IEM = 900 (I v M khụng trựng vi cỏc nh ca hỡnh vuụng ) a) Chng minh rng BIEM l t giỏc ni tip ng trũn ã b) Tớnh s o ca gúc IME c) Gi N l giao im ca tia AM v tia DC; K l giao im ca BN v tia EM Chng minh CK BN ỏp ỏn: ã ã a) T giỏc BIEM cú: IBM = IEM = 900 (gt); suy t giỏc BIEM ni tip ng trũn ng kớnh IM ã ã b) T giỏc BIEM ni tip suy ra: IME = IBE = 450 (do ABCD l hỡnh vuụng) c) EBI v ECM cú: N K ã ã , BE = CE , IBE = MCE = 45 ã ã ã ã BEI = CEM ( IEM = BEC = 900 ) EBI = ECM (g-c-g) MC = M B IB; suy MB = IA C Vỡ CN // BA nờn theo nh lớ Thalet, ta MA MB IA = cú: = Suy IM song I MN MC IB song vi BN (nh lớ Thalet o) E ã ã BKE = IME = 450 (2) Li cú ã BCE = 450 (do ABCD l hỡnh vuụng) ã ã Suy BKE = BCE BKCE l t A D giỏc ni tip ã ã Suy ra: BKC + BEC = 1800 m ã BEC = 900 ; suy ã BKC = 900 ; hay CK BN Cõu 5: Cho ng trũn (O;R); AB v CD l hai ng kớnh khỏc ca ng trũn Tip tuyn ti B ca ng trũn (O;R) ct cỏc ng thng AC, AD th t ti E v F a) Chng minh t giỏc ACBD l hỡnh ch nht b) Chng minh ACD ~ CBE c) Chng minh t giỏc CDFE ni tip c ng trũn d) Gi S, S1, S2 th t l din tớch ca AEF, BCE v BDF Chng minh: S1 + S2 = S ỏp ỏn: a) T giỏc ACBD cú hai ng chộo AB v CD bng v ct ti trung im ca mi ng, suy ACBD l hỡnh ch nht b) T giỏc ACBD l hỡnh ch nht suy ra: A D O C E B F ằ ã ã ã (gúc to bi tip tuyn v dõy CAD = BCE = 900 (1) Li cú CBE = s BC ã ằ = AD ằ (do BC = AD) ằ (gúc ni tip), m BC cung); ACD = s AD ã ã CBE = ACD (2) T (1) v (2) suy ACD ~ CBE ã ã c) Vỡ ACBD l hỡnh ch nht nờn CB song song vi AF, suy ra: CBE = DFE ã ã (3) T (2) v (3) suy ACD = DFE ú t giỏc CDFE ni tip c ng trũn S1 EB2 d) Do CB // AF nờn CBE ~ AFE, suy ra: = S EF2 S EB S2 BF S1 S Tng t ta cú T ú suy ra: = = + =1 S EF S EF S S S1 + S2 = S Cõu 6: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, M l mt im thuc cnh AC (M khỏc A v C ) ng trũn ng kớnh MC ct BC ti N v ct tia BM ti I Chng minh rng: a) ABNM v ABCI l cỏc t giỏc ni tip ng trũn ã b) NM l tia phõn giỏc ca gúc ANI c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2 ỏp: a) Ta cú: ã ã MAB = 900 (gt)(1) MNC = 900 (gúc ni tip ã chn na ng trũn) MNB = 900 (2) T (1) v (2) suy ABNM l t giỏc ni tip ã ã Tng t, t giỏc ABCI cú: BAC = BIC = 900 ABCI l t giỏc ni tip ng trũn B N A C M I ã ã b) T giỏc ABNM ni tip suy MNA = MBA (gúc ni tip cựng chn cung AM) (3) ã ã T giỏc MNCI ni tip suy MNI = MCI (gúc ni tip cựng chn cung MI) (4) ã ã T giỏc ABCI ni tip suy MBA = MCI (gúc ni tip cựng chn cung AI) (5) ã ã ã T (3),(4),(5) suy MNI = MNA NM l tia phõn giỏc ca ANI ã ã c) BNM v BIC cú chung gúc B v BNM = BIC = 900 BNM ~ BIC (g.g) BN BI BM.BI = BN BC = BM BC Tng t ta cú: CM.CA = CN.CB Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6) p dng nh lớ Pitago cho tam giỏc ABC vuụng ti A ta cú: BC2 = AB2 + AC2 (7) T (6) v (7) suy iu phi chng minh Li bỡnh: Cõu c a) Bit bao kớ c ựa v bt gp ng thc BM BI + CM CA = AB2 + AC2 (1) (2) BM BI = AB Phi chng T ú cng theo tng v cú (1) CM CA = AC (3) Nu cú (1) thỡ AB phi l cnh chung mt cp tam giỏc ng dng Tic rng iu y khụng ỳng Tng t cng khụng cú (2) ý AB2 + AC2 = BC2 vy nờn (1) BM.BI + CM.CA = BC2 (3) BM BI = k BC Kh nng (vi < k < 1), t ú cng theo tng v CM CA = (1 k ) BC cú (1) cng khụng xy vỡ BC khụng phi l cnh chung ca mt cp tam giỏc ng dng ý BN + NC = BC vy nờn (1) BM.BI + CM.CA = BC(BN + NC) BM.BI + CM.CA = BC.BN + BC.NC (4) iu y dn dt chỳng ta n li gii trờn b) Mong thi gian ng lóng quờn phõn tớch : PQ2 = PQ(PK + KQ) l mt cỏch chng minh ng thc dng : PX.PY + QM.QN = PQ2 ( õy K l mt im thuc on thng PQ) Cõu 7: Cho ng trũn (O;R) cú ng kớnh AB V dõy cung CD vuụng gúc vi AB (CD khụng i qua tõm O) Trờn tia i ca tia BA ly im S; SC ct (O; R) ti im th hai l M a) Chng minh SMA ng dng vi SBC b) Gi H l giao im ca MA v BC; K l giao im ca MD v AB Chng minh BMHK l t giỏc ni tip v HK // CD c) Chng minh: OK.OS = R2 ỏp ỏn: a) SBC v SMA cú: ã ã ã ã BSC = MSA , SCB = SAM ẳ ) (gúc ni tip cựng chn MB SBC ~ SMA ằ = AD ằ b) Vỡ AB CD nờn AC ã ã Suy MHB (vỡ cựng bng = MKB ằ + sdMB) ẳ t giỏc BMHK (sdAD ni tip c ng trũn ã ã (1) HMB + HKB = 180 ã ã Li cú: HMB = AMB = 900 (2) (gúc ni tip chn na ng trũn) ã T (1) v (2) suy HKB = 900 , ú HK // CD (cựng vuụng gúc vi AB) ẳ = AN ằ c) V ng kớnh MN, suy MB 1 ằ ã ã ã ã ằ - s BM ẳ ); OMK = NMD = s ND Ta cú: OSM = ASC = (s AC = (s 2 ằ ằ - s AN ); AD ã ã ằ = AD ằ v MB ẳ = AN ằ nờn suy OSM m AC = OMK OS OM = OK.OS = OM = R OM OK Cõu 8: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R v tia tip tuyn Ax cựng phớa vi na ng trũn i vi AB T im M trờn Ax k tip tuyn OSM ~ OMK (g.g) th hai MC vi na ng trũn (C l tip im) AC ct OM ti E; MB ct na ng trũn (O) ti D (D khỏc B) a) Chng minh: AMCO v AMDE l cỏc t giỏc ni tip ng trũn ã ã b) Chng minh ADE = ACO c) V CH vuụng gúc vi AB (H AB) Chng minh rng MB i qua trung im ca CH ỏp ỏn: x a) Vỡ MA, MC l tip tuyn nờn: N ã ã AMCO l t MAO = MCO = 90 giỏc ni tip ng trũn ng kớnh MO C ã (gúc ni tip chn na ng M D ADB = 90 ã trũn) ADM I = 900 (1) E Li cú: OA = OC = R; MA = MC (tớnh cht tip tuyn) Suy OM l ng A B H O trung trc ca AC ã AEM = 900 (2) T (1) v (2) suy MADE l t giỏc ni tip ng trũn ng kớnh MA ã ã ã b) T giỏc AMDE ni tip suy ra: ADE = AME = AMO (gúc ni tip cựng chn cung AE) (3) ã ã T giỏc AMCO ni tip suy ra: AMO = ACO (gúc ni tip cựng chn cung AO) (4) ã ã T (3) v (4) suy ADE = ACO ã c) Tia BC ct Ax ti N Ta cú ACB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) ã ACN = 900 , suy ACN vuụng ti C Li cú MC = MA nờn suy c MC = MN, ú MA = MN (5) Mt khỏc ta cú CH // NA (cựng vuụng gúc vi AB) nờn theo nh lớ Ta-lột thỡ IC IH BI = = ữ (6) MN MA BM T (5) v (6) suy IC = IH hay MB i qua trung im ca CH Cõu 9: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB Ly im M thuc on thng OA, im N thuc na ng trũn (O) T A v B v cỏc tip tuyn Ax v By ng thng qua N v vuụng gúc vi NM ct Ax, By th t ti C v D a) Chng minh ACNM v BDNM l cỏc t giỏc ni tip ng trũn b) Chng minh ANB ng dng vi CMD c) Gi I l giao im ca AN v CM, K l giao im ca BN v DM Chng minh IK //AB ỏp ỏn: ã ã a) T giỏc ACNM cú: MNC = 900 (gt) MAC = 900 ( tớnhcht tip tuyn) ACNM l t giỏc ni tip ng trũn ng kớnh MC Tng t t giỏc BDNM ni tip ng trũn ng kớnh MD b) ANB v CMD cú: ã ã ABN = CDM (do t giỏc BDNM ni tip) ã ã BAN = DCM (do t giỏc ACNM ni tip) ANB ~ CMD (g.g) ã ã c) ANB ~ CMD CMD = ANB = ã 900 (do ANB l gúc ni tip chn na ng trũn (O)) ã ã Suy IMK = INK = 900 IMKN l t giỏc ni tip ng trũn ng kớnh ã ã IK IKN = IMN (1) T giỏc ACNM ni tip ã ã IMN = NAC (gúc ni tip cựng chn cung NC) (2) y x D N C K I A M O B ằ ã ã Li cú: NAC = ABN = ( s AN ) (3) ã ã T (1), (2), (3) suy IKN = ABN IK // AB (pcm) Cõu 10: Cho hai ng trũn (O) v (O) ct ti A v B V AC, AD th t l ng kớnh ca hai ng trũn (O) v (O) a) Chng minh ba im C, B, D thng hng b) ng thng AC ct ng trũn (O) ti E; ng thng AD ct ng trũn (O) ti F (E, F khỏc A) Chng minh im C, D, E, F cựng nm trờn mt ng trũn c) Mt ng thng d thay i luụn i qua A ct (O) v (O) th t ti M v N Xỏc nh v trớ ca d CM + DN t giỏ tr ln nht ỏp ỏn: ã ã a) Ta cú ABC v ABD ln F lt l cỏc gúc ni tip chn E N d / na ng trũn (O) v (O ) A I ã ã ABC = ABD = 90 M Suy C, B, D thng hng O/ O b) Xột t giỏc CDEF cú: ã ã ni D CFD = CFA = 900 (gúc K B C tip chn na ng trũn (O)) ã ã ni CED = AED = 900 (gúc / tip chn na ng trũn (O ) ã ã CFD = CED = 900 suy CDEF l t giỏc ni tip ã ã c) Ta cú CMA = DNA = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn); suy CM // DN hay CMND l hỡnh thang Gi I, K th t l trung im ca MN v CD Khi ú IK l ng trung bỡnh ca hỡnh thang CMND Suy IK // CM // DN (1) v CM + DN = 2.IK (2) T (1) suy IK MN IK KA (3) (KA l hng s A v K c nh) T (2) v (3) suy ra: CM + DN 2KA Du = xy v ch IK = AK d AK ti A Vy ng thng d vuụng gúc AK ti A thỡ (CM + DN) t giỏ tr ln nht bng 2KA Cõu 11: Cho ng trũn (O; R), ng kớnh AB Dõy BC = R T B k tip tuyn Bx vi ng trũn Tia AC ct Bx ti M Gi E l trung im ca AC 1) Chng minh t giỏc OBME ni tip ng trũn 2) Gi I l giao im ca BE vi OM Chng minh: IB.IE = IM.IO ỏp ỏn: a) Ta cú E l trung im ca AC OE ã AC hay OEM = 900 ã Ta cú Bx AB ABx =900 nờn t giỏc CBME ni tip b) Vỡ t giỏc OEMB ni tip ã ã ằ ), (cung chn OB OMB = OEB ã ã (cựng chn cung EM) EOM = EBM EIO ~ MIB (g.g) IB.IE = M.IO B O I A E C M x Cõu 12: Cho tam giỏc ABC vuụng A Trờn cnh AC ly im M, dng ng trũn tõm (O) cú ng kớnh MC ng thng BM ct ng trũn tõm (O) ti D, ng thng AD ct ng trũn tõm (O) ti S 1) Chng minh t giỏc ABCD l t giỏc ni tip v CA l tia phõn giỏc ã ca gúc BCS 2) Gi E l giao im ca BC vi ng trũn (O) Chng minh cỏc ng thng BA, EM, CD ng quy 3) Chng minh M l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ADE ỏp ỏn: ã 1) Ta cú BAC = 900 (gt) ã MDC = 900 (gúc ni tip chn na ng k trũn) A, D nhỡn BC di gúc 90 0, t giỏc ABCD ni tip a d ã ã s Vỡ t giỏc ABCD ni tip ADB = ACB (cựng chn cung AB) (1) m ã ã Ta cú t giỏc DMCS ni tip ADB = ACS O ã (cựng bự vi MDS ) (2) ã ã b T (1) v (2) BCA = ACS c e 2) Gi s BA ct CD ti K Ta cú BD CK, CA BK ã M l trc tõm KBC Mt khỏc MEC = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) K, M, E thng hng, hay BA, EM, CD ng quy ti K ã ã ằ ) (3) 3) Vỡ t giỏc ABCD ni tip DAC (cựng chn DC = DBC ã ã ẳ ) (4) Mt khỏc t giỏc BAME ni tip MAE (cựng chn ME = MBE ã ã ã T (3) v (4) DAM hay AM l tia phõn giỏc DAE = MAE ã ã ã Chng minh tng t: ADM = MDE hay DM l tia phõn giỏc ADE Vy M l tõm ng trũn ni tip ADE Cõu 13: Cho ABC cõn ti A, I l tõm ng trũn ni tip, K l tõm ng trũn bng tip gúc A, O l trung im ca IK 1) Chng minh im B, I, C, K cựng thuc mt ng trũn tõm O 2) Chng minh AC l tip tuyn ca ng trũn tõm (O) 3) Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn (O), bit AB = AC = 20cm, BC = 24cm ỏp ỏn: 10 - Vỡ OI BC (nh lý ng kớnh v dõy cung) + $I = 900 + 900 = 1800 => AMOI l t giỏc ni tip c Xột t giỏc AMOI cú M c) Ta cú OA MN ti K (vỡ K trung im MN), MN ct AC ti D + $I = 1800 => t giỏc KOID ni tip ng trũn tõm O1 Xột t giỏc KOID cú K => O1 nm trờn ng trung trc ca DI m AD.AI = AK.AO = AM = AB.AC khụng i (Vỡ A, B, C, I c nh) Do AI khụng i => AD khụng i => D c nh Vy O1 tõm ng trũn ngoi tip OIK luụn thuc ng trung trc ca DI c nh Cõu 32: Qua im A cho trc nm ngoi ng trũn (O) v tip tuyn AB, AC (B, C l cỏc tip im), ly im M trờn cung nh BC, v MH BC; MI AC; MK AB a) Chng minh cỏc t giỏc: BHMK, CHMI ni tip ng trũn b) Chng minh MH2 = MI.MK c) Qua M v tip tuyn vi ng trũn (O) ct AB, AC ti P, Q Chng minh chu vi APQ khụng ph thuc vo v trớ im M ỏp ỏn: +K = 900 + 900 = 1800 a) Xột t giỏc BHMK: H A => T giỏc BHMK ni tip ng trũn CM tng t cú t giỏc CHMI cng ni tip c + HMK ã + HMI ã b) Ta cú B = 1800 =C =C HMK ã ã m B (1) = HMI ã ã ã ã (vỡ gúc ni tip KBM = BCM , KBM = KHM cựng chn cung MK v gúc to bi tia tt v gúc ni tip cựng chn cung BM) ã ã (gúc to bi tia tip tuyn v gúc ni HCM = HIM I K M B H C ẳ ) KHM ã ã tip cựng chn HM (2) = HIM MH MK = MH = MI MK T (1), (2) => HMK ~ IMH (g.g) => MI MH c) Ta cú PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tip tuyn) Xột chu vi APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB khụng i 24 Vỡ A c nh v ng trũn (O) cho trc nờn chu vi APQ khụng ph thuc vo v trớ ca im M (pcm) Cõu 33: Cho hai ng trũn (O; R) v (O; R) tip xỳc ngoi ti A V tip tuyn chung ngoi BC (B, C th t l cỏc tip im thuc (O; R) v (O; R)) ã a) Chng minh BAC = 900 b) Tớnh BC theo R, R c) Gi D l giao im ca ng thng AC v ng trũn (O) (D A), v tip tuyn DE vi ng trũn (O) (E (O)) Chng minh BD = DE ỏp ỏn: a) Qua A v tip tuyn chung ct BC ti M Ta cú MB = MA = MC (t/c tip tuyn ct nhau) = 900 A C M B O A N O' b) Gi s R > R Ly N trung im D ca OO E Ta cú MN l ng trung bỡnh ca hỡnh thang vuụng OBCO =C = 900) v tam giỏc AMN vuụng ti A (OB // OC; B Cú MN = R + R' R R ; AN = Khi ú MA2 = MN2 - AN2 = RR 2 => MA = RR' m BC = 2MA = RR' ã c) Ta cú O, B, D thng hng (vỡ BAD = 900 ; OA = OB = OD) ã = 900, BA CD, ta cú: BD2 = DA DC (1) BDC cú DBC DE DA = => DA DC = DE2 (2) ADE ~ EDC (g.g) => DC DE (1), (2) => BD = DE (pcm) N Cõu 34: Cho ng trũn (O), ng kớnh AB, d 1, d2 l cỏc cỏc ng thng ln lt qua A, B v cựng vuụng gúc vi ng thng AB M, N l cỏc im ã ln lt thuc d1, d2 cho MON = 900 H 1) Chng minh ng thng MN l tip tuyn ca ng trũn (O) M AB 2) Chng minh AM AN = 3) Xỏc nh v trớ ca M, N din tớch tam giỏc MON t giỏ Otr nh nht B A ỏp ỏn: 1) Gi H l hỡnh chiu ca O trờn 25 ng thng MN Xột t giỏc OAMH +H = 1800 (do A =H = 900 ) A => OAMH l t giỏc ni tip ng trũn Tng t t giỏc OANH ni tip c ả =M ả , B =N ả (2 gúc ni tip chn cung) => A 1 1 ả +B =M ả +N ả = 900 => ã A AHB = 90 1 1 => MN l tip tuyn 2) Ta cú AM = MH, BN = NH, theo h thc lng tam vuụng, ta cú: AB AM BN = MH NH = OH2 = (pcm) 1 S MON = OH MN > OH AB (Vỡ AMNB l hỡnh thang vuụng) 2 Du = v ch MN = AB hay H l im chớnh gia ca cung AB AB M, N song song vi AB AM = BN = AB Vy S MON nh nht v ch AM = BN = Cõu 35: T im M ngoi ng trũn (O; R) v hai tip tuyn MA, MB (tip im A; B) v cỏt tuyn ct ng trũn ti im C v D khụng i qua O Gi I l trung im ca CD a) Chng minh im M, A, I, O, B cựng thuc mt ng trũn ã b) Chng minh IM l phõn giỏc ca AIB ỏp ỏn: a) Vỡ MA, MB l tip tuyn ca ng trũn (O) Nờn MA OA; MB OB; M OI CD (Theo nh lý ng kớnh l dõy cung) ã ã ã Do ú MAO = 900 => = MBO = MIO A O M im A, B, I I C thuc ng trũn ng kớnh MO hay D im M, A, I, O, B cựng thuc mt B ng trũn ã ã ã ã b) Ta cú: AIM (vỡ gúc ni tip cựng chn cung MA) BIM = AOM = BOM ã ã (vỡ gúc ni tip cựng chn cung MB) m AOM (tớnh cht hai tip tuyn) = BOM ã ã => AIM => IM l phõn giỏc ca gúc AIB (pcm) = BIM Cõu 36: Cho ng trũn (O), t im A ngoi ng trũn v ng thng AO ct ng trũn (O) ti B, C (AB < AC) Qua A v ng thng khụng i 26 qua (O) ct ng trũn (O) ti D; E (AD < AE) ng thng vuụng gúc vi AB ti A ct ng thng CE ti F a) Chng minh t giỏc ABEF ni tip ng trũn b) Gi M l giao im th hai ca FB vi ng trũn (O), chng minh DM AC c) Chng minh: CE CF + AD AE = AC2 ỏp ỏn: ã a) FAB = 900 (vỡ AF AB) ã = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) BEC F E ã ã ã => BEF = 900 Do ú FAB = 1800 + BEF D Vy t giỏc ABEF ni tip ng trũn O ã ã b) Ta cú: AFB = ( s cung AB) (vỡ = AEB A B 2 gúc ni tip cựng chn cung) M ã ã = ( s cung BD) (vỡ gúc ni tip cựng chn cung) AEB = BMD ã ã Do ú AFB => AF // DM m FA AC => DM AC = BMD C AC CF = => CE.CF = AC.BC (1) CE BC AB AD = => AD.AE = AC.AB (2) ABD ~ AEC (g.g) => AE AC (1), (2) => AD.AE + CE.CF = AC(AB + BC) = AC2 (pcm) Cõu 37: Cho ABC cú gúc nhn, trc tõm l H v ni tip ng trũn (O) V ng kớnh AK a) Chng minh t giỏc BHCK l hỡnh hỡnh hnh b) V OM BC (M BC) Chng minh H, M, K thng hng v AH = 2.OM c) Gi A, B, C l chõn cỏc ng cao thuc cỏc cnh BC, CA, AB ca ABC Khi BC c nh hóy xỏc nh v trớ im A tng S = AB + BC + CA t giỏ tr ln nht ỏp ỏn: A ã a) Ta cú ACK = 90 c) ACF ~ ECB (g.g) => (vỡ gúc ni tip chn na ng trũn) Nờn CK AC m BH AC (vỡ H trc tõm) => CK // BH tng t cú CH // BK => T giỏc BHCK l hbh (pcm) b) OM BC => M trung im ca BC O H B C M K 27 (nh lý ng kớnh v dõy cung) => M l trung im ca HK (vỡ BHCK l hỡnh bỡnh hnh) => pcm AHK cú OM l ng trung bỡnh => AH = 2.OM ã C = BB ã C = 900=> t giỏc BCBC ni tip ng trũn => c) Ta cú AC ã B = ACB ã ã ã m ACB (Ax l tip tuyn ti A) => Ax // BC AC = BAx OA Ax => OA BC Do ú SABOC = R.BC 1 R.AC; SCBOA = R.AB 2 1 S ABC = R(AB + BC + CA)= AA BC < (AO + OM).BC 2 => AB + BC + CA, ln nht A, O, M thng hng A l m chớnh gia cung ln BC Cõu 38: ABC cõn ti A V ng trũn (O; R) tip xỳc vi AB, AC ti B, C ng thng qua im M trờn BC vuụng gúc vi OM ct tia AB, AC ti D, E a) Chng minh im O, B, D, M cựng thuc mt ng trũn b) MD = ME ỏp ỏn: A ã ã a) Ta cú: DBO = 900 (vỡ gt) = DMO Tng t: SBAOC = => im B, M thuc ng trũn ng kớnh DO =>pcm b) Chng minh tng t cú im O, C, E, M ã ã cựng thuc mt ng trũn => MEO = MCO (vỡ gúc ni tip cựng chn cung MO) ã ã (vỡ gúc ni tip cựng chn MBO = MDO E M B C D cung MO) ã ã M MBO (vỡ BOC cõn ti O) = MCO ã ã => MEO => DOE cõn ti O = MDO M MO DE nờn MD = ME (pcm) Cõu 39: Cho ng trũn (O), ng kớnh AB c nh, imM I nm gia A v O cho AI = AO K dõy MN vuụng gúc vi AB ti I, gi C l im tựy ý thuc cung ln MN cho C khụng trựng vi M, N v B Ni AC ctOMN ti E C 1) Chng minh t giỏc IECB ni tip E 2) Chng minh h thc: AM2 = AE.AC A B O 3) Hóy xỏc nh v trớ ca im C cho khongI cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc CME l nh nht ỏp ỏn: N 28 Theo gi thit MN AB ti I ã ã ACB = 900 hay ECB = 900 ã ã EIB + ECB = 1800 m õy l hai gúc i ca t giỏc IECB nờn t giỏc IECB l t giỏc ni tip Theo gi thiờt MN AB, suy A l im ẳ nờn AMN ã ã chớnh gia ca MN (hai = ACM ã ã ã gúc ni tip chn hai cung bng nhau) hay AME , li cú CAM l = ACM gúc chung ú tam giỏc AME ng dng vi tam giỏc ACM AM AE AM2 = AE.AC = AC AM ã ã Theo trờn AMN = ACM AM l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip ã ECM Ni MB ta cú AMB = 900, ú tõm O1 ca ng trũn ngoi tip ECM phi nm trờn BM Ta thy NO1 nh nht NO1 l khong cỏch t N n BM NO1 BM Gi O1 l chõn ng vuụng gúc k t N n BM ta c O1 l tõm ng trũn ngoi tip ECM cú bỏn kớnh l O1M Do ú khong cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip ECM l nh nht thỡ C phi l giao im ca ng trũn (O 1), bỏn kớnh O1M vi ng trũn (O) ú O1 l hỡnh chiu vuụng gúc ca N trờn BM Cõu 40: Bờn hỡnh vuụng ABCD v tam giỏc u ABE V tia Bx thuc na mt phng cha im E, cú b l ng thng AB cho Bx vuụng gúc vi BE Trờn tia Bx ly im F cho BF = BE a) Tớnh s o cỏc gúc ca tam giỏc ADE b) Chng minh im: D, E, F thng hng c) ng trũn tõm O ngoi tip tam giỏc AEB ct AD ti M Chng minh ME // BF ỏp ỏn: 29 C D E x M F O A B a) Tam giỏc ADE cõn ti A vỡ AD = AE Li cú: ả = DAB ã ã A EAB = 900 600 = 300 1 ã ã = AED = (1800 300 ) = 750 Do ú ADE b) T gi thit, d thy tam giỏc BEF = 450 vuụng cõn ti B, nờn E ã ã ả +E = 750 + 600 + 450 = 1800 suy T ú ta cú: DEF = DEA +E im D, E, F thng hng =A ả (cựng chn cung EM) suy B = 300 nờn B ả = 300 c) Ta cú: B 1 ả =B ả nờn E ả = 30 M E 3 ả +E ả = 60 + 300 = 900 hay ME EB Mt khỏc BF EB ú Vy E ME // BF Cõu 41: Cho ng trũn (O) v ng thng d khụng giao vi ng trũn (O) Gi A l hỡnh chiu vuụng gúc ca O trờn ng thng d ng thng i qua A (khụng i qua O) ct ng trũn (O) ti B v C (B nm gia A, C) Tip tip ti B v C ca ng trũn (O) ct ng thng d ln lt ti D v E ng thng BD ct OA, CE ln lt F v M, OE ct AC N a) Chng minh t giỏc AOCE ni tip b) Chng minh AB.EN = AF.EC c) Chng minh A l trung im ca DE 30 C O N M B F d D A E ã Ta cú: OAE = 900 OA d ã OCE = 900 ( CE l tip tuyn ca ng trũn (O)) ã ã Suy ra: OAE + OCE = 1800 Vy t giỏc AOCE ni tip ã ã Ta cú: BAF = CEN (1) (cựng chn cung OC) ãABF = CBM ã ã ã (i nh), CBM = ECN (tớnh cht tip tuyn) ã Suy ra: ãABF = ECN (2) T (1) v (2) ta cú ABF ng dng vi ECN AB AF = AB.EN = AF.EC EC EN ã ã T giỏc ABOD cú OAD = OBD = 900 Suy ra: nờn ABOD ni tip ã ã ã ã Suy ra: ODE = OBC , m OBC = OCB ( OBC cõn ti O) ã ã ã ã Ta cú: OCB = OED ( cựng chn cung OA) ODE = OED Do ú tam giỏc ODE cõn ti O OA l ng cao ca tam giỏc cõn ODE, suy A l trung im ca DE Cõu 42: Cho tam giác PQR vuông cân P Trong góc PQR kẻ tia Qx cắt PR D (D không trùng với P D không trùng với R) Qua R kẻ đờng thẳng vuông góc với Qx E Gọi F giao điểm PQ RE a) Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đợc đờng tròn b) Chứng minh tia EP tia phân giác góc DEF c) Tính số đo góc QFD 31 d) Gọi M trung điểm đoạn thẳng QE Chứng minh điểm M nằm cung tròn cố định tia Qx thay đổi vị trí nằm hai tia QP QR F ỏp ỏn: P N D x E M Q I R a) Ta có: QPR = 900 ( tam giác PQR vuông cân P) QER = 900 ( RE Qx) Tứ giác QPER có hai đỉnh P E nhìn đoạn thẳng QR dới góc không đổi (900) Tứ giác QPER nội tiếp đờng tròn đờng kính QR b) Tứ giác QPER nội tiếp PQR + PER = 1800 mà PER + PEF = 1800 (Hai góc kề bù) PQR = PEF PEF = PRQ (1) Mặt khác ta có: PEQ = PRQ (2) Từ (1) (2) ta có PEF = PEQ EP tia phân giác gócDEF c)Vì RP QF QE RF nên D trực tâm tam giác QRF suy FD QR QFD = PQR (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) mà PQR = 450 (tam giác PQR vuông cân P) QFD = 450 d)Gọi I trung điểm QR N trung điểm PQ (I,N cố định) Ta có: MI đờng trung bình tam giác QRE MI//ER mà ER QE MI QE QMI = 900 M thuộc đờng tròn đờng kính QI Khi Qx QR M I, Qx QP M N Vậy: tia Qx thay đổi vị trí nằm hai tia QP QR M nằm cung NI đờng tròn đờng kính QI cố định Cõu 43: Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB Dõy cung CD vuụng gúc vi AB ti P Trờn cung nh BC ly im M (M khỏc C, B), ng thng AM ct CD ti Q a Chng minh t giỏc PQMB ni tip c mt ng trũn b Chng minh AQP ABM, suy ra: AC2 = AQ.AM c Gi giao im ca CB vi AM l S, MD vi AB l T Chng minh ST//CD ỏp ỏn: M 32 C S Q A B P T O D ã a Ta cú: QPB = 900 (do AB CD) ã QMB = ãAMB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) ã ã Do ú: QPB + QMB = 2v Vy PQMB ni tip b Cỏc tam giỏc vuụng AQP v ABM cú chung gúc A nờn chỳng ng dng suy ra: = => AQ.AM = AB.AP (1) Mt khỏc, ABC cú ãACB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) nờn nú l tam giỏc vuụng ti C, li cú CP l ng cao nờn: AC2 = AP.AB (2) T (1) v (2) suy ra: AC2 = AQ AM ã ã c Vỡ AB CD => ằAC = ằAD => ãAMD = ãABC hay SMT = SBT Vỡ M, B cựng nhỡn on ST di mt gúc nờn t giỏc STBM ni tip ã ã Do SMB = 900 nờn STB = 900 suy ra: ST // CD (cựng vuụng gúc vi AB) Cõu 44: Cho tam giỏc ABC u cú AH l ng cao, M l im bt kỡ trờn cnh BC (M khỏc B, C) T v MP vuụng gúc AB, MQ vuụng gúc AC (P thuc AB, Q thuc AC a) Chng minh : A, P, M, H, Q cựng nawmg trờn mt ng trũn b) Gi O l trung im ca AM Chng minh cỏc tam giỏc OPH v A OQH l tam giỏc u, t ú suy OH PQ c) Tỡm giỏ tr nh nht ca on thng PQ M chy trờn cnh BC, bit di cnh ca tam giỏc ABC l a ỏp ỏn: O Q I P C B M H 33 Ta cos MP AB, MQ AC, AH BC Nờn P, H, Q cựng nhỡn on thng AM di mt gúc vuụng Vy A, P, M, H, Q cựng nm trờn mt ng trũn ng kớnh AM Xột ng trũn ng kớnh AM, tõm O Ta cú OP = OH = OQ nờm POH, HOQ cõn ti O ã ã s POH =2s PAH = 600 ã ã s HOQ =2s HAQ = 600 Suy POH, HOQ u OP =PH = HQ =QO Do ú t giỏc OPHQ l hỡnh thoi OH PQ Gi I l giao im ca OH v PQ PQ = 2PI = OP = a M AM AH= OA = AM 3a M trựng H Cõu 45: Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB Trờn ng trũn (O) ly im M cho AM < BM (M A) Cỏc tip tuyn ti B v M ca ng trũn (O) ct im C, BM ct OC ti E ng thng qua M vuụng gúc vi AB ti H ng thng AC ct ng trũn (O) ti F, ct MH ti N a) Chng minh t giỏc BHNF ni tip b) Chng minh CF.CA=CE.CO c) Chng minh N l trung im ca MH ỏp ỏn: Vy giỏ tr nh nht PQ l C M A F N H E O B 34 ã Ta cú: BHN = 900 ã BFN = 900 ( MH AB ) ã ( AFB gúc ni tip chn na ng trũn) ã ã Suy BHN + BFN = 1800 Vy t giỏc BHNF ni tip Trong tam giỏc vuụng ABC, ta cú CF CA = CB (1) Ta cú CM=CB (tớnh cht hai tip tuyn giao nhau)v OM = OB nờn CO l trung trc BM, ú CO vuụng gúc BE Trong tam giỏc vuụng OBC, ta cú CE.CO = CB (2) T (1) v (2) ta cú CF.CA = CE.CO Ta cú NH // CB nờn NH CB = AH AB ã ã Ta cú AM//OC (cựng vuụng gúc vi BM) nờn MAH , suy hai tam = COB giỏc vuụng MAH v COB ng dng Do ú: MH CB CB NH = =2 =2 AH OB AB AH Suy MH = 2NH hay N l trung im MH Cõu 46: Cho ng trũn (O) v ng thng d khụng giao vi ng trũn (O) Gi P l hỡnh chiu vuụng gúc ca O trờn ng thng d ng thng i qua P (khụng i qua O) ct ng trũn (O) ti B v C (B nm gia P, C) Tip tuyn ti B v C ca ng trũn (O) ct ng thng d ln lt ti D v E ng thng BD ct OP, CE ln lt F v M, OE ct PC N a) Chng minh t giỏc POCE ni tip b) Chng minh PB.EN=PF.EC c) Chng minh P l trung im DE ỏp ỏn: 35 C O N F M B d D P E ã a)Ta cú: OPE = 900 ( OP d ) ã OCE = 900 (EC l tip tuyn ca ng trũn (O)) ã ã Suy OPE + OCE = 1800 Vy t giỏc POCE ni tip ã ã b)Ta cú BPF (1) (cựng chn cung OC) = CEN ã ã ã ã (i nh), CBM (tớnh cht tip tuyn) PBF = CBM = ECN ã ã Suy PBF (2) = ECN T (1) v (2) ta cú PBF ng dng vi ECN Suy PB PF = PB.EN = PF EC EC EN ã ã c) T giỏc PBOD cú OPD = OBD = 900 nờn PBOD ni tip ã ã ã ã Suy ODE , m OBC ( OBC cõn ti O).Ta cú = OBC = OCB ã ã ã ã (cựng chn cung OP) ODE OCB = OED = OED Do ú tam giỏc ODE cõn ti O OP l ng cao ca tam giỏc cõn ODE, suy P l trung im ca DE Cõu 47: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc u nhn ni tip ng trũn tõm O, hai ng cao BD v CE ct ng trũn (O) theo th t ti P v Q (P B, Q C) a) Chng minh t giỏc BCDE ni tip c mt ng trũn b) Gi H l giao im ca BD v CE Chng minh HB.HP = HC.HQ c) Chng minh OA vuụng gúc vi DE ỏp ỏn: 36 ã ã a) Ta cú BD AC (gt) => BDC = 900 , CE AB (gt) => BEC = 900 Nờn im D v E cựng nhỡn on thng BC di mt gúc vuụng Vy t giỏc BCDE ni tip ng trũn ng kớnh BC b) Xột BHQ v CHP cú : ã ã (i nh) BHQ = CHP ã ã (Hai gúc ni tip cựng chn cung BC ca ng trũn BQH = CPH (O)) Nờn BHQ ng dng vi CHP (g-g) BH HQ = Hay BH.HP = HC HQ CH HP ã ã c) Ta cú BDE = BCQ ( gúc ni tip cựng chn cung BE ca ng Suy ra: trũn ngoi tip t giỏc BCDE) (1) ã ã (gúc ni tip cựng chn cung BQ ca ng trũn (O)) (2) BCQ = QPB ã ã T (1) v (2) => QPB = BDE m hai gúc ny li v trớ ng v => PQ//DE (*) ã ã Ta cú DCE (gúc ni tip cựng chn cung DE ca ng trũn = BDE ni tip t giỏc BCDE) Hay ãACQ = ãABP ằAP = ằAQ AP = AQ (3) 37 Mt khỏc: OP = OQ (cựng l bỏn kớnh ca ng (O) ) (4) T (3) v (4) => OA l ng trung trc ca on thng PQ => OA PQ (*) (*) T (*) v (*) (*) suy OA DE (pcm) 38 [...]... QP và QR F ỏp ỏn: P N D x E M Q I R a) Ta có: QPR = 900 ( vì tam giác PQR vuông cân ở P) QER = 900 ( RE Qx) Tứ giác QPER có hai đỉnh P và E nhìn đoạn thẳng QR dới một góc không đổi (900) Tứ giác QPER nội tiếp đờng tròn đờng kính QR b) Tứ giác QPER nội tiếp PQR + PER = 1800 mà PER + PEF = 1800 (Hai góc kề bù) PQR = PEF PEF = PRQ (1) Mặt khác ta có: PEQ = PRQ (2) Từ (1) và (2) ta có PEF = PEQ EP là tia phân giác của gócDEF c)Vì RP QF và QE RF nên D là trực tâm của tam giác QRF suy ra FD QR QFD = PQR (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) mà PQR = 450 (tam giác PQR vuông cân ở P) QFD = 450 d)Gọi I là trung điểm của QR và N là trung điểm của PQ (I,N cố định) Ta có: MI là đờng trung bình của tam giác QRE MI//ER mà ER... AE.AC A B O 3) Hóy xỏc nh v trớ ca im C sao cho khongI cỏch t N n tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc CME l nh nht ỏp ỏn: N 28 1 Theo gi thit MN AB ti I ã ã ACB = 900 hay ECB = 900 ã ã EIB + ECB = 1800 m õy l hai gúc i ca t giỏc IECB nờn t giỏc IECB l t giỏc ni tip 2 Theo gi thi t MN AB, suy ra A l im ẳ nờn AMN ã ã chớnh gia ca MN (hai = ACM ã ã ã gúc ni tip chn hai cung bng nhau) hay AME , li cú CAM l =... Cỏc t giỏc ABEH, DCEH ni tip c ng trũn 2) E l tõm ng trũn ni tip tam giỏc BCH 2) Nm im B, C, I, O, H cựng thuc mt ng trũn ỏp ỏn: à à 1) T giỏc ABEH cú: B = 900 (gúc ni tip trong na ng trũn); H = 900 (gi thit) nờn t giỏc ABEH ni tip c à à Tng t, t giỏc DCEH cú C = H = 900 , nờn ni tip c 2) Trong t giỏc ni tip ABEH, ta cú: 19 ã ã ằ ) EBH = EAH (cựng chn cung EH C ã ã ã Trong (O) ta cú: EAH = CAD = CBD B...1) Theo gi thit ta cú: =B , B =B B 1 2 3 4 = 1800 M B1 + B2 + B3 + B 4 ảB + B ả = 900 2 A I 3 +C = 900 Tng t C 2 3 ) ) Xột t giỏc BICK cú B + C = 1800 4 im B, I, C, K thuc ng trũn tõm O ng kớnh IK 2) Ni... AD ti M Chng minh ME // BF ỏp ỏn: 29 C D E 3 2 1 x M F O 1 2 A 1 B a) Tam giỏc ADE cõn ti A vỡ AD = AE Li cú: ả = DAB ã ã A EAB = 900 600 = 300 1 1 ã ã = AED = (1800 300 ) = 750 Do ú ADE 2 b) T gi thit, d thy tam giỏc BEF à = 450 vuụng cõn ti B, nờn E 1 ã ã ả +E à = 750 + 600 + 450 = 1800 suy ra 3 T ú ta cú: DEF = DEA +E 2 1 im D, E, F thng hng à =A ả (cựng chn cung EM) suy ra B à = 300 nờn B ả... kớnh BH ct AB ti E, na ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F Chng minh: 1) T giỏc AFHE l hỡnh ch nht 2) T giỏc BEFC l t giỏc ni tip ng trũn 3) EF l tip tuyn chung ca 2 na ng trũn a ng kớnh BH v HC ỏp ỏn: 1) T gi thit suy ra f ã ã CFH = 900 , HEB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) c o e b o2 h o1 11 Trong t giỏc AFHE cú: à = F$ = E à = 900 AFHE A l hỡnh ch nht ã ã 2) Vỡ AEHF l hỡnh ch nht AEHF ni tip AFE (gúc... trũn ã 2) Chng mỡnh rng MDN = 900 3) Gi P l giao im ca AC v DM, Q l giao im ca BC v DN Chng minh rng PQ song song vi AB ỏp ỏn: ã 1) Ta cú vỡ Ax l tip tuyn ca na ng trũn nờn MAD = 900 Mt khỏc ã theo gi thit MCD = 900 nờn suy ra t giỏc ADCM ni tip Tng t, t giỏc BDCN cng ni tip 2) Theo cõu trờn vỡ cỏc t giỏc ADCM v BDCN ni tip nờn: ã ã ã ã , DNC DMC = DAC = DBC ã ã ã ã ã Suy ra DMC + DNC = DAC + DBC =