IMO 2010 Bản Tiếng Việt

Language: Vietnamese Day: Thứ 4, 7/7/2010 Bài 1.Tìm tất hàm f : R → R cho đẳng thức f ( x y) = f (x) f (y) thỏa mãn với x, y ∈ R (Trong z ký hiệu số nguyên lớn nhỏ z.) Bài Giả sử I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC giả sử Γ đường tròn ngoại tiếp Giả sử đường thẳng AI lại cắt Γ D Giả sử E điểm cung BDC F điểm cạnh BC cho BAF = CAE < BAC Giả sử G trung điểm đoạn IF Chứng minh đường thẳng DG EI cắt điểm Γ Bài Giả sử N tập hợp số nguyên dương Tìm tất hàm g: N → N cho (g(m) + n)(m + g(n)) số phương với m, n ∈ N Language: Vietnamse Thời gian: 30 phút Mỗi điểm Language: Vietnamese Day: Thứ 5, 8/7/2010 Bài 4.Giả sử P điểm bên tam giác ABC Các đường thẳng AP , BP CP lại cắt đường tròn ngoại tiếp Γ tam giác ABC điểm K, L M , tương ứng Tiếp tuyến Γ C cắt đường thẳng AB S Giả sử SC = SP Chứng minh M K = M L Bài Mỗi hộp sáu hộp B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 ban đầu chứa đồng xu Cho phép tiến hành hai loại phép toán sau đây: Loại 1: Chọn hộp không rỗng Bj với ≤ j ≤ Lấy đồng xu khỏi Bj bỏ thêm hai đồng xu vào Bj+1 Loại 2: Chọn hộp không rỗng Bk với ≤ k ≤ Lấy đồng xu khỏi Bk tráo đổi số đồng xu đựng hộp (có thể rỗng) Bk+1 Bk+2 cho Tồn hay không dãy hữu hạn phép toán cho đến kết cuối hộp 2010 c c B1 , B2 , B3 , B4 , B5 rỗng, hộp B6 đựng 20102010 đồng xu (Chú ý ab = a(b ) ) Bài Giả sử a1 , a2 , a3 , dãy số thực dương Giả sử với số nguyên dương cố định s, ta có an = max{ak + an−k | ≤ k ≤ n − 1} với n > s Chứng minh tồn số nguyên dương N , với ≤ s cho an = a + an− với n ≥ N Language: Vietnamese Thời gian: 30 phút Mỗi điểm