bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 CHUYấN 1: THC HIN TNH V RT GN BIU THC I Kin thc: - S dng cỏc phộp tớnh, cỏc phộp bin i trờn cn thc gii - Cỏc dng bi tp: + Thc hin tớnh vi biu thc s + Rỳt gn cỏc biu thc i s + So sỏnh cỏc biu thc s II Bi tng hp: Tit 1: Bi : 1) n gin biu thc : 2) Cho biu thc : P = 14 + + 14 x +2 Q = x + x +1 x x +1 ữ x ữ x a) Rỳt gn biu thc Q b) Tỡm x Q > - Q c) Tỡm s nguyờn x Q cú giỏ tr nguyờn Hng dn : P = a) KX : x > ; x Biu thc rỳt gn : Q = x b) Q > - Q x > c) x = { 2;3} thỡ Q Z Bi : Cho biu thc P = x +1 + x x x a) Rỳt gn biu thc sau P b) Tớnh giỏ tr ca biu thc P x = Hng dn : a) KX : x > ; x Biu thc rỳt gn : P = b) Vi x = x +1 x thỡ P = - 2 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 x x +1 x x x +1 Bi : Cho biu thc : A = a) Rỳt gn biu thc sau A b) Tớnh giỏ tr ca biu thc A x = c) Tỡm x A < d) Tỡm x A = A Hng dn : a) KX : x 0, x Biu thc rỳt gn : A = b) Vi x = x x 1 thỡ A = - c) Vi x < thỡ A < d) Vi x > thỡ A = A 1 + Bi : Cho biu thc : A = ữ ữ a + a a a) Rỳt gn biu thc sau A b) Xỏc nh a biu thc A > Hng dn : a) KX : a > v a Biu thc rỳt gn : A = b) Vi < a < thỡ biu thc A > a +3 Tit 2: x +1 x + A= x x +1 1) Tỡm iu kin i vi x biu thc cú ngha 2) Rỳt gn A 3) Vi x Z ? A Z ? Hng dn : a) KX : x ; x Bi : Cho biu thc: b) Biu thc rỳt gn : A = x 4x x + 2003 ữ x2 x x + 2003 vi x ; x x c) x = - 2003 ; 2003 thỡ A Z Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 ( ) x x x x +1 x x +1 ữ: x x+ x ữ x x Bi : Cho biu thc: A = a) Rỳt gn A b) Tỡm x A < c) Tỡm x nguyờn A cú giỏ tr nguyờn Hng dn : a) KX : x > ; x Biu thc rỳt gn : A = x +1 x b) Vi < x < thỡ A < c) x = { 4;9} thỡ A Z Bi : Cho biu thc: x+2 A = x x + x ữ: x + x +1 x ữ x + a) Rỳt gn biu thc A b) Chng minh rng: < A < Hng dn : a) KX : x > ; x Biu thc rỳt gn : A = x + x +1 b) Ta xột hai trng hp : +) A > +) A < x + x +1 x + x +1 > luụn ỳng vi x > ; x (1) < 2( x + x + ) > x + x > ỳng vỡ theo gt thỡ x > (2) T (1) v (2) suy < A < 2(pcm) Bi : Cho biu thc: P = a +3 a a a +2 + a (a 0; a 4) 4a a) Rỳt gn P b) Tớnh giỏ tr ca P vi a = Hng dn : a) KX : a 0, a Biu thc rỳt gn : P = b) Ta thy a = KX Suy P = 4 a Tit 3: Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 N = + Bi : Cho biu thc: a + a a a ữ ữ a + ữ a ữ 1) Rỳt gn biu thc N 2) Tỡm giỏ tr ca a N = -2004 Hng dn : a) KX : a 0, a Biu thc rỳt gn : N = a b) Ta thy a = - 2004 KX Suy N = 2005 Bi 10 : Cho biu thc P = x x + 26 x 19 x + x+2 x x x x +3 a Rỳt gn P b Tớnh giỏ tr ca P x = c Vi giỏ tr no ca x thỡ P t giỏ tr nh nht v tớnh giỏ tr nh nht ú Hng dn : x + 16 x +3 103 + 3 b) Ta thy x = KX Suy P = 22 a ) KX : x 0, x Biu thc rỳt gn : P = c) Pmin=4 x=4 x 3x + x 1ữ ữ x x + ữ: Bi 11 : Cho biu thc P = x +3 x ữ x b Tỡm x P < a Rỳt gn P c Tỡm giỏ tr nh nht ca P Hng dn : a ) KX : x 0, x Biu thc rỳt gn : P = b Vi x < thỡ P < x +3 c Pmin= -1 x = a +1 a ( ) +4 aữ Bi 12: Cho A= vi x>0 ,x ữ a + a ữ a +1 a a Rỳt gn A b Tớnh A vi a = ( + 15 ) ( 10 ) 15 ( KQ : A= 4a ) Tit 4: Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 x x x x x 1ữ : + ữ vi x , x 9, x Bi 13: Cho A= ữ x+ x x x +3ữ x9 a Rỳt gn A b x= ? Thỡ A < c Tỡm x Z A Z ) x (KQ : A= Bi 14: Cho A = 15 x 11 x 2 x + + x + x x x +3 vi x , x a Rỳt gn A b Tỡm GTLN ca A c Tỡm x A = d CMR : A Bi 15: Cho A = 2 (KQ: A= x+2 x +1 + + x x x + x + 1 x 25 x ) x +3 vi x , x a Rỳt gn A b Tỡm GTLN ca A ( KQ : A = x ) x + x +1 + vi x , x x +1 x x +1 x x +1 Bi 16: Cho A = a Rỳt gn A b CMR : A ( KQ : A x ) x x +1 III Bi v nh: x x 25 x x +3 x 1ữ : + ữ ữ x + x 15 x +5 x 3ữ x 25 Bi 17: Cho A = a Rỳt gn A b Tỡm x Z A Z Bi 18: Cho A = a a + a +1 a a +6 a a vi a , a , a a Rỳt gn A b Tỡm a A < c Tỡm a Z A Z = Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn x x +7 x +2 x 2 x + : ữ ữ Bi 19: Cho A= x 2ữ x +2 x4ữ x4 x Nm hc 2015 - 2016 vi x > , x a Rỳt gn A b So sỏnh A vi A 3 x y x y ữ: + Bi 20: Cho A = x y yx ữ ( x y ) + xy x+ y vi x , y 0, x y a Rỳt gn A b CMR : A x x x x +1 x +1 x + x + ữ ữ x x x+ x x x x +1ữ Bi 21 : Cho A = Vi x > , x a Rỳt gn A b Tỡm x A = 1 x 2 : ữ ữ vi x , x ữ x +1 x x x + x x x Bi 22: Cho A= a Rỳt gn A b Tỡm x Z A Z c Tỡm x A t GTNN x x 3x + x + 1ữ ữ: ữ x x ữ x +3 x Bi 23 : Cho A = vi x , x a Rỳt gn A x +1 x x x x : ữ ữ vi x , x x x +1 x ữ x ữ x b Tỡm x A < Bi 24 : Cho A = a Rỳt gn A b Tớnh A vi x = c CMR : A Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 CHUYấN : GII CC DNG PHNG TRèNH Vễ T Phng phỏp chung : gii phng trỡnh cha du cn ta tỡm cỏch kh du cn - Tỡm KX ca phng trỡnh - Bin i a phng trỡnh v dng ó hc - Gii phng trỡnh va tỡm c - So sỏnh kt qu vi KX ri kt lun nghim Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t: a/ Phng phỏp1: Nõng lờn lu tha (Bỡnh phng hoc lp phng v PT): Gii phng trỡnh dng : Vớ d 1: f ( x ) = g ( x) x + = x (1) KX : x+1 x -1 Gii phng trỡnh : Vi x -1 thỡ v trỏi ca phng trỡnh khụng õm phng trỡnh cú nghim thỡ x-1 x 1.Khi ú phng trỡnh (1) tng ng vi phng trỡnh : x = x+1 = (x-1)2 x2 -3x= x(x-3) = x = Ch cú nghim x =3 tho iu kin x Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l x =3 Vớ d 2: Gii phng trỡnh: x = 13 x x + x = 13 x x 13 x x 13 ( 1) KX : Bỡnh phng hai v ca (1) ta c : x = (13 x) x 13 (2) x 27 x + 170 = Phng trỡnh ny cú nghim x1 = 10 v x = 17 Ch cú x1 = 10 thoó (2) Vy nghim ca phng trỡnh l x = 10 * Gii phng trỡnh dng : Vớ d 3: f ( x ) + h( x ) = g ( x ) Gii phng trỡnh: x = 1+ + x x + x = (1) Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn x KX: 2+ x Nm hc 2015 - 2016 x x x Bỡnh phng hai v ca phng trỡnh (1) ta c : x = 1+ 2 + x + + x x2 + x = Phng trỡnh ny cú nghim x = thoó (2) Vy nghim ca phng trỡnh l x = Vớ d 4: Gii phng trỡnh: x + + x = (1) Lp phng trỡnh hai v ca (1) ta c: x + + x + 33 ( x + 1)(7 x) = x =-1 x =7 (u tho (1 ) (u tho (1 ) Vy x = 1; x = l nghim ca phng trỡnh f ( x ) + h( x ) = * Gii phng trỡnh dng : Vớ d5: (x-1) (7- x) = Gii phng trỡnh g (x) x + - x = 12 x x + = 12 x + x (1) x + KX: 12 x x x x 12 x 12 x Bỡnh phng hai v ta c: x- = (12 x)( x 7) (3) Ta thy hai v ca phng trỡnh (3) u thoó (2) vỡ vy bỡnh phng v ca phng trỡnh (3) ta c : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) 5x2 - 84x + 352 = Phng trỡnh ny cú nghim x1 = Vy x1 = 44 v x2 = l nghim ca phng trỡnh * Gii phng trỡnh dng : Vớ d 6: 44 v x2 = u tho (2) Gii phng trỡnh : f ( x ) + h( x ) = g (x) + x + + x + 10 = q (x) x + + x + (1) Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn x + x + 10 KX : x + x + Nm hc 2015 - 2016 x x 10 x x x -1 (2) Bỡnh phng hai v ca (1) ta c : x+1 + x+ 10 + ( x + 1)( x + 10) = x+2 + x+ + ( x + 2)( x + 5) 2+ ( x + 1)( x + 10) = ( x + 2)( x + 5) (3) Vi x -1 thỡ hai v ca (3) u dng nờn bỡnh phng hai v ca (3) ta c ( x + 1)( x + 10) = 1- x iu kin õy l x -1 (4) x x = l nghim nht ca phng trỡnh (1) x Ta ch vic kt hp gia (2) v (4) + / Bi v nh: x = x- x + 45 - x 16 =1 x = x - (2 x + 5) + x x + = x+ x + + x =3 x + x = x b / Phng phỏp : a v phng trỡnh cha n du giỏ tr tuyt i : Vớ d1: KX: Gii phng trỡnh: x 24 x + 16 = x + x 24 x + 16 x + Phng trỡnh (1) (1) (3x 4) 0x x x = x + x = -x + x = x x4 x = x = Vi x= hoc x = u l nghim ca phng trỡnh (u tho x ) Vớ d : Gii phng trỡnh : x 4x = + x x + 16 = KX: x R Phng trỡnh tng ng : x + x = Lp bng xột du : x x- - x- - + - + + Ta xột cỏc khong : Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn + Khi x < ta cú (2) 6-2x =5 Nm hc 2015 - 2016 x = 0,5(tho x 2) + Khi x ta cú (2) 0x + =5 vụ nghim + Khi x > ta cú (2) 2x =5 x =5,5 (tho x > ) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l x = 0,5 v x = 5,5 Vớ d : Gii phng trỡnh: x x + + x x + = ; KX: x Phng trỡnh c vit li l : ( x 1) x + + ( x 1) x + = ( x 2) + ( x 3) = x + - Nu x < ta cú (1) 2- x + - x = x =1 (1) x =2 x= khụng thuc khong ang xột - Nu x 10 thỡ (1) 0x = Phng trỡnh cú vụ s nghim - Nu x> 10 thỡ (1) -5 = phng trinh vụ nghim Vy phng trỡnh cú vụ s nghim : x 10 Bi v nh: x x + + x + 10 x + 25 = x + + x + x + x = x + + x + x x = 2 c.Phng phỏp : t n ph: Vớ d 1: Gii phng trỡnh: 2x2 + 3x + x + 3x + =33 KX : x R Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2x2 + 3x +9 + x + 3x + - 42= (1) t 2x2 + 3x +9 = y > (Chỳ ý rng hc sinh thng mc sai lm khụng t iu kin bt buc cho n ph y) Ta c phng trỡnh mi : y2 + y 42 = y1 = , y2 = -7 Cú nghim y =6 tho y> T ú ta cú x + 3x + =6 2x2 + 3x -27 = Phng trỡnh cú nghim x1 = 3, x2 = - C hai nghim ny chớnh l nghim ca phng trỡnh ó cho Vớ d 2: t Gii phng trỡnh: x =y x+ x = 12 (KX : x 0) x = y2 ta cú phng trỡnh mi 10 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 x y y x + + + y2 x2 y x Cho x, y > Tỡm GTNN ca D = Phng phỏp 04: S dng biu thc ph tỡm cc tr ca biu thc no ú, ụi ngi ta xột cc tr ca biu thc khỏc cú th so sỏnh c vi nú, nu biu thc ph d tỡm cc tr hn Vớ d: tỡm cc tr ca biu thc A vi A > 0, ta cú th xột cc tr ca biu thc: , -A, kA, k + A, | A A| , A2 (k l hng s) I Cỏc v d: x2 Vớ d 1: Tỡm GTLN ca A = x + x2 + Gii: a) Xột x = A = giỏ tr ny khụng phi l GTLN ca A vỡ vi x ta cú A > ú Amax Pmin A x4 + x2 + 1 = x2 + +1 vi cỏch t trờn ta cú : P = x x 1 ta cú : x2 + x = (theo cụsi) P + = Pmin = x = x x Do ú : Amax = x = x Vớ d 2: Tỡm GTNN ca B = ( x + 2002) vi x > b) Xột x t P = Gii: t P1 = - B nh vy P1max Mmin x Ta cú : P1 = ( x + 2002) vi x > P > t P2 = P > vi x > ú P2 Min P1 Max ( x + 2002) x + 2.x.2002 + 2002 = x x 2 x 2.x.2002 + 2002 + 4.x.2002 P2 = x ( x 2002) + 4.2002 4.2002 = 8008 P2 = x ( x 2002) (do x > 0) x P2 = x = 2002 8008 1 BMin = x = 2002 Vy BMin = x = 2002 8008 8008 P2 Min = 8008 x = 2002 P1 Max = Vớ d 3: Cho a, b, c dng v a + b + c = 55 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 Tỡm GTLN ca C = 5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a Gii: Do a, b, c > C > t: P = C2 ú PMax CMax Ta cú: P = ( 5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a ) P (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacụpxki P 3.9(a + b + c) = 81 a + b + c = PMax = 81 a = b = c = C Max = 81 a = b = c = CMax = a = b = c = Vy CMax = a = b = c = Vớ d 4: Cho x, y, z, t > x y+t y t+x t Tỡm GTNN ca D = y + t + x + t + x + y + x + y + Gii : t P = 2D ta cú : 2x P = y+t + x+ y t 2( y + t ) 2y 2(t + x) 2( x + y ) 2t + + + + x t+x y x+ y t 2x y + t 2y x+ y y+t t + x x+t t + x 2t + + + + + + + + 2x t + x 2y x + y 2t x y t y+t 2x y + t 2y x+ y y t t x x y t + x 2t + + + + + + + + + + + P= 2x t + x 2y x + y 2t x x y y t t y+t P + + + (theo cụsi) 15 15 P 15 PMin = 15 x = y = t > DMin = x = y = t b Vy DMin = x=y=t 2 P= II Cỏc bi : xy yz zx Cho x,y, z > v x2 + y2 + z2 = Tỡm GTNN ca A = z + x + y x8 + x + Cho x Tỡm GTNN ca B = x4 x8 Cho x Tỡm GTLN ca C = 16 x + x +1 Cho a2 + b2 + c2 = Tỡm GTLN ca D = a + 2b + 3c a b a+b b+c c+d d +a = + + Cho a, b, c, d > Tỡm GTNN ca F = b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c Cho a,b > v a + b = Tỡm GTNN ca E = Cho a,b |R Tỡm GTNN ca G = a + (1 b) + b + (1 a) Phng phỏp 05: Phng phỏp giỏ tr 56 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 Trong mt s trng hp c bit, biu thc i s ó cho ch cú th cú mt hoc hai bin s v a c v dng tam thc bc thỡ ta cú th s dng kin thc v gi tr ca hm s gii Phng phỏp chung: Gii s ta phi tỡm cc tr ca hm s f(x) cú giỏ tr D Gi y l mt giỏ tr no ú ca f(x) vi x D iu ny cú ngha l iu kin phng trỡnh f(x) = y cú nghim Sau ú gii iu kin phng trỡnh f(x) = y cú nghim (x l bin, coi y l tham s) Thng a n biu thc sau: m yM T ú Min f(x) = m vi x D Max f(x) = M vi x D I Cỏc vớ d: Vớ d 1: Tỡm GTNN ca f(x) = x2 + 4x + Gii: Gi y l mt giỏ tr ca f(x) Ta cú : y = x2 + 4x + x2 + 4x + - y = (cú nghim) ' = - + y y1 Vy f(x) Min = x = -2 Vớ d 2: Tỡm GTLN ca f(x) = - x2 + 2x - Gii: Gi y l mt giỏ tr ca f(x) Ta cú: y = - x2 + 2x - x2 - 2x + y + (cú nghim) ' = - y - y-6 Vy f(x)Max = -6 x = Vớ d 3: Tỡm GTLN, GTNN ca f(x) = x + 4x + x + 2x + Gii: Gi y l mt giỏ tr ca f(x) x + 4x + Ta cú : y = yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = x + 2x + (y - 1)x2 + (y - 2).x + 3y - = (cú nghim) * Nu y = x = - * Nu y ' = (y - 2)2 + (3y - 6) (1 - y) y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y - - 2y2 + 5y + Ta thy : Do vy : y2 80 Thi gian xe mỏy i gp ụ tụ l y (gi) 100 Qung ng ụ tụ i l 100 km nờn thi gian ụ tụ i l y (gi) 100 80 ta cú phng trỡnh x = y (1) 60 Qung ng xe mỏy i l 60 km nờn thi gian xe mỏy i l y (gi) 120 Qung ng ụ tụ i lag 120 km nờn thi gian ụ tụ i l y (gi) Vỡ ụ tụ i trc xe mỏy 54 phỳt = nờn ta cú phng trỡnh 10 120 60 = (2) x y 10 100 80 100 80 = x x y =0 y T (1) v (2) ta cú h phng trỡnh 120 60 = 40 20 = x x y 10 y 10 100 80 60 12 = x y =0 x = 50 x 10 (thoả mãn điều kiện) 100 80 160 80 12 y = 40 =0 = y x x y 10 Vy tc ca ụ tụ l 50 km/h Vn tc ca xe mỏy l 40 km/h Vớ d 3: Mt ụ tụ i trờn qung ng dai 520 km Khi i c 240 km thỡ ụ tụ tng tc thờm 10 km/h na v i ht qung ng cũn li T ớnh tc ban u ca ụ tụ bit thi gian i ht qung ng l gi Gii: Gi tc ban u ca ụ tụ l x (km/h), k: x>0 Vn tc lỳc sau ca ụ tụ l x+10 (km/h) Thi gian ụ tụ i ht qung ng u l 240 (gi) x 61 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Thi gian ụ tụ i ht qung ng u l Nm hc 2015 - 2016 280 (gi) x + 10 Vỡ thi gian ụ tụ i ht qung ng l gi nờn ta cú phng trỡnh 240 280 + = x 55x 300 = x x + 10 = b 4ac = (55)2 4.( 300) = 4225 > = 4225 = 65 55 + 65 55 65 = 60(TMDK);x = = 5(loai) Phng trỡnh cú hai nghim x1 = 2 Vy tc ban u ca ụ tụ l 60 km/h Bi tp: Mt ụ tụ hnh t A vi tc 50 km/h Qua gi 15 phỳt ụ tụ th hai cng hnh t A i cựng hng vi ụ tụ th nht vi tc 40 km/h Hi sau my gi thỡ ụ tụ gp nhau, im gp cỏch A bao nhiờu km? Mt ca nụ xuụi dũng 50 km ri ngc dũng 30 km Bit thi gian i xuụi dũng lõu hn thi gian ngc dũng l 30 phỳt v tc i xuụi dũng ln hn tc i ngc dũng l km/h Tớnh tc lỳc i xuụi dũng? Hai ụ tụ cựng hnh cựng mt lỳc t A n B cỏch 150 km Bit tc ụ tụ th nht ln hn tc ụ tụ th hai l 10 km/h v ụ tụ th nht n B trc ụ tụ th hai l 30 phỳt Tớnh võnl tc ca mi ụ tụ Mt chic thuyn i trờn dũng sụng di 50 km Tng thi gian xuụi dũng v ngc dũng l gi 10 phỳt Tớnh tc thc ca thuyn bit rng mt chic bố th ni phi mt 10 gi mi xuụi ht dũng sụng Mt ngi i xe p t A n B cỏch 108 km Cựng lỳc ú mt ụ tụ hnh t B n A vi tc hn tc xe p l 18 km/h Sau hai xe gp xe p phi i mt gi na mi ti B Tớnh tc ca mi xe? Mt ca nụ xuụi dũng t A n B cỏch 100 km Cựng lỳc ú mt bố na trụi t t A n B Ca nụ n B thỡ quay li A ngay, thi gian c xuụi dũng v ngc dũng ht 15 gi Trờn ng ca nụ ngc v A thỡ gp bố na ti mt im cỏch A l 50 km Tỡm tc riờng ca ca nụ v tc ca dũng nc? ỏp ỏn: (giờ) 20 km/h Vn tc ca ụ tụ th nht 60 km/h Vn tc ca ụ tụ th hai l 50 km/h 25 km/h Vn tc ca ca nụ l 15 km/h Vn tc ca dũng nc l km/h Tit 3: 62 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 Dng 3: Toỏn lm chung cụng vic Nhng kin thc cn nh: cụng vic x - Nu mt i lm xong cụng vic x gi thỡ mt ngy i ú lm c - Xem ton b cụng vic l Vớ d 1: Hai ngi th cựng lm mt cụng vic 16 gi thỡ xong Nu ngi th nht lm gi, ngi th hai lm gi thỡ ch hon thnh c 25% cụng vic Hi nu lm riờng thỡ mi ngi hon thnh cụng vic bao lõu? Gii: Ta cú 25% = Gi thi gian mt mỡnh ngi th nht hon thnh cụng vic l x(x > 0; gi) Gi thi gian mt mỡnh ngi th hai hon thnh cụng vic l y(y > 0; gi) Trong mt gi ngi th nht lm c cụng vic x Trong mt gi ngi th hai lm c y cụng vic Hai ngi cựng lm thỡ xong 16 gi Vy gi c hai ngi cựng lm c 1 cụng vic 16 Ta cú phng trỡnh: x + y = 16 (1) Ngi th nht lm gi, ngi th hai lm gi thỡ 25%= cụng vic Ta cú phng trỡnh x + y = (2) 1 3 1 x + y = 16 x + y = 16 x + y = 16 T (1) v (2) ta cú h phng trỡnh + = + = = x y x y y 16 x = 24 (thoả mãn điều kiện) y = 48 Vy nu lm riờng thỡ ngi th nht hon thnh cụng vic 24 gi Ngi th hai hon thnh cụng vic 48 gi Vớ d 2: Hai th cựng o mt mng thỡ sau 2gi 55 phỳt thỡ xong vic Nu h lm riờng thỡ i hon thnh cụng vic nhanh hn i l gi Hi nu lm riờng thỡ mi i phi lm bao nhiờu gi thỡ xong cụng vic? Gii: Gi thi gian i lm mt mỡnh xong cụng vic l x (x > 0; gi) Gi thi gian i lm mt mỡnh xong cụng vic l x + (gi) 63 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 công việc x công việc Mi gi i lm c x+2 11 35 Vỡ c hai i thỡ sau gi 55 phỳt = = (gi) xong 12 12 12 Trong gi c hai i lm c cụng vic 35 1 12 + = 35x + 70 + 35 = 12x + 24x Theo bi ta cú phng trỡnh x x + 35 2 12x 46x 70 = 6x 23x 35 = Mi gi i lm c Ta cú = (23)2 4.6.(35) = 529 + 840 = 1369 > = 1369 = 37 23 + 37 23 37 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = = 5(thoa mãn); x = = 2(loại) 12 12 Vy i th nht hon thnh cụng vic gi i hai hon thnh cụng vic gi Chỳ ý: + Nu cú hai i tng cựng lm mt cụng vic nu bit thi gian ca i lng ny hn, kộm i lng ta nờn chn mt n v a v phng trỡnh bc hai + Nu thi gian ca hai i lng ny khụng ph thuc vo ta nờn chn hai n lm thi gian ca hai i ri a v dng h phng trỡnh gii Vớ d 3: Hai ngi th cựng sn ca cho mt ngụi nh thỡ ngy xong vic Nu ngi th nht lm ngy ri ngh ngi th hai lm tip ngy na thỡ xong vic Hi mi ngi lm mt mỡnh thỡ bao lõu xong cụng vic? Gii: Gi thi gian mt mỡnh ngi th nht hon thnh cụng vic l x (x > 2; ngy) Gi thi gian mt mỡnh ngi th hai hon thnh cụng vic l y (x > 2; ngy) Trong mt ngy ngi th nht lm c cụng vic x Trong mt ngy ngi th hai lm c y cụng vic C hai ngi lm xong ngy nờn ngy c hai ngi lm c ta cú pt cụng vic T ú 1 + y = (1) x Ngi th nht lm ngy ri ngi th hai lm ngy thỡ xong cụng vic ta cú pt: + = (2) x y 64 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 1 1 1 + = x + y = x = x y (thoả mãn đk) T (1) v (2) ta cú h pt y = 3 + =1 = x y x Vy ngi th nht lm mt mỡnh xong cụng vic ngy Ngi th hai lm mt mỡnh xong cụng vic ngy Bi tõp: Hai ngi th cựng lm mt cụng vic thỡ xong 18 gi Nu ngi th nht lm gi, ngi th hai lm gi thỡ c 1/3 cụng vic Hi mi ngi lm mt mỡnh thỡ mt bao lõu s xong cụng vic? hon thnh mt cụng vic hai t phi lm gi Sau gi lm chung thỡ t hai c iu i lm vic khỏc T mt ó hon thnh cụng vic cũn li 10 gi Hi nu mi t lm riờng thỡ bao lõu xong cụng vic ú? Hai i cụng nhõn cựng o mt mng Nu h cựng lm thỡ ngy s xong cụng vic Nu lm riờng thỡ i haihon thnh cụng vic nhanh hn i mt l ngy Hi nu lm riờng thỡ mi i phi lm bao nhiờu ngy xong cụng vic? Hai chic bỡnh rng ging cú cựng dung tớch l 375 lớt mi bỡnh cú mt vũi nc chy vo v dung lng nc chy mt gi l nh Ngi ta m cho hai vũi cựng chy vo bỡnh nhng sau gi thỡ khoỏ vũi th hai li v sau 45 phỳt mi tip tc m li hai bỡnh cựng y mt lỳc ngi ta phi tng dung lng vũi th hai thờm 25 lớt/gi Tớnh xem mi gi vũi th nht chy c bao nhiờu lớt nc Kt qu: 1) Ngi th nht lm mt mỡnh 54 gi Ngi th hai lm mt mỡnh 27 gi 2) T th nht lm mt mỡnh 10 gi T th hai lm mt mỡnh 15 gi 3) i th nht lm mt mỡnh ngy i th hai lm mt mỡnh ngy 4) Mi gi vũi th nht chy c 75 lớt Tit 4: Dng 4: Toỏn cú ni dung hỡnh hc: Kin thc cn nh: - Din tớch hỡnh ch nht S = x.y (x l chiu rng; y l chiu di) - Din tớch tam giỏc S = x.y (x l chiu cao, y l cnh y tng ng) - di cnh huyn: c2 = a2 + b2 (c l cnh huyn; a, b l cỏc cnh gúc vuụng) 65 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 - S ng chộo ca mt a giỏc n(n 3) (n l s nh) Vớ d 1: Tớnh cỏc kớch thc ca hỡnh ch nht cú din tớch 40 cm 2, bit rng nu tng mi kớch thc thờm cm thỡ din tớch tng thờm 48 cm2 Gii: Gi cỏc kớch thc ca hỡnh ch nht ln lt l x v y (cm; x, y > 0) Din tớch hỡnh ch nht lỳc u l x.y (cm2) Theo bi ta cú pt x.y = 40 (1) Khi tng mi chiu thờm cm thỡ din tớch hỡnh ch nht l Theo bi ta cú pt (x + 3)(y + 3) xy = 48 3x + 3y + = 48 x + y = 13(2) T (1) v (2) suy x v y l nghim ca pt X2 13 X + 40 = Ta cú = (13)2 4.40 = > = Phng trỡnh cú hai nghim X1 = 13 + 13 = 8;X = =5 2 Vy cỏc kớch thc ca hỡnh ch nht l (cm) v (cm) Vớ d 2: Cnh huyn ca mt tam giỏc vuụng bng m Hai cnh gúc vuụng hn kộm 1m Tớnh cỏc cnh gúc vuụng ca tam giỏc? Gii: Gi cnh gúc vuụng th nht l x (m) (5 > x > 0) Cnh gúc vuụng th hai l x + (m) Vỡ cnh huyn bng 5m nờn theo nh lý pi ta go ta cú phng trỡnh x2 + (x + 1)2 = 52 2x + 2x 24 x + x 12 = = 12 4.(12) = 49 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt + x1 = = (thoả mãn); x = = 4(loại) 2 Vy kớch thc cỏc cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng l m v m Bi tõp: Bi 1: Mt hỡnh ch nht cú ng chộo bng 13 m, chiu di hn chiu rng m Tớnh din tớch hỡnh ch nht ú? Bi 2: Mt tha rung hỡnh ch nht cú chu vi l 250 m Tớnh din tớch ca tha rung bit rng chiu di gim ln v chiu rng tng ln thỡ chu vi tha rung khụng thay i Bi 3: Mt a giỏc li cú tt c 35 ng chộo Hi a giỏc ú cú bao nhiờu nh? Bi 4: Mt cỏi sõn hỡnh tam giỏc cú din tớch 180 m Tớnh cnh ỏy ca sõn bit rng nu tng cnh ỏy m v gim chiu cao tng ng m thỡ din tớch khụng i? Bi 5: Mt ming t hỡnh thang cõn cú chiu cao l 35 m hai ỏy ln lt bng 30 m v 50 m ngi ta lm hai on ng cú cựng chiu rng Cỏc tim ng ln lt l ng trung bỡnh ca hỡnh thang v on thng ni hai trung im ca hai ỏy Tớnh chiu rng on ng ú bit rng din tớch phn lm ng bng din tớch hỡnh thang ỏp s: Bi 1: Din tớch hỡnh ch nht l 60 m2 66 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 Bi 2: Din tớch hỡnh ch nht l 3750 m Bi 3: a giỏc cú 10 nh Bi 4: Cnh y ca tam giỏc l 36 m Bi 5: Chiu rng ca on ng l m Dng 5: Toỏn lói sut, tng trng: Nhng kin thc cn nh: + x% = x 100 + Dõn s tnh A nm ngoỏi l a, t l gia tng dõn s l x% thỡ dõn s nm ca tnh A l x a + a 100 x x x Số dân năm sau (a+a ) + (a+a ) 100 100 100 Vớ d 1: Bi 42 SGK tr 58 Gi lói sut cho vay l x (%), k: x > Tin lói sut sau nm l 2000000 x = 20000 (ng) 100 Sau nm c ln lói l 200000 + 20000 x (ng) Riờng tin lói nm th hai l (2000000 + 20000 x ) x = 20000 x + 200 x (đồng) 100 S tin sau hai nm Bỏc Thi phi tr l 2000000 +20000x + 20000x + 200x2(ng) 200x2 + 40000x +2000000 (ng) Theo bi ta cú phng trỡnh 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000 x2 + 200x 2100 = Gii phng trỡnh ta c x1 = 10 (tho món); x2 = -210 (khụng tho món) Vy lói sut cho vay l 10 % mt nm Vớ d 2: Theo k hoch hai t sn xut 600 sn phm mt thi gian nht nh Do ỏp dng k thut mi nờn t I ó sn xut vt mc k hoch l 18% v t II vt mc 21% Vỡ vy thi gian quy nh h ó hon thnh vt mc 120 sn phm Hi s sn phm c giao ca mi t l bao nhiờu Gii Gi x l s sn phm t I hon thnh theo k hoch (sn phm), k < x < 600 S sn phm t II hon thnh theo k hoch l 600 x (sn phm) 18 (sn phm) 100 21 S sn phm vt mc ca t II l (600 x ) (sn phm) 100 S sn phm vt mc ca t I l x Vỡ s sn phm vt mc k hoch ca hai t l 120 sn phm ta cú pt 18x 21(600 x ) + = 120 x = 20 (tho yờu cu ca bi toỏn) 100 100 67 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 Vy s sn phm theo k hoch ca t I l 200 (sn phm) Vy s sn phm theo k hoch ca t II l 400 (sn phm) Bi tp: Bi 1: Dõn s ca thnh ph H Ni sau nm tng t 200000 lờn 2048288 ngi Tớnh xem hng nm trung bỡnh dõn s tng bao nhiờu phn trm Bi 2: Bỏc An vay 10 000 000 ng ca ngõn hng lm kinh t Trong mt nm u bỏc cha tr c nờn s tin lói nm u c chuyn thnh tớnh lói nm sau Sau nm bỏc An phi tr l 11 881 000 ng Hi lói sut cho vay l bao nhiờu phn trm mt nm? Bi 3: Theo k hoch hai t sn xut 1000 sn phm mt thi gian d nh Do ỏp dng k thut mi nờn t I vt mc k hoch 15% v t hai vt mc 17% Vỡ vy thi gian quy nh c hai t ó sn xut c tt c c 1162 sn phm Hi s sn phm ca mi t l bao nhiờu? Kt qu: Bi 1: Trung bỡnh dõn s tng 1,2% Bi 2: Lói sut cho vay l 9% nm Bi 3: T I c giao 400 sn phm T II c giao 600 sn phm Dng 6: Cỏc dng toỏn khỏc Nhng kin thc cn nh : m (V thể tich dung dich; m khối lượng; D khối lượng riêng) D Khối lượng chất tan - Khi lng nng dung dch = Khối lượng dung môi (m tổng) - V= Vớ d : (Bi trang 59 SGK) Gi trng lng nc dung dch trc thờm nc l x (g) k x > Nng mui ca dung dch ú l 40 % x + 40 Nu thờm 200g nc vo dung dch thỡ trng lng ca dung dch l: Vỡ nng gim 10% nờn ta cú phng trỡnh 40 % x + 240 40 40 10 = x + 280x 70400 = x + 40 x + 240 100 Gii pt ta c x1 = -440 (loi); x2 = 160 (tho k ca bi toỏn) Vy trc thờm nc dung dch cú 160 g nc Vớ d 2: Ngi ta trn 8g cht lng ny vi 6g cht lng khỏc cú lng riờng nh hn nú l 0,2g/cm3 c hn hp cú lng riờng 0,7g/cm3 Tỡm lng riờng ca mi cht lng Gii Gi lng riờng ca cht lng th nht l x (g/cm3) k x > 0,2 Khi lng riờng ca cht lng th nht l x 0,2 (g/cm3) 68 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn Nm hc 2015 - 2016 (cm3 ) x Th tớch ca cht lng th hai l x 0, (cm ) Th tớch ca hn hp l x + x + 0, (cm ) Th tớch ca cht lng th nht l 14 Theo bi ta cú pt x + x + 0, = 0, 14x 12, 6x + 1,12 = Gii pt ta c kt qu x1 = 0,1 (loi) ; x2 = 0,8 (t/m k) Vy lng riờng ca cht lng th nht l 0,8 (g/cm3) Khi lng riờng ca cht lng th hai l 0,6 (g/cm3) Bi tp: Bi 1: Mt phũng hp cú 240 gh c xp thnh cỏc dóy cú s gh bng Nu mi dóy bt i mt gh thỡ phi xp thờm 20 dóy mi ht s gh Hi phũng hp lỳc u c xp thnh bao nhiờu dóy gh Bi 2: Hai giỏ sỏch cú 400 cun Nu chuyn t giỏ th nht sang giỏ th hai 30 cun thỡ s sỏch giỏ th nht bng s sỏch ngn th hai Tớnh s sỏch ban u ca mi ngn? Bi 3: Ngi ta trng 35 cõy da trờn mt tha t hỡnh ch nht cú chiu di 30 m chiu rng l 20 m thnh nhng hng song song cỏch u theo c hai chiu Hng cõy ngoi cựng trng trờn biờn ca tha t Hóy tớnh khong cỏch gia hai hng liờn tip? Bi 4: Hai ngi nụng dõn mang 100 qu trng ch bỏn S trng ca hai ngi khụng bng nhng s tin thu c ca hai ngi li bng Mt ngi núi vi ngi kia: Nu s trng ca tụi bng s trng ca anh thỡ tụi bỏn c 15 ng Ngi núi Nu s trng ca tụi bng s trmg ca anh tụi ch bỏn c ng thụi Hi mi ngi cú bao nhiờu qu trng? Bi 5: Mt hp kim gm ng v km ú cú gam km Nu thờm 15 gam km vo hp kim ny thỡ c mt hp kim mi m ú lng ng ó gim so vi lỳc u l 30% Tỡm lng ban u ca hp kim? Kt qu: Bi 1: Cú 60 dóy gh Bi 2: Giỏ th nht cú 180 quyn Giỏ th hai cú 220 quyn Bi 3: Khong cỏch gia hai hng l 5m Bi 4: Ngi th nht cú 40 qu Ngi th hai cú 60 qu Bi 5: 25 gam hoc 10 gam 69 [...]... iu kin h phng trỡnh cú nghim duy nht: m 2 - Gii h phng trỡnh theo m mx + 4 y = 9 mx + 4 y = 9 2 x + my = 8 mx + m y = 8m - Thay x = 8m 9 y = m 2 4 (m 2 4) y = 8m 9 x + my = 8 x = 9m 32 m2 4 9m 32 8m 9 ;y= 2 vo h thc ó cho ta c: 2 m 4 m 4 9m 32 8m 9 38 2 2 + 2 + 2 =3 m 4 m 4 m 4 => 18m 64 +8m 9 + 38 = 3m2 12 3m2 26m + 23 = 0 m1 = 1 ; m 2 = Vy m = 1 ; m = 23 (c hai giỏ tr... Toỏn 9 Nm hc 2015 - 2016 x1 = 4 2 Suy ra a, c l nghim ca phng trỡnh : x 5 x 36 = 0 x2 = 9 Do ú nu a = 4 thỡ c = 9 nờn b = 9 nu a = 9 thỡ c = 4 nờn b = 4 Cỏch 2: T ( a b ) = ( a + b ) 4ab ( a + b ) = ( a b ) + 4ab = 1 69 2 2 2 2 a + b = 13 2 ( a + b ) = 132 a + b = 13 x1 = 4 x2 = 9 2 *) Vi a + b = 13 v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh : x + 13x + 36 = 0 Vy a = 4 thỡ b = 9 ... : mx 6 ( m 1) x + 9 ( m 3) = 0 Tỡm giỏ tr ca tham s m 2 nghim x1 v x2 tho món h thc : x1 + x2 = x1.x2 Bi gii: iu kin phng trỡnh c ú 2 nghim x1 v x2 l : 24 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn 9 Nm hc 2015 - 2016 m 0 m 0 m 0 m 0 2 Theo h 2 2 m 1 ' = 9 ( m 2m + 1) 9m + 27 0 ' = 9 ( m 1) 0 ' = 3 ( m 21) 9( m 3)m 0 6(m 1) x1 + x2 = m thc VI- ẫT ta c ú: x x = 9( m 3) 1 2 m v t... 2 5 3y 5 3y T (1) ta cú x = th vo (2) ta c 3 y2 + 2 y 4 = 0 ữ 2 2 14 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn 9 Nm hc 2015 - 2016 3(25 30 y + 9 y 2 ) 4 y 2 + 8 y 16 23 y 2 82 y + 59 = 0 y = 1, y = 59 23 31 59 Vy tp nghim ca h phng trỡnh l ( 1;1) ; ; ữ 23 23 x 4 + 2 x3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9 (1) Bi 2 Gii h phng trỡnh 2 (2) x + 2 xy = 6 x + 6 Phõn tớch Phng trỡnh (2) l bc nht i vi y nờn ta... 3 + 3m 2 + 9m c/ Theo phn b : Phng trỡnh cú nghim x1; x 2 0 Khi ú x12 + x 22 = m 2 2m 6 Do ú x12 + x 22 = 9 m 2 2m 6 = 9 m 2 2m 15 = 0 '(m) = (1) 2 1.(15) = 1 + 15 = 16 > 0; (m) = 4 => phng trỡnh cú hai nghim : m1 = 1+ 4 1 4 = 5; m 2 = = 3 1 1 +) Vi m = 5 = 7 < 0 => loi +) Vi m = 3 = 9 > 0 => tha món Vy vi m = - 3 thỡ phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 tha món : x12 + x 22 = 9 d/ Theo... 3 S = 9 v P = 20 4 S = 2x v P = x2 y2 Bi tp nõng cao: Tỡm 2 s a v b bit 1 a + b = 9 v a2 + b2 = 41 2 a b = 5 v ab = 36 3 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hng dn: 1) Theo bi ó bit tng ca hai s a v b , vy ỏp dng h thc VI- ẫT thỡ cn tỡm tớch ca a v b 1 T a + b = 9 ( a + b ) = 81 a + 2ab + b = 81 ab = 2 2 2 81 ( a 2 + b 2 ) 2 = 20 x1 = 4 x2 = 5 2 Suy ra : a, b l nghim ca phng trỡnh cú dng : x 9 x +... cỏch gii: 25 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn 9 Nm hc 2015 - 2016 16 15 ( m 4) x1 + x2 = m (1) -Theo VI-ẫT: x x = m + 7 1 2 m x1 + x2 = 3 x2 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2) - T x1 2 x2 = 0 Suy ra: 2( x1 + x2 ) = 3 x1 BT1: - KX : m 0 & m - Th (1) vo (2) ta a c v phng trỡnh sau: m 2 + 127m 128 = 0 m1 = 1; m2 = 128 BT2: - KX: = m 2 22m + 25 0 11 96 m 11 + 96 x1 + x2 = 1 m (1) x x = 5 m 6 ... (1) ta c 2x 2 6 x + 6 x2 2 6x + 6 x2 x + 2x ữ+ x ữ = 2x + 9 2 x 2 x 2 2 x = 0 (6 x + 6 x ) x 4 + x 2 (6 x + 6 x 2 ) + = 2 x + 9 x( x + 4)3 = 0 4 x = 4 4 3 17 Do x 0 nờn h phng trỡnh cú nghim duy nht 4; ữ 4 Chỳ ý.: H phng trỡnh ny cú th th theo phng phỏp sau: x 2 + 6 x + 6 2 ( x 2 + xy ) 2 = 2 x + 9 ữ = 2x + 9 2 - H x2 + 6x + 6 2 2 x + xy = 2 x + 6x + 6 2 x + xy =... 2m + 1) 9m + 27 0 ' = 9 ( m 1) 0 ' = 3 ( m 21) 9( m 3)m 0 6(m 1) x1 + x2 = m thc VI- ẫT ta c ú: x x = 9( m 3) 1 2 m v t gi thi t: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 6(m 1) 9( m 3) = 6(m 1) = 9( m 3) 6m 6 = 9m 27 3m = 21 m = 7 m m (tho món iu kin xỏc nh ) Vy vi m = 7 thỡ phng trỡnh ó cho cú 2 nghim x1 v x2 tho món h thc : x1 + x2 = x1.x2 2 2 Vớ d 2: Cho phng trỡnh : x ( 2m + 1) x +... tha món h thc x + y = 1 Bi 7: m2 m2 + 3 3 x my = 9 mx + 2 y = 16 Cho h phng trỡnh a) b) c) d) Gii h phng trỡnh khi m = 5 Chng t rng h phng trỡnh luụn luụn cú nghim duy nht vi mi m nh m h cú nghim (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) Tỡm giỏ tr nguyờn ca m hai ng thng ca h ct nhau ti mt im nm trong gúc phn t th IV trờn mt phng ta Oxy 20 Giỏo ỏn ễn thi HSG Toỏn 9 Nm hc 2015 - 2016 Ngy son: 21/3/2015 Ngy ging: