Tính chất quang của bán dẫn

Mục lục ĐỘNG LỰC HỌC MẠNG VÀ CÁC GIẢ HẠT TRONG CHẤT RẮN 1.1 DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 1.1.1 Lý thuyết cổ điển dao động mạng tinh thể 1.1.2 Lý thuyết lượng tử dao động mạng tinh thể Phonon 1.1.3 Nhiệt dung mạng tinh thể 13 1.2 CÁC GIẢ HẠT TRONG CHẤT RẮN 18 1.2.1 Điện tử 18 1.2.2 Các khái niệm ban đầu 18 Tài liệu tham khảo 19 i Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Le Van X Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN Trong trình học tập rèn luyện trình nghiên cứu Khoa học, hoàn thành luận văn nghiên cứu Khoa học báo cáo Seminar, Hội thảo Khoa học năm 2005 Khoa Toán-Cơ-Tin học Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN: + Seminar “XYZ" GS.TSKH ABC làm Chủ nhiệm + Seminar “UVW" PGS.TS DEF làm Chủ nhiệm Tác giả xin gửi tới thầy-cô giáo, thành viên - anh chị đồng nghiệp Seminar, Khoa Toán-Cơ-Tin học Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN lời cảm ơn chân thành ý kiến đóng góp quý báu, giúp đỡ tận tình cỗ vũ to lớn suốt thời gian qua Tác giả xin gửi tới lãnh đạo Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Xin cảm ơn tất người quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện động viên cỗ vũ tác giả để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, ngày 00 tháng 00 năm 2006 Tác giả Le Van A ii Chương ĐỘNG LỰC HỌC MẠNG VÀ CÁC GIẢ HẠT TRONG CHẤT RẮN 1.1 DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 1.1.1 Lý thuyết cổ điển dao động mạng tinh thể A Chuỗi nguyên tử loại Ta bắt đầu việc nghiên cứu dao động mạng tinh thể từ ví dụ đơn giản mạng tinh thể: chuỗi nguyên tử loại xếp đặt cách trục Ox, nguyên tử chuyển động quanh vị trí cân nó, ta đánh số nguyên tử số nguyên n, ký hiệu tọa độ nguyên tử thứ n vị trí cân xn , độ dịch chuyển nguyên tử là: un (l) = u(xn , l) (1.1) Gọi a số mạng tinh thể, đó: xn = na (1.2) Ký hiệu khối lượng nguyên tử M Ta giả thiết tương tác hai nguyên tử kề nhau, nút thứ n nút thứ n+1, tỷ lêi với bình phương độ dời tương đối un (l) − un + 1(l), bỏ qua tương tác nguyên tử không kề Khi toàn phần hệ là: U= α∑ |un (l) − un+1 (l)|2 n (1.3) động toàn phần hệ là: [ ]2 M ∑ dun (l) T = n dl (1.4) Tính lực tác dụng lên nguyên tử thứ n Ta có: Fn = − ∂U = −α[2un − un+1 − un−1 ] ∂un (1.5) Mặt khác theo định luật II Newton: d2 un (t) Fn = M dt2 (1.6) Từ suy hệ phương trình chuyển động: α d2 un (t) + [2un − un+1 − un−1 ] = dt2 M (1.7) Xét lời giải dạng sóng đơn sắc: un (t) = u(xn , t) = Aei[kxn −ω(k)t] (1.8) Thay vào phương trình (2.7) ta thu hệ thức: ω(k)2 = 2α 4α ka (t − coska) = sin M M (1.9) nghĩa là: √ α ka ω(k)2 = |sin | (1.10) M Tần số góc ω(k) phụ thuộc không tuyến tính vào giá trị véc tơ sóng k giống tượng tán sắc quang học Chỉ với k bé ta có phụ thuộc tuyến tính: √ ω(k) ≈ ka α M (1.11) Khi lời giải có dạng sóng truyền với tốc độ v không phụ thuộc vào vectơ sóng: √ α u(xn (t)) = Aeik(xn −vt) , v = a = const M (1.12) Trong trường hợp dao động mạng tinh thể trùng với sóng âm, v tốc độ truyền âm Do dao động (1.8) với ω(k) thỏa mãn (1.10) gọi dao động âm B Chuỗi nguyên tử hai loại khác Bây ta xét chuỗi nguyên tử hai loại khác nhau, khối lượng M1 M2 , xếp chặt xen kẽ cách trục Ox Nếu khoảng cách hai nguyên tử cạnh α số mạng tinh thể 2α, ô sở chứa nguyên tử Gọi độ dời loại nguyên tử u2n , độ dời nguyên tử u2n+1 ta có hệ phương trình: M1 d2 u2n + 2au2n − α[v2n+1 + v2n−1 ] = dt2 d2 v2n+1 + 2av2n+1 − α[u2n+2 + u2n ] = dt2 Xét lời giải có dạng sóng đơn sắc M2 (1.13) u2n (t) = u(x2n , t) = Aei[kx2n −ω(k)t] v2n+1 (t) = v(x2n+1 , t) = Bei[kx2n+1 −ω(k)t] (1.14) Thay vào hệ phương trình (1.13) ta đến hệ phuơng trình đại số: [2α − M1 ω(k)2 ]A − 2αCoskaB = [2α − M2 ω(k)2 ]A − 2αCoskaA = (1.15) Định thức hệ phương trình phải không 2α − M1 ω(k)2 −2αcoska −2αcoska 2α − M2 ω(k)2 =0 (1.16) nghĩa [2α − M1 ω(k)2 ][2α − M2 ω(k)2 ] − 4α2 Cos2 kaB = (1.17) Phương trình có hai lời giải  ]1/2  )2 [ ( )2 (  1 2 ωo (k) = α + − + + sin ka  M1 M2  M1 M2 M1 M2 (1.18)  ]1/2  )2 [ ( )2  ( 1 1 2 + − + − sin ka ωA (k) = α   M1 M2 M1 M2 M1 M2 Sự phụ thuộc tần số góc ω vào vecto sóng k diễn tả đồ thị có nhánh, nhánh ωo nhánh ωk Với k bé nhánh có dạng tuyến tính ωA (k) ≈ ka √ 2α M1 +M2 nhánh ứng với sóng âm, ký hiệu chữ A(acoustic) nhánh có tần số gần giá trị hữu hạn √tới ( ) 1 ωo (0) = 2α M1 + M2 k dần đến không, gọi nhánh quang ký hiệu chữ O (optical) C Mạng tinh thể ba chiều Các lý luận mở rộng cho mạng tinh thể ba chiều Dưới ta trình bày kết nghiên cứu số trường hợp Nếu ô mạng Bravais chứa nguyên tử dao động nguyên tử không gian ba chiều quanh vị trí cân tạo ba trạng thái dao động ứng với vécto sóng cho k: trạng thái có vecto dịch chuyển u(Rn , t) theo hươgns trùng với vecto sóng k gọi dao động dọc sóng dọc, ký hiệu chữ L, hai trạng thái có vecto dịch chuyển u(Rn , t) trực giao với vecto sóng k gọi dao động ngang, ký hiệu chữ T Cả ba sóng có tần số góc tỷ lệ với giá trị vécto sóng k k bé sóng âm Ta nói ta có sóng âm dọc LA hai sóng âm ngang TA Nếu ô mạng Bravais chứa hai nguyên tử dao động nguyên tử không gian ba chiều quanh vị trí cân tạo ba trạng thái dao động mà tần số góc tỉ lệ với k ký hiệu A ba trạng thái dao động khác mà tần số góc dần tới giá trị hữu hạn k dần đến không, ký hiệu O Mỗi loại sóng nói gồm sóng dọc L hai sóng ngang T, nghĩa ta có sóng LA hai sóng TA, sóng LO hai sóng TO Nếu ô mạng Bravais chứa s nguyên tử dao động mạng tinh thể bao gồm sóng âm, hai sóng TA sóng LA, mà tần số góc tỉ lệ với k k bé, 3(s − 1) sóng O có tần số dần tới giá trị hữu hạn k dần đến không, có s - sóng dọc LO 2(s - 1) sóng ngang TO 1.1.2 Lý thuyết lượng tử dao động mạng tinh thể Phonon A Chuỗi nguyên tử loại Để trình bày lý thuyết lượng tử dao động mạng tinh thể ta thí dụ đơn giản chuỗi nguyên tử loại với ∑ ∑ [ dun (l) ]2 α M U = n |un (l) − un+1 (l)| động T = Ký hiệu n dl xung lượng nguyên tử thứ n pn = M dudtn ta viết lại biểu thức động ∑ T = pn (t)2 2M n (1.19) Hamiltonian hệ H= ∑ α∑ pn (t)2 + |un (t) − un+1 (t)|2 2M n n (1.20) Khi lượng tử hóa ta thay hàm pn (t) toán tử xung lượng pn , thay hàm un (t) tọa độ suy rộng un liên hợp với pn Giữa toán tử ta có hệ thức giao hoán [pn , um ] = −iδnm (1.21) [pn , pm ] = un , um = Hamiltonian trở thành toán tử H= ∑ α∑ pn + [un (t) − un+1 (t)]2 2M n n (1.22) Các toán tử un pn ứng với nút thứ n phụ thuộc vào tọa độ xn nút Ta khai triển toán tử theo sóng phẳng với véc tơ sóng nằm vùng Brillouin thứ ∑ ikxn un = √ e uk N n ∑ ikxn pn = √ e pk N n (1.23) Các sóng phẳng chuẩn hóa đoạn thẳng chiều dài L thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn, N số nút chứa đoạn này, số giá trị gián đoạn k vùng Brillouin thứ Nhân hai vế ′ công thức (1.23 với e−ik xn , k’ vecto sóng trogn vùng Brillouin thú nhất, cộng theo n ∑ i(k−k′ )xn √ e = δk,k′ N n (1.24) ta thu công thức biến đổi ngược lại ∑ −ikxn e un uk = √ N n ∑ −ikxn pn e pk = √ N n (1.25) Hãy tìm giao hoán tử pk uk′ Dùng công thức khai triển (1.25), hệ thức giao hoán (1.21) công thức (1.24), ta thu được: ∑ ∑ −i(kxn +k′ xm )[n ,um ] ′ [pk , uk ] = e N n m ∑ −i(k+k′ )xn = −iδk,−k′ e = −i N n nghĩa [pk , uk′ ] = −iδk,−k′ (1.26) [pk , pk′ ] = [uk , uk′ ] = (1.27) tương tự Mặt khác thay công thức khai triển (1.23) vào biểu thức (1.22) Hamiltonian dùng lại công thức (1.24) ta có ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i(k+k′ )xn p2n = e pk′ pk = p−k pk , N n n k k′ k ∑ ∑ ∑ ∑ ′ ′ ei(k+k )xn (1 − eika )(1 − eik a )uk′ uk [un − un+1 ]2 = N n n k k′ ∑ = 2(1 − coska)u−k uk , k H= thay α sin2 ka 4M ∑ { k ka p−k pk + 2αsin2 u−k uk } 2M (1.28) 1 p−k pk + M ω(k)2 u−k uk } 2M (1.29) = ω(k) cuối ta thu H= ∑ k { Bây ta biến đổi công thức dạng cách đặt √ ω(k) √ pk = −i (ak − a+ −k ) M √ √ ω(k) M ω(k)uk = (ak + a+ −k ) (1.30) Ta khai triển toán tử theo chuỗi Fourier ∑(1) ikx2n p2n = √ pk e N k ∑(1) ikx2n+1 qk q2n+1 = √ e N k ∑(1) ikx2n u2n = √ uk e N k ∑(1) ikx2n+1 v2n+1 = √ vk e N k (1.38) biểu diễn hệ số Fourier pk , qk , uk , vk cách thích hợp qua (1) (1)+ toán tử huỷ hạt sinh hạt ak , ak (2) (2)+ , ak , ak để thu toán tử Hamiltonian dạng H= ∑(1) (1)+ (1) ak [ω1 (k)ak (2)+ (2) ak ] + ω2 (k)ak (1.39) k Các hệ thức giao hoán toán tử sinh hạt huỷ hạt (i) (j)+ [ak , ak′ ] = δij δk,k′ (i) (j) (i)+ (1.40) (j)+ [ak , ak′ ] = [ak , ak′ ] = Trạng thái dao động lượng tử mạng tinh thể diễn tả giống hệ nhiều hạt gồm chuẩn hạt thuộc hai loại khác với lượng ω1 (k) ω2 (k) Một hai hàm , thí dụ ω1 (k), hàm ωk (k) Các chuẩn hạt với toán tử huỷ (1) (1)+ sinh ak , ak gọi phonon âm Hàm ω2 (k), hàm ωo (k) (2) (2)+ Các chuần hạt với toán tử huỷ sinh ak , ak gọi phonon quang Tóm lại dao động lượng tử chuỗi nguyên tử hai loại khác diễn tả hệ nhiều phonon, gồm loại phonon âm loạ phonon quang 11 C Mạng tinh thể ba chiều Trong trường hợp tổng quát mạng tinh thể ba chiều mà ô sở chứa s nguyên tử (không tương đương), toạ độ suy rộng ns véctơ độ dời không gian ba chiều usn (t), usn (t) = us (R, t) (1.41) xung lượng suy rộng psn (t) Ta khai triển toán tử tương ứng lý thuyết lượng tử thành chuỗi Fourier ∑(1) iKRn usn = √ usK e N K ∑(1) iKRn psK e psn = √ N K (1.42) biểu diễn hệ số Fourier usK , psK qua 3s toán tử huỷ hạt (i)+ (i) aK , i = 1, 2, 3, , 3s 3s toán tử sinh hạt aK để toán tử Hamiltonian dạng (1) H= 3s ∑ (i)+ (i) ωi (K)aK aK (1.43) i=1 (i)+ Các toán tử aK (i) aK thoả mãn hệ thức giao hoán giống (1.40) thay k k’ K K’, toán tử huỷ sinh 3s loại chuẩn hạt gọi phonon, có loại phonon âm, phonon âm dọc LA hai phonon âm nganng TA, có 3(s-1)phonon quang, s-1 phonon quang dọc LO 2(s-1) phonon quang ngang TO Các toán tử sinh huỷ phonon tuân theo hệ thức giao hoán (1.40), hệ nhiều phonon tuân theo thống kê Bose-Einstein, trạng thái cho có nhiều phonon lúc 12 Trong trình chuyển động mạng tinh thể điện tử tương tác với ion mạng phát thu phonon Trong điều kiện định trao đổi phonon điện tử (điện tử bày phát phonon, điện tử thu lại) tạo lực hút điện tử lớn lực đẩy Coulomb chúng làm cho hai điện tử tạo thành trạng thái liên kết-tạo cặp Cooper-có điện tích gấp đôi điện tích điện tử Sự tạo thành cặp Cooper nguồn gốc tượng siêu dẫn điện số chất nhiệt độ thấp 1.1.3 Nhiệt dung mạng tinh thể Trong đoạn trước ta chứng minh trạng thái dao động mạng tinh thể diễn tả trạng thái hệ phonon, thay đổi trạng thái dao động mạng xem thêm bớt phonon, mà phonon có véctơ sóng q (xung lượng phonon) mang theo lượng ωi (q), i=1, 2, , 3s, s số nguyên tử ô sở Trong vật lý thống kê trạng thái cân nhiệt hệ nhiều hạt tuân theo thống kê Bose-Einstein nhiệt độ T số hạt có lượng ωi (q) xác định hàm phân bố ni (q) = (1.44) eωi (q)/kT − k số Boltzmann Đó số hạt trung bình trạng thái cho Nếu ta chọn véctơ sóng q gián đoạn ta nhân số hạt trung bình với lượng ωi (q) cộng theo tất giá trị q vùng Briilouin thứ cộng theo tất số i đánh dấu nhánh phonon khác ta thu lượng toàn phần mạng tinh thể Elat = ∑ ∑(1) q 13 ωi (q) ω (q)/kT e i − (1.45) Chú ý giá trị gián đoạn q tạo thành mạng Bravais mà ô sở tích(trong không gian xung lượng) (2π)3 (2π)3 ∆qx ∆qy ∆qz = = L1 L2 L3 V (1.46) V thể tích hình hộp chữ nhật mà mặt bên đối diện ta đặt điều kiện biên tuần hoàn sóng phẳng, xem thể tích tinh thể hữu hạn song lớn Tổng theo giá trị q liên tục vùng Brillouin thứ Ω sau ∫ ∫ ∫ ∑(1) V → dq (2π) Ω q (1.47) Biểu thức lượng dao động toàn phần mạng tinh thể trở thành Elat V ∑ = (2π)3 i ∫ ∫ ∫ ωi (q) dq ωi (q)/kT − Ωe (1.48) Theo định nghĩa nhiệt dung tinh thể Clat = ∂Elat ∂T (1.49) Từ biểu thức (1.48) ta suy Clat V ∑ = (2π)3 kT i ∫ ∫ ∫ ωi (q)2 eωi (q)/kT dq ωi (q)/kT − 1)2 Ω (e (1.50) Để biến đổi công thức dạng đơn giản ta đưa vào khái niệm mật độ phổ dao động mạng D(ω) định nghĩa sau: Trong tổng số 3sN trạng thái dao động, s số nguyên tử ô sở, N số giá trị gián đoạn q vùng Brillouin thứ Ω, phần số trạng thái dao động có tần số góc ω ω + dω D(ω)dω Rõ ràng theo định nghĩa thì: inf D(ω)dω = 14 (1.51) Yếu tố thể tích tích phân theo q với phép cộng theo 3s nhánh phonon thay sau ∑ V dq → 3sN D(ω)dω (2π) i Ta thu Clat ∑ = 3sN kT i ∫ ω eω/kT dq (eω/kT − 1)2 (1.52) (1.53) Bây ta xét riêng đóng ghóp phonon âm phonon quang Đóng ghóp phonon âm Lý thuyết Debye Ta viết gần ω(q) = σq (1.54) thay vùng Brillouin thứ tích Ω hình cầu không gian q có thể tích đó, gọi hình cầu Debye Bán kính qD hình cầu này, gọi số sóng Debye , xác định điều kiện ω(q) = 4π q D (1.55) Tần số góc tương ứng với qD ωD = σqD (1.56) gọi tần số góc Debye Ta biết số véctơ q gián đoạn vùng Brillouin thứ N= Ω V = Ω ∆qx ∆qy ∆qz (2π)3 (1.57) N 4π qD = q = V (2π)3 D 6π (1.58) Mặt khác, thể tích ô sở mạng Bravais v= 15 V N (1.59) Ta suy hệ thức 6π 1/3 qD = ( ) v (1.60) Ta thay ô sở Wigner-Seitz hình cầu có thể tích v, gọi hình cầu Wigner-Seitz, bán kính rs Ta có v= 4π rs3 (1.61) 9π 1/3 ) rs (1.62) 2π ≈ 2, 6rs qD (1.63) qD = ( Bước sóng tương ứng với qD λD = Vậy bước sóng bé sóng âm lớn đường kính ô sơ chút Các sóng âm ngắn lan truyền tinh thể Đó điều hiển nhiên Mật độ phổ dao động D(ω) xác định sau: 4πq dq 3ω dω D(ω)dω = = ωD qD Công thức nhiệt dung trở thành ∫ ωD (ω/kT )2 eω/kT 3ω dω CD = 3N k (eω/kT − 1)2 ωD ( )3 ∫ φ/T x T xe = 3N k dx φ ex − (1.64) (1.65) Trong ta thay đổi biến số ω =x kT (1.66) ωD = kφ (1.67) đặt 16 φ gọi nhiệt độ Debye Xét hai trường hợp giới hạn a) Trường hợp T φ lớn, x< T φ (1.68) bé biểu thức dấu tích phân ta khai triển theo x Ta có ∫ φ/T x4 ex dx ≈ ex − ∫ φ/T x4 dx = x2 ( )3 φ T (1.69) Thay vào vế phải công thức (1.65) ta thu CD = 3N k (1.70) Đó định luật Dulong-Petit b) Trường hợp T φ bé, cận φ T tích phân công thức (1.65) lớn thay vô cực Tích phân trở thành ∫ φ/T x xe 4π dx = ex − 15 ta thu 12π Nk CD = 15 Đó định luật nhiệt dung bậc ba ( )3 T φ (1.71) (1.72) Đóng ghóp phonon quang Lý thuyết Einstein Xét đóng ghóp phonon quang có tần số góc không đổi ωE Khi mật độ phổ dao động D(ω) = δ(ω − ωE ) (1.73) từ công thức (1.65) ta thu (ωE /kT )2 eωE /kT CE = 3N k (eωE /kT − 1)2 17 (1.74) Đặt ωE = kφE (1.75) gọi φE nhiệt độ Einstein Ta có công thức (ωE /kT )2 eωE /kT CE = 3N k (eωE /kT − 1)2 CE = 3N k 1.2 (φE /T )2 eφE /T (eφE /T − 1)2 CÁC GIẢ HẠT TRONG CHẤT RẮN 1.2.1 Điện tử 1.2.2 Các khái niệm ban đầu Các hàm hầu tuần hoàn 18 (1.76) (1.77) Tài liệu tham khảo [1] A I Alonso, J Hong, J Rojo, A class of ergodic solutions of differential equation with piecewise continuous delays, Dynam Systems Appl., (1998), 561-574 [2] W Arendt, C J K Batty, Almost periodic solutions of first and second oder Cauchy problems, J Differential Equations 137 (1997), No 2, 363-383 [3] W Arendt, C J K Batty, M Hieber, F Neubrander, Vectorvalued Laplace Transforms and Cauchy Problems, in “Monographs in Mathematics", Vol 96, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin 2001 [4] B Basit, Generalization of two theorems of M I Kadets concerning the indefinite integral of abstract almost periodic functions, Mat Zametki, (1971), 311-321 (Russian) [5] S Bochner, Continuous mappings of almost automorphic and almost periodic functions, Proc N A S., 52 (1964), 907-910 [6] S Bochner, A new approach to almost periodicity, Proc N A S., 48 (1962), 2039-2043 [7] S Busenberg, K L Cooke, Models of vertically transmitted diseases with sequential-continuous dynamics, in “Nonlinear Phenonmena 19 in Mathematical Sciences" (V Lakshmikantham, Ed.), 179-187; Academic Press, New York, 1982 [8] A Cabada, J B Ferreiro, J J Nieto, Green’s function and comparison principles for first order periodic differential equations with piecewise constant arguments, J Math Anal Appl., 291 (2004), 690-697 [9] K L Cooke, J Wiener, Retarded differential equations with piecewise constant delays, J Math Anal Appl., 99 (1984), 265-297 [10] K L Cooke, J Wiener, Neutral differential equations with piecewise constant argument, Boll Un Mat Ital., (1987), 321-349 [11] K L Cooke, J Wiener, A survey of differential equation with piecewise continuous delays, in “Lecture Notes in Mathematics", Vol 1475, Springer-Verlag, Berlin (1991), 1-15 [12] Tran Tat Dat, On the existence of almost periodic, periodic and quasi periodic solutions of neutral differential equations with piecewise constant argument, Int J Evol Equ., (2005), No 2, 121-135 [13] T Diagana, G M N’Guerekata, Nguyen Van Minh, Almost automorphic solutions of evolution equations, Proc Amer Math Soc 132 (2004), 3289-3298 [14] M H Eduardo, “A Massera type criterion for a partial neutral functional differential equation", Elec J Diff Eq Vol 2002 (2002), No 40, 1-17 [15] T Furumochi, T Naito, Nguyen Van Minh, Boundedness and almost periodicity of solutions of partial functional differential equations, J Differential Equations, 180 (2002), 125-152 20 [16] Y Hino, S Murakami, Almost automorphic solutions for abstract functional differential equations, J Math Anal Appl., 286 (2003), 741-752 [17] Y Hino, T Naito, Nguyen Van Minh, J S Shin, Almost periodic solutions of Differential Equations in Banach spaces, Taylor and Francis Group, London-New York, 2002 [18] Tassilo K¨ upper, Rong Yuan, On Quasi-Periodic Solutions of Differential Equations with Piecewise Constant Argument, J Math Anal Appl., 267 (2002), 173-193 [19] B M Levitan, V V Zhikov, “Almost periodic functions and differential equations", Monographs in Mathematics, Vol 96, (1978), Moscow Univ Publ House (English translation by Cambridge University Press, 1982) [20] J Liu, G M N’Guerekata, Nguyen van Minh, A Massera type theorem for almost automorphic solutions of differential equations, J Math Anal Appl., 299 (2004), No 2, 587-599 [21] Geza Makay, On some possible extension of Massera’s theorem, EJQTDE, Proc 6th Coll QTDE, (2000) No 16 [22] J L Massera, The existence of periodic solutions of systems of differential equations, Duke Math J., 17 (1950), 457-475 [23] Nguyen Van Minh, Tran Tat Dat, “On the almost automorphy of bounded solutions of differential equations with piecewise constant argument" J Math Anal Appl., Accepted 21 [24] N M Man, N V Minh, “On the existence of quasi periodic and almost periodic solutions of neutral functional differential equations", Communications in Pure and Applied Analysis (2004), 291–300 [25] Nguyen Van Minh, Toshiki Naito, Gaston Nguerekata, A spectral countability condition for alomost automorphy of solutions of abstract differential equations Proceedings of the AMS To appear [26] S Murakami, T Naito, Nguyen Van Minh, Evolution semigroups and sums of commuting operators: A new approach to the admissibility theory of function spaces, J Differential Equations, 164 (2000), 240-285 [27] S Murakami, T Naito, Nguyen Van Minh, Massera Theorem for almost periodic solutions of functional differential equations, J Math Soc Japan, 56 (2004), N.1, 247-268 [28] T Naito, Nguyen Van Minh, J S Shin, New spectral criteria for almost periodic solutions of evolution equations, Studia Mathematica, 145 (2001), 97-111 [29] T Naito, N V Minh, R Miyazaki, Y Hamaya, Boundedness and almost periodicity in dynamical systems, J Difference Equations Appls., (2001), 507-527 [30] T Naito, R Miyazaki, Nguyen Van Minh, J S Shin, A decomposition theorem for bounded solutions and the existence of periodic solutions to periodic equations, J Differential Equation, 160 (2000), N.1, 263-282 [31] N’Guerekata, Almost automorphic functions and applications to abstract evolution equations, Contemporary Math 252 (1999), 71-76 22 [32] N’Guerekata, Almost automorphic and almost periodic functions in Abstract Spaces, Kluwer, Amsterdam, 2001 [33] N’Guerekata,Topics in almost automorphy, Springer, New York, 2005 [34] G Papaschinopoulos, Some results concerning a class of differential equations with piecewise constant argument, Math Nachr., 166 (1994), 193-206 [35] G Papaschinopoulos, Exponential dichotomy, topological equivalence and structural stability for differential equations with piecewise constant argument, Analysis, 14 (1994), 239-247 [36] G Papaschinopoulos, On integral manifold for a system of differential equations with piecewise constant argument, J Math Anal Appl., 201 (1996), 75-90 [37] G Papaschinopoulos, Linearization near integral manifold for a system of differential equations with piecewise constant argument, J Math Anal Appl., 215 (1997), 317-333 [38] J Pr¨ uss, “Evolutionary integral equations and applications", Birkhauser, Basel (1993) [39] George Seifert, Almost periodic solutions of Certain Differential Equations with Piecewise Constant Delays and Almost periodic Time Dependence, J Differential Equation, 164 (2000), 451-458 [40] George Seifert, Second order neutral delay differential equations with piecewise constant time dependence, J Math Anal Appl., 281 (2003), 1-9 23 [41] S M Shah, J Wiener, Advanced differential equations with piecewise constant argument deviations, Int J Math Math Sci., (1983), 671-703 [42] Nguyen Trung Thanh, Massera criterion for periodic solutions of differential equations with piecewise constant argument, J Math Anal Appl., 302 (2005), 256-268 [43] J Wiener, “Generalized Solutions of Functional Differential Equations", World Scientific, Singapore, 1993 [44] J Wiener, K L Cooke, Oscillations in systems of differential equations with piecewise constant argument, J Math Anal Appl., 137 (1989), 221-239 [45] J Wiener, W Heller, Oscillatory and periodic solutions to a diffusion equation of neutral type, Internat J Math & Math Sci., Vol.22 (1999), No.2, 313-348 [46] W A Veech, “Almost automorphic functions", Proc N A S., 48 (1963), 462-464 [47] Rong Yuan, Jialin Hong, Almost periodic solutions of differential equations with piecewise constant argument, Analysis, 16 (1996), 171-180 [48] Rong Yuan, Jialin Hong, The existence of almost periodic solution for a class of differential equations with piecewise constant argument, Nonlinear Anal., 28 (1997), 1439-1450 [49] Rong Yuan, Almost periodic solutions of a class of singularly perturbed differential equations with piecewise constant argument, Nonlinear Anal., 37 (1999), 641-659 24 [50] Rong Yuan, On the logistic delay differential equations with piecewise constant argument and quasi periodic time dependence, J Math Anal Appl., 274 (2002) 124-133 [51] S Zaiman, Almost automorphic solutions of some abstract evolution equations, Instituto Lombardo-Academia di Sci e Lettere, 110 (1976), 578-588 [52] M Zaki, Almost automorphic solutions of certain abstract differential equations, Ann Math Pura ed Appli Ser 4, 101 (1974), 91-114 [53] F Zhang, A Zhao, J Yan, Monotone iterative method for differential equations with piecewise constant arguments, Mathematica Vol 57 Fasc 3-2000 25 Portugaliae [...]... đẩy Coulomb của chúng và làm cho hai điện tử tạo thành một trạng thái liên kết-tạo một cặp Cooper-có điện tích gấp đôi điện tích của điện tử Sự tạo thành cặp Cooper là nguồn gốc của hiện tượng siêu dẫn điện trong một số chất ở nhiệt độ rất thấp 1.1.3 Nhiệt dung của mạng tinh thể Trong đoạn trước ta đã chứng minh rằng trạng thái dao động của mạng tinh thể được diễn tả như là trạng thái của một hệ các... i ∫ ω 2 eω/kT dq (eω/kT − 1)2 (1.52) (1.53) Bây giờ ta xét riêng đóng ghóp của các phonon âm và phonon quang Đóng ghóp của phonon âm Lý thuyết Debye Ta viết gần đúng ω(q) = σq (1.54) và thay vùng Brillouin thứ nhất có thể tích Ω bằng một hình cầu trong không gian q có cùng một thể tích đó, gọi là hình cầu Debye Bán kính qD của hình cầu này, gọi là số sóng Debye , được xác định bởi điều kiện ω(q) =... luật Dulong-Petit b) Trường hợp T φ rất bé, cận trên φ T của tích phân trong công thức (1.65) rất lớn và có thể thay bằng vô cực Tích phân này trở thành ∫ φ/T 4 x xe 4π 4 dx = ex − 1 15 0 và ta thu được 12π 4 Nk CD = 15 Đó là định luật nhiệt dung bậc ba ( )3 T φ (1.71) (1.72) Đóng ghóp của phonon quang Lý thuyết Einstein Xét đóng ghóp của phonon quang có tần số góc không đổi ωE Khi đó mật độ phổ dao... âm nganng TA, có 3(s-1)phonon quang, s-1 phonon quang dọc LO và 2(s-1) phonon quang ngang TO Các toán tử sinh và huỷ phonon tuân theo các hệ thức giao hoán (1.40), cho nên hệ nhiều phonon tuân theo thống kê Bose-Einstein, trong một trạng thái đã cho có thể có nhiều phonon cùng một lúc 12 Trong quá trình chuyển động trong mạng tinh thể các điện tử tương tác với các ion của mạng và do đó có thể phát... khác, thể tích ô cơ sở của mạng Bravais là v= 15 V N (1.59) Ta suy ra hệ thức 6π 2 1/3 qD = ( ) v (1.60) Ta thay ô cơ sở Wigner-Seitz bằng một hình cầu có cùng thể tích v, gọi là hình cầu Wigner-Seitz, bán kính rs Ta có v= 4π rs3 (1.61) do đó 9π 1/3 1 ) 2 rs (1.62) 2π ≈ 2, 6rs qD (1.63) qD = ( Bước sóng tương ứng với qD là λD = Vậy bước sóng bé nhất của sóng âm chỉ lớn hơn đường kính của ô cơ sơ một chút... đó, ω(k) là năng lượng của hạt với xung lượng k Các hạt này là các lượng tử trong dao động của mạng tinh thể, gọi là các phonon Trong thực tế ta không có các hạt thật, mà chỉ có các trạng thái dao động khác nhau của mạng tinh thể được diễn 9 tả giống như một hệ nhiều hạt mà thôi Do đó các phonon không phải là các hạt thật, và được gọi là các chuẩn hạt Ta đang xét các dao động của mạng tinh thể là các... được diễn tả như là trạng thái của một hệ các phonon, sự thay đổi trạng thái dao động của mạng được xem như sự thêm bớt các phonon, mà mỗi phonon có véctơ sóng q (xung lượng của phonon) mang theo một năng lượng ωi (q), i=1, 2, , 3s, s là số nguyên tử trong một ô cơ sở Trong vật lý thống kê trong trạng thái cân bằng nhiệt của một hệ nhiều hạt tuân theo thống kê Bose-Einstein ở nhiệt độ T số hạt có năng... lượng toàn phần của mạng tinh thể Elat = ∑ ∑(1) 1 q 13 ωi (q) ω (q)/kT e i − 1 (1.45) Chú ý rằng các giá trị gián đoạn q tạo thành một mạng Bravais mà ô cơ sở có thể tích(trong không gian xung lượng) (2π)3 (2π)3 ∆qx ∆qy ∆qz = = L1 L2 L3 V (1.46) V là thể tích hình hộp chữ nhật mà trên các mặt bên đối diện ta đặt điều kiện biên tuần hoàn của các sóng phẳng, cũng có thể xem là thể tích của tinh thể hữu... rất lớn Tổng theo các giá trị q liên tục trong vùng Brillouin thứ nhất Ω như sau ∫ ∫ ∫ ∑(1) V → dq 3 (2π) Ω q (1.47) Biểu thức của năng lượng dao động toàn phần của mạng tinh thể trở thành Elat V ∑ = (2π)3 i ∫ ∫ ∫ ωi (q) dq ωi (q)/kT − 1 Ωe (1.48) Theo định nghĩa nhiệt dung của tinh thể bằng Clat = ∂Elat ∂T (1.49) Từ biểu thức (1.48) ta suy ra Clat V 1 ∑ = (2π)3 kT 2 i ∫ ∫ ∫ ωi (q)2 eωi (q)/kT dq ωi... ω2 (k), chính là hàm ωo (k) (2) (2)+ ở trên Các chuần hạt với các toán tử huỷ và sinh ak , ak gọi là các phonon quang Tóm lại dao động lượng tử của chuỗi nguyên tử hai loại khác nhau được diễn tả như hệ nhiều phonon, gồm một loại phonon âm và một loạ phonon quang 11 C Mạng tinh thể ba chiều Trong trường hợp tổng quát mạng tinh thể ba chiều mà mỗi ô cơ sở chứa s nguyên tử (không tương đương), các toạ