Đề toán Megabook full đáp án

ĐỀ SỐ 21 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x4  2x2 (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  C  b) Tìm giá trị m để đường thẳng y  m cắt đồ thị  C  điểm phân biệt E, F , M , N Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến đồ thị  C  điểm E, F , M , N    cos x cos   x    cot x 4  sin x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình  Câu (1,0 điểm) Tìm tích phân I   2 x sin x   3x   cos x x sin x  cos x dx Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z   2i  Hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w , biết w  z   3i b) Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm năm chữ số khác Tính số phần tử S từ tập hợp S chọn ngẫu nhiên số, tính xác suất để chữ số có chữ số lẻ x3 y4 z3 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : mặt   1 phẳng () : 2x  y  z   Viết phương trình đường thẳng  nằm    ;  qua giao điểm A d    góc  Ox 450 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B Tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng SBC  đáy 600 Biết SA  2a; BC  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A B Đường chéo AC nằm đường thẳng d : 4x  y  28  Đỉnh B thuộc đường thẳng  : x  y   , đỉnh A có tọa độ nguyên Tìm tọa độ A, B, C biết D  2;  BC  AD   x  y  5x   xy  x  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  x 2 y 3  x  32  y  y   3 x, y  Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  0; a   0; b   0; 2c   Tìm giá trị lớn biểu thức a b c P   a  b  2c  HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a - Tập xác đinh: D  R - Sự biến thiên: x  + Chiều biến thiên: y '  4x3  4x ; y '     x  1 y '  0, x   1;  1;   , suy hàm số đồng biến khoảng  1;  1;   y '  0, x   ; 1  0;1 , suy hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  0;1 + Cực trị: Hàm số đạt cực đại x  0, yCD  Hàm số đạt cực tiểu x  1, yCT  1 + Giới hạn: lim y  ; lim y   x  x  + Bảng biến thiên x  1 y' y       1 -  Đồ thị: 1   + Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm  2; ,  0;  , + Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm  0;   2;  + Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số qua điểm  2;  ,  2;  - Vẽ đồ thị: Câu 1.b Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng y  m cắt đồ thị điểm phân biệt 1  m  Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x4  2x2  m  x4  2x2  m  (*) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt phương trình t  2t  m  có nghiệm dương phân biệt  t1  t2 Khi nghiệm pt (*) x1   t2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t2 Như ta có x1  x4 ; x2  x3 Ta có y '  x3  x Suy tổng hệ số góc tiếp tuyến giao điểm với đồ thị  C  là:        k1  k2  k3  k4  4x13  4x1  4x13  4x2  4x13  4x3  4x13  4x4       x13  x43  x23  x33   x1  x4    x2  x3   Nhận xét: Đây dạng toán biện luận số giao điểm đường thẳng  d  với hàm số  C  cho trước Khảo sát vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu đồ thị xét trường hợp: +  d  cắt  C  n  n  1 điểm phân biệt +  d   C  điểm chung Nhắc lại kiến thức phương pháp:   tọa độ tiếp điểm hàm số y  f  x  Phương trình tiếp tuyến , hệ số góc tiếp tuyến k  f '  x  +Kiến thức cần nhớ: Điểm Q xQ , yQ    Q y  f ' xQ x  xQ  yQ Q + Tìm m để đường thẳng y  m cắt  C  điểm E, F , M , N : Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng   y  m song song với trục Ox nên cắt C điểm phân biệt 1  m  + Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến t  x2 ta có  d  cắt  C  điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Tham số nghiệm theo t tính hệ số góc tiếp tuyến hoành độ giao điểm ( đối xứng qua trục Oy ) , từ tính tổng hệ số góc Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta làm sau: Viết phương trình giao điểm x4  2x2  m  x4  x2  m  Bài toán tương đương tìm m để phương trình x4  2x2  m  có nghiệm phân biệt  '   2 Đổi biến t  x  , ta tìm m để phương trình t  2t  m  có nghiệm t2  t1   S  P   Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hàm số y  x3   m  1 x2  3x  m  Tìm tất giá trị m để tiếp tuyến đồ thị điểm có hoành độ tạo trục tọa độ tam giác có diện tích Đáp số: m  1, m  b Cho hàm số y  x3  3x  Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến hàm số M cắt đồ thị điểm thứ hai N thỏa mãn xM  xN  (Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An) Đáp số: M  2;  , M  2;0  Câu Điều kiện x  k; k  2cos2 x cos x  1 sin x sin x   sin x  cos x  2cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  2cos x   Phương trình tương đương  sin x  cos x    sin x  cos x    sin x  cos x  cos x    cos x   + Với sin x  cos x   tan x  1  x    k    + Với cos x   x   k  x   k   Phương trình có nghiệm: x   k ; k  Nhận xét: Bài toán lượng giác , ta cần sử dụng bến đổi công thức hạ bậc , cosin hiệu phân tích nhân tử Tuy nhiên cần lưu ý việc xem xet điều kiện xác định phương trình để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai Nhắc lại kiến thức phương pháp:  cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b -Công thức cosin tổng , hiệu :   cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b -Công thức hạ bậc:  cos2c  2cos2 c ,  cos2c  2sin2 c -Công thức nghiệm phương trình lượng giác:  x    k 2 sin x  sin    ; k Z  x      k 2 cos x  cos   x    k 2; k  Z tanx  tan  x    k; k  Z cot x  cot   x    k; k  Z Bài toán kết thúc Bài tập tương tự:   5    a Giải phương trình 5cos  x    4sin   x   Đáp số: x   k 2 3    sin x  cos x   tan x  cos x  Đáp số: x  k sin x  cos x   x sin x   3x   cos x  3x cos x  Câu I   dx      dx 0 x sin x  cos x x sin x  cos x      x sin x  cos x  ' dx  x 02  3 x sin x  cos x         3ln x sin x  cos x     ln  ln1     3ln   b Giải phương trình Nhận xét: Bản chất toán tách tử biểu thức dấu tích phân theo mẫu đạo hàm mẫu Từ biểu thức dấu tích phân ta khó sử dụng hai phương pháp đổi biến số tích phân phần Nhắc lại kiến thức phương pháp: f  x  g  x   g'  x  g ' x -Ta có  dx   f  x  dx   dx g  x g  x Tổng quát :  f  x g  x  h  x g ' x g  x dx  f  x  dx    h  x  g '  x  g  x dx -Với nguyên hàm f  x  , công thức nguyên hàm tổng quát u'  u du  ln u  C Thay cận ta tính I Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Tính tích phân I   sin x   sin x  cos x  dx Đáp số: I  e b Tính tích phân I    xe x  x e x  ln x  dx Đáp số: I  ln ee  e Câu 4.a Ta có a  bi   2i    a     b    (1) 2 a  x  w  z   3i  x  yi  a  bi   3i   b  y  Thay vào (1) ta  x     y     M thuộc C  :  x     y    2 2 Vậy tập hợp điểm M đường C  :  x     y    2 Nhận xét: Đây dạng toán toán tìm biếu diễn số phức w theo số phức z thỏa mãn điều kiện Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Mọi số phức có dạng z  a  bi;  a, b  R  -Hai số phức phần thực phần ảo số - Từ số phức z : Thay z  a  bi vào phương trình z   2i  Tìm mối quan hệ phần thực phần ảo - Đặt w  x  yi , thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực ảo z ta tìm tập hợp điểm biểu diễn -Các trường hợp biểu diễn : +Đưởng tròn:  x  a    y  b   R2 ; x2  y  2ax  2by  c  2 +Hình tròn:  x  a    y  b   R; x2  y  2ax  2by  c  2 +Parapol: y  ax2  bx  c x2  y2 1 a b2 Bài toan kết thúc Bài tập tương tự: +Elipse:  3i Tìm modul số phức w  z  iz Đáp số: w  1 i 21 b Tìm số phức z thỏa mãn 1  3i  z số thực z   5i  Đáp số: z   6i; z   i 5 Câu 4.b Gọi A biến cố số chọn số có chữ số khác chữ số có a Cho số phức z thỏa mãn z  số lẻ Ta tìm số phần tử A sau: Gọi y  mnpqr  A , ta có: + Trường hợp 1: Trong chữ số số chọn có mặt số 0: Lấy thêm số lẻ số chẵn có C52 C42 cách; Xếp số chọn vào vị trí m, n, p, q , r có 4.4! cách Suy trường hợp có C52C42 4.4!  5760 + Trường hợp 2: Trong chữ số số chọn mặt số 0: Lấy thêm số lẻ số chẵn có C52 C43 cách; Xếp số chọn vào vị trí m, n, p, q , r có 5! cách Suy trường hợp có C52C43 5!  4800 Vậy A  5760  4800  10560 Do P  A   10560 220  27216 567 Nhận xét: Bài toán xác suất , ta cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo kiện giả thiết Nhắc lại kiến thức phương pháp:   A -Công thức tính xác suất biến cố A : P  A   (   A  số trường hợp thuận lợi  cho A ,  tổng số kết xảy ) - Ta tính tổng số kết xảy - Gọi A biến cố số chọn số có chữa số khác chữa số có số lẻ - Tính số phần tử A cách gọi y  mnpqr  A Ta chia trường hợp sau: +Trong chữ số số chọn có mặt số +Trong chữ số số chọn mặt chữ số - Áp dụng công thức tính xác suất ta P  A  Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số lẻ có chữ số đôi khác có mặt chữ số Đáp số: 204 b Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Hỏi phải rút thẻ để xác suất có thẻ ghi số chia hết cho phải lớn (Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D 2012-2013) Đáp số: Rút thẻ Câu Gọi A giao điểm d    , suy A  –3; 2;1 Gọi u   a; b; c  vectơ phương  Ta có vectơ pháp tuyến    n   2; –2;1 Ta có u.n   2a  2b  c   c  2a  2b a 2 cos   , Ox      a  a  b   a  2b  2 2 a b c a  b  2a  5a  8ab  5b  3a  8ab  5b     a  5b   x  3  t  + Với a  b , chọn a  b   c    :  y   t z   2 2 5b x  y  z 1   , chọn b  3; a   c  4   : 4 Nhận xét: Hướng giải cho toán: Để viết phương trình đường thẳng  ta tìm điểm thuộc  vector phương  Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Tìm tọa độ giao điểm A  d    : Tham số hóa A  d , thay vào mặt phẳng    ta tính A + Với a  - Viết phương trình đường thẳng  : Tham số hóa u   a; b; c  vector phương  Do       u.n    (Với n   vector pháp tuyến    ) Ta tìn mối quan hệ a, b, c Chọn vector phương viết  - Lại có công thức tính góc hau đường thẳng  d  ;  d '  : cos  d, d '   ud ud '  ud ud '  ; Ox   450  cos  ; Ox   - Một đường thẳng có vố số vector phương nên chọn giá trị a , b cho trường hợp tương ứng Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: x2 y z2   mặt phẳng    : 2x  y  z   Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d song song với mặt a Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2; 1 , đường thẳng d : phẳng    Đáp số: x 1 y  z 1   9 5 x   s  b Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A  0;1; 3 đường thẳng d :  y   2t Hãy tìm điểm z   B, C thuộc đường thẳng d cho tam giác ABC  6 82  6 82  B ; ;  ,C  ; ;3    5      Đáp số:   6 82  6 82  ;  ,C  ; ;3  B  ;    5      Câu Gọi H trung điểm AC , suy SH   ABC  Kẻ HI  BC  SI  BC Góc SBC  đáy SIH  600 a 15 3a  SH  SI sin 600  a 15 a 15 HI  SI   AB  HI  1 5a 3 (đvtt) V  AB.BC.SH  16 Kẻ Ax song song với BC , HI cắt Ax K Kẻ IM vuông góc với SK Ta có AK  SIK   AK  IM  IM  SAK  SI  SC  IC  3a Nhận xét: Đây toán có sử dụng hình học không gian tổng hợp lớp 11, yếu tố vuông góc hai mặt phẳng , góc hai mặt phẳng Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Công thức tính thể tích khối chóp V  B.h -Dựng góc hai mặt phẳng SBC  ,  ABC  : Goi H trung điểm AC Do mặt phẳng Tam giác SIK đều, suy IM  SH  SAC    ABC  nên SH   ABC   SBC , ABC   SIH  600 1 B.h  VS ABC  AB.BC.SH 3 - Tính khoảng cách d SA, BC  : Lí thuyết tính cách khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng - Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp V  tới mặt phẳng chứa đường thẳng lại Kẻ Ax / / BC , kẻ IM  SK  AK  SIK   IM  SAK  Suy d SA, BC   IM  SH Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , góc mặt bân đáy 600 Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng 3 a a (đvtt) d  AM , SB   24 b Cho hình chóp S.ABC có SA  3a , SA tạo với đáy  ABC  góc 600 Tam giác ABC AM SB Đáp số: V  vuông B , ACB  300 G trọng tâm tam giác ABC , hai mặt phẳng SGB , SGC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  Tính thể tích khối chóp S.ABC 243a3 (đvtt) 112 Câu Do B , suy B  b; b   Đáp số: V  Ta có d  B; AC  d  D; AC   BE BC   DE AD 4b  7(b  5)  28  42  B  4x B D 2  93 11b  63  30 b   11b  63  30    11  42  11b  63  30 b   khác phía đường thẳng 4.2  7.5  28 AC nên  yB  28  4xD  yD  28    30  11b  63  Do ta b  , suy B  3; –2   28  4a    4a   4a  42  Ta có A  ( D)  A  a;   DA   a  2;  BA   a  3;         a   A  0;  4a   4a  42     65a  385a    Do DA.BA    a   a     a  77 l 49   13    xC       C  7;  Ta có BC  AD   y       C  Vậy A  4;0  , B  3; –2  C  7;  điểm cần tìm Nhận xét: Để giải toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử dụng khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ đỉnh A, B, C Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm  mx  p  P   d  : mx  ny  p   P  ;   n   -Khoảng cách từ điểm M  xM ; yM  tới phương trình đường thẳng    : mx  ny  p  xác định theo công thức d  M ;    mxM  ny M  p m  n2   x  kz -Tính chất vector: u  x; y  , v  z; t  với u  kv     y  kt Áp dụng cho toán: - Tham số hóa tọa độ điểm B Do d  B; AC  d  D; AC   BE BC   ( E  AC  BD ), ta có điểm B DE AD -Để loại nghiệm sử dụng tính chất:  4xB  yB  28  4xD  yD  28    B -Tương tự A   d   DA, BA Mặt khác , DA.BA   A - Tính tọa độ điểm C : BC  AD  C Bài tập tương tự: a Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân A , trực tâm H  3;  Gọi D, E  d  : x  3y   , chân đường cao kẻ từ B, C Biết điểm A thuộc đường thẳng điểm F  2; 3 thuộc đường thẳng DE HD  Tìm tọa độ đỉnh A Đáp số: A  3;  b Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  1; 3  , B  5;1 Điểm M thuộc đường thẳng BC cho MC  2BB Tìm tọa độ đỉnh C biết MA  AC  đường thẳng BC có hệ số góc nguyên Đáp số: C  4;1 Câu Phương trình thứ hai tương đương 3x 2 y 3  x  y   32  y   y u  x  y   Đặt  , ta 3u  u  3v  v v   y   Xét f  t   3t  t ; ta có f '  t   3t ln   0; t  , suy f  t  đồng biến Nhận thấy f  u  f  v   u  v nghiệm cua phương trình u  v  x2  y    y  y  x    Thay y  x2  vào phương trình thứ nhất, ta x2  x2   5x   x x2   x     2x2  5x   x3   x2  x   3( x  1)   x  1  x   x1  a  x  1; a  Đặt  b  x  x  1; b     b  3a Phương trình trở thành 2b2  3a2  ab    a  2b  x    y  23  + Với b  3a  x2  x    x  1  x2  x  10     x    y  23    + Với a  2b  x   x2  x   4x2  3x        Hệ phương trình có nghiệm:  x; y    6; 23  ,  6; 23  Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Hàm số f  x  đồng biến(nghịch biến) D  f  u  f  v   u  v -Hàm số f  x  đồng biến(nghịch biến) D  f  x   có nhiều nghiệm -Hàm số f  x  đồng biến D , g  x  nghịch biến D  f  x   g  x  có nghiệm Ý tưởng: Từ phương trình thứ tách bình phương phương trình khó bậc cao, khó tìm mối quan hệ x , y  - Nhận thấy phương trình thứ hệ có tương đồng 3x   2 y     , x2  y  với 32  y ,2  y có dạng 3m , m  u  x  y  - Phương trình thứ hai hệ biến đổi thành: 3u  u  3v  v  v   y   t - Xét hàm số f  t    t đồng biến R  f  u  f  v   u  v Thay lại phương trình thứ , sử  a  x  dụng hai ẩn phụ   a, b   thu phương trình đẳng cấp bậc 2 b  x  x    Lần lượt giải phương trình vô tỉ ứng với trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu nghiệm hệ    x  1  x2  x  1 , ta chia vế cho Lưu ý: Từ phương trình x2  x    x  1  giải phương trình ẩn z  x 1 x  x1 x   x1 Bài toán kết thúc Bài tập tương tự:   a Giải phương trình x2   x3  Đáp số: x  b Giải phương trình Câu P  P  37 x   x2  2x   Đáp số: x  7, x  a b c 1 1  1     1  1        a  b  2c  1 a  b 4c  2   a  b c               a  b  4c     c 4c   Xét hàm số f  c   Ta có f '  c    khoảng  c 4c    c    4c        ;2   15c  20c   c    4c   c f 'c  2 ; f 'c   c   + 10 f c 5  0 2 Dấu “=” xảy a  b  c  Kết luận: MaxP  Nhận xét: Bài toán thuộc lớp cực trị hàm nhiều biến sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng để tìm giá trị lớn Nhắc lại kiến thức phương pháp: t - Ta thấy a , b đối xứng qua biểu thức , dự đoán điểm rơi a  b t 1  1  - Tách biểu thức P , ta P       Sử dụng bất đẳng thức   a  b 4c   Vậy P    x2 y  x  y  suy P        Tới hàm số rõ m n mn   c 4c     - Khảo sát hàm số f  c   với c    ;    c 4c      -Lập bảng biến thiên hàm số f  c    ;  thu minf  c    Bài tập tương tự: a Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a3 b3 c3 Đáp số: MinP    1  b 1  c  1  c 1  a 1  a  b b Cho a, b, c : ab  bc  ca  Chứng minh a  a2  b  b2  c  c2  HẾT Megabook chúc em học tốt! 11 [...]...f c 5 2 5 5  0 2 2 Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  0 Kết luận: MaxP  0 Nhận xét: Bài toán thuộc lớp cực trị của hàm nhiều biến sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng để tìm giá trị lớn nhất Nhắc lại kiến thức và phương pháp: t - Ta thấy a , b đối xứng qua biểu thức , dự đoán điểm rơi a  b t 1 5  1 1 1  - Tách biểu thức P , ta được P       Sử dụng bất đẳng thức cơ bản... tập tương tự: a Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện abc  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 a3 b3 c3 Đáp số: MinP    4 1  b 1  c  1  c 1  a 1  a 1  b b Cho a, b, c : ab  bc  ca  1 Chứng minh rằng a 1  a2  b 1  b2  c 1  c2  3 2 HẾT Megabook chúc các em học tốt! 11