nguyên lý quá trình chụp và tái tạo ảnh CT

Trong trường hợp này vật thể được mô hình như là phân bố 2D hoặc 3D của các hằng số suy giảm tia X và một tích phân đường thể hiện sự suy giảm toàn phần khi một chùm tia X truyền qua vậ

CÁC THUẬT TOÁN

Sơ đồ nguyên lý quá trình chụp và tái tạo ảnh CT

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ HÌNH CHIẾU

• Tia X đến vị trí của đầu dò bị hấp thu bởi vật

thể ở mỗi điểm tia X đi qua Vì vậy, cường độ của tia X đến vị trí của đầu dò tỉ lệ với tích

phân của phân bố trong suốt 2D của vật thể dọc theo đường đi Sự tạo ra các hình ảnh

mặt cắt bởi máy CT là sự tái tạo các hàm

phân bố trong suốt từ tập hợp các hàm 1D

thu được bởi các tích phân đường dọc theo các đường có hướng khác nhau Tích phân

Biến đổi Radon

:

• Tích phân đường là tích phân của một thông số nào đó của vật thể dọc theo một đường Trong chương này chúng ta sẽ xem xét sự suy giảm của các tia X khi chúng truyền qua các mô sinh học Trong trường hợp này vật thể được mô

hình như là phân bố 2D hoặc 3D của các hằng

số suy giảm tia X và một tích phân đường thể hiện sự suy giảm toàn phần khi một chùm tia X truyền qua vật thể theo một đường thẳng.

• Xét hệ tọa độ như hình vẽ Gọi f(x,y) là hàm đặc trưng cho vật thể và g(s,θ) là hình chiếu của f(x,y) lên trục s

có hướng hợp với trục x một góc θ Hàm số g(s,θ)

nhận được bằng cách lấy tích phân dọc theo đường

mà vector pháp tuyến của nó có hướng θ Giá trị

g(0,θ) được định nghĩa là giá trị đạt được bằng cách lấy tích phân dọc theo đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(x,y)

• Do các điểm nằm trên đường thẳng có vector pháp tuyến theo hướng θ và đi qua gốc tọa độ (x,y) thỏa :

θ

sin

cos )

2 tan( + = −

=

x y

(1)

• Tích phân dọc theo đường thẳng có vector pháp tuyến theo hướng θ và đi qua gốc tọa độ (x,y) có nghĩa là tích phân của f(x,y) chỉ tại những điểm thỏa mãn phương

trình (3.2) mà thôi g(0,θ) được biểu diễn theo hàm δ

Dirac như sau :

• Tương tự, đường thẳng có vector pháp tuyến theo

hướng θ và cách gốc tọa độ khoảng s thỏa mãn phương trình sau :

• ( x - scosθ).cosθ + ( y - ssinθ ).sinθ = 0 (4)

• Bởi vì đường này nhận được bằng cách di chuyển đường đi qua gốc tọa độ một

khoảng scos θ theo hướng x và ssin θ theo hướng y Vì vậy, tương tự như phương

s

g ( , θ ) ( , ) δ ( cos θ sin θ )

(6)

• Phương trình (6) được gọi là biến đổi

Radon của phân bố 2D f(x,y) để cho hình chiếu g(s, θ ) Hình chiếu được hình thành bằng cách kết hợp tập hợp các tích phân đường Hình chiếu đơn giản nhất là tập

hợp tích phân các tia song song g(s, θ ) đối với θ không đổi.

• Một loại hình chiếu khác có thể thu được khi có một nguồn phát tia X đơn được đặt trong một vị trí cố định tương đối với dãy đầu dò Hình chiếu này được gọi là hình chiếu chùm quạt bởi vì các tích phân

đường được đo dọc theo các quạt.

Hình chiếu chùm quạt

• Mặc dù biến đổi Radon diễn tả hình chiếu bằng tích phân 2D trong hệ tọa độ (x,y), hình chiếu sẽ được diễn tả một cách tự

nhiên hơn bằng tích phân một biến bởi vì

đó là một tích phân đường Chúng ta hãy xem xét viết lại phương trình (6) bằng một tích phân một biến

• Bởi vì tọa độ (s,u) dọc theo hướng chiếu đạt được bằng cách xoay tọa độ (x,y) một góc θ , mối quan hệ giữa hai hướng được biểu diễn như sau :

s

θθ

θ

θ

cossin

sincos

(7)

• Vì vậy, chúng ta nhận được mối liên hệ giữa (s,u) và (x,y) như sau :

θ

θ

cos sin

sin

cos

y x

u

y x

θ

θ

cos sin

sin

cos

u s

y

u s

(8)

• Thay phương trình (3.9) vào (3.6), ta

• Bởi vì sự chuyển dịch từ tọa độ (x,y) sang tọa độ (s,u) không gây nên bất kỳ sự co hay giãn nào, nên dxdy = dsdu Vì vậy,từ phương trình (6), ta có :

• Bởi vì hàm δ trong phương trình (3.6) là hàm của biến s, nên ta có :

δ

Như vậy, biến đổi Radon g(s,θ) trong phương trình

(6) được chuyển đổi thành tích phân của một biến

g ( , θ ) ( cos θ sin θ , sin θ cos θ )

Phương trình (13) diễn tả tổng của f(x,y) dọc theo đường đi của

tia X cách gốc tọa độ một khoảng s và có vector pháp tuyến

(12)

(13)

3 Định lý lát cắt Fourier :

• Chúng ta suy ra định lý lát cắt Fourier

bằng cách lấy biến đổi Fourier 1D của một hình chiếu song song và chú ý rằng phép biến đổi này bằng một lát cắt của phép

biến đổi Fourier 2D của vật thể gốc Từ đó suy ra nếu biết dữ liệu hình chiếu, có thể ước tính vật thể bằng cách thực hiện biến

• Phép biến đổi Fourier 1D của biến đổi

Radon g(s, θ ) đối với biến s - được gọi là

Gθ(w) - và mặt cắt của phép biến đổi

Fourier 2D của vật thể f(x,y) bị cắt bởi mặt phẳng hợp với trục fx một góc θ và vuông góc với mặt phẳng (fx ,fy ) – được gọi là F(fx,fy) là bằng nhau, nghĩa là :

Định lý

• Chứng minh

• Thay phương trình (13) vào phương trình (15), ta có :

ds ws

i s

g w

Thay thế các biến (x,y) bằng (s,u) và dxdy = dsdu, ta có :

f ( , ) exp( 2 π {( cos θ ) ( sin θ ) })

=

(17)

II TÁI TẠO HÌNH ẢNH TỪ CÁC HÌNH CHIẾU :

• Có bốn phương pháp chính để tính toán hình ảnh mặt cắt từ tập hợp các hình chiếu của nó Các phương pháp này được gọi là thuật toán tái tạo cắt lớp.

• 1 Phương pháp thứ nhất hoàn toàn không thực tế, nhưng giúp

chúng ta dễ hiểu vấn đề hơn Phương pháp này dựa trên việc giải nhiều phương trình tuyến tính đồng thời Một phương trình có thể được viết cho một phép đo Nghĩa là, một mẫu cụ thể trong một bao hình cụ thể là tổng của một nhóm các pixel cụ thể trong một ảnh

Để tính NxN biến ( là giá trị điểm ảnh ) thì cần phải có NxN phương trình độc lập, và vì vậy cần phải có NxN phép đo Hầu hết tất cả các máy chụp cắt lớp thu được số mẫu nhiều hơn 50% so với yêu cầu cần cho tính toán Ví dụ, để tái tạo ảnh 512x512, một hệ thống CT

có thể nhận 700 view với 600 mẫu mỗi view Theo cách này thì ảnh nhận được sau cùng đã được giảm bớt nhiễu Tuy nhiên, phương pháp này có nhược điểm lớn là thời gian tính toán lâu do phải giải

Kỹ thuật lặp

• 2 Phương pháp tái tạo ảnh cắt lớp thứ hai sử dụng các kỹ thuật lặp để tính toán ảnh sau cùng theo từng bước nhỏ Có nhiều biến thể của

phương pháp này:

• Kỹ thuật tái tạo đại số (ART)

• Kỹ thuật tái tạo lặp đồng thời (SIRT)

• Iterative Least Squares Technique (ILST)

• Sự khác biệt giữa các phương pháp này là cách các hiệu chỉnh liên tiếp được thực hiện : tia – tia, pixel – pixel, hay hiệu chỉnh đồng thời toàn bộ

dữ liệu

Kỹ thuật tái tạo đại số (ART) :

• Phương pháp này giả sử rằng mặt cắt bao gồm một dãy các ẩn số và các phương trình đại số đối với các ẩn số này xét về mặt dữ liệu hình

chiếu được đo Phương pháp này mặc dù đơn giản nhưng độ phân giải kém nên không thể sử dụng cho các ứng dụng đòi hỏi độ phân giải tối thiểu là 1%.

• Tất cả các phương pháp tái tạo đại số đều là kỹ thuật lặp Nghĩa là, đầu tiên dự đoán giá trị ban đầu của hàm ảnh µ(i, j) đối với mỗi điểm ảnh (i, j) của ảnh tái tạo

• µ(i, j) = hằng số với i = 1, …., N; j = 1, …., N

• Dữ liệu hình chiếu qua ảnh tái tạo được tính cho góc θ

nào đó như sau

L: đường đi của tia tới

So sánh dữ liệu hình chiếu tính toán và dữ liệu hình chiếu đo đạc, ta có:

) ( )

( )

∑a2 : tổng diện tích của tất cả các điểm ảnh vuông trên đường đi của tia

Phương pháp chiếu ngược

thuyết một cách đơn giản

Ý tưởng của phương pháp

• Thuật toán chiếu ngược có lọc có một cơ sở

trực giác là mỗi hình chiếu biểu diễn một phép

đo gần như độc lập của đối tượng

• Điều này không hiển nhiên trong miền không

gian nhưng nếu thực hiện phép biến đổi Fourier cho hình chiếu ở mỗi góc thì theo định lý Lát cắt mỗi hình chiếu gần như độc lập nhau vì thành phần chung duy nhất giữa biến đổi Fourier của hai hình chiếu ở hai góc khác nhau là thành

phần dc.

• Do định lý lát cắt Fourier việc do một hình chiếu có thể coi như là thực hiện một toán tử lọc hai chiều.

• Khảo sát một hình chiếu và biến đổi Fourier của nó

Theo định lý lát cắt Fourier, hình chiếu này cho ta giá trị biến đổii Fourier hai chiều của vật thể dọc theo một

đường

• Nếu giá trị biến đổi Fourier của hình chiếu này được

chèn vào đúng chỗ trong miền Fourier của vật thì một phép tái tạo đơn giản (dù rất méo mó) có thể được tạo

ra bằng cách lấy biến đổi Fourier 2D ngược

• Minh hoạ là hình 3.8 và 3.10

• Fig 3.8: This figure shows the frequency domain data available from one projection (a) is the ideal situation A reconstruction could be formed by simply summing the reconstruction from each angle until the entire frequency domain is filled What is actually measured is shown in (b) As predicted by the Fourier Slice Theorem, a

projection gives information about the Fourier transform

of the object along a single line The filtered

backprojection algorithm takes the data in (b) and

applies a weighting in the frequency domain so that the data in (c) are an approximation to those in (a)

• Fig 3.10: The result

of backprojecting the projection

(a) Shows the result of backprojecting for a

• single angle,

(b) shows the effect

of backprojecting over 4 angles,

(c) shows 64 angles, and

(d)shows 512 angles.

)sin,

cos(

f

• Viết lại khoảng lấy tích phân đối với w

thành (- ∞ , ∞ ) và khoảng tích phân đối với θ

(2

exp(

)()

là biến đổi Fourier ngược của hàm

i w

= g x y w G w i sw dw s

g^ ( ,θ) ^ ( cosθ sinθ,θ) θ ( )exp( 2π ))

Ta có :

θ θ

θ θ

π

d y

x g y

• Phương trình này có cùng dạng với hình chiếu ngược Do đó, phương trình này

cho thấy vật thể gốc f(x,y) nhận được

bằng cách áp dụng bộ lọc nhân với biến đổi Radon và sau đó thực hiện chiếu

ngược Phương pháp này được gọi là

phương pháp chiếu ngược có lọc

Phương pháp này thực hiện chiếu ngược

• Phương pháp này không đòi hỏi biến đổi Fourier ngược ảnh bị nhòe bởi vì biến đổi Fourier được áp dụng chỉ đối với các hình chiếu mà thôi Mặc dù phương pháp này đòi hỏi nội suy giữa tọa độ cực đối với tọa độ Descartes tương tự như phương pháp biến đổi Fourier, nhưng

không có nhiễu ảnh trong miền thực bởi vì phương pháp này thực hiện nội suy trong miền thực ngược với

phương pháp biến đổi Fourier Bởi vì lọc có thể được áp dụng cho mỗi góc θ một cách độc lập, nên lọc đối với

một góc θ có thể được thực hiện song song trước khi sự thu nhận hình chiếu ở một góc θ khác hoàn tất