nguyên lý quá trình chụp và tái tạo ảnh CT

CÁC THUẬT TOÁN Sơ đồ nguyên lý trình chụp tái tạo ảnh CT TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ HÌNH CHIẾU • Tia X đến vị trí đầu dò bị hấp thu vật thể điểm tia X qua Vì vậy, cường độ tia X đến vị trí đầu dò tỉ lệ với tích phân phân bố suốt 2D vật thể dọc theo đường Sự tạo hình ảnh mặt cắt máy CT tái tạo hàm phân bố suốt từ tập hợp hàm 1D thu tích phân đường dọc theo đường có hướng khác Tích phân gọi hình chiếu phân bố 2D Biến đổi Radon : Minh họa biến đổi Radon • Tích phân đường tích phân thông số vật thể dọc theo đường Trong chương xem xét suy giảm tia X chúng truyền qua mô sinh học Trong trường hợp vật thể mô phân bố 2D 3D số suy giảm tia X tích phân đường thể suy giảm toàn phần chùm tia X truyền qua vật thể theo đường thẳng • Xét hệ tọa độ hình vẽ Gọi f(x,y) hàm đặc trưng cho vật thể g(s,θ) hình chiếu f(x,y) lên trục s có hướng hợp với trục x góc θ Hàm số g(s,θ) nhận cách lấy tích phân dọc theo đường mà vector pháp tuyến có hướng θ Giá trị g(0,θ) định nghĩa giá trị đạt cách lấy tích phân dọc theo đường thẳng qua gốc tọa độ O(x,y) • Do điểm nằm đường thẳng có vector pháp tuyến theo hướng θ qua gốc tọa độ (x,y) thỏa : y π − cos θ • = tan(θ + ) = (1) x sin θ • • nên : xcosθ + ysinθ = (2) • Tích phân dọc theo đường thẳng có vector pháp tuyến theo hướng θ qua gốc tọa độ (x,y) có nghĩa tích phân f(x,y) điểm thỏa mãn phương trình (3.2) mà g(0,θ) biểu diễn theo hàm δ Dirac sau : ∞ • g (0,θ ) = ∫ ∫ f ( x, y )δ ( x cosθ + y sin θ )dxdy (3) −∞ • Tương tự, đường thẳng có vector pháp tuyến theo hướng θ cách gốc tọa độ khoảng s thỏa mãn phương trình sau : • ( x - scosθ).cosθ + ( y - ssinθ ).sinθ = (4) • xcosθ + ysinθ - s = (5) • Bởi đường nhận cách di chuyển đường qua gốc tọa độ khoảng scosθ theo hướng x ssinθ theo hướng y Vì vậy, tương tự phương trình (3) có : g ( s ,θ ) = ∞ ∫ ∫ f ( x, y)δ ( x cosθ + y sin θ − s)dxdy −∞ (6) • Phương trình (6) gọi biến đổi Radon phân bố 2D f(x,y) hình chiếu g(s,θ) Hình chiếu hình thành cách kết hợp tập hợp tích phân đường Hình chiếu đơn giản tập hợp tích phân tia song song g(s,θ) θ không đổi • Một loại hình chiếu khác thu có nguồn phát tia X đơn đặt vị trí cố định tương dãy đầu dò Hình chiếu gọi hình chiếu chùm quạt tích phân đường đo dọc theo quạt Kỹ thuật tái tạo đại số (ART) : • Phương pháp giả sử mặt cắt bao gồm dãy ẩn số phương trình đại số ẩn số xét mặt liệu hình chiếu đo Phương pháp đơn giản độ phân giải nên sử dụng cho ứng dụng đòi hỏi độ phân giải tối thiểu 1% • Tất phương pháp tái tạo đại số kỹ thuật lặp Nghĩa là, dự đoán giá trị ban đầu hàm ảnh µ(i, j) điểm ảnh (i, j) ảnh tái tạo • µ(i, j) = số với i = 1, …., N; j = 1, …., N (18) • Dữ liệu hình chiếu qua ảnh tái tạo tính cho góc θ sau Ptt (θ ) = ∫ µ (i, j )dl L L: đường tia tới So sánh liệu hình chiếu tính toán liệu hình chiếu đo đạc, ta có: ∆P (θ ) = Ptt (θ ) − Pdd (θ ) Hàm ảnh điểm ảnh chỉnh sửa tùy thuộc vào độ lệch ∆P giá trị hình chiếu tính toán giá trị đo đạc sau : µ k = µ k −1 + (ai * ∆Pi / ∑ ai2 ) -k : số lần lặp đó: -ai : diện tích điểm ảnh thứ i a ∑ i : tổng diện tích tất điểm ảnh vuông đường tia Các phương trình (3.18) – (3.20) lặp lại ∆P nhỏ không đáng kể bỏ qua Phương pháp chiếu ngược có lọc •Là phương pháp hệ CT •Phương pháp minh hoạ tốt cho thấy biến đổi cách thực thi máy tính cách viết lại biểu thức lý thuyết cách đơn giản Ý tưởng phương pháp • Thuật toán chiếu ngược có lọc có sở trực giác hình chiếu biểu diễn phép đo gần độc lập đối tượng • Điều không hiển nhiên miền không gian thực phép biến đổi Fourier cho hình chiếu góc theo định lý Lát cắt hình chiếu gần độc lập thành phần chung biến đổi Fourier hai hình chiếu hai góc khác thành phần dc • Do định lý lát cắt Fourier việc hình chiếu coi thực toán tử lọc hai chiều • Khảo sát hình chiếu biến đổi Fourier Theo định lý lát cắt Fourier, hình chiếu cho ta giá trị biến đổii Fourier hai chiều vật thể dọc theo đường • Nếu giá trị biến đổi Fourier hình chiếu chèn vào chỗ miền Fourier vật phép tái tạo đơn giản (dù méo mó) tạo cách lấy biến đổi Fourier 2D ngược • Minh hoạ hình 3.8 3.10 • Fig 3.8: This figure shows the frequency domain data available from one projection (a) is the ideal situation A reconstruction could be formed by simply summing the reconstruction from each angle until the entire frequency domain is filled What is actually measured is shown in (b) As predicted by the Fourier Slice Theorem, a projection gives information about the Fourier transform of the object along a single line The filtered backprojection algorithm takes the data in (b) and applies a weighting in the frequency domain so that the data in (c) are an approximation to those in (a) • Fig 3.10: The result of backprojecting the projection (a) Shows the result of backprojecting for a • single angle, (b) shows the effect of backprojecting over angles, (c) shows 64 angles, and (d)shows 512 angles Lý thuyết • Ký hiệu biến đổi Fourier f(x,y)là F(fx , fy ) Vì f(x,y) nhận biến đổi Fourier ngược, ta có : ∞ f ( x, y ) = ∫ ∫ F ( f x , f y ) exp(i 2π ( f x x + f y y ))df x df y −∞ • Biến đổi sang hệ tọa độ cực (w,θ) sử dụng mối quan hệ hình sau • fx = wcosθ • fy = wsinθ • dfxdfy = wdwdθ • Ta có : f ( x, y ) = 2π ∞ ∫ ∫ F (w cosθ , w sin θ ) exp(i 2πw( x cosθ + y sin θ ))wdwdθ 0 Định lý cho ta : Gθ(w) = F(wcosθ,wsinθ) Trong Gθ(w) biến đổi Fourier 1D biến đổi Radon g(s,θ) phụ thuộc s f ( x, y ) = 2π ∞ ∫ ∫ G (w) exp(i 2πw( x cosθ + y sin θ ))wdwdθ θ 0 • Viết lại khoảng lấy tích phân w thành (-∞,∞) khoảng tích phân θ thành (0,π), sử dụng tính chất : • F(w,θ + π) = F(-w, θ) ta có : f ( x, y ) = π ∞ ∫ ∫ Gθ (w) exp(i 2πw( x cosθ + y sin θ )) w dwdθ −∞ Thay ⇒ s=xcosθ + ysinθ ∞  f ( x, y ) = ∫  ∫ w Gθ ( w) exp(i 2πsw))dwdθ − ∞  π ∞ ∫ w Gθ (w) exp(i 2πsw))dw −∞ biến đổi Fourier ngược hàm w Gθ (w) • Định nghĩa : ^ ^ g ( s,θ ) = g ( x cosθ + y sin θ ,θ ) ≡ ∞ ∫ w Gθ (w) exp(i 2πsw))dw −∞ Ta có : π ^ f ( x, y ) = ∫ g ( x cosθ + y sin θ ,θ )dθ • Phương trình có dạng với hình chiếu ngược Do đó, phương trình cho thấy vật thể gốc f(x,y) nhận cách áp dụng lọc nhân với biến đổi Radon sau thực chiếu ngược Phương pháp gọi phương pháp chiếu ngược có lọc Phương pháp thực chiếu ngược sau áp dụng lọc • Phương pháp không đòi hỏi biến đổi Fourier ngược ảnh bị nhòe biến đổi Fourier áp dụng hình chiếu mà Mặc dù phương pháp đòi hỏi nội suy tọa độ cực tọa độ Descartes tương tự phương pháp biến đổi Fourier, nhiễu ảnh miền thực phương pháp thực nội suy miền thực ngược với phương pháp biến đổi Fourier Bởi lọc áp dụng cho góc θ cách độc lập, nên lọc góc θ thực song song trước thu nhận hình chiếu góc θ khác hoàn tất Tóm lại, phương pháp thuật toán sử dụng hầu hết ứng dụng cắt lớp tia thẳng Phương pháp gồm bước sau -Đo đạc hình chiếu g(s,θ) -Biến đổi Fourier để tìm Gθ(w) -Nhân với hàm trọng số 2π w K -Lấy tổng mặt phẳng ảnh biến đổi Fourier ngược hình chiếu lọc [...]... hàm ảnh µ(i, j) đối với mỗi điểm ảnh (i, j) của ảnh tái tạo • µ(i, j) = hằng số với i = 1, …., N; j = 1, …., N (18) • Dữ liệu hình chiếu qua ảnh tái tạo được tính cho góc θ nào đó như sau Ptt (θ ) = ∫ µ (i, j )dl L L: đường đi của tia tới So sánh dữ liệu hình chiếu tính toán và dữ liệu hình chiếu đo đạc, ta có: ∆P (θ ) = Ptt (θ ) − Pdd (θ ) Hàm ảnh đối với mỗi điểm ảnh sẽ được chỉnh sửa tùy thuộc vào... nhược điểm lớn là thời gian tính toán lâu do phải giải đồng thời hàng trăm ngàn phương trình tuyến tính Kỹ thuật lặp • 2 Phương pháp tái tạo ảnh cắt lớp thứ hai sử dụng các kỹ thuật lặp để tính toán ảnh sau cùng theo từng bước nhỏ Có nhiều biến thể của phương pháp này: • Kỹ thuật tái tạo đại số (ART) • Kỹ thuật tái tạo lặp đồng thời (SIRT) • Iterative Least Squares Technique (ILST) • Sự khác biệt giữa... một ảnh Để tính NxN biến ( là giá trị điểm ảnh ) thì cần phải có NxN phương trình độc lập, và vì vậy cần phải có NxN phép đo Hầu hết tất cả các máy chụp cắt lớp thu được số mẫu nhiều hơn 50% so với yêu cầu cần cho tính toán Ví dụ, để tái tạo ảnh 512x512, một hệ thống CT có thể nhận 700 view với 600 mẫu mỗi view Theo cách này thì ảnh nhận được sau cùng đã được giảm bớt nhiễu Tuy nhiên, phương pháp này... mó) có thể được tạo ra bằng cách lấy biến đổi Fourier 2D ngược • Minh hoạ là hình 3.8 và 3.10 • Fig 3.8: This figure shows the frequency domain data available from one projection (a) is the ideal situation A reconstruction could be formed by simply summing the reconstruction from each angle until the entire frequency domain is filled What is actually measured is shown in (b) As predicted by the Fourier... projection gives information about the Fourier transform of the object along a single line The filtered backprojection algorithm takes the data in (b) and applies a weighting in the frequency domain so that the data in (c) are an approximation to those in (a) • Fig 3.10: The result of backprojecting the projection (a) Shows the result of backprojecting for a • single angle, (b) shows the effect of... −∞ (16) Thay thế các biến (x,y) bằng (s,u) và dxdy = dsdu, ta có : Gθ ( w) = ∞ ∫ ∫ f ( x, y) exp(−i 2πw( x cosθ + y sin θ ))dxdy −∞ ∞ = ∫ ∫ f ( x, y) exp(−i 2π {( w cos θ ) x + (w sin θ ) y})dxdy −∞ = F(wcosθ, wsinθ) (17) Minh họa biến đổi Fourier Định lý Lát cắt Fourier II TÁI TẠO HÌNH ẢNH TỪ CÁC HÌNH CHIẾU : • Có bốn phương pháp chính để tính toán hình ảnh mặt cắt từ tập hợp các hình chiếu của nó... chiếu tính toán và giá trị đo đạc như sau : µ k = µ k −1 + (ai * ∆Pi / ∑ ai2 ) -k : số lần lặp trong đó: -ai : diện tích điểm ảnh thứ i 2 a ∑ i : tổng diện tích của tất cả các điểm ảnh vuông trên đường đi của tia Các phương trình (3.18) – (3.20) sẽ được lặp lại cho đến khi nào ∆P nhỏ không đáng kể và có thể bỏ qua được Phương pháp chiếu ngược có lọc •Là phương pháp cơ bản trong các hệ CT hiện nay •Phương... Do định lý lát cắt Fourier việc do một hình chiếu có thể coi như là thực hiện một toán tử lọc hai chiều • Khảo sát một hình chiếu và biến đổi Fourier của nó Theo định lý lát cắt Fourier, hình chiếu này cho ta giá trị biến đổii Fourier hai chiều của vật thể dọc theo một đường • Nếu giá trị biến đổi Fourier của hình chiếu này được chèn vào đúng chỗ trong miền Fourier của vật thì một phép tái tạo đơn... gọi là thuật toán tái tạo cắt lớp • 1 Phương pháp thứ nhất hoàn toàn không thực tế, nhưng giúp chúng ta dễ hiểu vấn đề hơn Phương pháp này dựa trên việc giải nhiều phương trình tuyến tính đồng thời Một phương trình có thể được viết cho một phép đo Nghĩa là, một mẫu cụ thể trong một bao hình cụ thể là tổng của một nhóm các pixel cụ thể trong một ảnh Để tính NxN biến ( là giá trị điểm ảnh ) thì cần phải... đồng thời toàn bộ dữ liệu Kỹ thuật tái tạo đại số (ART) : • Phương pháp này giả sử rằng mặt cắt bao gồm một dãy các ẩn số và các phương trình đại số đối với các ẩn số này xét về mặt dữ liệu hình chiếu được đo Phương pháp này mặc dù đơn giản nhưng độ phân giải kém nên không thể sử dụng cho các ứng dụng đòi hỏi độ phân giải tối thiểu là 1% • Tất cả các phương pháp tái tạo đại số đều là kỹ thuật lặp Nghĩa