toán ứng dụng cho viễn thông

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG KHOA QUỐC TẾ VÀ ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC BÀI KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN MÔN: TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG Giảng viên hướng dẫn: Học viên: BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG BÀI KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG Câu 1: Cho chuỗi Markov với ma trận xác suất chuyển A B C D A 0.7 0.2 0.1 B  0.1 0.2 0.7  P= C  0.3 0.2 0.5    D 0 1.0  Tìm xác suất chuỗi theo đường sau: B – A – B – C – B – A Tìm xác suất Tính P5 P { X1 = A, X = C , X = B, X = A X = B} Tìm xác suất P { X = A X = B} P (5) Tính biết P(0) = [ 0,2 0,4 0,3 0,1] Tìm phân bố dừng Vẽ biểu đồ trạng thái Tìm chu kỳ trạng thái Tính xác suất bước thứ 2 f AA (xác suất để hệ xuất phát từ A lần quay Bài làm Tìm xác suất chuỗi theo đường sau: B – A – B – C – B – A Từ ma trận xác suất chuyển ta có: P(B-A)=0,2 P(A-B)=0,2 P(B-C)=0 A BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG P(C-B)=0 P(B-A)=0,2 Vậy xác xuất chuyển (P) chuỗi theo đường đi: B – A – B – C – B – A là: P = P(B-A).P(A-B).P(B-C).P(C-B).P(B-A) P = 0,2 0,2 0,2  P=0 Tìm xác suất P { X = A, X = C , X = B, X = A X = B} Từ quy tắc nhân sác xuất: P(AB)=P(A).P(B|A) Hoặc trường hợp áp dụng với n biến cố bất kỳ: P ( A1A A n ) = P ( A1 ) P ( A |A1 ) P ( A3|A1A ) P ( A n |A1A A n −1 )  P(AB|C) = P(A|C).P(B|AC) Từ yêu cầu đầu ta có : P{X1=A, X3=C, X4=B, X5=A|X0 = B} = P{X1=A|X0=B}.P{X3=C|X0=B,X1=A}.P{X4=B|X0=B,X1=A,X3=C} P{X5=A|X0=B, X1=A, X3=C, X4=B} Do tính chất chuỗi Markov không phụ thuộc vào khứ ta có: P{X1=A, X3=C, X4=B, X5=A|X0 = B} = P{X1=A|X0= B} P{X3 = C|X1=A}.P{X4=B | X3=C} P{X5=A|X4=B} Từ ma trận xác suất chuyển sau bước chuỗi Markov ta có: P ( X = A | X = B ) = P ( X = A | X = B ) = PBA = 0, P ( X = B X3 = C ) = PCB = ( 2) PAC P{X3 = C|X1=A} = xác suất sau bước hệ chuyển từ trạng thái A sang trạng thái C Ta có: Ma trận xác suất chuyển sau bước: P (2) [0 0 1] 0.7 0.2 0.1  0.7 0.2 0.1  0.1 0.2 0.7   0.1 0.2 0.7  ×  =P =  0.3 0.2 0.5   0.3 0.2 0.5      0   0   BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG A  0.53 0.16 0.22   B  0.16 0.05 0.16  = C 0.27 0.06 0.04 0.18    D 0 0.01 A B C D  P{X3 = C|X1=A} = (2) PAC =0  P{X1=A, X3=C, X4=B, X5=A|X0 = B} = 0,2 0,2 = Tính P5 n Ta có: n-1 P = P.P Áp dụng công thức nhân hai ma trận ta có kết sau: P (2) 0.7 0.2 0.1  0.7 0.2 0.1  0.1 0.2 0.7   0.1 0.2 0.7  ×  = P2 =   0.3 0.2 0.5   0.3 0.2 0.5      0   0   A  0.53 0.16 0.22   B  0.16 0.05 0.16  = C 0.27 0.06 0.04 0.18   D 0 0.01 A B C D 0.22 0.7 0.2 0.1  0.53 0.16  0.1 0.2 0.7   0.16 0.05 0.16     P = P.P = ×  0.3 0.2 0.5 0.27 0.06 0.04 0.18     0   0 0.01  A  0.403 0.122 0.187   B  0.122 0.037 0.067  = C  0.213 0.06 0.008 0.107    D 0 0.001 BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG A B C D 0.187   0.7 0.2 0.1  0.403 0.122  0.1 0.2 0.7   0.122 0.037 0.067     P = P.P = ×  0.3 0.2 0.5   0.213 0.06 0.008 0.107      0   0 0.001  A 0.3065 0.0928 0.1444   B 0.0928 0.0281 0 ,0448 =  C 0.1635 0.0486 0, 0016 0, 078    D 0 0,0001 A B C D 0.1444   0.7 0.2 0.1  0.3065 0.0928  0.1 0.2 0.7   0.0928 0.0281 0 ,0448    P = P.P = ×  0.3 0.2 0.5  0.1635 0.0486 ,0016 ,078      0   0 0 ,0001  A  0.23311 0.07058  B 0.07053 0.02137 =  C  0.12465 0.03756 0, 00032  D 0 A B C Tìm xác suất 0.11005  0, 03343 ,05897   ,00001 D P { X = A X = B} Ta có: P{X5=A | X0=B} = (5) PBA Mà P(5) = P5  P { X = A X = B} = 0,07053 BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG P (5) Tính biết P(0) = [ 0,2 0,4 0,3 0,1] Ta có công thức tính ma trận phân bố hệ thời điểm n: P(n) = P(0)P(n)  P(5) = P(0)P(5) = P(0)P5    0.23311 0.07058  0.07053 0.02137 P (5) = [ 0, 0, 0,3 0,1] ×   0.12465 0.03756 0, 00032  0  P(5) = [ 0.112249 0.033932 0.000096 0.053074 ] Tìm phân bố dừng Phân bố dừng [x y z t] nghiệm hệ phương trình: [ x y z t ] P = [ x y z t ]   x, y, z, t ≥ 0; x + y + z + t = Như x, y, z, t nghiệm không âm hệ phương trình: −0.3 x + 0.2 y + 0.3z =  0, x − 0.9 y =   −0.8 z =   x + y + z +t =1  x = 0; y = 0; z = 0; t = Vậy ta có phân bố dừng là: [0 0 1] Vẽ biểu đồ trạng thái Từ ma trận xác suất chuyển P ta có biểu đồ chuyển trạng thái: C B A D 0.11005  0,03343 0, 05897   0, 00001 BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG 0,2 0,5 0,1 0,1 0,3 0,6 0,5 0,3 0,2 0,3 0,1 0,3 0,5 Tìm chu kỳ trạng thái: Theo định nghĩa: Chu kỳ trạng thái i là: d(i) = UCLN{n ≥ 1: p ii( n ) > } Vậy trạng thái có chu kỳ sau: d(A) = d(B) = d(C) = d(D) = BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG Tính xác suất bước thứ 2 f AA (xác suất để hệ xuất phát từ A lần quay A Từ công thức: f ij(n) = ∑ pik f kjn−1 , n ≥ k≠ j f AA = ∑ p Ak f kA k≠A  = PABfBA + PACfCA + PADfDA Lại có: fBA = PBA fCA = PCA fDA = PDA  f AA = PABPBA + PACPCA + PADPDA = 0,6 0,5 + 0,0 0,6 + 0,1 0,0 = 0,3 Câu 2: Cho Z1 Z2 hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố xác suất P { Z1 = −2} = ; P { Z1 = 1} = 3 Đặt X (t ) = Z1 sin10t + Z cos10t Chứng minh X(t) X (t ) trình dừng Tìm hàm tự tương quan Quá trình có ergodic không? Bài làm • Ta có: E X(t) = E[Z1sin10t + Z2cos10t] = sin(10t) EZ1 + cos(10t) EZ2 Do Z1 Z2 có phân bố xác suất, nên từ công thức tính kỳ vọng X: BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG EX = ∑x p xi ∈Rx i X (xi )  E[Z1] = E[Z2] = − + = 3  E X(t) = = const • Xét hàm tự tương quan: RXX(s,t) = E[X(s)X(t)] ; (với s = t + τ)  RXX(s,t) = E[(Z1sin10s + Z2cos10s ).(Z1sin10t + Z2cos10t)] [ = E Z 12 sin(10s)si n(10t) + Z 22 cos(10s)co s(10t) + Z Z (sin(10s)c os(10t) + cos(10s)si n(10t) [ ] ] [ ] = sin(10s)si n(10t)E Z 12 + cos(10s)co s(10t)E Z 22 + (sin(10s)c os(10t) + cos(10s)si n(10t)) E[ Z Z ] Từ công thức tính kỳ vọng X2 EX = ∑x xi ∈Rx i p X (xi ) E[Z12 ] = E[Z 22 ] = ( − 2) + 12 = 3  Z1, Z2 hai biến ngẫu nhiên động lập nên:  E[Z1Z2]=E[Z1] E[Z2] =  RXX(s,t) = 2[ sin (10s)sin (10t) + cos (10s) cos (10 t)]   = − ( cos10(s + t) − cos10(s − t)) + ( cos10(s + t) + cos10(s − t))   = cos10(s − t) = cos10 τ  Hàm tự tương quan theo thời gian Vậy X(t) trình dừng với hàm tự tương quan là: RXX(τ)=2cos10τ • Quá trình dừng {X(t); t∈R}với hàm tự tương quan RXX(τ) ergodic khi: T t lim ∫ (1 − )R XX (t)d t = T →∞ T T BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG Ta có: T T T T  2 1 τ τ = cos 10 τdτ − τ cos10τdτ ( − )R (ττ) t = ( − ) cos 10 τdτ ∫ XX ∫ ∫ ∫ T 0 T0 T0 T T0 T  = T T T  21 1 1 sin 10τ | −  t sin10τ| + cos10τ|   0 T 10 T  10 100  = 21 1 − cos10T  sin10T − sin10T +  T 10 10 100T  = 1− cos10T 50T → T → ∞ Vậy {X(t)} trình Ergodic Câu 3: Khách hàng đến điểm phục vụ trình Poisson với tốc độ λ = 35 khách/phút Hệ thống phục vụ có khách hàng chờ hàng Tính thời gian phải đợi trung bình khách hàng phục vụ Tính xác suất khách hàng phục vụ Bài làm Tính thời gian phải đợi trung bình khách hàng phục vụ Do hệ thống phục vụ có khách hàng chờ hàng nên thời gian đợi trung bình khách hàng phục vụ thời gian đến khách hàng thứ 3: ET (3) =  3 = = 0,0857 λ 35 phút Tính xác suất khách hàng phục vụ Ta có: λ n n − λt p n (t ) = t e n! Xác suất khách hàng phục vụ tổng xác suất có hoặc khách hàng đến 10 BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG Do đó: p= ∑ pn (t) = n=0,1,2 λ n n − λt ∑ te n=0,1,2 n!  λ0 λ1 λ 2  −λt =  t + t + t e 1! 2!   0!  (λ.t )  −λt e = 1 + λt +   Với t = 60, λ = 35 ta có: p= 11 (35.60) 2207101 = 35.60 e e 35.60 + 35.60 + [...]...BÀI ĐIỀU KIỆN TOÁN ỨNG DỤNG CHO VIỄN THÔNG Do đó: p= ∑ pn (t) = n=0,1,2 λ n n − λt ∑ te n=0,1,2 n!  λ0 λ1 λ 2 2  −λt =  t 0 + t 1 + t e 1! 2!   0!  (λ.t ) 2  −λt e = 1 + λt + 2   Với t = 60, λ = 35 ta có: p= 11