Chu trình đơn trong đồ thị G đi qua mỗi cạnh của nó một lần được gọi là chu trình Euler. Đường đi đơn trong G đi qua mỗi cạnh của nó một lần được gọi là đường đi Euler. Đồ thị được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler, và gọi là đồ thị nửa Euler nếu nó có đường đi Euler. Rõ ràng mọi đồ thị Euler luôn là nửa Euler, nhưng điều ngược lại không luôn đúng.
Chào mừng đến với báo cáo nhóm ĐỒ THỊ EULER - ĐỒ THỊ HAMILTON ĐỒ THỊ EULER Định nghĩa Chu trình đơn đồ thị G qua cạnh lần gọi chu trình Euler Đường đơn G qua cạnh lần gọi đường Euler Đồ thị gọi đồ thị Euler có chu trình Euler, gọi đồ thị nửa Euler có đường Euler Rõ ràng đồ thị Euler nửa Euler, điều ngược lại không Thí dụ Đồ thị G1 hình đồ thị Euler có chu trình Euler a, e, c, d, e, b, a Đồ thị G3 chu trình Euler có đường Euler a, c, d, e, b, d, a, b, G3 đồ thị cửa Euler Đồ thị G2 chu trình đường Euler Thí dụ Đồ thị H2 hình đồ thị Euler có chu trình Euler a, b, c, d, e, a Đồ thị H3 chu trình Euler có đường Euler c, a, b, c, d, b H3 đồ thị nửa Euler Đồ thị H1 chu trình đường Euler Định lý (Euler) Đồ thị vô hướng liên thông G đồ thị Euler đỉnh G có bậc chẵn Để chứng minh định lý trước hết ta chứng minh bổ đề: Bổ đề Nếu bậc đỉnh đồ thị G không nhỏ G chứa chu trình Chứng minh: Nếu G có cạnh lặp khẳng định bồ đề hiển nhiên Vì giả sử G đơn đồ thị Gọi v đỉnh G Ta xây dựng theo qui nạp đường v →v1 →v2 → v1 đỉnh kề với v, với i≥1 chọn vi+1 # vi-l (có thể chọn vi+1 deg(vi) ≥2) Do tập đỉnh G hữu hạn , nên sau số hữu hạn bước ta phải quay lại đỉnh xuất trước Gọi đỉnh vk Khi đó, đoạn đường xây dựng nằm hai đỉnh vk chu trình cần tìm Chứng minh định lý: Cần Giả sử G đồ thị Euler tức tồn chu trình Euler P G Khi lần chu trình P qua đỉnh G bậc đỉnh tăng lên mặt khác cạnh đồ thị xuất P lần, suy đỉnh đồ thị điều có bậc chẵn Đủ: Quy nạp theo số đỉnh số cạnh G Do G liên thông deg(v) số chẵn nên bậc đỉnh không nhỏ Theo bổ đề G phải chứa chu trình C Nếu C qua tất cạnh G chu trình Euler Giả sử C không qua tất cạnh G Khi loại bỏ khỏi G tất cạnh thuộc C ta thu đồ thị H có bậc chẵn Theo giả thiết qui nạp, thành phần liên thông H điều tìm chu trình Euler Do G liên thông nên thành phần H có đỉnh chung với chu trình C Vì vậy, ta xây dựng chu trình Euler G sau: đỉnh chu trình C, theo cạnh C chừng chưa gặp phải đỉnh không cô lập H Nếu gặp phải đỉnh ta theo chu trình Euler thành phần liên thông H chứa đỉnh Sau lại tiếp tục theo cạnh C gặp phải đỉnh không cô lập H lại theo chu trình Euler thành phần liên thông tương ứng Hv.v… (xem hình 3) Quá trình kết thúc ta trở đỉnh xuất phát , tức thu chu trình qua cạnh đồ thị lần Minh hoạ cho chứng minh định lý Hệ Đồ thị vô hướng liên thông G nửa Euler có không đỉnh bậc lẻ Chứng minh Nếu G có không đỉnh bậc lẻ số đỉnh bậc lẻ Nếu G đỉnh bậc lẻ theo định lý 1, làđồ thị Euler Giả sử G có đỉnh bậc lẻ u v Gọi H đồ thị thu từ G cách thêm vào G đỉnh w hai cạnh (w,u) và(w,v) Khi tất đỉnh H điều có bậc chẵn, theo định lý 1, có chu trình Euler C Xoá bỏ khỏi chu trình đỉnh w hai cạnh kề ta thu đường Euler đồ thị G Định lý Đồ thị có hướng liên thông mạnh đồ thị Euler Deg+(v)=deg- (v), v V 2 ĐỒ THỊ HAMILTON Định nghĩa Đường qua tất đỉnh đồ thị đỉnh lần gọi đường Hamilton Chu trình đỉnh v qua tất đỉnh lại đỉnh lần quay trở v gọi chu trình Hamilton Đồ thị G gọi đồ thị Hamilton chứa chu trình Hamilton gọi làđồ thị Hamilton có đường Hamilton Thí dụ Trong hình 4: G3 Hamilton, G2 nửa Hamilton G1 không nửa Hamilton Hình Đồ thị Hamilton G3, nửa Hamilton G2 , G1 Định lý Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, đỉnh có bậc không nhỏ n/2 đồ thị Hamilton Chứng minh: Thêm vào đồ thị G k đỉnh nối chúng với tất đỉnh G giả sử k số nhỏ đỉnh cần thêm vào đồ thị thu G’ đồ thị Hamilton Ta k=0 Thực vậy, giả sử ngược lại k >0 Ký hiệu v, p, w, , v chu trình Hamilton G’, v, w đỉnh G p số đỉnh Khi w không kề với v ngược lại, ta không cần sử dụng p điều mâu thuẫn với giả thiết k nhỏ Hơn đỉnh (w’ chẳng hạn) kề với w liền sau đỉnh v’ (kề với v) thay v → p → w → → v’ → w’ → → v v → v’ → → w → w’ → → v cách đảo ngược đoạn chu trình nằm w v’ Từ suy số đỉnh đồ thị G’ không kề với w không nhỏ số đỉnh kề với v (tức n/2+k), đồng thời số đỉnh G’ kề với w phải n/2+k Do đỉnh G’ vừa không kề, lại vừa kề với w, tổng số đỉnh đồ thị G’ (G’ có n+k đỉnh) không n+2k Mâu thuẫn thu chứng minh định lý Định lý Giả sử G đồ có hướng liên thông với n đỉnh Nếu deg+ (v)≥n/2, deg – (v) ≥ n/2, v G Hamilton Có số dạng đồ thị mà ta biết đồ thị Hamilton Đồ thị đấu loại đồ thị có hướng mà hai đỉnh nối với cung Tên đấu loại xuất đồ thị dùng để biểu diễn kết thi đấu bóng chuyền, bóng bàn hay trò chơi mà không cho phép hoà Định lý i) Mọi đồ thị đấu loại nửa Hamilton ii) Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh Hamilton Ví dụ: Đồ thị đấu loại D5, D6 cho hình Hình Đồ thị đấu loại D5, đấu loại liên thông mạnh D6 Hẹn gặp lại [...]... Hamilton Đồ thị G được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó chứa chu trình Hamilton và gọi l đồ thị nữa Hamilton nếu nó có đường đi Hamilton Thí dụ 3 Trong hình 4: G3 là Hamilton, G2 là nửa Hamilton còn G1 không là nửa Hamilton Hình 4 Đồ thị Hamilton G3, nửa Hamilton G2 , và G1 Định lý 1 Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn n/2 là đồ thị Hamilton Chứng minh: Thêm vào đồ thị. .. chẵn, vì thế theo định lý 1, nó có chu trình Euler C Xoá bỏ khỏi chu trình này đỉnh w và hai cạnh kề nó ta thu được đường đi Euler trong đồ thị G Định lý 2 Đồ thị có hướng liên thông mạnh là đồ thị Euler khi và chỉ khi Deg+(v)=deg- (v), v V 2 ĐỒ THỊ HAMILTON Định nghĩa Đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần được gọi là đường đi Hamilton Chu trình bắt đầu từ một đỉnh v nào... thì G là Hamilton Có một số dạng đồ thị mà ta có thể biết khi nào là đồ thị Hamilton Đồ thị đấu loại là đồ thị có hướng mà trong đó hai đỉnh bất kỳ của nó được nối với nhau bởi đúng một cung Tên đấu loại xuất hiện như vậy vì đồ thị như vậy có thể dùng để biểu diễn kết quả thi đấu bóng chuyền, bóng bàn hay bất cứ một trò chơi nào mà không cho phép hoà Định lý 3 i) Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton. ..Hệ quả 2 Đồ thị vô hướng liên thông G là nửa Euler khi và chỉ khi nó có không quá 2 đỉnh bậc lẻ Chứng minh Nếu G có không quá 2 đỉnh bậc lẻ thì số đỉnh bậc lẻ của nó chỉ có thể là 0 hoặc 2 Nếu G không có đỉnh bậc lẻ thì theo định lý 1, nó l đồ thị Euler Giả sử G có 2 đỉnh bậc lẻ là u và v Gọi H là đồ thị thu được từ G bằng cách thêm vào G một đỉnh mới w... kết quả thi đấu bóng chuyền, bóng bàn hay bất cứ một trò chơi nào mà không cho phép hoà Định lý 3 i) Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton ii) Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh là Hamilton Ví dụ: Đồ thị đấu loại D5, D6 được cho trong hình Hình 5 Đồ thị đấu loại D5, đấu loại liên thông mạnh D6 Hẹn gặp lại ... Hamilton Chứng minh: Thêm vào đồ thị G k đỉnh mới và nối chúng với tất cả các đỉnh của G giả sử k là số nhỏ nhất các đỉnh cần thêm vào để cho đồ thị thu được G’ là đồ thị Hamilton Ta sẽ chỉ ra rằng k=0 Thực vậy, giả sử ngược lại là k >0 Ký hiệu v, p, w, , v là chu trình Hamilton trong G’, trong đó v, w là đỉnh của G còn p là một trong số các đỉnh mới Khi đó w không kề với v vì nếu ngược lại, ta không cần... Từ đó suy ra là số đỉnh của đồ thị G’ không kề với w là không nhỏ hơn số đỉnh kề với v (tức là ít nhất cũng là bằng n/2+k), đồng thời số đỉnh của G’ kề với w ít ra là phải bằng n/2+k Do không có đỉnh nào của G’ vừa không kề, lại vừa kề với w, cho nên tổng số đỉnh của đồ thị G’ (G’ có n+k đỉnh) không ít hơn n+2k Mâu thuẫn thu được đã chứng minh định lý Định lý 2 Giả sử G là đồ có hướng liên thông với