Bổ đề về tự sửa lỗi và cận hamming

B ổđề v ềt ựs a l ỗi c ận hamming Đặt vấn đề: từ mã w dài n bit truyền bit sai e bit Vấn đề đặt khoáng cách (Hamming) từ mã sai số e quan hệ với để phân biệt tốt đồng thời tất từ mã? Bổ đề sau xác định quan hệ Bổ đề: Xét mã W={w1, w2, …, ws} gồm có s từ mã nhị phân dài n bit số nguyên dương e Nếu d(wi, wj) _>2e+1 (với i khac j ) Khi đó: tất dãy nhận v có số bit lỗi 2e (với i khac j ) Khi đó: tất dãy nhận v có số bit lỗi < e v tự điều chỉnh Tất dãy nhận có số bit lỗi = e ta phát v có lỗi tự điều chỉnh Ngược lại; Nếu v có số chữ số bit lỗi 2e+1 (với i khac j ) Nếu v có số chữ số bit lỗi 2e+1 với i khac j Nếu w w’ có khoảng cách dãy v d(v,w)=d(v,w’)_> e+1 Vậy , d(v, w*) 2e với i khac j, có khả có v, w w’ với số chữ số lỗi là: d(v,w)=d(v,w’)=e (d(v,w)+ d(v,w’) _> d(w,w’)_>2e) Có thể phát từ mã gần v, tồn lúc nhiều từ mã gần với v dẫn đến không giải mã được, ngược lại hoàn toàn tương tự Minh họa: d(wi, wj)= 2e+1= 7, e=3 Nếu v∈Bi v giải mã wi Nếu v∈Bj v giải mã wj d(wi, wj) = 2e = (e = 4, e - 1=3) v∉Bi , v∉Bj => điểm cách tâm khoảng cách giải mã, điểm cách tâm phát lỗi giải mã Mã chiều (x, y, z) gốc 000 Cứ tín hiệu thay đổi mã bị đẩy theo cạnh, chẳng hạn: 000 cách 010, 001 cạnh, 011 cách 010, 111 001 cạnh Như vậy, ta chọn w1=010, w2=001, w3=111 khoảng cách chúng d(w1, w2)=d(w1, w3)=d(w2, w3)=2 yvậy có lỗi phát sinh phát không sửa Cận Hamming Đặt vấn đề: tổng số 2n dãy nhị nhân dài n bit chọn dãy để tạo thành mã tự điều chỉnh e bit lỗi Định lý cận Hamming cho xác định số từ mã có độ dài n bit với giả thiết: có khả tự sửa e bit lỗi (điều kiện cần tự sửa lỗi) Định lý: Nếu mã W có s từ mã có độ dài n bit tự sửa e bit lỗi Ghi chú: Cni = n!/(i!*(n-i)!) Chứng minh: Xét từ mã nhị phân wi có độ dài n bit có khả tự sửa e bit lỗi Số dãy vj sai khác với wi từ đến e bit : Tương ứng với s từ mã, tổng số dãy vj tự sửa lỗi : (2n tổng số dãy nhị phân dài n bits) Phân dạng lỗi Giả sử ta truyền từ mã n bit w i ∈ W (