ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 y x x 2 (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C . b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y m cắt đồ thị C tại 4 điểm phân biệt E F M N , , , . Tính tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị C tại các điểm E F M N , , , . Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 1 cos 2 2 cos . 1 cot Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tích phân Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z i 3 2 3 . Hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w , biết w 1 3 z i . b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau. Tính số phần tử của S. từ tập hợp S chọn ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ. Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 3 3 4 phẳng ( ) : 2 2 9 0 x y z . Viết phương trình đường thẳng nằm trong ; qua giao điểm A của d và và góc giữa và Ox bằng 0 Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng SBC và đáy bằng 0 SA a BC a 2 ; . Tính theo a thể tích khối chóp S ABC . và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và B . Đường chéo AC nằm trên đường thẳng d x y : 4 7 28 0 . Đỉnh B thuộc đường thẳng : 5 0 x y , đỉnh A có tọa độ nguyên. Tìm tọa độ A B C , , biết D2; 5 và BC AD 2 . Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực a b c , , thỏa mãn a b c a b c 0; 1 0; 1 0; 2 1 0 . Tìm giá trị lớn I dx 2 0 x x 4 sin 2 sin 3 2 cos x x x x sin cos x x x x . x . x z y d : 3 1 1 và mặt 45 . 60 . Biết 2 x y x xy x 2 2 3 2 2 x y 3 3 1 x y y 5 2 7 1 x y, .
MÔN TOÁN ĐỀ TẶNG KÈM SỐ Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x4 2x2 (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số C b) Tìm giá trị m để đường thẳng y m cắt đồ thị C điểm phân biệt E, F , M , N Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến đồ thị C điểm E, F , M , N cos x cos x cot x 4 sin x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình Câu (1,0 điểm) Tìm tích phân I 2 x sin x 3x cos x x sin x cos x dx Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z 2i Hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w , biết w z 3i b) Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm năm chữ số khác Tính số phần tử S từ tập hợp S chọn ngẫu nhiên số, tính xác suất để chữ số có chữ số lẻ x3 y4 z3 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : mặt 1 phẳng () : 2x y z Viết phương trình đường thẳng nằm ; qua giao điểm A d góc Ox 450 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B Tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng SBC đáy 600 Biết SA 2a; BC a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A B Đường chéo AC nằm đường thẳng d : 4x y 28 Đỉnh B thuộc đường thẳng : x y , đỉnh A có tọa độ nguyên Tìm tọa độ A, B, C biết D 2; BC AD x y 5x xy x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x 2 y 3 x 32 y y 3 x, y Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b c 0; a 0; b 0; 2c Tìm giá trị lớn biểu thức a b c P a b 2c HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a - Tập xác đinh: D R - Sự biến thiên: x + Chiều biến thiên: y ' 4x3 4x ; y ' x 1 y ' 0, x 1; 1; , suy hàm số đồng biến khoảng 1; 1; y ' 0, x ; 1 0;1 , suy hàm số nghịch biến khoảng ; 1 0;1 + Cực trị: Hàm số đạt cực đại x 0, yCD Hàm số đạt cực tiểu x 1, yCT 1 + Giới hạn: lim y ; lim y x x + Bảng biến thiên x 1 y' y 1 - Đồ thị: 1 + Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm 2; , 0; , + Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm 0; 2; + Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số qua điểm 2; , 2; - Vẽ đồ thị: Câu 1.b Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng y m cắt đồ thị điểm phân biệt 1 m Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x4 2x2 m x4 2x2 m (*) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt phương trình t 2t m có nghiệm dương phân biệt t1 t2 Khi nghiệm pt (*) x1 t2 ; x2 t1 ; x3 t1 ; x4 t2 Như ta có x1 x4 ; x2 x3 Ta có y ' x3 x Suy tổng hệ số góc tiếp tuyến giao điểm với đồ thị C là: k1 k2 k3 k4 4x13 4x1 4x13 4x2 4x13 4x3 4x13 4x4 x13 x43 x23 x33 x1 x4 x2 x3 Nhận xét: Đây dạng toán biện luận số giao điểm đường thẳng d với hàm số C cho trước Khảo sát vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu đồ thị xét trường hợp: + d cắt C n n 1 điểm phân biệt + d C điểm chung Nhắc lại kiến thức phương pháp: +Kiến thức cần nhớ: Điểm Q xQ , yQ tọa độ tiếp điểm hàm số y f x Phương trình tiếp tuyến Q y f ' xQ x xQ yQ , hệ số góc tiếp tuyến k f ' xQ + Tìm m để đường thẳng y m cắt C điểm E, F , M , N : Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng y m song song với trục Ox nên cắt C điểm phân biệt 1 m + Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến t x2 ta có d cắt C điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Tham số nghiệm theo t tính hệ số góc tiếp tuyến hoành độ giao điểm ( đối xứng qua trục Oy ) , từ tính tổng hệ số góc Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta làm sau: Viết phương trình giao điểm x4 2x2 m x4 2x2 m Bài toán tương đương tìm m để phương trình x4 2x2 m có nghiệm phân biệt ' 2 Đổi biến t x , ta tìm m để phương trình t 2t m có nghiệm t2 t1 S P Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hàm số y x3 m 1 x2 3x m Tìm tất giá trị m để tiếp tuyến đồ thị điểm có hoành độ tạo trục tọa độ tam giác có diện tích Đáp số: m 1, m b Cho hàm số y x3 3x Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến hàm số M cắt đồ thị điểm thứ hai N thỏa mãn xM xN (Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An) Đáp số: M 2; , M 2;0 Câu Điều kiện x k; k 2cos2 x cos x 1 sin x sin x sin x cos x 2cos x sin x cos x sin x cos x 2cos x Phương trình tương đương sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x cos x + Với sin x cos x tan x 1 x k + Với cos x x k x k Phương trình có nghiệm: x k ; k Nhận xét: Bài toán lượng giác , ta cần sử dụng bến đổi công thức hạ bậc , cosin hiệu phân tích nhân tử Tuy nhiên cần lưu ý việc xem xet điều kiện xác định phương trình để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai Nhắc lại kiến thức phương pháp: cos a b cos a cos b sin a sin b -Công thức cosin tổng , hiệu : cos a b cos a cos b sin a sin b -Công thức hạ bậc: cos2c 2cos2 c , cos2c 2sin2 c -Công thức nghiệm phương trình lượng giác: x k 2 sin x sin ; k Z x k 2 cos x cos x k2; k Z tanx tan x k; k Z cot x cot x k; k Z Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: 5 a Giải phương trình 5cos x 4sin x Đáp số: x k 2 3 sin x cos x b Giải phương trình tan x cos x Đáp số: x k sin x cos x x sin x 3x cos x 3x cos x Câu I dx dx 0 x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos x ' dx x 02 3 x sin x cos x 3ln x sin x cos x ln ln1 3ln Nhận xét: Bản chất toán tách tử biểu thức dấu tích phân theo mẫu đạo hàm mẫu Từ biểu thức dấu tích phân ta khó sử dụng hai phương pháp đổi biến số tích phân phần Nhắc lại kiến thức phương pháp: f x g x g' x g ' x dx f x dx dx -Ta có g x g x Tổng quát : f x g x h x g ' x g x dx f x dx h x g ' x g x dx -Với nguyên hàm f x , công thức nguyên hàm tổng quát u' u du ln u C Thay cận ta tính I Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Tính tích phân I sin x sin x cos x dx Đáp số: I e b Tính tích phân I xe x x e x ln x dx Đáp số: I ln ee e Câu 4.a Ta có a bi 2i a b (1) 2 a x w z 3i x yi a bi 3i b y Thay vào (1) ta x y M thuộc C : x y 2 2 Vậy tập hợp điểm M đường C : x y 2 Nhận xét: Đây dạng toán toán tìm biếu diễn số phức w theo số phức z thỏa mãn điều kiện Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Mọi số phức có dạng z a bi; a, b R -Hai số phức phần thực phần ảo số - Từ số phức z : Thay z a bi vào phương trình z 2i Tìm mối quan hệ phần thực phần ảo - Đặt w x yi , thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực ảo z ta tìm tập hợp điểm biểu diễn -Các trường hợp biểu diễn : +Đưởng tròn: x a y b R2 ; x2 y 2ax 2by c 2 +Hình tròn: x a y b R; x2 y 2ax 2by c 2 +Parapol: y ax2 bx c x2 y2 1 a b2 Bài toan kết thúc Bài tập tương tự: +Elipse: 3i Tìm modul số phức w z iz Đáp số: w 1 i 21 b Tìm số phức z thỏa mãn 1 3i z số thực z 5i Đáp số: z 6i; z i 5 Câu 4.b Gọi A biến cố số chọn số có chữ số khác chữ số có a Cho số phức z thỏa mãn z số lẻ Ta tìm số phần tử A sau: Gọi y mnpqr A , ta có: + Trường hợp 1: Trong chữ số số chọn có mặt số 0: Lấy thêm số lẻ số chẵn có C52 C42 cách; Xếp số chọn vào vị trí m, n, p, q , r có 4.4! cách Suy trường hợp có C52C42 4.4! 5760 + Trường hợp 2: Trong chữ số số chọn mặt số 0: Lấy thêm số lẻ số chẵn có C52 C43 cách; Xếp số chọn vào vị trí m, n, p, q , r có 5! cách Suy trường hợp có C52C43 5! 4800 Vậy A 5760 4800 10560 Do P A 10560 220 27216 567 Nhận xét: Bài toán xác suất , ta cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo kiện giả thiết Nhắc lại kiến thức phương pháp: A -Công thức tính xác suất biến cố A : P A ( A số trường hợp thuận lợi cho A , tổng số kết xảy ) - Ta tính tổng số kết xảy - Gọi A biến cố số chọn số có chữa số khác chữa số có số lẻ - Tính số phần tử A cách gọi y mnpqr A Ta chia trường hợp sau: +Trong chữ số số chọn có mặt số +Trong chữ số số chọn mặt chữ số - Áp dụng công thức tính xác suất ta P A Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số lẻ có chữ số đôi khác có mặt chữ số Đáp số: 204 b Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Hỏi phải rút thẻ để xác suất có thẻ ghi số chia hết cho phải lớn (Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D 2012-2013) Đáp số: Rút thẻ Câu Gọi A giao điểm d , suy A –3; 2;1 Gọi u a; b; c vectơ phương Ta có vectơ pháp tuyến n 2; –2;1 Ta có u.n 2a 2b c c 2a 2b a 2 cos , Ox a a b a 2b 2 2 a b c a b 2a2 5a2 8ab 5b2 3a2 8ab 5b2 a 5b x 3 t + Với a b , chọn a b c : y t z 5b x y z 1 , chọn b 3; a c 4 : 4 Nhận xét: Hướng giải cho toán: Để viết phương trình đường thẳng ta tìm điểm thuộc vector phương Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Tìm tọa độ giao điểm A d : Tham số hóa A d , thay vào mặt phẳng ta tính A + Với a - Viết phương trình đường thẳng : Tham số hóa u a; b; c vector phương Do u.n (Với n vector pháp tuyến ) Ta tìn mối quan hệ a, b, c Chọn vector phương viết - Lại có công thức tính góc hau đường thẳng d ; d ' : cos d, d ' ud ud ' ud ud ' ; Ox 450 cos ; Ox - Một đường thẳng có vố số vector phương nên chọn giá trị a , b cho trường hợp tương ứng Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: x2 y z2 mặt phẳng a Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2; 1 , đường thẳng d : : 2x y z Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d song song với mặt phẳng Đáp số: x 1 y z 1 9 5 x s b Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 0;1; đường thẳng d : y 2t Hãy tìm điểm z B, C thuộc đường thẳng d cho tam giác ABC 6 82 6 82 B ; ; ,C ; ;3 5 Đáp số: ; ,C ; ;3 B ; 5 Câu Gọi H trung điểm AC , suy SH ABC Kẻ HI BC SI BC Góc SBC đáy SIH 600 a 15 3a SH SI sin 600 a 15 a 15 HI SI AB HI 1 5a 3 (đvtt) V AB.BC.SH 16 Kẻ Ax song song với BC , HI cắt Ax K Kẻ IM vuông góc với SK Ta có AK SIK AK IM IM SAK SI SC IC 3a Nhận xét: Đây toán có sử dụng hình học không gian tổng hợp lớp 11, yếu tố vuông góc hai mặt phẳng , góc hai mặt phẳng Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Công thức tính thể tích khối chóp V B.h Tam giác SIK đều, suy IM SH SBC , ABC : Goi H SAC ABC nên SH ABC SBC , ABC SIH 600 -Dựng góc hai mặt phẳng trung điểm AC Do mặt phẳng 1 B.h VS ABC AB.BC.SH 3 - Tính khoảng cách d SA, BC : Lí thuyết tính cách khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng - Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp V tới mặt phẳng chứa đường thẳng lại Kẻ Ax / / BC , kẻ IM SK AK SIK IM SAK Suy d SA, BC IM SH Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , góc mặt bân đáy 600 Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng 3 a a (đvtt) d AM , SB 24 b Cho hình chóp S.ABC có SA 3a , SA tạo với đáy ABC góc 600 Tam giác ABC AM SB Đáp số: V vuông B , ACB 300 G trọng tâm tam giác ABC , hai mặt phẳng SGB , SGC vuông góc với mặt phẳng ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC 243a3 (đvtt) 112 Câu Do B , suy B b; b Đáp số: V Ta có d B; AC d D; AC BE BC DE AD 4b 7(b 5) 28 42 B 4x B D 2 93 11b 63 30 b 11b 63 30 11 42 11b 63 30 b khác phía đường thẳng 4.2 7.5 28 AC nên yB 28 4xD yD 28 30 11b 63 Do ta b , suy B 3; –2 28 4a 4a 4a 42 Ta có A ( D) A a; DA a 2; BA a 3; 4a 4a 42 65a2 385a a A 0; Do DA.BA a a a 77 l 49 13 xC Ta có BC AD C 7; yC Vậy A 4;0 , B 3; –2 C 7; điểm cần tìm Nhận xét: Để giải toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử dụng khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ đỉnh A, B, C Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm mx p P d : mx ny p P ; n -Khoảng cách từ điểm M xM ; yM tới phương trình đường thẳng : mx ny p xác định theo công thức d M ; mxM ny M p m n2 x kz -Tính chất vector: u x; y , v z; t với u kv y kt Áp dụng cho toán: - Tham số hóa tọa độ điểm B Do d B; AC d D; AC BE BC ( E AC BD ), ta có điểm B DE AD -Để loại nghiệm sử dụng tính chất: 4xB yB 28 4xD yD 28 B -Tương tự A d DA, BA Mặt khác , DA.BA A - Tính tọa độ điểm C : BC AD C Bài tập tương tự: a Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân A , trực tâm H 3; Gọi D, E d : x 3y , chân đường cao kẻ từ B, C Biết điểm A thuộc đường thẳng điểm F 2; thuộc đường thẳng DE HD Tìm tọa độ đỉnh A Đáp số: A 3; b Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A 1; 3 , B 5;1 Điểm M thuộc đường thẳng BC cho MC 2BB Tìm tọa độ đỉnh C biết MA AC đường thẳng BC có hệ số góc nguyên Đáp số: C 4;1 Câu Phương trình thứ hai tương đương 3x 2 y 3 x y 32 y y u x y Đặt , ta 3u u 3v v v y Xét f t 3t t ; ta có f ' t 3t ln 0; t , suy f t đồng biến Nhận thấy f u f v u v nghiệm cua phương trình u v x2 y y y x Thay y x2 vào phương trình thứ nhất, ta x2 x2 5x x x2 x 2x2 5x x3 x2 x 3( x 1) x 1 x x1 a x 1; a Đặt b x x 1; b b 3a Phương trình trở thành 2b2 3a2 ab a 2b x y 23 + Với b 3a x2 x x 1 x2 x 10 x y 23 + Với a 2b x x2 x 4x2 3x Hệ phương trình có nghiệm: x; y 6; 23 , 6; 23 Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Hàm số f x đồng biến(nghịch biến) D f u f v u v -Hàm số f x đồng biến(nghịch biến) D f x có nhiều nghiệm -Hàm số f x đồng biến D , g x nghịch biến D f x g x có nghiệm Ý tưởng: Từ phương trình thứ tách bình phương phương trình khó bậc cao, khó tìm mối quan hệ x , y - Nhận thấy phương trình thứ hệ có tương đồng 3x 2 y , x2 y với 32 y ,2 y có dạng 3m , m u x y - Phương trình thứ hai hệ biến đổi thành: 3u u 3v v v y - Xét hàm số f t 3t t đồng biến R f u f v u v Thay lại phương trình thứ , sử a x dụng hai ẩn phụ a, b thu phương trình đẳng cấp bậc 2 b x x Lần lượt giải phương trình vô tỉ ứng với trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu nghiệm hệ Lưu ý: Từ phương trình x2 x x 1 giải phương trình ẩn z x 1 x x1 x 1 x2 x 1 , ta chia vế cho x x1 Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Giải phương trình x2 x3 Đáp số: x b Giải phương trình 37 x x2 2x Đáp số: x 7, x 10 - Đặt -T z x yi x , y R w 2z z Thay vào đẳng thức thay z w z i z 1 2i Tìm số phức z Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Tìm số phức z thỏa mãn z Đáp số: z , z , z b Tìm phần ảo số phức 2z 3i biết z z i 1 2i (Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2010) Đáp số: z i Câu 4.b Gọi số tự nhiên có chữ số khác a b c d e Chọn a có cách Chọn số lại có A cách, suy có A số Trong số trên, số chia hết cho là: Trường hợp 1: e : chọn số lại có A cách 4 6 Trường hợp 2: e : chọn Vậy xác suất cần tìm P có cách chọn số lại có a A5 cách, suy có A A A 5.A ,306 6A6 Nhận xét: Bài toán tính xác suất với số chia hết cho Ta ý dấu hiệu số chia hết cho áp dụng công thức tính xác suất Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Gọi số tự nhiên có chữ số a b c d e Số chia hết cho tận c ng - Xét chữ số cuối c ng e - Xét chữ số cuối c ng e -Áp dụng công thức tính xác suất ta có PA A với A số trường hợp thuận lợi cho biến cố A , tất trường hợp xảy Bài tập tương tự: a Cho số 0,1,2,3,4,5,6 Có số tự nhiên có chữ số khác cho số chia hết cho 15 Đáp số: 222 số b Cho số 0,1,2,3,4,5,6 Gọi A tập hợp số gồm chữ số khác lập t số Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai phần tử A , tính xác suất để hai số lấy số chẵn Đáp số: Câu Giả sử mặt phẳng P có dạng: Ax By Cz D Suy mặt phẳng P có vecto pháp tuyến Trên đường thẳng d1 Do P qua nên M ,N lấy điểm 3A 2B Bz A B s in 0 B C A ; B;C A B A B 4AB 2B 1 M 1; ; , N 1; 1; 5A P A C D C A B A B D D A B Nên P : A x B y A Theo giả thiết, ta có n A 21A 2 A B 2A B 36 A B 10 B Trang Chọn B 1, suy A 18 114 21 Vậy có mặt phẳng thỏa mãn: 18 114 x y 15 21 114 z 21 114 21 Nhận xét: Để viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo d góc , ta tìm vector pháp tuyến thông qua tham số hóa kết hợp công thức tính góc đường thẳng , mặt phẳng Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến -Mặt phẳng có dạng tổng quát: A x B y C z D với A B C -Công thức tính góc đường thẳng d mặt phẳng P : s in u d n P với ud nP d , n P vector pháp tuyến P Áp dụng cho toán: - Giả sử mặt phẳng P cần tìm có phương trình : A x pháp tuyến P Thay tọa độ M ,N By Cz D Suy vector phương ud nP A ; B; C vector vào phương trình mặt phẳng tìm mối quan hệ - Do đường thẳng d , P hợp với góc 30 s in 0 u d n P A , B ,C ud nP - Chọn B A , C ta viết hai mặt phẳng cần tìm Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Trong hệ trục tọa độ O x y z , cho hai mặt phẳng P : x z ; Q : x y z 0 Viết phương trình mặt phẳng R vuông góc với hai mặt phẳng P , Q hợp với mặt phẳng tọa độ tứ diện có diện tích 15 Đáp số: R : x y z b Trong hệ trục tọa độ O xyz , viết phương trình mặt phẳng P qua hai điểm song song với đường thẳng x 1 y z 2 Đáp số: P : x y z Câu Gọi M trung điểm cạnh B C Ta có BC AM BC SM Ta có Và do SA B SA C SBC cân SA B SA C SA SA SA B A BC SAC ABC SBC A BC BC BC AM ABC BC SM SBC Ta có S A A M ta n 0 ABC vuông cân A nên S ABC A S B C , A B C S M A BC A ; 1; ; B 1; ; 60 B ta n 0 a 2 a M C Trang Và S ABC Mặt khác BC 2 A M B C V S A B C V A S B C a V S.ABC S S B C d A ; S B C S A B C S A a a a 2 12 V S.ABC d A ; S B C (đvtt) S SBC Mà S SBC S M B C SA AM B C SA BC B C a d A ; S B C 2 a Nhận xét: Để tính khoảng cách t điểm tới mặt phẳng ta tìm hình chiếu điểm mặt phẳng Tuy nhiên toán hình không gian tổng hợp ta tính khoảng cách thông qua thể tích Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Do hai mặt phẳng S A C , S B C c ng vuông góc với A B C S A C S A B S A A B C -Dựng góc: Gọi M trung điểm - Tính khoảng cách: Thể tích V S.ABC S A S A B C Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hình chóp bên SA a SAB b Cho hình chóp SA có đáy ABCD Tính khoảng cách t S S B C d A ; S B C hình thang G SA a Gọi vuông tính khoảng cách t H Câu Phương trình đường tròn ngoại tiếp d A;SBC V S.ABC mặt phẳng S A D SC 30 Gọi có tâm a A SB K ;3 , bán kính G Cạnh trọng A BC BA D 90 , A B BC a , A D 2a Cạnh bên Chứng minh tam giác tới mặt phẳng S C D Đáp số: d H , S C D ABC SSBC A BC BA D 90 , BA BC a , A D 2a hình chiếu H đến mặt phẳng S C D Đáp số: d G , S C D có đáy hình thang , S.A B C D vuông góc với đáy, SCD V S A B C V A S B C vuông góc với đáy Góc tạo tâm tam giác , lại có S.A B C D SBC , A BC SM A BC R AK a là: 2 5 25 x y 3 2 Phân giác AI Gọi tọa độ có phương trình D IC D IC B B C D nghiệm hệ 1 nghiệm hệ Giải ta hai nghiệm Lại có x 1 x y C x x A y 3x y A ) x 1 D ; 2 y cân IC A IA C C ID IC D D DC DI mà D C D B B ,C 1 y DI 3x y 25 x y (tr ng điểm 25 y 3 x y 1 x Trang Vậy có tọa độ 1; , ; B ,C Nhận xét: Ta tìm tọa độ đỉnh tam giác cách viết phương trình đường tròn ngoại tiếp C ABC tam giác, lấy giao họ đường thẳng chứa điểm A , B , C với C Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao đường trung trực cạnh, tâm đường tròn ngoại tiếp giao đường phân giác góc -Công thức tính độ dài hai điểm M a; b , N c; d a c MN b d Áp dụng cho toán: - T điểm A , K ta lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác -Viết phương trình đường phân giác góc A -Sử dụng tính chất góc DC DB nên B ,C IC D IB C B C D AI C nghiệm hệ ABC C Suy D nghiệm hệ A IC A IA C C ID IC D B , C C D : C D C B B , C C D A I D C cân D DC DI Lại có Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Trong hệ trục tọa độ O x y , cho tam giác A B C vuông A Đường thẳng B C : x y Biết hai điểm A , B nằm trục hoành bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Tính tọa độ đỉnh tam giác A B C A 3; ,C 3; A ; , C ; Đáp số: b Trong hệ trục tọa độ x 4 2 y 2 Đáp số: O xy , B 1; , cho tam giác , đường thẳng A 8; , A 8; ABC qua điểm BC Đường tròn nội tiếp tam giác có phương trình M ;2 Tìm tọa độ điểm A y xy y x 1 Câu ệ phương trình tương đương với 2y 2 xy y x x Cộng vế theo vế hai phương trình hệ, ta y 3x 1 y x x Với y Với x 1 y 2x x , vào phương trình thứ nhất, ta , vào phương trình thứ nhất, ta ệ phương trình có nghiệm: ( x ; y ) 2 ;2 y x y 12 x y y 2x 3 2x (vô lý) y x 4x y x 2 , ;2 Nhận xét: Ta tìm mối quan hệ ẩn thay vào hai phương trình hệ để giải nghiệm Coi hai x , y ẩn , số lại làm tham số Nhắc lại kiến thức phương pháp: Trang Phương pháp phân tích đa thức tìm mối quan hệ - x,y y xy y x 1 2 2 y xy y x x ệ cho viết lại Cộng hai vế phương trình hệ coi làm ẩn ta : y y x y 2x - Lần lượt thay vào hai phương trình hệ ta giải nghiệm Bào toán kết thúc Bài tập tương tự: a Giải phương trình x 3x x 1 Đáp số: x x y y x y 14 x y x y b Giải hệ phương trình 3 8 x y 63 2 y 2x 2y x c Giải hệ phương trình Câu Do số x , y , z 0;1 nên x Đáp số: x ; y 1; , ; Đáp số: x ; y ; , x x 0; y y 2 0; z z ;4 x y z y zx z x y (*) Khi xảy trường hợp: Hai ba số x y z ; y zx ; z x y số dương, số lại âm bất đẳng thức (*) mang dấu âm, nên bất đẳng thức Một ba số số dương, hai số lại âm; giả sử x y z ; y z x Khi x y x yz x y 1 z (vô lý) z 1 Ba số x y z ; y zx ; z x y số âm, bất đẳng thức (*) âm, không thỏa mãn nên loại Vậy ba số x y z ; y zx ; z x y số dương Ta chứng minh Thật vậy, xy 1 z (1) x y z z Tương tự ta có, xz 1 y x y z y z x (1) xy x yz 1 x y z xyz x y z đúng, đẳng thức xảy x y y z x z x y (2); x y z z x y (3) Nhân t ng vế (1), (2), (3) ta x x y x y z y z z x y z y z x z x y , đẳng thức xảy (điều phải chứng minh) Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức dựa sở xét trường hợp xảy với biến số Dự đoán điểm rơi xảy với biến đối xứng x y z Nhắc lại kiến thức phương pháp: Thứ tự thực chứng minh bất đẳng thức -Do số x , y , z 0;1 x x , y y , z z 2 -Ta xét trường hợp nhỏ theo biến: 0 x x y y z z 2 x y z ; y zx ; z x y +Nếu vế phải có sô âm bất đẳng thức chứng minh +Nếu hai số dương z 1 ( Vô lí) Trang -Chứng minh xy 1 z vế bất đẳng thức x y z y z x phép biến đổi tương đương oàn toàn tương tự nhân xy 1 z x yz y zx ; yz 1 x y zx z xy ; x yz z xy xz Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho số thực b Cho ab c c a a,b,c x , y , z ; : x y y z zx Chứng minh : x 1 x y 1 y z 1 z 3 cạnh tam giác Chứng minh : bc aa b ca bb c a c a b a b c b c Trang 10 ĐỀ TẶNG KÈM SỐ MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Giả sử d tiếp tuyến đồ thị hàm số C , tìm giá trị lớn khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến đường thẳng d I Câu (1,0 điểm) Giải phương trình s in x c o s x c o s x cos x s in x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I s in x x c o s x s in x x dx Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình b) Tìm số phức z lo g x lo g x x iz i z thỏa mãn điều kiện 1 i z Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ thẳng d: x 1 y 1 z 2 O xyz , cho mặt phẳng P : x y z đường Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d , cách mặt phẳng P đoạn thẳng độ dài cắt mặt phẳng P theo giao tuyến đường tròn có bán kính Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng có cạnh A B C D A ’ B ’C ’ D ’ Gọi M , N trung điểm cạnh A ’ D ’ với mặt phẳng B D M N tính thể tích hình chóp A B D M N BA D 60 A ’B ’ AB AD a,AA ' a Chứng minh AC ’ góc vuông góc Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho tam giác vuông A B C vuông A , đường thẳng A B đường thẳng chứa trung tuyến A M tam giác có phương trình x y 7x y Điểm E 10; thuộc đường thẳng Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình Câu (1,0 điểm) Cho x,y BC Tìm tọa độ đỉnh tam giác y 2 y x 2x x y 2x x,y R ABC số thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y 2x x y 2x y HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a - Tập xác định: - D R / 1 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y' x 1 Trang 1; , suy hàm số nghịch biến khoảng ; 1; y ' ,x ; 1 + Cực trị: Hàm số cực trị + Giới hạn: lim y 1; lim y đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x x đồ thị hàm số có tiệm cận đứng lim y ; lim y x 1 x 1 y 1 x 1 + Bảng biến thiên 1 x y' y - Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Ox + Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm ; điểm ; + Đồ thị hàm số giao điểm I ; hai tiệm cận làm tâm đối xứng + Đồ thị hàm số qua điểm Câu 1.b Ta có y' x0 M x0 ; x0 Giả sử x 1 3 , 1; Khoảng cách từ I C có giao tiệm cận là: I 1; thuộc C ( x d:y đến d x 1 d I; d 2 1 x0 x0 x0 có phương trình: M x x0 1 y x0 1 x0 x0 1 x0 x0 1 x0 1 x0 1 x ; x d I; d 2 ), tiếp tuyến C tạic x x x0 2 1 : x0 x0 1 x , ; Vẽ đồ thị: - Mà 1 3; , ; 1 2 x0 1 x0 1 Trang Dấu = xảy x 1 x Vậy khoảng cách lớn từ 1 x I x0 1 x0 2 tới tiếp tuyến là: d M ; d d m ax Nhận xét: Hướng giải: Tìm giao điểm hai tiêm cận I , lập phương trình tiếp tuyến tai điểm M tính khoảng cách từ I tới tiếp tuyến Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Phương trình tiếp tuyến hàm số y f x điểm Q x Q ; y Q y f x : y f ' x Q x x Q y Q - Tham số hóa điểm x0 M x0 ; C x với x0 viết phương trình tiếp tuyến viết C M - Tính khoảng cách từ điểm I 1; tới tiếp tuyến -Sử dụng bất đẳng thức Bài toan kết thúc Bài tập tương tự: a Cho hàm số y AM GM 2x x Giả sử d M ax xứng tới d Đáp số: b Cho hàm số y 2x x1 , ta có ab d I ; d a,b : a b 2 tiếp tuyến đồ thị Tìm khoảng cách lớn từ tâm đỗi Viết phương trình tiếp tuyến hàm số khoảng cách từ tâm đối xứng tới tiếp tuyên lớn Đáp số: y x 5; y x Câu Phương trình tương đương với s in x c o s x c o s x c o s 2 x c o s x s in x s in x s in x c o s x s in x c o s x c o s x c o s x c o s x 2 s in x s in x c o s x c o s x c o s x c o s x c o s x s in x c o s x s in x c o s x c o s x c o s x s in x c o s x c o s x s in x 2 cos x π k2 x s in x c o s x c o s x s in x s in x s in x x k Phương trình có nghiệm: x π k 2π ; x k2; k Z Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử vận dụng công thức lượng giác Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Sử dụng công thức hạ bậc c o s a c o s a ; c o s a s in a -Khai triển phương trình nhóm nhân tử chung - Công thức lượng giác s in x s in x - s in a c o s a 2 cos x s in x c o s x c o s x s in x s in a sin x c o s x cos x sin x trở thành x k2 s in x s in k Z x k2 Bài tập tương tự: a Giải phương trình s in x 3 c o s x s in x Đáp số: x 18 k 2 ;x 7 54 k 2 Trang b Giải phương trình Câu 2 s in x x 4 k 2 2cosx s in x x k; x d s in x x d s in x x x Đáp số: dx s in x x dx x c o s x ta n x c o t x cosx s in x I s in x ln sin x x 2 sin x x ln 4 4 4 4 4 Nhận xét: Bản chất toán tách tử biểu thức dấu tích phân theo đạo hàm mẫu Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Xét tử biểu thức tích phân: s in x x c o s x a b a ba b Sử dụng đẳng thức sin x x 2 sin x x sin x x c o s x s in x x c o s x s in x x ta có mẫu biểu thức dấu tích phân viết lại dạng -Nhận thấy sin x x ' c o s x ; sin x x ' c o s x nên tích phân có dạng Bài tập tương tự: e a Tính tích phân I ln x ln e I ln x x Câu 4.a Điều kiện x Phương trình tương đương Đặt t x z Vì 4x 2 1 3 x x x ln x b Tính tích phân dx ln x ln x Đáp số: dx I lo g t lo g t z lo g x x lo g x x ; ta d u ln u C u I ln e Đáp số: u' nên t z z t z , z 2 1 1 1 3 3 z z (1) z nghịch biến ℝ nên (1) có nghiệm x z lo g t x x x Phương trình có nghiệm: x Nhận xét: Bài toán giải phương trình Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Sử dụng công thức lo g a n b n lo g a r it 3 l z với phép đặt ẩn phụ phương pháp hàm số lo g a b ; n lo g a b lo g a b n chuyển đổi phương trình -Đặt ẩn phụ t x x l o g t l o g t -Sử dụng ẩn phụ với lo g t lo g t z z -Hàm số 1 f z 3 z nghịch biến R nên có nghiệm - Kiểm tra điều kiện ta nghiệm phương trình Bài tập tương tự: Trang a Giải phương trình b Giải phương trinh Câu 4.b Gọi Ta có lo g x iz i z 1 i z lo g z a bi a ,b 1 i a b 2 x 343 a b 3a 3b 5b a i a b 45 a a b b 26 b a b b 26 Vậy có số phức cần tìm: a 4b b 2ai a 4b b a i 1 i 2 3a 3b a b 5b a Đáp số: x x lo g x Đáp số: x z0 z 45 26 i 2 26 Nhận xét: Bài toán tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước, ta đặt số phức cho Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Đặt z a b i a , b R -Thay vào biểu thức iz i z z 1 i z cần tìm thay vào điều kiện - Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương tứng Bài tập tương tự: a Tìm số phức z thỏa mãn b Tìm số phức z thỏa mãn Câu Đường thẳng z z 2 i z 18 26i i Đáp số: Đáp số: có phương trình tham số z 3i z 15 10i x t : y 1 2t z t Gọi I t ; t ; t tâm mặt cầu Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng P khoảng nên, ta có d I; 2t 2t 2t 6t 3 Suy có hai tâm mặt cầu t t 7 17 I ; ; ,I ; ; 3 Mặt phẳng P cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính nên mặt cấu có bán kính Phương trình mặt cầu là: 2 2 2 1 8 17 1 x y z 25; x y z 25 3 3 3 3 3 Nhận xét: Để viết phương trình mặt cầu ta tìm tâm mặt cầu bán kính mặt cầu sử dụng phương pháp tọa độ hóa điểm công thức tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Mặt phẳng P cắt mặt cầu S tâm I theo đường tròn C có mối liên hệ bán kính với khoảng cách tâm I tới P : d I; P RS R C Trang -Khoảng cách từ điểm Q tới mặt phẳng P : ax b y cz d d Q ; R axQ byQ czQ d a Áp dụng cho toán: - Tham số hóa tọa độ điểm I - Sử dụng công thức tính S R Do I cách mặt phẳng P khoảng R d C I;P R S b c d I; P I Với tâm bán kính ta viết phương trình mặt cầu thỏa mãn Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Trong hệ trục tọa độ có tâm I 1; ; cắt Đáp số: x y d hai điểm phân biệt z 3 b Trong hệ trục tọa độ ABC , cho đường thẳng d : O xyz 40 1 1 x y z 3 3 Đáp số: y 1 a AC a Suy Vì S SM N S SBD Ta có Vậy MN BD V SABD V A BD M N 3 IA B vuông I tiếp xúc với trục H Oy Gọi H trực tâm tam giác O A S C 'C A 90 qua A ' Khi S , M , D thẳng hàng; S B Từ giả thuyết ta suy A B D đều, A (1) (2) S BD M N S A S A B D 3a Viết phương trình mặt cầu S A ; ; , B ; 1; , C ; ; BD A C C ' A ' BD A C ' suy AC ' BD M N Từ (1) (2) suy Ta có Ta có CC ' AO A O S C C ' A c g c A C ' S O BD AC , BD A A ' cho tam giác A,B Câu Gọi I tâm đáy A B C D , S điểm đối xứng S , N , B thẳng hàng M , N trung điểm S D AO z1 Viết phương trình mặt cầu tâm , cho điểm O xyz x 1 a 3 S BD S V A BD M N A O B D a 3 a V S ABD a a (đvtt) (đvtt) 16 Nhận xét: Ta tính trức tiếp thể tích khối chóp thông qua công thức thể tích nhiên ta sử dụng phương pháp sử dụng tính thể tích thông qua tỉ số thể tích Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh d d , d d với d , d -Công thức tính thể tích khối chóp V B h - Chứng minh AC ' BD M N -Sử dụng tỉ số diện tích SSM N SSBD : với B diện tích đáy, h AC ' SO ; AC ' BD AC ' BD M N MN BD S BD M N chiều cao S B D S V A B D M N V S.ABD Bài tập tương tự: Trang a Cho hình chóp S.A B C D vuông góc với đáy Gọi S B M D N Đáp số: có đáy hình vuông cạnh a ,S A a ,S B a trung điểm cạnh M ,N V S B M D N ABCD a 3 AB , BC mặt phẳng S A B Tính thể tích khối chóp b Cho hình chóp S A B C mặt bên tam giác vuông, S A S B S C a Gọi N , M , E trung điểm A B , A C , B C , gọi D điểm đối xứng S qua E Giả sử A D cắt mặt phẳng S M N I Tính thể tích khối tứ diện Câu Tọa độ điểm Gọi A điểm thuộc F nên tọa độ điểm F nghiệm hệ AM cho Suy EF a V M B S I 4x 3y A 1; 7 x y EF / / AB nghiệm hệ Đáp số: M BSI có phương trình 4 x y 49 F 1; 7 x y 36 x y 49 Ta có BC 2BM Tọa độ H 6 x y 39 M ; 2 7 x y , suy thỏa mãn hệ C 3; F thuộc AM Đường trung trực d E F có phương trình x y Do M A B cân M , nên M E F cân M Suy d qua trung điểm A B trung điểm M B C Tọa độ M thỏa mãn hệ Vì H 4x 3y H ;3 6 x y 39 Ta có AB 2AH , suy B 4; Vậy A 1; , B ; , C ; Nhận xét: Bài toán thuộc lớp giải tam giác Ta tìm họ đường thẳng chứa điểm A , B , C Lấy giao đường thẳng có điểm chung tìm tọa độ đỉnh tam giác A B C Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm P a ; b nhận n ; : x a y b -Kiến thức vector : Cho hai vector u x ; y , v x ; y x1 kx u kv y1 ky Áp dụng cho toán: - Tọa độ điểm A - Gọi thỏa mãn F AM nghiệm hệ EF / / AB EF F -Viết phương trình trung trực M BC M AM A AM A AB EF Sử dụng tính chất vector d nghiệm hệ qua trung điểm BC 2BM C , F E F F A M H AB 2AH B AB; M BC nên tọa độ thỏa hệ Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Trong mặt phẳng O x y , cho tam giác A B C Đường cao kẻ từ A , trung tuyến kẻ từ phương trình x y ; x y ; x Tìm tọa độ đỉnh A , B , C Đáp số: M B ,C có A ; , B ; , C 1; Trang b Trong mặt phẳng từ B : x 3y Đáp số: O xy , cho tam giác Đường cao qua đỉnh A 1; , B ; , C ; Câu Điều kiện x y 4x a b 2x a Với b , ta Phương trình A M 3; qua điểm BC : x 3y , đường cao hạ Tìm tọa độ đỉnh tam giác y y x y x 2 x y 2 x 1 2 y 2 (v n ) x y y 4x x 4x 2x a b a a b 2b b 2b b a 2b Khi hệ phương trình trở thành 4x 1 x y 0 x 2x 4x ABC vào phương trình thứ hai, ta 4x 1; a Đặt C cân Phương trình thứ tương đương với Thế ABC ;0 Hệ phương trình có nhiệm: x ; y Nhận xét: Hướng giải: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử đặt ẩn phụ Nhắc lại kiến thức phương pháp: - Từ phương trình thứ hệ khó tìm mối quan hệ x , y Ta xét phương trình thứ phân tích - Phương trình thứ hệ coi ẩn - Thay y t y giải phương trình ẩn x vào phương trình thứ ta 4x 4x t ta có 2x y 4x Với phương trình vô tỉ bản, chọn phương pháp sử dụng ẩn phụ a x ; b x Ta tìm nghiệm hệ phương trình Lưu ý: Ta sử dụng phương pháp nhận lượng liên hợp hàm số để giải phương trình 4x 2x Bài tập tương tự: a Giải phương trình x b Giải hệ phương trình Khi f y Với 1 y 32 x 5x x 4 x x y x y x y 2 x y x y 2 x 1 OM ON MN Do Đáp số: x 1 17 ;x Đáp số: x ; y 1; ; ; M x ; y , N x 1; y Câu Xét điểm Ta có 8x y f y P y f ' y y 1 y 1 y y x 1 y 4y 1 y 2 y f ' y y y 2 4y y 2y 1 y 1 Ta có bảng biến thiên Trang y f ' y f y Vậy Với Do P y 1 y với x,y Khi nhỏ P y 2 f 3 y x , 1 y y x 3 y 2 P 3 Nhận xét: Bài toán tìm giá trị nhỏ sử dụng bất đẳng thức vector dồn biến y kết hợp xét hàm số Nhắc lại kiến thức phương pháp: -Phương pháp sử dụng bất đẳng thức tam giác sử dụng bất đẳng thức vector Cho hai vector a u1 ; v1 , b u ; v Nhận thấy biểu thức a b a b P có y2 2 u1 v1 độc lập biến y u1 u2 v2 u2 v1 v2 nên ta chuyển giá trị nhỏ biểu thức theo biến a 1 x; y , b 1 x; y a b 2; y - Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức vector cho hai vector x ; x cộng tọa độ vector rút gọn theo biến y ) ta có x y - Để tìm giá trị nhỏ P ta tìm giá trị nhỏ hàm số f y y Bài tập tương tự: a Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn ab b c ca ab c Chứng minh a 2b ab b Chứng minh với số thực 2 a,b b 2c c bc 2a ca 1 x y y ;y y (Chọn cặp 1 y ta có a b a 2b 37 2 a b a 6b 18 Trang [...]... kiện ta có đáp án Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: -Thay 1 cos x 3 5 0 sin x cos2 x 2 1 tan 2 x , a Giải phương trình: 4cos2 x 1 sin x 2 3 cos x cos 2x 1 2sin x 3 5 5 2 Đáp số: x k; x k 2; x k 3 6 18 3 b Giải phương trình: 1 sin 2x 2 3 sin 2 x 3 2 sin x cos x 0 (Thi thử THPT Phan Đăng Lưu) Đáp số: x Câu 3 Ta có I 1 0 7 k 2;... D 5 8 8 2 Đáp số: C ; , D ; hoặc C 1;0 , D 0; 2 3 3 3 3 b Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường phân giác từ A , trung tuyến từ B , đường cao kẻ từ C phương trình lần lượt là x y 3 0; x y 1 0; 2x y 1 0 Tìm tọa độ 12 39 32 49 8 6 các đỉnh tam giác Đáp số: A ; , B ; , C ; 17 17 17 17 17 17 Câu 8 Phương... Phan Đăng Lưu) Đáp số: x Câu 3 Ta có I 1 0 7 k 2; x k 2; x k 2; x k 2 6 6 3 1 1 27 1 1 x x3 27 27 1 x dx x2 3x 9 dx dx dx 0 0 x3 0 x3 x3 1 1 1 1 x 1 1 x 1 3 47 4 x3 x2 9 x 27 ln x 3 dx 27 ln dx 0 0 0 2 x3 6 3 x3 3 0 Tính A 1 x dx x3 1 0 x 0 t 1 Đặt t 1 x x 1 t 2 ; dx 2tdt... 4 y 2 3x 25xy (Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2009) Đáp số: MaxS 1 1 25 x, y ; 2 2 2 b Cho x, y , z là các số thực dương Chứng minh rằng : x3 y3 y3 x3 y3 z3 z3 y3 z3 x3 x2 y 2 z 2 2 (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên-Hà Nội lần 3) z3 yz zx xy x3 Trang 10 ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 3 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm)... 1 x x 1 Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Cho các số x , y , z không âm Chứng minh rằng 2 x y z 9xyz 7 x y z xy yz zx 3 (England-1999) b Cho a, b, c 0 Chứng minh rằng a b c a b c ab bc ca bc ca ab 10 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 4 Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y 4 x 3x 2 2 5 (C) 2 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị... 3 2z z 2 Thay vào đẳng thức thay z w z i z 1 1 2i Tìm được số phức z 4 Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Tìm số phức z thỏa mãn z 2 Đáp số: z 0 , z 2 , z 1 b Tìm phần ảo của số phức 2z 0 3i biết z z 2 i 1 2 2i (Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2010) Đáp số: z 5 2 i Câu 4.b Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là a b c d e Chọn a có 6 cách... các chữ số a, b, c và số còn lại bằng 1 chữ số khác trong 3 số đó Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn Đáp số: 840 5 b Với 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt trong đó mỗi số đều phải có mặt số 6 Đáp số: 1630 Câu 5 Vì A, B Oyz nên xA xB 0 Do A d1 nên 0... x g x cho Lưu ý: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức cơ bản a b 2 a2 b2 để đánh giá phương trình Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Giải phương trình x2 7 x 1 4 x4 x2 1 Đáp số: x 13 69 10 b Giải phương trình 2x2 5x 22 5 x3 11x 20 Đáp số: x 5 21 25 881 ,x 2 8 2 4 Câu 9 Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x; y , Áp dụng bất đẳng thức AM... tương tự: a Giải phương trình 2 x x2 x 1 x x 1 Đáp số: x 1; x 1 33 16 9 b Giải hệ phương trình x; y 0;1 , 1; 2 , 3;0 x 4 y2 1 x 4 y y x 3 x 2 y 2 1 2 x 1 3 x 2 6 y 2 17 Đáp số: x x2 1 y y 2 1 1 5 5 5 5 c Giải hệ phương trình Đáp số: x; y ; , ; y 35 3 3 4 4 y... -Lập bảng biến thi n của hàm số f c trên ; 2 thu được minf c 2 Bài tập tương tự: a Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện abc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a3 b3 c3 3 Đáp số: MinP 4 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b b Cho a, b, c : ab bc ca 1 Chứng minh rằng a 1 a2 b 1 b2 c 1 c2 3 2 11 ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 2 MÔN TOÁN Thời gian ... sin x sin x cos x (Thi thử THPT Phan Đăng Lưu) Đáp số: x Câu Ta có I 7 k 2; x k 2; x k 2; x k 2 6 1 27 1 x x3 27 27 x dx x2 3x dx... 0; 2x y Tìm tọa độ 12 39 32 49 đỉnh tam giác Đáp số: A ; , B ; , C ; 17 17 17 17 17 17 Câu Phương trình thứ tương đương với x x2 2y ... chia vế cho x x1 Bài toán kết thúc Bài tập tương tự: a Giải phương trình x2 x3 Đáp số: x b Giải phương trình 37 x x2 2x Đáp số: x 7, x 10 Câu P P a b