chuyên đề Bất đẳng thức

A.BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM: Phát biểu: Cho số dương a1; a2 ; ; an không âm, ta có: a1  a2   an n  a1a2 an n 1 Chứng minh: Bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức phổ biến toán sơ cấp Nó chứng minh nhiều cách Trong đó, cách phổ biến quy nạp nhà toán học người Pháp –Luois Augustin Cauchy chứng minh Đây có lẽ lý mà chương trình học Việt Nam hay gọi Bất đẳng thức Cauchy Sau đây, xin trình bay2 cách chứng minh  Ta kiểm tra với n=2: (1) Thành a1  a2  a1b1 Đây bất đẳng thức (BĐT) hoàn toàn tương đương với  a1  a2 => BĐT (1) với n=2 Ta giả sử BĐT (1) với n=k, ta có: a1  a2   ak k   a1a2 ak  k  ak 1  ak 2   a2 k k  ak 1ak 2 a2 k   k a  a   a2 k   k a1a2 ak  k ak 1ak 2 a2 k  22 k a1a2 a2 k k a  a   a2 k k   a1a2 a2 k * 2k     Bây ta chứng minh BĐT (1) với n=k+1 Áp dụng BĐT (*) ,ta có: a1  a2   ak 1   k  1 k 1 a1a2 ak 1 k k2k1 k2k1 k2k1 k 1  a1 a2 ak 1  a1a2 ak 1 2k a  a   ak 1 k 1   a1a2 ak 1 k 1  Bất đẳng thức với n=k+1 VẬY BẤT ĐẲNG THỨC (1) ĐÃ ĐƯỢC CHỨNG MINH Một dạng khác phổ biến AM-GM: Phát biểu: Cho số không âm , ta có: k1a1  k2a2  knan   k1  k2   kn  k1 k2  kn a1a2 an k1; k2 ; ; kn  MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ: a) BĐT AM-GM cho số không âm: Cho số a,b không âm, ta có: Page |  0 i) a  b  ab ii )  a  b iii ) a b 2  4ab  a  b   2ab Dấu “=” xảy a=b ( Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Gợi ý: bạn dung biến đổi tương đương) b) BĐT AM-GM cho số không âm: Cho số dương a,b,c không âm, ta có: a  b  c  3 abc “=” xảy a=b=c c) Một số hệ BĐT AM-GM:  Hệ 1: Cho số a,b,c dương ta BĐT sau: 1/  1   a b ab 2/ 1    a b c a bc Hệ 2: Cho số a,b dương, ta có: 1  2 2 a b  a  b Chứng minh:    2 a b  a  b ab   a  b Một số BĐT hỗ trợ : 1) a  b2  c  ab  bc  ac 2) a  b2  c  3)  ab  bc  ac  4)  a  ab  b   a  ab  b  5) a n  bn  a  b      a  b  c 2  ab  bc  ac  3abc  a  b  c  a , b, c  a  b n a , b, n  a n  bn  c n  a  b  c   a, b, c, n   3   a m bm c m 7) n  n  n  a m n  bm n  c m n b c a n 6) Các BĐT chứng minh cách biến đổi tương đương Sau xin trình bày số cách phối hợp BĐT tảng MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM: a) Một số Bất đẳng thức AM-GM : Trong bất đẳng thức, việc dự đoán dấu từ đưa phán đoán hướng giải quan trọng Vì vậy, việc dự đoán dấu quan trọng chứng minh bất đẳng thức Sau đây, xin giới thiệu số cách tiếp cận BĐT AM-GM sau thong qua bước “ Dự đoán điểm rơi” Page | Ví dụ 1:( Trần Anh Tuấn)Cho số thực a,b,c dương Chứng minh rằng: 2 2 ab  a  b   a  b   a  b   a  ab  b  a  b3  a  b          a  b Hướng dẫn:  Ta chứng minh: ab  a  b    a  b    Theo BĐT AM-GM ta có: ab   a  b   ab  a  b    a  b    a  b    2 Ta chứng minh:  a  b   a  b   a  ab  b        3 2 Ta có: a  ab  b2   a  b 2   a  b   a  ab  b    a  b   a  b   a  ab  b2  a  b3  Ta chứng minh:  Ta có:  a  ab  b 2  2  a  ab  b   a  b  a  ab  b2   a  b  a  ab  b2    a  b3    a  b   a  ab  b2    3 Ta chứng minh: a  b   a  b  1  a  b 1   a  b3   a  b   a  b3  a  b   a  ab  b  2      a  b2    a  b3  a  3a 2b  3ab2  b3    a  3a 2b4  3a 4b  b6   a  3a 5b  3a 4b2  2a 3b3  3a 2b  3ab5  b6   a  3a 2b  3a 4b  b6   a  3a 5b  3a 4b2  2a 3b3  3a 2b  3ab5  b6    a  b   a  ab  b    Nhận xét: Trong yêu cầu sử dụng BĐT AM-GM công thức hỗ trợ mà nêu Riêng yêu cầu cuối sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Đây phương pháp hiệu cho BĐT biến Ví dụ 2: Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a)a  b  c  ab  bc  ac b) a  b  c  ab  bc  ac Hướng dẫn: a)Ta có:  a  b  c 2   ab  bc  ac    a  b  c    ab  bc  ac   a  b  c  ab  bc  ac b)  a  b  c 2    ab  bc  ac    (a  b2  c2 ) Giờ ta chứng minh: a  b  c    a  b2  c2  hay a  b  c   a  b2  c   * Ví dụ 3:a) Cho số thực a,b,c không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a) 2 1  3 3   9 2 a b c a  ab  b b  bc  c a  ac  c Page | b)abc  a  b2  c   Hướng dẫn: a) Ta đánh giá: 13  13   a Tương b ab tự: 13  13   b c bc ; 1  1  c3 a ac Từ đó, ta có: 2 1      3 a b3 c a  ab  b2 b2  bc  c a  ac  c 3 1       2 ab bc ac a  ab  b b  bc  c a  ac  c 1 1 1 1                   2     ab ab ab a  ab  b   bc bc bc b  bc  c   ac ac ac a  ac  c  16 16 16 48     2 2  a  b   b  c   a  c   a  b   b  c 2  a  c 2  48   a  b  b  c  c  a     Mà:  a  b b  c  c  a    2a  2b  2c       Nên: 2 1      3 a b3 c a  ab  b2 b  bc  c a  ac  c 48 48    12   a  b  b  c  c  a     2 1       9 a b c a  ab  b2 b  bc  c c  ac  c b) * Nhận xét:Ta có đánh giá quan trọng:  ab  bc  ac 2  3abc  a  b  c  Từ ta có: abc   ab  bc  ac    ab  bc  ac  2 3 a  b  c  abc  a  b2  c    ab  bc  ca   a  b2  c  3  a  b2  c  2ab  2bc  2ac    a  b  c        3  9 3    Ví dụ 4: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a  3; ab  6; abc  Tìm giá trị nhỏ của: a) A  a  b  c b) B  4a  3b  4c  27   a b c Hướng dẫn: Nhận xét: Dựa vào giả thiết ta dự đoán dấu xảy a  3; b  2; c  Nhờ ta tiếp cận toán dễ dàng Nhưng trước hết , ta cần lý luận để a,b,c dương: Ta có: Page |  ab  *  a, b   a     a, b, c  abc  *  c    ab   a) Ta có: Aabc  2 a a a b b a b a b  a      c         c  3 2  2   a b ab a  33 c    31  32 Dấu “=” xảy a  3; b  2; c  Vậy giá trị nhỏ A a  3; b  2; c  b)Biến đổi thích hợp ta có: B  4a  3b  4c  27 27   8     a  b  c   3a     2b     3c  3c  a b c a   b    81  16   38 Dấu “=” xảy a  3; b  2; c  Vậy giá trị nhỏ B 38 a  3; b  2; c  Ví dụ 4: Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng:  c  16 abc Hướng dẫn: Nhận xét:Dễ dàng thấy BĐT viết thành: a  b  16 hay nói cách khác a,b có vai trò abc nên ta có suy nghĩ dùng AM-GM trực tiếp cho đại lượng Từ dự đoán trên, ta có a=b;c=1-2a Kết hợp với BĐT ta có dấu xảy a  b  ; c  =>c=a+b Vậy ta khai thác kiện từ nhỉ?? Bài giải: Ta có:    ( a  b)  c  c  a  b   a  b  ab  a  b  abc  a  b    a  b   16abc  a  b  ab  16 abc 1 c   16 abc  Ví dụ 5:Cho số thực a,b,c dương Chứng minh rằng: 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc Hướng dẫn: Page |   Nhận xét: Đây BĐT quen thuộc BĐT cổ điển ứng dụng phổ biến chứng minh số BĐT Sau xin trình chứng minh, áp dụng mở rộng BĐT này! Bài giải: Ta có: a  a  b3  3a 2b  3 2 3 2    a  b    a b  ab   a  b  a b  ab b3  b3  a  3ab2   a  b3  abc  a 2b  ab2  abc  ab  a  b  c   1  a  b3  abc a  b  c ab Tương tự, ta có: 1  b3  c3  abc a  b  c bc ; 1  a  c  abc a  b  c ac Từ đó, ta có: 1 1 1    3  3      a  b  abc b  c  abc a  c  abc a  b  c  ab bc ac  abc  Ngoài BĐT có dạng BĐT cho số quen thuộc Cho số a, b, c, d dương, ta có BĐT sau: 1 1     a  b4  c  abcd b4  c  d  abcd c  d  a  abcd d  a  b4  abcd abcd (cách chứng minh hoàn toàn tương tự BĐT cho số) Đây BĐT quen thuộc BĐT cổ điển.Rất nhiều toán ứng dụng từ tảng Sau đây, xin trình bày số ứng dụng BĐT việc chứng minh số BĐT nhằm đặt hiệu khả quan  Một số áp dụng BĐT giải BĐT cổ điển: 1)Cho số thực a,b,c dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng: 1   1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 a 5b5 b 5c c 5a b) 5   1 a  b  a 5b5 b5  c5  b5c c  a  a 5c a 4b b4c c 4a c)   1 a  b6  a 4b b6  c  b c a  c  a a 5b5 b 5c c 5a d)    a  b6  a  b5  2a 5b5 b6  c  b5  c5  2b5c c  a  c  a  2c 5a a) 2)Cho số thực a,b,c dương thỏa mãn abc=1.Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A 1   a  b  c  b3  c  a  c  a  b  3) Cho a,b,c số thực thảa mản a+b+c=0.Chứng minh rằng: 4 z 4 x 4 y   1 4x  y  4x y y  4z  yz 4x  4z  4xz Page | 4) Cho số thực a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ của: P 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc  abc 2  HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: a) * Nhận xét: ta khéo léo đặt a  x3; b  y 3; c  z , ta có dạng ban đầu BĐT Đây tảng để giải toán (Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc) b) Biến đổi BĐT cách nghịch đảo tử, ta có: BDT  1   1 1 1 1       a b5 b5 c c5 a Tới xem x  15 ; y  15 ; z  15  xyz  a BĐT thành b c 1   1 x  y 1 y  z 1 z  x 1  abc  1 xyz  Đây chình BĐT câu a) Xem ra, BĐT thức câu a nhiều ứng dụng Nhưng suy cho hệ BĐT tổng quát nêu c)Biến đổi BĐT ta được: 1   1 a b2 b c2 c a2  1  1  1 b4 a c b4 a c4 2 Ta lại có: a4  b  12  12 1 b a a b Thật vậy: 1  a  b6  a 4b2  a 2b4   a  b4  a  b2    2 (2) Đúng  a  b4  ;  a  b2  hai số dấu Tới đây, cách đặt ẩn phụ sau: x  12 ; y  12 ; z  12  xyz  a 1    x  y 1 y  z 1 z  x 1 Đây BĐT trình bày a) d) Ta có: Page | b c  , ta có, BĐT sau: abc 2 a 5b5 b 5c c 5a   a  b6  a  b5  2a 5b5 b6  c  b5  c  2b5c c  a  c  a  2c 5a 1    a b 1 b c 1 c a 1  1  1  1  1  1  1 b5 a a b c b5 b c a c5 a c    1 1 1 1          a  b 1 b  c 1 a  c 1  1  1  1 5 5 5 5 5 5 c b c a a b b c c a b a     1 1 1 1           1  1  1  1  1  1 4 4 4 5 5 5 b b c c a a b b c c a a  1  1  1  Bài 2: 3a  3b2  3c    a  a  1   a   1  3a  3c   3a  3a  3b  3c   a  b2  c   a  b2   a  c  1 1 1      2 a  b  c  a  b   a  c   a  b  a  c   1 1    b3  c  a    b  c   b  a     Tương tự, ta có:   1 1       c  a  b   c  a  c  b     A   1 1 1           2   a  b  b  c  c  a    a  b  b  c  c  a    1  (1  1)    Bài 4: Nhận xét: nhìn vào phần tử , ta hoàn toàn đánh giá theo abc BĐT mà nêu Nên từ phương pháp ẩn phụ, BĐT lại biến việc khảo sát đơn giản Lưu ý, cần đánh giá khoảng giá trị ẩn phụ đặt Bài giải chi tiết: 1 1    a  b3  abc b3  c  abc c  a  abc abc  ab  bc  ac    a  b  c  abc   9abc 1 1 abc     f  t  0  t  abc    1 abc  abc  t 2t    P  (tới bạn dùng khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất)  t 1 Lại có:  12       P  t Page | 2t 2t 2 Dấu “=” xảy a=b=c=1 a=b=c=1 Ví dụ 6:Cho số thực dương a, b, c, x, y, z, m, n, k Chứng minh BĐT sau: Vậy giá trị lớn P a    b3  c3  x  y  z  m3  n3  k    axm  byn  cyk  Hướng dẫn: Nhận xét: Có lẽ số bạn quen biết với BĐT Đây BĐT Holder cho số Cách chứng minh dựa BĐT AM-GM cho số Bài giải: Ta có BĐT sau:  a3 x3 m3 a x 3m axm     33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a  b  c x  y z m n k  a  b  c  x  y  z  m  n  k   a  b  c  x  y  z  m3  n3  k    b3 y3 n3 b3 y 3n byn    33 3 3  3 3 3 3 3 3 3 3 a  b  c x  y  z m  n  k a  b  c x  y  z m  n  k a  b3  c        x  y  z  m3  n3  k    c3 y3 k3 c y 3k cyk   3  3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x  y z m n k  a  b  c  x  y  z  m  n  k   a  b  c  x  y  z  m3  n3  k   a  b  c Cộng vế BĐT , ta có:  3 a axm  byn  czk b c 3  x  y  z  m3  n  k    a  b3  c  x  y  z  m3  n  k    axm  byn  czk  Ví dụ 7: Cho số thực a, b, c dương.Chứng minh rằng:  a ) 1  a 1  b 1  c    abc   1 1 b)  a  b  c        a  b  c  a b c  2 Hướng dẫn: a) Dùng kĩ thuật biến đổi tương đương, ta được:   a  b  c    ab  bc  ac   abc   3 abc  3  abc   abc   a  b  c    ab  bc  ac   3 abc  3  abc    a  b  c  3 abc BĐT (2) theo BĐT AM-GM cho số, ta có:  ab  bc  ac    abc  Ngoài cách ra, áp dụng BĐT Holder mà vừa chứng minh ví dụ  3  3 1  a 1  b 1  c              1      abc    abc 2  Page |    3  3 a               3      b               3   c   3  3 3 3 a c a b b) Ta có:    a  a  b  b  c  c  2ab  2bc  2ac * b c Tới đây, đánh sau:  a b3 c 2  b  c  a  a  b  c  3  a  b  c  a  b2  c  c a b  3  4 Chúng đưa công thức đầu giải thích mục tham số hóa, sau tạm thời chứng minh AM-GM cho nhiều số dương Ta có:  a3 b3 c    1313 a 26  13a  b c a  c3 a  b 9    13b c a b   c3 a b3    13c  a b c   a b3 c   13      13  a  b2  c   b c a a b3 c     a  b2  c b c a BĐT (2) hoàn toàn tương tự  a a b3 b3 c c        a  b2  c    ab  bc  ac  b c a c a b => BĐT chứng minh * , BĐT chứng minh BĐT Holder Ta thấy:  1 1  b3  c        a  b  c  a b c  1 1   a  b3  c       a  b  c    a  b  c  * a b c a Ta thấy (*) BĐT Holder Ví dụ 8:Cho số thực a, b, c dương.Chứng minh rằng: a) xy yz zx    x yz z x y b) x2 y2 z2 x z y      y2 z2 x2 z y x c) x2 y2 z2 x y z      y2 z2 x2 y z x Hướng dẫn: a)Áp dụng BĐT AM-GM, ta có: Page | 10 5 P 8 Bài 9:( A,A1-2014) Cho x, y, z số thực không âm thõa điều kiện x  y  z  Tìm giá Khảo sát hàm số ta f  t   f    x2 yz  yz   x  yz  x  x  y  z  Hướng dẫn:Điểm rơi toán x  1; y  0; z  Ta thấy phần tử thứ hai bị thiếu phần tử x nghĩ ta cần đánh giá để xuất đại lượng x phần tử lại nên ta thừ đánh giá sau: x  y  z 1 trị lớn P   x2 x  x  yz  x   x  y  z  1   x    yz  2  x  y  z 1 Đánh giá (2) nhanh chóng bị loại bỏ ko xảy dấu “=” Ta thử biến đổi đánh giá (1) 1  x  xy  xz  x  x  yz  x    yz  xy  xz   x  y  z   Vậy đánh giá (1) cho thứ ta cần: x2 x x yz  yz Ta có:  P  x  xy  x  x  y  z  x  y  z 1  yz Tiếp theo ta đánh giá theo x  y  z ta thấy: x  y  z  yz  yz  y  z   x    18 18 36  x  y  z x yz t t2 P     f  t  với t  x  y  z x  y  z 1 36 t  36 2 Ta tìm khoảng t : ta có:  x  y  z   x  y  z  t  2 Tận dụng không âm , ta có:  x  y  z   x  y  z  t   t   2;  Việc lại xin dành cho bạn đọc Bài 10:( B-2014)Cho số thực không âm a, b, c thỏa  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ nhât biểu thức: P  a b c   bc a  c a  b  Hướng dẫn: Điểm rơi toán a  0; b  c Khi b  a  c nên ta có đánh giá sau: Page | 88 b b 2b   ac b ac abc Vì điểm rơi a  nên đánh giá thằn đầu nhẹ nhàng, P a  bc  a  b a  b a  b  c c      2  a  b  c a  b a  b  c a  b 2 a 2a  a bc abc I) CÁC BĐT TRONG ĐỀ THI THỬ: Bài 1:Cho thực x, y, z dương thay đổi thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị P  x  y  z  xyz Hưỡng dẫn 2 : P   z  y   x  yz  x  1    x   x  yz  x  1 Nhu chia sẽ, BĐT đối xứng mà điểm rơi không x  y  z ta giảm dấu lại y  z (Vì ta tách biệt x với y, z , bạn đọc cho x  y hay x  z tùy ý) Ta thây kẹt đại lượng yz Với điểm rơi ta nghĩ đến yz   y  z 2  x   4 Khi ta sử dụng  x  1  Vậy ta suy nghĩ giả sử x  x, y, z 2  x  x3  x2  2  x   P  2  x   x   f  x  x  1  2 2 Khảo sát hàm f  x  x  (0; ], ta có: f '  x   x  x  0x  (0; ]  f  x   f   3  3 52  f  x  27 Bài 2:Cho số thực a, b, c  Tìm giá trị lớn P  2 a  b  c   a  1 b  1 c  1 Hướng dẫn:Điểm rơi toán a  b  c  Nếu ta dự đoán a  b  c Nếu nhìn vào theo kinh nghiệm ta thâ biến có vài trò nên ta dự đoán a  b  c chuyện dễ hiểu Với điểm rơi ta có đánh giá sau: a  b  c   a  1 b  1 c  1  P Page | 89  a  b  c  3 a  b  c  2 a  b  c 3 27  54  a  b  c  3  t2   54  t  3  f  t  với t  a  b  c  Khảo sát hàm ta thấy f ' 3  giải khó nên dùng tương đương chứng minh f  t    (t  3)2 (t  24t  225t  1296t  4779t  7128t  15795)  Vậy ta có: P  Nếu ta dự đoán điểm rơi từ đầu chuyện dể dàng hơn:  a  b  c  1 2 Theo điểm rơi ta đánh giá a  b  c    a  b    c  1    2  a  b  c  3  a  1 b  1 c  1  27 54 54 P     f t  a  b  c   a  b  c  3 t2 t 2 2 Với t  a  b  c   4 162 f ' t    ; f ' t    t  t  2 t 1 P 4 Bài 2:Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ 121 P  2 a  b  c 14  ab  bc  ac  Khảo sát hàm ta có f  t   f    Hướng dẫn:đây BĐT ba biến đối xứng nên ta tìm cách quy theo p, q, r Ta có: p  a  b  c  121 121 P     f q p  2q 14q  2q 14q p2  3 121 11  11  324  ; f ' q   q   f   14q 36  36  Tới ta cần tìm khoảng q xong Và thấy thay  q  Ta có f '  q   14 1  2q    657 f     14 324 P Bài 3: Cho số thực dương a, b Tìm giá trị nhỏ   ab của: P  7a  4b  ab ab Page | 90 Hướng dẫn ý tưởng ta dồn a  b Khi ta cần đưa 7a  4b  ab theo a  b a b b  b Giả sử điểm rơi a   ; b      a  cho   a            Vậy ta có đánh giá   b b ab   a    a    7a  4b  ab    a           Ta việc chọn  cho:          b  Ta có: ab  a 4b  a  4b  7a  4b  ab   a  b  1 1   a  b    t  f  t  với t  a  b  ab t t ab 1 2 Xét f  t     tt  ,ta có: f '  t     1; f '  t    t  t    t  t t t t  f  t   f 1  P  P 1 Bài 4:Cho số thực a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 24 P  13a  12 ab  16 bc abc Hướng dẫn: Ý tưởng ta đánh giá quy a  b  c Vậy ta cần đánh giá 13a  12 ab  16 bc theo a  b  c Ta có đại lượng ab bc ta giả sử điểm rơi a   b; b   c Khi  b 12 ab  12  a   ta có đánh giá sau:  16 bc  12  b c    13a  12 bc  16 bc  13   a    Khi ta cần chọn  ,  cho   b   a a      c   b        b  c a    1     a       13      8       : 13     64   a  13       1       13    Page | 91  Ta có: 13  12 ab  16 bc  16  a  b  c  3 3  3  P        1     a  b  c abc 2abc abc  2 abc  Bài 5:Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  27 Tìm giá trị lớn của: P   xy  yz  zx   x yz Hướng dẫn:Ta thấy BĐT biến đối xứng nên ta quy theo p, q, r để đánh giá:  p  27  p  2q  27  q       P  2q  p  P  p  27   f  p    p Tiếp theo ta cần tìm khoảng p Ta có đánh giá  p   x  y  z   81   p  Việc xin dành cho bạn đọc Bài 6: Cho số thực x, y, z  thỏa x  y  z  xy   x  y  z  TÌm giá trị nhỏ biểu thức sau: P  6x  y  z2  120 120  xz y2 Hướng dẫn: Ta biến đổi giả thiết  x  y   z   x  y  z  tới đây, ta nhận thấy vế trái có dạng u  v Ta có 2  2 u  v  u  v   2 cách đánh giá   2 u  v   u  v  1 2 Ở cách đánh giá cần có đại lượng nên cách đánh giá không khả thi Nên ta dùng cách đánh giá (1) x  y  z   x  y  z  Tức lúc ta dự đoán z  x  y Ta có:  x  y  z   Nhìn đến P ta thấy đại lượng đầu làm ta nghĩ tới đánh giá z   z  P  6 x  y  z   120 120  xz y2 Còn đại lượng lại dể để đánh giá:  xz  y2  xz  y2  P  6 x  y  z   Page | 92  x  y  z  2 480  x  y  z  2 Tới đay, để gọn ta đặt t   x  y  z  2  x  y  z  t2   t  (2; 4]  t2  480  2    f t  t 2  Khi P   480 6t  480 Việc khảo sát hàm f  t  với t  (2; 4] , ta có: f '  t   6t    0t  (0; 2] t t2  f  t   f    147  P  147 …………… Bài tập tương tự: Cho số a, b, c dương thỏa mãn a  b2  c2   a  b  c   2ab Tìm giá trị nhỏ biểu     ab  a  10 thức: P  a  b  c  48  Bài 7:Cho a, b, c số dương thỏa điều kiện a  b3  c3 Tìm giá trị nhỏ a  b2  c của: P   c  a  c  b  Hướng dẫn: Ta thầy BĐT từ giả thiết tới biểu thức nên hướng ta nghĩ giảm biến Mặt khác c biến đặt biệt nên ta nghĩ chia c để giảm biến Ta có:  a 3  b 3        c   c   x3  y3  2   a b  x2  y2         P    c c 1  x 1  y   P   a  b  1   1   c  c   Đây BĐT dạng tổng tích nên ta quy theo tổng tích., ta  p   x  y   3xy  x  y    s  ps      2 có:   x  y   xy    P  s  p    P   P  1 s  p   x  y   xy     Ta cần khoảng s : ta có:  x  y  Ta có f '  s   0s  Page | 93 3  f s  f x  y  4  3 s3  3s s2 2s3   f s s2  1  P  s 1 3s s3  1 s  3s s 34 2 t  4 1 P 3 42 1 ………………………… Bài 8:Cho số thực dương x, y, z dương CMR:  x y z   x  y    y  z    x  z        12 z x  y Hướng dẫn:   Ta dễ dàng đánh giá tên thông qua u  v   u  v    x3  y    y  z3    x3  z3    x  y  z  Vậy đại lượng cuối, ta thầy có bâc -1 nên ta tìm cách đánh giá để đơn giản theo đại lượng 1   x y z ý tưởng: Ta đánh sau k x y z  l  m   k  l  m  k l m x k 2 m y 2 k l z 2l m y z x ta chọn k , l , m có tỉ lệ tỉ lệ nghiệm pt x  k   k  m  1     k : l : m  1: : sau  2k  l   l   2l  m     m  x y z Vậy ta có:  2   y z x x x y z 1 Tương tự ta có:      y z x x y z Để đánh giá so với  1 1  1 1  VT   x  y  z         x   y   z         12 x y z x y z  Bài 9: Cho số x, y, z dương thỏa x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : xy  yz  zx P   x2  y2  z2   x y  y2 z  z2 x Hướng dẫn: Bài sử dụng BĐT hoán vị phổ biến:  x  y  z   x2  y2  z2    x2 y  y z  z2 x  Chứng minh: Page | 94  x  y  z   x  y  z    x  xy    y  yz    z  zx   x y  y z  z x  x2 y  y z  2z2 x  x2 y  y z  z x   x2 y  y z  z x  Theo ta có: x y  y z  z x  x  y  z  P  x2  y2  z2  xy  yz  zx x2  y2  z2 Tới BĐT trở thành đối xứng biến nên ta quy theo p, q, r ta có: p  P  p  2q  q q   2q   f q p  2q  2q tới BĐT biến Công việc lại xin nhuong đọc gỉa Bài 10:Cho số thcự dương a, b, c CMR: a  b2  c  1 1      2 4b 4c 4a ab bc ca 1 1  2  1 1  Hướng dẫn:Ta thầy            ab bc ca 4a b c 2a b c  1 1 Nên ta suy nghĩ đánh giá VT      2a b c Ta thấy BĐT chưa đồng bậc mà vế trái phẩn tử tử có bậc trung bình Nên ta suy nghĩ đánh giá nó: VT  2a 2b 2c  a b c        2 4b 4c 4a 2b c a  Việc lại đơn giản cách tham số a b c b c a c a b 2 4  ; 2 4  ; 2 4  b c a a c a b b a b c c a b c 1        dpcm b c a a b c Bài 11:Cho số thực x, y, z thỏa mãn  x  y  z Tìm giá trị lớn : P  xy  yz  zx 2 x  xyz   y2  z2  Hướng dẫn:Từ giả thiết ta có  y  x  y  z    y  xz  yx  yz  xy  x z  x y  xyz  xy  yz  zx  x y  yz  xyz  xy  yz  zx  xyz  x y  yz  y  x  z P Page | 95 x 2  y2  z2  27 x  2  y2  z2  2  x2  z2 x2  z2 y  2  t t   f t  27 x  y2  z2  27  Với t  a  b2  c  0 1 1 1  ; f ' t    t   f t   f    P 18 27t   18 2 2 Bài 12:Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn a b  b c   3b Tìm giá trị nhỏ của: 4b2 P   2  a  1 1  2b   c  3 f ' t   Hướng dẫn :Điểm rơi a  c  1   2 a b a  b Ta có đánh giá: P  a  1      1 b     c  3     2 a  b     c  3  64    c  5 a  b   Từ ta cần khai thác giả thiết để đánh giá: 3b  a b2  b2 c   a b2  P 64 8 1 1  b2 c    ab  bc    a  b  4 2 2c 1 Bài tập tương tự:Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a  b2  c2  3b  Tìm giá trị nhỏ của: P  a  1  b  2   c  3 Bài 13:Cho số thực a, b, c dương Tìm giá trị nhỏ :P  a  3c 4b 8c   a  2b  c a  b  2c a  b  3c Hướng dẫn: Những toán ta thường đặt ẩn cho mẫu để làm gọn mẫu số:  x  a  2b  c  Đặt  y  a  b  2c , a  3c  kx  ly  mz   k  l  m  a   2k  l  m  b   k  2l  3m  c  z  a  b  3c  k  l  m  k  1    2k  l  m     a  3c   x  y k  2l  3m  l   4b  x  y  z  8c  y  z` Tương tự ta có:  Page | 96 P  x  y x  y  z y  8z y 4x 4z y    17       32  17 x y z x y y z ………………………… Bài 14: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa 2c  b  abc Tìm giá trị nhỏ của:   bca acb abc 3 12 Hướng dẫn:    a  c  b a  b  c 2a a 2   bca abc b 1   acb bca c P P 64   2   a b c a b 12  2c  b  2 4 2 c abc Dấu “=” a  b  c   2 y  x Tìm giá trị nhỏ biểu y   x  x   Bài 15:Cho x, y  R thỏa mãn  thức: P  x  y  x  y  x2  y   y  Hướng dẫnTa thấy   2 x  x  y  x   x   Biểu thức BĐT dạng đối xứng biến nên ta đưa theo s p  Ta có: P  x  y  2  2x2 y2    s  p   p  x  y 2 2   x  y   xy   x y    x  y 2  s  ps  p  2 s s Tới hàm trở nên phức tạp khó xử lý Nên ta thu gọn đánh gái BĐT Dễ thấy x  y  4 Page | 97 x  y P x  y  x  y x  y 2   x  y  x  y  y     5 Dấu “=”  x   0;  ………  6  x  y   Bài 16:Cho số thực dương a, b, c thỏa ab  1; c  a  b  c   Tìm giá trị nhỏ b  2c a  2c   ln  a  b  2c  1 a b 1   Hướng dẫn: P   a  b  2c  1     ln  a  b  2c   1 a 1 b  Ta đoán quy theo a  b  2c biểu thức ln khó biến đổi nhìn biểu thức ta liên tưởng tới BĐT 1 phụ   ab  2 1 a 1 b  ab 1 2 4 16         a  b  ab  ab   ab  a  c  b  c   a  b  2c 2 16  a  b  2c  1 P  ln  a  b  2c   a  b  2c  P Phần lại xin dành cho đọc giả: Bài 17:Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  b2  c2  Tìm giá trị lớn của: P ab2 ac  bc   3 a  b  ab  c  3 a  b  c  36 Hướng dẫn: Điểm rơi toán  2;0;  Ta thấy thằng thứ bị thiếu thằng b nên ta làm xuất thằng b hai phần tử lại Để ý thằng 0( điểm rơi) nên đại lượng cần đánh giá ab2 b   ab  a  b   ab  c    a  b3  ab  c  3 3 a  b  ab  c  3 a  b  c  Đây BĐT nên đánh giá ta cần Ta có: ab2 ab2 b b    3 a  b  ab  c  3 ab  a  b   ab  c  3 a  b  c  a  b  c  P abc  bc  abc2 36 Ta quy hai thằng đầu theo a  b  c nên ta suy nghĩ quy thằng thứ theo a  b  c Page | 98 a  b  c   bc  2bc a   b  c     36 72 72 144 2 a  b  c abc t t2 P     f t  abc2 144 t  144 Với t  a  b  c Ta cần tìm khoảng t :  a  b2  c    a  b  c   t  t  24 Ngoài kiện không âm nên ta có:  a  b  c   a  b2  c   t   t   8; 24    5 P 9 Dấu “=” xảy a  2; b  0; c  Khảo sát hàm số ta f  t   f    Vậy………… Bài 18:Cho số thực a, b, c thỏa a  b2  c2  Tìm giá trị lớn của: P  a  c   ac   ab  a bc5 Hướng dẫn: Điểm rơi toán: a  c  2; b  P  a  c 8  2ac   2ab  a  c   a  c   b2  8    a bc5 a bc5  a  b   c2  a  b  c  a  b  c   2  a  b   2c 2  8  a  b  c   t2   f t  a bc5 a bc5 t 5 Với t  a  b  c   Khoảng t: đánh gía sau quen thuộc a  b2  c  t  t  24 t  a  b2  c   t   t   8; 24  a b c Bài 19Cho số thực a, b, c dương thỏa    Tìm giá trị lớn nhỏ của: b c a b c a P   a b c a   x  b x  y  z    b  Hướng dẫn: Đặt  y  , ta có:  xyz  c   1 xy  yz  zx c  P      xy  yz  zx x y z xyz   z  a Tới quy toán trở nên quen thuộc Page | 99 Bài 20:Cho số thực x, y, z thỏa mãn x  2, y  1, z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P x  y  z   x  y  3 2  y  x  1 z  1 Hướng dẫn: P  x  2   y  1  z    x  1 y  z  1 a  x   Đặt b  y  (tương tự toán 2) c  z  Một số tập luyện tập 1) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x  y   : P  x  y   x  y  2 x   y  Tìm giá trị lớn nhỏ x y 2) Cho số thực x, y thỏa x  y  x   y  Tìm giá trị lớn nhỏ của: P  x  y   x  1 y  1   x  y 2 3) Cho số thực a, b, c  0; 2 thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn của: P  1    xy  yz  zx x y yz zx 4) Cho số thực a, b, c  Tìm giá trị nhỏ của: P  5) Cho số thực a, b, c dương thỏa a  b  c  a b c 8abc   2 b c a a  b b  c c  a  Tìm giá trị nhỏ 1   a b c 6) Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b2  c2  Tìm giá trị nhỏ 1 1 của: P  xy  yz  zx      a b c 7) Cho số thực a, b, c thỏa a  b2  c2  Tìm giá trị lớn nhỏ của: P  ab  bc  ac  ab  bc  ac  8) Cho số thực x, y, z dương thỏa x  y  z  Tìm giá trị nhỏ xy  yz  zx của: p  x  y  z  x  y2  z2 của: P  a  b3  c3  Page | 100 9) Cho số thực a, b, c dương thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ a b2  b2 c  c a  6abc của: P   18 a b2 c ab  bc  ac 10) Cho số thực x, y, z thỏa x  y  z  0; x  y  z  Tìm giá trị lớn của: P  x y z  1 1 11) Cho số thực a, b, c  1; 2 Tìm GTLN của: p   a  b  c      a b c a2 ac  bc   abcc  16 a  b  c  3 13) Cho số thực a, b, c dương thỏa  a  b   c   a  b  c  ac  bc   TÌm giá trị lớn 12) Cho số thực a, b, c không âm thỏa  a  b   c2 2a bc của: P    3a  b2  2a  c   a  b  c  12  a, b  c Tìm giá trị nhỏ   ac  bc  ab 14) Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn  của: P  a3 b  c   b3 a  c   a  b2  c 15) Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  b2  c2  Tìm giá trị lớn 5  2ab  a  b   a  c  của: P   12 3a  b  c  b2 16) Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  b2  c2  13 Tìm giá trị nhỏ  a  b  2c  ab c   của: P  13  2ab 4a  b  c  250 17) Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  b2  c2  13 Tìm giá trị nhỏ a  b  3c c  a  b   6c   P  13  2ab 26  4ac 25 2 18) Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  b  c2  13 Tìm giá trị lớn a  b  3c c P    13  2ab  c  a  b  a  b  c 2     19) Cho số thực a, b, c  thỏa a  b  c  CMR: a  b2  c   216 20) Cho số thực dương a, b, c thỏa của: P  c  a  b  c Tìm giá trị nhỏ a b 2c   2b  c c  2a a  b  c Page | 101 21) Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ của: P  a2 b  c  th P   x2  y  2   a  b  c  a   5ac x, y thỏa  x  y   xy  Tìm giá trị nhỏ biểu  5bc 22) Cho số thực dương b2 ức:   x  y   xy  3xy    2015 x  y  z   3 23) Cho số thực x, y, z thỏa  1 TÌm giá trị lớn của: P  x  y  z  xy  yz  zx  24) Cho số thực x, y thỏa x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhỏ của: P  x  xy  y   25) Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  b2  a  b  Tìm giá trị nhỏ của:  a  b2   P   a a b b ab a  b 5 26) Cho số thực không âm a, b thỏa a  b  TÌm GTLN của: P  xy  xy  To be continue……………………………… Page | 102 [...]... biểu thức này mang giá trị như một hằng số Sau đây chúng ta cùng đến một số ví dụ: Vídụ 1:Cho các số a,b,c là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau: 2a 2b 2c (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2    3 bc a c a b (a  b  c ) 2 Hướngdẫn:Đây là bất đẳng thức thuần nhất, nên ta chuẩn hóaa+b+c=1, t ta có:  a2 2a 2b 2c b2 c2  ( a  b  c) 2 1 1  1    2    2    t  ab  bc  ac ... 2  - - 2 Nội dung: phương pháp này chỉ dành cho bất đẳng thuần nhất Là phương pháp mà ta gán cho một biểu thức bất kì bằng một hằng số Thường ta hay gán cho các giá trị sau : 1/ x  y  z  k 2 / x2  y 2  z 2  k 3 / xy  yz  zx  k 4 / xyz  k a b c Ta không gán cho đại lượng không có bậc Ví dụ:    2 là sai vì ta bc ca ab ngầm hiểu biểu thức này mang giá trị như một hằng số Sau đây chúng... a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng: 1 3 2 1 1 1 (a  b 2  c 2 )      a  b  c  a 2  b 2  c 2 3 3 a b c Hướngdẫn:Đây cũng là một bất đẳng thức thuần nhất, nên ta có thể suy nghĩ tới phép chuẩn hóa Ta thấy ở BĐT này có thành phần căn thức phức tạp nên ta suy nghĩ ngay chuẩn hóa cho thành phần trong căn Vậy ta chuẩn hóa cho a2+b2+c2=1, ta có BĐT thành: 1 3  1 1 1  1 3 (ab  bc... đồng nhất: Page | 22 a b c 3 (các phần tử đều có bậc như nhau và bậc 2 vế là bằng nhau)    bc ca ab 2 a3 b3 c3    a 2  b2  c 2 cb ac ab ………… Vậy quy tắc chuẩn hóa là gì????? Giả sử một bài toán sau:Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng: a 3  b3  c 3    a 2  b 2  c 2  2 3 Lời giải chi tiết: Giả sử a 2  b2  c2  k 2 Đặt x  đẳng thức thành:  x 3  y 3  z 3    x 2  y... 9 a b c x y z Có: 1 1 1 ( x  y  z)2 t2 2 2 2    1  x  y  z  1   1   1 (t  x  y  z  9) a 2 b2 c 2 3 3 7 VP  (t  1) 2 25 Page | 24 t2 7  1  (t  1)2  (t  9)(2t  3)  0 3 25 Bất đẳng thức đã được chứng minh Ví dụ 4:Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng: bc a c a b b c   a    4    a b c  bc a c a b  Ta chứng minh : 1 1  1 1 1  1 Hướng dẫn:BĐT  (a  b...  1 9 9 3 9 3 3 3 2 Nhận xét: Ta thấy, Kĩ thuật cauchy ngược dấu giúp việc đánh giá cauchy thuần túy trở nên dễ dàng hơn đặc biệt là với những bài toán dạng phân thức Ví dụ 3: Cho x, y, z là các số thực dương.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P yz x  2 yz  xy zx  y  2 zx z  2 xy (dự bị KB-2010) Hướng dẫn: Cách 1:Ta thấy  3 1 3 1 x y z x y z P            2 2  x  2 yz y  2...  a  b  c   a  b  c  ý,     ,từ đó ta nãy ra ý tưởng đánh giá thằng abc  3 3 3       (Chú ý đây là đại lượng rất yếu nên việc đánh giá nó là rất dễ).Ở mục những công thức bổ trợ tôi thấy có công thức 3 là đánh giá theo chiều ong muốn nên tôi áp dụng nó Có: 2 2  ab  bc  ac  3  a  b  c  abc   ab  bc  ac   abc    3   2 6  a 2  b2  c 2   ab  bc  ac   a 2... abc a b c Ví dụ 3: Cho các số Page | 13 a, b, c dương thỏa a  b  c  3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 2  2 2 a b c abc 2 Hướng dẫn: Nhận xét:đây là một BĐT đối xứng nên điểm rơi dự đoán rơi vào tâm có khả năng cao Ta tìm cách đánh giá đưa BĐT trên về một biến Ta thấy , phần tử thức hai có thể đưa được theo a  b  c nên ta tìm cách đánh giá BĐT theo a  b  c Thoạt thấy 2 12 2 còn... a 2  b2  c2   a  b  c   3  a 2b  b2 c  c 2 a  Bài 66:Cho các số thực dương a, b, c thỏa ab  bc  ac  3 CMR: 1 1 1 1    2 2 2 1  a  b  c  1  b  a  c  1  c  a  b  abc B BẤT ĐẴNG THỨC MINKOWSKY Trong chương trình học chúng ta chỉ đi xung quanh BĐT dành cho 2 và 3 số Chúng ta quen gọi nó là BĐT vector vì nó được chứng minh rất dễ dàng bằng việc sử dụng Vector trong các hệ trục... abc c  abc 2 2 Hướng dẫn: Ta có: 3  a  b  c  3 3 abc  abc  1 Vậy nên ta đánh giá được: VT  1 1 1   a 2  1 b2  1 c 2  1 Tới đây việc dánh giá các đại lượng trội nằm dưới mẫu theo chiều BĐT đề bài là không dễ Mặc khác vì điểm rơi nên dự đoán các đại lượng mẫu có thể AM-GM với nhau nhưng bị ngược dấu nếu đánh giá trực tiếp Và đây, cauchy ngược dấu sẽ hạn chế nó Thật vậy, ta có: VT   a2 1