MAI THỊ QUỲNH 0976.93.93.89 & 09.434.123.68 Bài 5: TP.HCM Cho đường tròn (O) có tâm O điểm M nằm đường tròn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME MBO + MCO = 0 K = 90 + 90 = 180 => Tứ giác MBOC nội tiếp E B’ (vì có tổng góc đối =180 ) C =>4 điểm M, B, O, C thuộc đường tròn 2) Chứng minh ME = R: Ta có MB//EO (vì vuông góc với BB’) => ∠ O1 = ∠ M1 (so le trong) Mà ∠ M1 = ∠ M2 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => ∠ M2 = ∠ O1 (1) MAI THỊ QUỲNH 0976.93.93.89 & 09.434.123.68 C/m MO//EB’ (vì vuông góc với BC) => ∠ O1 = ∠ E1 (so le trong) (2) Từ (1), (2) => ∠ M2 = ∠ E1 => MOCE nội tiếp => ∠ MEO = ∠ MCO = 900 => ∠ MEO = ∠ MBO = ∠ BOE = 900 => MBOE hình chữ nhật => ME = OB = R (điều phải chứng minh) bán kính đường tròn ĐĂKLĂK Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D E trung điểm đoạn AD EC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh rằng: 1) Tứ giác OEBM nội tiếp 2) MB2 = MA.MD · · 3) BFC = MOC 4) BF // AM Giải 1) Ta có EA = ED (gt) ⇒ OE ⊥ AD ( Quan hệ đường kính dây) · · ⇒ OEM = 900; OBM = 900 (Tính chất tiếp tuyến) E B nhìn OM góc vuông ⇒ Tứ giác OEBM nội tiếp A · » ( góc nội tiếp chắn cung BD) MBD = sđ BD · » ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung MAB = sđ BD · · ⇒ MBD Xét tam giác MBD tam giác MAB có: = MAB 2) Ta có Góc M chung, ⇒ MB2 dạng với F C chắn cung BD) ∆MAB ⇒ B D MB MD = MA MB = MA.MD · 1 · · » ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); BFC » MOC = BOC = sđ BC = sđ BC 2 · · (góc nội tiếp) ⇒ BFC = MOC · · Tứ giác MFOC nội tiếp ( F$ + Cµ = 1800) ⇒ MFC ( hai góc nội tiếp chắn = MOC 1) Ta có: 2) · · ⇒ ∆MBD đồng MBD = MAB O E M · · · · ⇒ BF // AM cung MC), mặt khác MOC (theo câu 3) ⇒ BFC = BFC = MFC HẢI DƯƠNGCho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC < BC (C ≠ A) Các tiếp tuyến B C (O) cắt điểm D, AD cắt (O) E (E ≠ A) 1) Chứng minh BE2 = AE.DE 2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB H, DO cắt BC F Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp 1) Gọi I giao điểm AD CH Chứng minh I trung điểm CH TUYÊN QUANG MAI THỊ QUỲNH 0976.93.93.89 & 09.434.123.68 Trên đường tròn (O) lấy hai điểm M, N cho M, O, N không thẳng hàng Hai tiếp tuyến M , N với đường tròn (O) cắt A Từ O kẻ đường vuông góc với OM cắt AN S Từ A kẻ đường vuông góc với AM cắt ON I Chứng minh: a) SO = SA b) Tam giác OIA cân · ¶ Vì AM, AN tiếp tuyến nên: MAO = SAO ¶ = SOA ¶ (so le trong) Vì MA//SO nên: MAO ¶ = SOA ¶ ⇒ ∆ SAO cân Từ (1) (2) ta có: SAO (2) ⇒ SA = SO (đ.p.c.m) A M S I O N · · Vì AM, AN tiếp tuyến nên: MOA = NOA (3) Vì MO // AI nên: góc MOA góc OAI (so le trong) (4) ⇒ ∆ OIA µ µ Từ (3) (4) ta có: cân (đ.p.c.m) IOA = IAO HÀ NỘI Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB 1) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp · · 2) Chứng minh ACM = ACK 3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C 4) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP.MB =R MA thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Chứng minh đường M H C E A K O B MAI THỊ QUỲNH 0976.93.93.89 & 09.434.123.68 1) Ta có · HCB = 900 ( chắn nửa đường tròn đk AB) · HKB = 900 (do K hình chiếu H AB) · · => HCB + HKB = 1800 nên tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đường kính HB 2) Ta có ·ACM = ·ABM (do chắn ¼AM (O)) · · ¼ đtròn đk HB) ·ACK = HCK (vì chắn HK = HBK Vậy ·ACM = ·ACK » = 900 3) Vì OC ⊥ AB nên C điểm cung AB ⇒ AC = BC sd »AC = sd BC Xét tam giác MAC EBC có · · ¼ (O) MA= EB(gt), AC = CB(cmt) MAC = MBC chắn cung MC ⇒MAC EBC (cgc) ⇒ CM = CE ⇒ tam giác MCE cân C (1) · » = 900 ) Ta lại có CMB = 450 (vì chắn cung CB · · = CMB = 450 (tính chất tam giác MCE cân C) ⇒ CEM · · · · + CEM + MCE = 1800 (Tính chất tổng ba góc tam giác)⇒ MCE = 900 (2) Mà CME Từ (1), (2) ⇒tam giác MCE tam giác vuông cân C (đpcm) 4) Gọi S giao điểm BM đường thẳng (d), N giao điểm BP với HK Xét ∆PAM ∆ OBM : AP.MB AP OB =R⇔ = MA MA MB · PAM = ·ABM (vì chắn Theo giả thiết ta có (vì có R = OB) Mặt khác ta có cung ¼ AM (O)) ⇒ ∆PAM ∽ ∆ OBM AP OB = = ⇒ PA = PM (do OB = OM = R) (3) PM OM · · AMB = 90 (do chắn nửa đtròn(O)) ⇒ AMS = 90 · · + PSM = 90 tam giác AMS vuông M ⇒ PAM ⇒ Vì ⇒ · · PMA + PMS = 90 · · Mà PM = PA(cmt) nên PAM = PMA Từ (3) (4) ⇒ PA = PS hay P trung điểm AS · · ⇒ PMS = PSM ⇒ PS = PM (4) Vì HK//AS (cùng vuông góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có: NK BN HN = = PA BP PS hay NK HN = PA PS mà PA = PS(cmt) ⇒ NK = NH hay BP qua trung điểm N HK (đpcm) THÀNH PHỐ CẦN THƠ Cho đường tròn ( O ) , từ điểm A đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB AC ( B, C tiếp điểm) OA cắt BC E Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp Chứng minh BC vuông góc với OA BA.BE = AE.BO Gọi I trung điểm BE , đường thẳng qua I vuông góc OI cắt tia · · AB, AC theo thứ tự D F Chứng minh IDO ∆DOF cân O = BCO MAI THỊ QUỲNH 0976.93.93.89 & 09.434.123.68 Chứng minh F trung điểm AC Giải Tam giác BOC cân tại O => góc OBC = góc OCB Tứ giác OIBD có góc OID = góc OBD = 900 nên OIBD nội tiếp => góc ODI = góc OBI · · Do đó IDO = BCO Lại có FIOC nội tiếp ; nên góc IFO = góc ICO Suy góc OPF = góc OFP ; vậy ∆DOF cân O HD C4 Xét tứ giác BPFE có IB = IE ; IP = IF ( Tam giác OPF cân có OI là đường cao=> ) Nên BPEF là Hình bình hành => BP // FE Tam giác ABC có EB = EC ; BA // FE; nên EF là ĐTB của tam giác ABC => FA = FC Hà Nam Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn (O) A lấy điểm M ( M khác A) Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C tiếp điểm) Kẻ CH vuông góc với AB ( H ∈ AB ), MB cắt (O) điểm thứ hai K cắt CH N Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKNH tứ giác nội tiếp b) AM2 = MK.MB c) Góc KAC góc OMB d) N trung điểm CH Lạng Sơn Cho đường tròn (O) Đường thẳng (d) không qua tâm (O) cắt đường tròn hai điểm A B theo thứ tự, C điểm thuộc (d) đường tròn (O) Vẽ đường kính PQ vuông góc với dây AB D ( P thuộc cung lớn AB), Tia CP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác góc đỉnh I tam giác AIB d) Cho ba điểm A, B, C cố định Đường tròn (O) thay đổi qua A B Chứng minh IQ qua điểm cố định Phú Thọ Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt tại điểm thứ là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N a) CMR: ∆ABC=∆DBC b) CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng d) Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) cho đoạn MN có độ dài lớn nhất Giải MAI THỊ QUỲNH 0976.93.93.89 & 09.434.123.68 a) Có AB = DB; AC = DC; BC chung ⇒ ∆ABC = ∆DBC (c-c-c) b) ∆ABC = ∆DBC ⇒ góc BAC =BDC = 900 ⇒ ABDC là tứ giác nội tiếp c) Có gócA1 = gócM1 ( ∆ABM cân tại B) gócA4 = gócN2 ( ∆ACN cân tại C) gócA1 = gócA4 ( cùng phụ A2;3 ) gócA1 = gócM1 =gócA4= gócN2 gócA2 = gócN1 ( cùng chắn cung AD của (C) ) A Lại có A1+A2 + A3 = 900 => M1 + N1 + A3 = 900 Mà ∆AMN vuông tại A => M1 + N1 + M2 = 900 M => A3 = M2 => A3 = D1 B ∆CDN cân tại C => N1;2 = D4 D2;3 + D1 + D4 =D2;3 + D1 + N1;2 = D2;3 + M2 + N1 + N2 = 900 + M2 + N1 + M1 ( M1 = N2) = 900 + 900 = 1800 D M; D; N thẳng hàng d) ∆AMN đồng dạng ∆ABC (g-g) Ta có NM2 = AN2 +AM2 để NM lớn nhất thì AN ; AM lớn nhất Mà AM; AN lớn nhât AM; AN lần lượt là đường kính của (B) và (C) Vậy AM; AN lần lượt là đường kính của (B) và (C) thì NM lớn nhất Hưng Yên 2 C N Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S, gọi BC OS cắt M a) Chứng minh AB MB = AE.BS b) Hai tam giác AEM ABS đồng dạng c) Gọi AM cắt EF N, AS cắt BC P CMR NP vuông góc với BC Giải a Suy từ hai tam giác đồng dạng ABE BSM b.Từ câu a) ta có AE MB = AB BS (1) Mà MB = EM( tam giác BEC vuông E có M trung điểm BC AE EM = AB BS · · · · · · = BAE, EBA + BAE = 900 , MBO + MOB = 900 Có MOB · · · · · = OBA( = MBE) Nên MBO MEB = EBA Nên · · Suy MEA (2) = SBA Từ (1) (2) suy hai tam giác AEM ABS đồng dạng(đpcm.) a) Dễ thấy SM vuông góc với BC nên để chứng minh toán ta chứng minh NP //SM MAI THỊ QUỲNH 0976.93.93.89 & 09.434.123.68 + Xét hai tam giác ANE APB: · · Từ câu b) ta có hai tam giác AEM ABS đồng dạng nên NAE , = PAB · · Mà AEN ( tứ giác BCEF nội tiếp) = ABP Do hai tam giác ANE APB đồng dạng nên Lại có Suy AM AE = ( hai AS AB AM AN = nên AS AP AN AE = AP AB tam giác AEM ABS đồng dạng) tam giác AMS có NP//SM( định lí Talet đảo) Đồng Nai Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH, đường tròn cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E 1/ Chứng minh tứ giác BDEC tứ giác nội tiếp đường tròn 2/ Chứng minh điểm D, O, E thẳng hàng 3/ Cho biết AB = cm, BC = cm Tính diện tích tứ giác BDEC A E O D C B Giải 1/ Nối H với E + ∠HEA = 900 ( AH đường kính), ∠AHC = 900 ( AH đường cao) => ∠AHE = ∠ACB (cùng phụ với ∠EHC ) (1) + ∠ADE = ∠AHE ( góc nội tiếp chắn cung AE) (2) Từ (1) (2) => ∠ ADE = ∠ ACB =>Tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn ( có góc đối góc kề bù góc đối) 2/ Vì ∠DAE = 900 => DE đường kính => D, O, E thẳng hàng (đpcm) 3/ Ta có S BDEC = S∆ABC − S∆ADE + ∆ABC vuông có AH đường cao: H AC = BC − AB = 4cm DE = AH = AB AC 12 = BC => s∆ABC = AB AC =6 (cm2) (cm) ( đường kính đt O) + ∆ ADE ∆ ABC có : ∠ A chung , ∠ ADE = ∠ ACB ( câu 1) => ∆ ADE ~ ∆ ABC (g.g) => tỉ số diện tích bình phương tỉ đồng dạng : + S∆ABC DE S ∆AED DE = ⇔ S = ∆AED ÷ S ∆ABC BC BC S BDEC = S ∆ABC − S ∆ADE = S ∆ABC (1 − DE 122 ) = 6(1 − )= BC 52.52 4,6176 (cm2) Thanh Hóa Cho tam tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M MAI THỊ QUỲNH 0976.93.93.89 & 09.434.123.68 ( M không trùng B ; C; H ) Từ M kẻ MP ; MQ vuông góc với cạnh AB ; AC ( P thuộc AB ; Q thuộc AC) 1- Chứng minh :Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn 2- Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH ⊥ PQ 3- Chứng minh : MP +MQ = AH Quảng Ninh Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AC lấy điểm D (D ≠ A, D ≠ C) Đường tròn (O) Đường kính DC cắt BC E (E ≠ C) Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh ED tia phân giác góc AEI Giả sử tg ABC = Tìm vị trí D AC để EA tiếp tuyến đường tròn đường kính DC Khánh Hòa Cho tam giác ABC có ba góc nhọn H trực tâm.Vẽ hình bình hành BHCD.Đường thẳng qua D song song BC cắt đường thẳng AH E 1) Chứng minh A,B,C,D,E thuộc đường tròn 2) Chứng minh ∠BAE = ∠DAC 3) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M trung điểm BC,đường thẳng AM cắt OH G.Chứng minh G trọng tâm tam giácABC 4) Giả sử OD = a.Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a Giải câu c) Vì BHCD HBH nên H,M,D thẳng hàng Tam giác AHD có OM ĐTBình => AH = OM Và AH // OM tam giác AHG MOG có ∠HAG = ∠ OMG ( slt ) ∠AGH = ∠ MGO (đ đ) ∆AHG∞∆MOG (G − G ) AH AG ⇒ = =2 MO MG Hay AG = 2MG Tam giác ABC có AM trung tuyến; G ∈ AM Do G trọng tâm tam giác ABC d) ∆BHC = ∆ BDC ( BHCD HBH) có B ;D ;C nội tiếp (O) bán kính a Nên tam giác BHC nội tiếp (K) có bán kính a Do C (K) = 2π a ( ĐVĐD) Bình Định A H G B O C M E D MAI THỊ QUỲNH 0976.93.93.89 & 09.434.123.68 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AK.AH = R2 Trên KN lấy điểm I cho KI = KM, chứng minh NI = KB Giải aTứ giác BCHK tứ giác nội tiếp Ta có : ·AKB = 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) · · = 900 ; HCB = 900 ( gt ) hay HKB · · + HCB = 900 + 900 = 1800 Tứ giác BCHK có HKB ⇒ tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp a) AK AH = R AC AH R = ⇒ AK AH = AC AB = ×2 R = R Dễ thấy ΔACH ∽ ΔAKB ( g.g ) ⇒ K M E H I A AK b) NI = KB ∆OAM ∆OAM M ( 2) AB OA = OM = R ( gt ) ⇒ ∆OAM C O O ( 1) có cân có MC đường cao đồng thời đường trung tuyến (gt) N ⇒ ∆OAM cân · · · ( 1) & ( ) ⇒ ∆OAM tam giác ⇒ MOA = 600 ⇒ MON = 1200 ⇒ MKI = 600 · ∆KMI tam giác cân (KI = KM) có MKI = 600 nên tam giác ⇒ MI = MK ( 3) Dễ thấy ∆BMK ⇒ MN = MB ( ) cân B có 1· · MBN = MON = ×1200 = 600 2 nên tam giác Gọi E giao điểm AK MI · · NKB = NMB = 600 · · ⇒ NKB = MIK ⇒ KB // Dễ thấy · MIK = 60 nhau) mặt khác AK ⊥ KB ( cmt ) nên AK ⊥ MI · HAC = 900 − ·AHC · · · · HME = 90 − MHE cmt ( ) ⇒ HAC = HME Ta có : ·AHC = MHE · ( dd ) · · · · = KMB ( 5) hay NMI ⇒ HME = KMB MI (vì có cặp góc vị trí so le E mặt khác ( 3) , ( ) & ( 5) ⇒ ∆IMN = ∆KMB ( c.g.c ) ⇒ NI = KB (đpcm) · · ⇒ HME = 900 − MHE · · HAC = KMB (cùng chắn » ) KB B