Đang tải... (xem toàn văn)
kỹ năng giải hệ phương trìnhgiải hệ phương trình bằng phương pháp thếcách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại sốgiải hệ phương trình bằng bất đẳng thứccac ky thuat giai he phuong trinhkỹ thuật giải hệ phương trình toánmột số kỹ thuật giải hệ phương trìnhgiải hệ phương trình bằng casio giải hệ phương trình trong đề thi đại học
Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI KÍNH LÚP TABLE Tập 5: Ưng chảo thủ Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải 2 2 xy x y y 5x y y Bài 1: Giải hệ phương trình: x y 3x PHÂN TÍCH CASIO Từ phương trình 2, ta y x2 3x vào phương trình 1: x x 3x x x 3x x 3x 5x x 3x x 3x SHIFT CALC với x ta thu nghiệm x 3.732050808 Với x 3.732050808 ta có y x2 3x 4.732050808 y x Thay y x vào hệ phương trình ta được: 2 2 xy x y y 5x y y x x x x y 3x x 4x Vậy lấy x.PT PT1 ta thu nhân tử y x ☺Bài giải: Điều kiện xác định: x , y 2 2 xy x y y 5x y y Ta có: x y 3x xy x2 y y 5x2 y y x x2 y 3x x3 xy2 x2 y y 2x2 y xy 2x y x3 y x2 y y x y y y PHÂN TÍCH CASIO Đặt y 100 , ta có: x3 y x2 y y x y y y x3 98x2 9902x 990099 , sử dụng máy tính ta nghiệm x 99 Lập lược đồ Hoorne phân tích nhân tử: 98 990099 9902 x 99 1 10001 Do đó: x3 98x2 9902x 990099 x 99 x2 x 10001 x 100 1 x2 x 10000 x 100 1 x2 x 1002 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải Ta có: x y x y y x y y y x y 1 x x y y x (Vì x x y Vì y 100 ta có: x y 1 x2 x y 2 2 2 0x, y ) Thay y x vào phương trình thứ hai ta có: x y 3x x x x Với x y x Với x y x Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm x; y 3; ; 3; Bình luận: Mấu chốt toán nằm việc đánh giá y x sau thay vào hệ phương trình ta mối quan hệ: x.PT PT1 Tuy nhiên nhóm biểu thức dạng dễ nhận diện, truy giá trị x nhân thêm với phương trình cách xét: PT x3 x2 x PT x2 x Sử dụng công cụ CALC với giá trị x 100 ta kết 100 Vậy: PT x3 4x2 x 100 x x.PT PT1 PT x2 x Tất nhiên toán đơn giản, toán có cách kết nối hai phương trình khó Chú ý: Giá trị x y 2x y sử dụng đánh giá y 1 PT PT kết nối hai phương trình sau: x y 1 PT PT Như có nhiều cách kết nối hai phương trình tùy vào tình toán ta có cách đánh giá khác 2 3 2 x y x y xy x y x y Bài 2: Giải hệ phương trình: 2 x y PHÂN TÍCH CASIO Từ phương trình 2, ta có y x2 Xét y x2 , thay vào phương Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải trình ta có: 3 x3 x2 x2 x2 x x2 x3 x2 x2 x2 x y Sử dụng SHIFT CALC ta thu cặp nghiệm: x y Do mối quan hệ biểu thức cần tìm x y hay y x x x x Thay y x vào hệ phương trình ta được: 2 x x x4 x3 x2 PT1 PT xuất nhân tử x y Vì x2 x ☺Bài giải: Điều kiện xác định: x , y 2 3 2 x y x y xy x y x y 2 x y x y 1 x x3 y 2x2 y xy x3 y 2x2 y x2 y x4 y x3 y xy3 x3 y3 0 y3 Trường hợp 1: x y hay y x Thay y x vào phương trình ta x y được: x x x y Trường hợp 2: x3 y y x Thay y x vào phương trình hai ta được: x2 x ,y x ,y 2 2 Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm phân biệt: x; y 1; , 0;1 , ; , ; 2 2 Chú ý: Nếu nghiệm tìm lúc đầu ta tìm định hướng giải toán cho hệ phương trình: PHÂN TÍCH CASIO Từ phương trình 2, ta có y x2 Xét y x2 , thay vào phương trình ta có: 3 x3 x2 x2 x2 x x2 x3 x2 x2 x2 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải Sử dụng SHIFT CALC ta thu nghiệm x 0.707106781 Thay x 0.707106781 ta có y x2 0.707106781 x Do mối quan hệ biểu thức cần tìm x y hay y x x x Thay y x vào hệ phương trình ta được: 2 x Vì x2 x4 x2 PT1 PT xuất nhân tử x y ☺Bài giải: Điều kiện xác định: x , y 2 3 2 x y x y xy x y x y 2 x y x y 1 x x3 y 2x2 y xy x3 y 2x2 y x2 y x4 y x3 y xy3 x3 y3 0 y3 Trường hợp 1: x y hay y x Thay y x vào phương trình ta x y được: x x x y Trường hợp 2: x3 y y x Thay y x vào phương trình hai ta được: x2 x ,y x ,y 2 2 Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm phân biệt: x; y 1; , 0;1 , ; , ; 2 2 Bình luận: Bài toán có bốn cặp nghiệm bao gồm cặp nghiệm hữu tỷ cặp nghiệm vô tỷ Và để tìm mối quan hệ hai biến số ta ý sau: Nếu hai biến số có nghiệm vô tỷ cần cặp nghiệm vô tỷ, ta tìm mối quan hệ hai biến số Nếu hai biến số có nghiệm hữu tỷ ta cần cặp nghiệm hữu tỷ tìm mối quan hệ Tìm nghiệm hệ phương trình công việc vô quan trọng, thông thường chọn phương trình có bậc tối đa bậc đối Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải với biến số, ta sử dụng phương pháp để tìm nghiệm phương trình 2 x 3x y y y Bài 3: Giải hệ phương trình: 2 15x y x xy 12 PHÂN TÍCH CASIO Từ phương trình 2, ta có x Chọn x y 59 y y 181 15 y 59 y y 181 15 2 y 59 y y 181 15 3 thay vào phương trình ta có: 3 y 59 y y 181 15 3y2 y y Sử dụng SHIFT CALC ta thu nghiệm y 1.485177807 Thay y 1.485177807 ta x y 59 y y 181 0.3234518715 15 Chú ý 0.3234518715 1.485177807 2 y 3x Thay y 3x vào hai phương trình ta được: 27 2 x 4x 2 x 3x y y y 2 27 x 16 x 15x y x xy 12 Như ta thấy: 4.PT PT1 ta có nhân tử y 3x ☺Bài giải: 1 Điều kiện xác định: x ; y 2 2 x 3x y y y Ta có: 2 15x y x xy 12 2x 3x 3y y y 15x2 y 2x 2xy 12 15x2 y 10 x xy y 3x y 5x y 3x y 3x y 3x y 0 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải (*) 3x y 5x y x y 1 Vì x ; y 5x y 5x y 0 3 3x y Vậy (*) y 3x Thay vào phương trình thứ hai ta được: 27 x2 16x x 8 70 8 70 (Thỏa mãn) x (Không 27 27 thỏa mãn điều kiện) Với x 8 70 3x 70 ta có y 27 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x 8 70 70 ,y 27 Bình luận: Nút thắt lớn toán nằm chỗ mối quan hệ y 3x thay vào hai phương trình hệ ban đầu Vấn đề 1: Để tìm mối liên hệ biến số, tư theo cách khác sau: Trong có hai biểu thức chứa nên ta đặt giả thiết: 3x y y 3x Vấn đề 2: Để tìm mối liên hệ biến số, ta xuất phát từ nghiệm vô tỷ: x 0.3234518715, y 1.485177807 Nếu việc phát mối quan hệ y 3x gặp trở ngại, ta sử dụng máy tính để tìm sau: Gán giá trị x 0.3234518715 vào biến A , y 1.485177807 vào biến B Sử dụng công cụ TABLE với F X AX B START = 3 END = STEP = 0.5 Khi dựa vào bảng giá trị TABLE hình bên ta kết luận sau: Tại giá trị X 1.5 ta có: F X AX B 0.999999999998 Do ta đánh giá: X 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 F X 0.353 0.5148 0.6765 0.8382 0.9999 1.1617 1.3234 1.4851 1.6469 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải 1.5A B 3A 2B 3A 2B Chú ý rằng: x 0.3234518715 A y 1.485177807 B Do đó: y 3x 1.5 2.5 1.8086 1.9703 2.132 2.2938 2.4555 Vấn đề 3: Sau có mối quan hệ y 3x , ta mối liên kết hai phương trình cách tư sau: 3x Đặt x 100 y 151 Thay vào hệ phương trình ta được: 2 2 x 3x y y y 67898 2 271592 15x y x xy 12 271592 Vì 4 4.PT PT1 ta có nhân tử y 3x 67898 2 y y x 1 Bài 4: Giải hệ phương trình: 3 2 x y x y x y y PHÂN TÍCH CASIO Từ phương trình hệ , ta rút x 2 y y vào phương trình thứ hệ ta có: 2 y y 2 y y 2 y y 2 y2 y3 y y 3 SHIFT CALC với x ta thu nghiệm x 1,380199322 2 y y 0,1900996612 y 2x Thay y 2x vào hệ phương trình ta được: Với y 1,380199322 ta có x 8 x x 2 y y x 1 3 2 8 x x x 2 x y x y x y y Vậy lấy x.PT1 PT ta thu nhân tử y 2x ☺Bài giải: Điều kiện xác định: x , y 2 y y x 1 Ta có hệ: 3 2 x y x y x y y Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải x y x y x y y x y y 3x 2x3 y 6x y x2 y y 2xy xy 3x2 3x y 2x 1 y x2 x y 2x3 3x2 3x PHÂN TÍCH CASIO Thay giá trị x 100 vào phương trình ta có: y 2x 1 y x2 x y 2x3 3x2 3x y3 201y 10101y 2030301 , sử dụng máy tính ta nghiệm y 201 Lập lược đồ Hoorne phân tích nhân tử: y 201 201 10101 10101 2030301 Do đó: y3 201y2 10101y 2030301 y 201 y 10101 y 200 1 y y 200 1 y 10000 100 Vì x 100 ta có: y 2x 1 y 1002 100 x2 x Ta có: y 2x 1 y x2 x y 2x3 3x2 3x y 2x y x 1 y x x (*) y x x Do x2 x y 0x, y nên (*) y 2x Thay y 2x vào phương trình thứ hệ ta có: x 1 x x 1 8x2 9x x 9 145 16 9 145 1 145 y 2x 16 9 145 1 145 Với x y 2x 16 Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm x; y 9 16145 ; 1 145 ; 9 16145 ; 1 145 Với x 10 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải Bình luận: Bài toán thường gặp khó khăn việc tìm mối liên hệ giá trị x y Do bạn đọc cần phải nắm vững cách tìm mối liên hệ thông dụng nhất: Gán giá trị x 0,1900996612 vào biến A , y 1,380199322 vào biến B Rồi dùng tính TABLE với F X AX B máy tính để tìm mối quan hệ Cách thức an toàn xác 3 2 x y 3xy x 1 Bài 5: Giải hệ phương trình: 3x x y PHÂN TÍCH CASIO Từ phương trình thứ hệ , ta rút y 3x2 x vào phương trình thứ hệ ta có: 2x3 3x2 x 3x 3x2 x x 1 2 SHIFT CALC với x ta thu nghiệm x y 1 y 3 Do mối quan hệ biểu thức cần tìm y 2x SHIFT CALC với x ta thu nghiệm x Thay y 2x vào hệ phương trình ta được: 3 2 x y 3xy x 1 6 x x x 3x x y 3x x Đến khó khăn phát mối quan hệ phương trình để ý kỹ ta nhận thấy 2x 1 3x2 x 6x3 x2 x mà y 2x Vậy lấy y.PT PT1 ta thu nhân tử y 2x ☺Bài giải: Điều kiện xác định: x , y 3 2 x y 3xy x 1 Ta có hệ: 3x x y 2x3 y 3xy x 1 y 3x2 x y 11 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm nhất: x y y x 14 3 x x Bài 19: Giải hệ phương trình: 2 2 x 3x y x x x PHÂN TÍCH CASIO x Ta nhận thấy từ điều kiện hệ phương trình Nhưng ta x x thay giá trị vào phương trình thứ hai hệ không thỏa mãn x từ phương trình thứ hai hệ rút y x 3x x x2 x thay vào phương trình thứ hệ: x 3x x x 14 3 x x 2 x2 x Sử dụng SHIFT CALC ta thu nghiệm là: x Kiểm tra điều kiện nghiệm kép Xét: X X 3X X 1,5 F X X 14 1,6 X2 X 1,7 3 9X X 1,8 1,9 Xét giá trị: START = 1,5 2,1 END = 2,4 2,2 STEP = 0.1 2,3 Qua bảng giá trị trên, ta nhận thấy nghiệm 2,4 nằm lân cận giá trị đồng thời hàm số F X 1,653447 0,907056 0,449890 0,179967 0,041129 0,035553 0,13391 0,285561 0,483770 có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành Vì nghiệm x nghiệm kép phương trình Do toán có nghiệm kép dùng phép ẩn y vào phương trình thứ hệ Do toán hoàn toàn sử dụng đẳng thức đánh giá bất đẳng thức AM – GM để giải toán Ta thay giá trị x vào biểu thức y ta thấy: 38 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải y x 3x x x2 x x2 x y Hơn ta thay giá trị x vào biểu thức: Do mối quan hệ x y y x2 x Vì kết hợp phương trình cần phải có y x x Ngoài nghiệm x nghiệm kép toán nên cần tạo đẳng thức x Đến thành phần x thành đẳng thức 4x Khi ta kết nối hai phương trình hệ ta nhận thấy hệ số y x x nên cần phải nhân phương trình hai hệ với cộng vế với vế hai phương trình hệ để có y x x ; x 4x ☺Bài giải: x Điều kiện xác định: x y x 14 3 x x Ta có hệ phương trình: 2 2 x 3x y x x x Nhân hai vế phương trình hai hệ với cộng vế với vế hai phương trình hệ phương trình ta có: x2 x y x 14 3 x2 x y x2 x x 2 x2 y x 16 y x x 4x 3 x x 2 y y x2 x x2 x x x 16 x 3 x x 2 y 4x 1 4x x 4x 4 72 x 9x 92 x x x x x x x x (*) 2 y x2 x 2 2 2 3 2 39 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải Do y x2 x 4x x 0x; y nên 3 x2 x x 2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta nhận thấy: 3x 3x 3 9x2 x 3 x 1 2x x 2 2 Dấu “=” xảy x x x 2 y x2 x 4x x Do phương trình (*) x ( Thỏa mãn) y 7 x 9x x Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm nhất: x y y 10 x x Bài 20: Giải hệ phương trình: 2 x 3x y x x 3x PHÂN TÍCH CASIO Ta nhận thấy từ điều kiện hệ phương trình x x Nhưng ta thay giá trị vào phương trình thứ hai hệ nhận thấy không thỏa mãn từ phương trình thứ hai hệ rút y x 3x x 3x 2x vào phương trình thứ hệ: x 3x x 3x 10 x x 2x Sử dụng SHIFT CALC ta thu nghiệm là: x Kiểm tra điều kiện nghiệm kép Xét: X X 3X X X 0,5 3 F X 0,6 2X 0,7 40 F X ERROR 0,565617 0,308078 thay Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải 0,8 0,9 1,1 1,2 1,3 1,4 2 10X 2X 0,13573 0,033884 0,03410 0,137239 0,310949 0,5571218 Xét giá trị: START = 0,5 END = 1,4 STEP = 0.1 Qua bảng giá trị trên, ta nhận thấy nghiệm nằm lân cận giá trị đồng thời hàm số có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành Vì nghiệm x nghiệm kép phương trình Do toán có nghiệm kép dùng phép ẩn y vào phương trình thứ hệ Do toán hoàn toàn sử dụng đẳng thức đánh giá bất đẳng thức AM – GM để giải toán Ta thay giá trị x vào biểu thức y ta thấy: y x 3x x 3x 2x 1 2x y Hơn ta thay giá trị x vào biểu thức: Do mối quan hệ x y y x Vì kết hợp phương trình cần phải có y x Ngoài nghiệm x nghiệm kép toán nên cần tạo đẳng thức x 1 Đến thành phần x2 3x Do toán có nghiệm kép x nên tạo liên hợp nghiệm kép với thành phần Giả sử liên hợp với x2 3x ax b a b nghiệm hệ a b a phương trình: b b Do liên hợp với x2 3x x hay 5x x2 3x 4 Trước ta kết nối hai phương trình hệ ta nhận thấy hệ số y x nên cần phải nhân phương trình hai hệ với cộng vế với vế hai phương trình hệ để có y x x 1 2 41 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải liên hợp nghiệm kép 5x x2 3x ☺Bài giải: y 10 x x Ta có hệ phương trình: 2 x 3x y x x 3x Nhân hai vế phương trình hai hệ với cộng vế với vế hai phương trình hệ phương trình ta có: Điều kiện xác định: x 2x2 6x y 10 x2 x y x x2 3x 2x2 6x y y 2x x2 3x 10x2 2x y y 2x 2x 1 2x2 4x x2 3x 10x2 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y Do y x 1 x x2 3x 10 x2 x x 1 5x x 3x 3x 10 x x 2 5x 3 16 x2 3x x 1 3x 10 x x 5x x 3x 2 2 x 1 x2 18 x 3x 10 x x 5x x 3x 2 x 1 2 x x 1 3x 10 x x (*) 5x x 3x 2 x 1 2 x x 1 0x ; y R nên 2 5x x 3x 2 10 x2 x 3x Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta nhận thấy: x 5x 10 x2 x 80 x2 16 x x 5x 1 3x Dấu “=” xảy 4x 5x x 42 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải y 2x x Do phương trình (*) x ( Thỏa mãn) y 1 3x 10 x x Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm nhất: x y Chú ý: Ngoài cách xử lý làm theo cách sau: Cách 2: Do biểu thức Hơn x2 3x khó đánh giá nên giải theo cách 10 x2 x 80 x2 16 x x 5x 1 x 5x 3x Nên dư lại thành phần: 5x x2 3x Chúng ta đánh giá xét hàm f ( x) 5x x2 3x với x 4x Ta có: f ' ( x) x 3x x x x 3x Ta có bảng xét dấu: x f ' x + Từ bảng xét dấu ta thấy f x f 1 Do 5x x2 3x x Và 5x x2 3x x Do đánh giá bình thường sau: y 2x x 1 5x x2 3x 3x 10 x2 x (1) 2 y x x 1 x ; y R Do 5x x2 3x x Nên 10 x2 x 3x Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta nhận thấy: x 5x 10 x2 x 80 x2 16 x x 5x 1 3x Dấu “=” xảy 4x 5x x 43 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải y 2x x x Do phương trình (1) ( Thỏa mãn) y 5x x 3x 3x 10 x x Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm nhất: x y y x2 4x2 4x Bài 21: Giải hệ phương trình: x x x 2x y x x PHÂN TÍCH CASIO Ta nhận thấy từ điều kiện hệ phương trình x Nhưng ta thay x giá trị vào phương trình thứ hai hệ nhận thấy không thỏa mãn x từ phương trình thứ hai hệ rút y x2 x x3 x x x2 thay vào phương trình thứ hệ: x2 x x3 2x x2 4x2 4x x x2 Sử dụng SHIFT CALC ta thu nghiệm là: x Kiểm tra điều kiện nghiệm kép Xét: F X X X X X 2X 0,5 0,971807 X2 F X 0,6 0,557423 7X X2 0,7 0,288736 3 4X 4X 0,8 0,120525 Xét giá trị: 0,9 0,028725 START = 0,5 END = 1,4 1,1 0,0269787 STEP = 0.1 1,2 0,105882 Qua bảng giá trị trên, ta nhận thấy nghiệm 1,3 0,235241 nằm lân cận giá trị đồng thời hàm số 1,4 0,4151726 có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành Vì nghiệm x nghiệm kép phương trình Do toán có nghiệm kép dùng phép ẩn y vào phương trình thứ hệ Do toán hoàn toàn sử dụng đẳng thức 44 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải đánh giá bất đẳng thức AM – GM để giải toán Ta thay giá trị x vào biểu thức y ta thấy: y x2 x x3 2x x x2 Hơn ta thay giá trị x vào biểu thức: x x2 y Do mối quan hệ x y y x x2 Vì kết hợp phương trình cần phải có y x x Ngoài nghiệm x nghiệm kép toán nên cần tạo đẳng thức x 1 Đến thành phần x3 x Chúng ta chưa biết xử lý Vì lượng bậc nên việc tạo liên hợp nghiệm kép gặp khó khăn ( với bậc cần phải tạo liên hợp có bậc là: ax2 bx c mà có phương trình nên xử lý hết được) Gặp phải tình toán phải xét hàm để giải nốt toán có thêm nghiệm ngoại lai Còn việc xét hàm sau biến đổi xong biết Trước ta kết nối hai phương trình hệ ta nhận thấy hệ số y x x2 nên cần cộng vế với vế hai phương trình hệ để có thành phần: y x x x 1 2 ☺Bài giải: Điều kiện xác định: x y x2 4x2 4x Ta có hệ phương trình: x x x 2x y x x Cộng vế với vế hai phương trình hệ phương trình ta có: y x2 x2 x x3 x y x x2 x2 x y x x3 x y x x2 4x2 4x y y x x2 x x x 6x x 2x 4x 4x y x x2 x 6x 2 x3 2x 4x2 4x 45 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải x 2x 4x x 2x 4x 4x y x x x 1 x x x x x y x x2 2 3 3 2 PHÂN TÍCH Ta nhận thấy đến áp dụng bất đẳng thức AM-GM có: 2x x x2 x x x 1 x1 Khi phương trình thành: x 1 5x x 2x x 4x 4x Như lượng lại cần xử lý 5x x x Ta nhận thấy 16 x x 1 5x liên hợp 5x x x 5x x x y x x2 3 3 3 16x x 1 5x x x 5x x x Với x 5x x3 x 16 x đó: 16x x 1 dấu “=” xảy x 5x x x 16 x 25x x Như toán xử lý gọn y x 1 5x x 2x x 4x 4x 16 x x 1 5x x x x 1 x 4x 4x 5x x x y x x2 46 3 2 3 y x x2 y 2 x 1 16 x3 25x2 x x 4x2 4x 5x x x 2 16 x x 1 2 x x x 1 x x x (*) 5x x x Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải Do y x x x 1 x 0;7 ; y R 2 16x x 1 5x x x x 0;7 nên 4x2 4x x Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta nhận thấy: 2x x x2 x x x 1 x1 Dấu “=” xảy 2x x x y x x2 x x Do phương trình (*) ( Thỏa mãn) y 16 x x 1 x x x Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm nhất: x y Chú ý: Ngoài cách xử lý làm theo cách sau: Cách 2: Nếu thấy khó khăn liên hợp biểu thức 5x x3 x đánh giá xét hàm f ( x) 5x x3 x với x Ta có: f ' ( x) 5 x2 x 2x x3 2x 6x2 x Ta có bảng xét dấu: x f ' x + Từ bảng xét dấu ta thấy f x f 1 Do 5x x3 2x x 0;7 Và 5x x3 2x x Do đánh giá bình thường sau: y x x2 x 1 5x 2 x x x x x (1) Do 5x x3 2x x 0;7 y x x2 x 1 x 0;7 ; y R 2 47 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải nên 4x2 4x x Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta nhận thấy: 2x x x2 x x x 1 x1 Dấu “=” xảy 2x x x y x x2 x x Do phương trình (*) ( Thỏa mãn) y 4 x x 5x x x x Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm nhất: x y Bình luận: Nếu theo tư tạo liên hợp với thành phần x3 x phải bậc hai ax2 bx c nhóm tạo đẳng thức cần phải dư thành phần x biểu thức cuối là: y x x2 x 1 x 3x 2 x3 2x x 4x2 4x Như phải xét hàm f ( x) x2 3x x3 2x với 0x7 Chúng ta hoàn toàn kiểm tra tính TABLE máy tính để nhìn thấy hàm số không âm miền 0;7 Và bạn hoàn toàn xét hàm bình thường giống cách Do x2 3x x3 2x x 0;7 Nên đánh giá giải toán bình thường 4 y x x x Bài 22: Giải hệ phương trình: x 3x 3x 5x y x x PHÂN TÍCH CASIO Ta nhận thấy từ điều kiện hệ phương trình x Nhưng ta thay x giá trị vào phương trình thứ hai hệ nhận thấy không thỏa mãn x 48 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải từ phương trình thứ hai hệ rút y x 3x 3x 5x x x2 thay vào phương trình thứ hệ: x 3x 3x 5x x 4x2 4x 4 6x x2 Sử dụng SHIFT CALC ta thu nghiệm là: x Kiểm tra điều kiện nghiệm kép Xét: F X X X 3X 3X 5X 0,5 1,385638 X F X 4 0,6 0,80666 6X X 0,7 0,42266 2 4X 4X 0,8 0,178015 Xét giá trị: 0,9 0,042727 START = 0,5 END = 1,4 1,1 0,040532 STEP = 0.1 1,2 0,159637 Qua bảng giá trị trên, ta nhận thấy nghiệm 1,3 0,355675 nằm lân cận giá trị đồng thời hàm số 1,4 0,629161 có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành Vì nghiệm x nghiệm kép phương trình Do toán có nghiệm kép dùng phép ẩn y vào phương trình thứ hệ Do toán hoàn toàn sử dụng đẳng thức đánh giá bất đẳng thức AM – GM để giải toán Ta thay giá trị x vào biểu thức y ta thấy: y x2 3x 3x3 5x 6x x2 Hơn ta thay giá trị x vào biểu thức: x x2 y Do mối quan hệ x y y x x2 Vì kết hợp phương trình cần phải có Ngoài nghiệm x nghiệm kép toán nên cần tạo đẳng thức x 1 Đến thành phần 3x3 5x Chúng ta chưa biết xử lý Vì lượng bậc nên việc tạo liên hợp nghiệm kép gặp khó khăn ( với bậc cần phải tạo liên hợp có bậc là: ax2 bx c mà có phương trình nên xử lý hết 49 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải được) Gặp phải tình toán phải xét hàm để giải nốt toán có thêm nghiệm ngoại lai Còn việc xét hàm sau biến đổi xong biết Trước ta kết nối hai phương trình hệ ta nhận thấy hệ số y x x2 nên cần cộng vế với vế hai phương trình hệ để có thành phần: y x x x 1 2 ☺Bài giải: Điều kiện xác định: x 4 y x x x Ta có hệ phương trình: x 3x 3x 5x y x x Cộng vế với vế hai phương trình hệ phương trình ta có: y x x 3x 3x 5x y x x x x y x x 3x 5x y x x x x y y x x2 6x x2 2x2 10x 3x3 5x x2 x 2y 2y 2x 10x 3x 5x 4x 4x x x x x x 3x 5x x x x x x 1 6x 3x 5x x x y 6x x2 2 2 2 3 2 3 3 2 PHÂN TÍCH Ta nhận thấy đến áp dụng bất đẳng thức AM-GM có: 2x x x2 x x x 1 x1 Khi phương trình thành: x 1 7x 3x 5x x 4x 4x Như lượng lại cần xử lý 7 x 3x 5x Ta nhận thấy x x 1 x liên hợp 7 x 3x 5x x 3x 5x y 6x x2 2 3 3 3 50 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải 27 x x 1 x 3x3 5x x 3x 5x Với x x 3x3 5x 27 x 27 x 5 x 1 dấu “=” xảy x x 3x 5x 27 x3 49 x 17 x đó: Như toán xử lý gọn 2y 2y x 1 6x 3x 5x 4x 4x x x x 1 x 3x 5x x x x 3x 5x 1 x x x x 1 x 4x 4x x 3 x x y 6x x2 3 3 2 2 3 y x x2 2y 2 x 1 27 x3 49 x2 17 x x 4x2 4x x 3x 5x 2 27 x x 1 2 x x x 1 x 4x2 4x x 3x 5x Do y x x x 1 x 0;6 ; y R 27 x 5 x 1 0 x 3x 5x 2 x 0; nên 4x2 4x x Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta nhận thấy: 2x x x2 x x x 1 x1 Dấu “=” xảy 2x x x 2 y x x x x Do phương trình (*) ( Thỏa mãn) 27 x x 1 y x x x 51 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải Chú ý: Ngoài cách xử lý làm theo cách sau: Cách 2: Nếu thấy khó khăn liên hợp biểu thức Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm nhất: x y 7x 3x 5x đánh giá xét hàm f ( x) 7 x 3x3 5x với x 27 x2 15 Ta có: f ' ( x) 7 3x 5x Ta có bảng xét dấu: x f ' x 14 3x3 5x 27 x 15 x 1 + Từ bảng xét dấu ta thấy f x f 1 Do 7 x 3x3 5x x 0; Và 7 x 3x3 5x x Do đánh giá bình thường sau: y 6x x2 x 1 7x 3x 5x x 2 3 x x (1) Do 7 x 3x3 5x x 0; y x x x 1 x 0;6 ; y R 2 nên 4x2 4x x Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta nhận thấy: 2x x x2 x x x 1 x1 Dấu “=” xảy 2x x x 2 y x x x x Do phương trình (*) ( Thỏa mãn) 3 3x 5x x y x x x Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm nhất: x y 52 [...]... nối hai phương trình trong hệ ta nhận thấy hệ số của y x2 3x chỉ là 1 nên cần phải nhân phương trình hai trong hệ với 2 rồi cộng với phương trình thứ nhất trong hệ để có y x2 3x 3x 2 1 ; x 1 và 2 2 2 ☺Bài giải: 2 3 x 2 y 2 5x 1 3 2 x 2 x Ta có hệ phương trình: x 2 4 x y x 2 3x 3x 2 Điều kiện xác định: x Nhân hai vế của phương trình hai trong hệ với... 1 3 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x và y 3 2 2 5 2 3 2 2 x y x 2 6x 2x 3 3 Bài 15: Giải hệ phương trình: : 2 x 2 3x 3 2 y x 2 3x PHÂN TÍCH CASIO x 0 Ta nhận thấy từ điều kiện của hệ phương trình thì Nhưng thay x 3 x 0 giá trị vào phương trình 2 ta đều thấy vô lý do đó x 0; x 3 nên x 3 từ phương trình thứ hai trong hệ, ta có y ... Do đó phương trình (*) ( Thỏa mãn) y 2 3 x 1 0 3 2 4 x 1 3 3x 2 x Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x 1 và y 2 3 x 2 y 2 5x 1 3 2 x 2 x Bài 18: Giải hệ phương trình: x 2 4 x y x 2 3x 3x 2 35 Ưng chảo thủ – Đoàn Trí Dũng - Hà Hữu Hải PHÂN TÍCH CASIO Ta nhận thấy từ điều kiện của hệ phương trình thì x trình thứ hai trong hệ, ta... đó phương trình (*) x 1 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) y2 7 5 x 2 3 6x2 2x 3 3 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x 1 và y 2 12 x 2 y 2 10 x 12 6 3 8 x 2 12 x Bài 16: Giải hệ phương trình: 1 2 2 4 x 3x y 4 x 2 x 2 PHÂN TÍCH CASIO x 0 Ta nhận thấy từ điều kiện của hệ phương trình thì Nhưng thay x 1 2 x 0 1 giá trị vào phương trình. .. 0 Vì vậy kết hợp 2 phương trình chúng ta cần phải có y 4 x 2 2 x Ngoài ra nghiệm x thức 2 x 1 2 1 là nghiệm kép của bài toán nên cần tạo hằng đẳng 2 2 Nhưng khi ta kết nối hai phương trình trong hệ ta nhận thấy hệ số của y 4 x2 2 x chỉ là 1 nên cần phải nhân phương trình hai trong hệ với 2 rồi cộng với phương trình thứ nhất trong hệ để có y 4 x 2 2 x ☺Bài giải: x 0 Điều kiện... 2x 0 1 x Do đó phương trình (*) 4 x 2 0 2 ( Thỏa mãn) 3 2 y 2 10 x 7 6 8 x 12 x 1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x và y 2 2 x 2 y 2 8 x 2 3 3 3x 2 2 x Bài 17: Giải hệ phương trình: 2 2 2 11x 20 x 1 4 y x 2 x 4 x 3x 2 x 1 PHÂN TÍCH CASIO 1 x Ta nhận thấy từ điều kiện của hệ phương trình thì 3 Nhưng thay x... Hải b 1 a 2 ta giải hệ phương trình: 5 1 vậy là đã tìm được a b b 1 3 3 mối quan hệ giữa 2 giá trị x và y của hệ phương trình Thứ 2: Sau khi thay y 2x 1 vào 2 phương trình trong hệ nhận thấy khá khó khăn để tìm mối quan hệ Nếu khi cảm thấy khó khăn 1 y như vậy chúng ta nên thử thay ngược giá trị x các bạn sẽ 2 thấy dễ dàng tìm mối quan hệ này hơn 3 3 2 2 x... đó phương trình (*) 3x 2 0 3 (Thỏa mãn ĐKXĐ) y 1 3 2 3x 36 x 12 x 2 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x và y 1 3 2 13 3 2 2 6 x 4 y 7 x 3 3 x 2 x Bài 14: Giải hệ phương trình: : 3 3x 2 8 x 15 4 y 3x 8 PHÂN TÍCH CASIO 8 Nhưng thay giá 3 8 59 8 trị x vào phương trình 2 ta thấy: 0 (Vô lý) do đó x từ 3 3 3 2 3x 8 x 15 phương. .. vào phương trình thứ hai trong hệ ta được: x 0 (Thỏa mãn điều kiện) xy x2 2 y 2 7 x 2 0 2 x 2 4 x 0 x 2 Với x 0 y x 1 1 Với x 2 y x 1 3 Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: x; y 0;1 ; 2; 3 2 2 2 x x 3x 1 y 2 y 2 2 y 1 Bài 12: Giải hệ phương trình: : 2 2 2 x 2 y 5xy 2 x 7 y 2 0 PHÂN TÍCH CASIO Từ phương. .. 2 x 4 0 Bài 6: Giải hệ phương trình: 2 x x y 1 0 PHÂN TÍCH CASIO Từ phương trình thứ 2 trong hệ , ta rút y x2 x 1 và thế vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có: 3 2 x3 x2 x 1 2x x2 x 1 2x2 2x 4 0 SHIFT CALC với x 0,5 ta thu được nghiệm x 1 y 3 SHIFT CALC với x 0,5 ta thu được nghiệm x 1 y 1 Giả sử mối quan hệ giữa x và y là: y