chuyen de khao sat ham so

Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng.8 Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, min + Điều kiện là :

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH

Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu

A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: y  ax3  bx2  cx  d

* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt

* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí

hiệu là

y’=0

x1, x2 khi đó x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình

* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương

trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại x1, x2thì

là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là:

1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song với đường thẳng y=ax+b

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k=a

2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng

y=ax+b

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k=  1

a

Ví dụ 1) Tìm m để f  x  x3  mx2  7x  3 có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông

góc với đường thẳng y=3x-7.

Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu  f '(x)  3x2  2mx  7  0 có 2 nghiệm phân biệt

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k  tan 

Ví dụ 1) Cho hàm số y  x3  3x 2  mx  2 (1) với m là tham số thực

Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.

Với m = 6 thì A  B 

Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là

4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k  a  tan 

3

m  3  15 2

5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao

cho tam giác OAB có diện tích cho trước

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

3

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y

Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số y  x3  3mx  2 cắt

đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât.

PT đường thẳng đi qua AB là: y  2  2m m   4m m x  m   y  2  2mx

6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước:

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính

giá trị y1; y2 )

+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB

7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính

giá trị y1; y2 )

+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đạicực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b

Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f (x)  x3  3x2  m2 x  m có CĐ và CT đối xứng nhau qua

Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng.

8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max,

min

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính

Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta

Min AB= 2 13 3 xảy ra  m=0

9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trước

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt

+ Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y’=0

Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f (x)  1 x3  mx2  mx 1 đạt cực trị tại x , x thoả mãn

3

x1  x2  8

điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất

Giải: Ta có y'  3x 2  6x  m Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt

'  0  m  3 (0,25 điểm)

- Chia đa thức y cho y’

ta có y  y'( x  1)  ( 2m  2)x  m  1 Lập luận suy ra đường thẳng đi

qua cực đại cực tiểu là  y  ( 2m  2) x  m  1 Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường

3thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là

Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O

Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt:

B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc

*) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

+ Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt sau khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệt khác không

VD: y  2x4  2mx2  2 thì y '  4x3  4mx  y '  0 x  0 x2  m  điều kiện là

m<0

*) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c), B(x1; y1 );C(x2 ; y1 ) thì điều đặc biệt là tam giácABC luôn cân tại A( Học sinh cần nắm chắc điều này để vận dụng trong giải toán)

*) Các câu hỏi thường gặp trong phần này là:

1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều

+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính







  

các véc tơ: AB, AC, BC

+ Tam giác ABC vuông cân 







AB.AC  0 + Tam giác ABC đều AB  BC

2) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho

trước

+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A

  

Tính các véc tơ: AB, AC, BC

+ Kẻ đường cao AH.

+ S ABC  1 AH BC

2

+ Giải điều kiện

Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= x4  2mx2  2m  m4 có CĐ, CT lập thành tam giác đều

với điều kiện (*) có m  1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3) Cho hàm số y  x4  2 1 m2  x2  m 1 Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị





và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.

Ví dụ 4) Cho hàm số y  x4  2mx2  2 có đồ thị (Cm ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để đồ thị (C m ) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua

m m  0 Vậy các điểm thuộc đường tròn (P)

ngoại tiếp các điểm cực trị là A 0; 2, B  m; m2  2, C  m; m2  2, D  3

; 9 

*) Các dạng câu hỏi thường gặp trong phần này là

1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b:

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '(x0 )

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên k



sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)

f '(x0 )  a Giải phương trình tìm x0

Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B

Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song với

AB hoặc trùng với AB

Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB thì ta có:1

Tìm trên đồ thị (C) 2 điểm A và B sao cho

song song với nhau.

AB

 8 , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B

Giải : Giả sử điểm cần tìm là A 

Tìm trên (C) các điểm A,B phân biệt sao cho các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số

góc đồng thời đường thẳng đi qua A và B vuông góc với đường thẳng d: x  y  5  0

 y  x3  3x  2Vậy tọa độ các điểm A,B thỏa mãn: 

2) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '(x0 )

1

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên k



f '(x0 )   Giải phương trình tìm

a

x0 sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)

+ Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A vuông góc với tiếp tuyến tại B là:

 f '( x A ) f '(x B )  1



x A B

Ví dụ 1) Cho C(m): y  f (x)  x3  3x2  mx  1

a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E.

b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) tại D và E vuông góc với nhau.



Giải: a) Xét Cm   y  1 với phương trình tìm hoành độ giao điểm

Ví dụ 2) Tìm m để trên (C m) có 2 điểm phân biệt M1  x1; y1 , M 2  x2 ; y2  thỏa mãn x1.x2  0

và tiếp tuyến của (C m) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x  3y 1  0

m  3 và 1  m   1

.3

Tại x=0 tiếp tuyến song song với trục Ox do đó để 3 tiếp tuyến cắt nhau tạo thành một tam giác

vuông thì điều kiện là g(x)  x2

 6x  3k  0

có 2 nghiệm x1; x2 sao cho f '(x1) f '(x2)  1

Kết hợp điều kiện suy ra k  4 

15 3

+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng  đi qua M Phương trình của 

tìm x ta có hoành độ của các tiếp điểm sau đó viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A  19

y  k  x  19   4 tiếp xúc

f (x)  k x   4với C  : y  f (x)  

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '(x0 )

+ Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc

đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) f '(x0 )   tan 

Ví dụ 1) Cho (C): y  3x  2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành góc

 0x  1 nên k=-1 hoành độ tiếp điểm là nghiệm

của phương trình y(x)  1 

1 x1  0  y1  2

 1 

Phương trình tiếp tuyến tại x1=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2

Phương trình tiếp tuyến tại x2=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6

Ví dụ 2) Cho hàm số y  x  3 2(x 1) có đồ thị là (H).Viết phương trình tiếp tuyến tại M trên

(H) sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ Giải: Do tam giác OAB vuông tại O và trung trực của AB đi qua gốc tọa độ nên tam giác

OAB vuông cân tại O suy ra tiếp tuyến tạo với Ox góc 450

4

Suy ra f '(x0 )

 4  x0 1 2  1  x0  0vàx0  2

Từ đó viết được 2 phương trình tiếp tuyến là y   x  32 và y   x  5 2

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '(x0

(Với k



f '(x0 ) ) Giải tìm x0 sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)

Ví dụ 1) Cho (C): y  4x  3 Viết phương trình tiếp tuyến tạo với  : y=3x góc 45 0

x 1

Giải: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến tạo với   :y=3x góc 450 nên

+ Xét hàm số y=f(x) Gọi M (x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

y  f '(x0 )(x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k  f '(x0 )

+ Tiếp tuyến cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B thì tam giác OAB luôn vuông, để OAB là tam giác vuông cân thì tiếp tuyến phải tạo với Ox một góc   450

và tiếp tuyến không đi qua gốc toạđộ

+ Viết phương trình tiếp tuyến theo dạng (4) Sau đó chỉ chọn những tiếp tuyến không đi qua gốctoạ độ

+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích cho trước thì ta tìm cácgiao điểm A,B sau đó ta tính diện tích tam giác vuông OAB theo công thức

S

OAB 1 OA.OB

2

Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  2 2x biết tiếp tuyến cắt

Ox, Oy lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thỏa mãn:

 x  x0  .

Do tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tại các điểm A,B và tam giác OAB

OA

2 nên tam giác

OAB vuông cân tại O Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với 1 trong hai đường phân giác y  x hoặc y   x

+TH1: d vuông góc với đường phân giác y 

x

 x0  2

2  1  x0  0  x0  4

 1  PT vô nghiệm

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán d : y  x  8

Cách 2: Nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có: sin  ABO  OA

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A,

B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 181

Ta có B(0; 1)3 tiếp tuyến tại B của (Cm) là y  (m  2) x  13 (d) Đường thẳng (d) cắt trục Ox tạiA( 3m  61

m  1 Diện tích tam giác OAB là S

+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A, B tạo thành tam giác IAB

có diện tích cho trước thì ta tìm các giao điểm A, B sau đó dùng công thức

S

OAB 1 IA.IB

2+ Chú ý: Góc tạo bởi tiếp tuyến và đường tiệm ngang hoặc tiệm cận đứng cũng chính là góc tạobởi tiếp tuyến và các trục Ox, Oy

Ví dụ 1) Cho hà số y  2mx  3

Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến

x  m

bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64.

Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x 

Viết PTTT của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến

tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 22 

  0 0

x0 1  x0 1 

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là A 1; a 1 a 1 

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là  

Lại có tan AB ˆI là hệ số góc của tiếp tuyến d

Với x0  2 có PTTT d: y  5x  2

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có pt như trên

Ví dụ 4) Cho hàm số : y  2x 1 có đồ thị là C  .

x 1

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của C  .Tìm trên đồ thị C  điểm M có hoành

độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị C

8) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tại A, B

mà chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

*) Để giải quyết dạng bài tập này học sinh cần nắm được một kết quả quan trọng sau: (Tronghàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất tiếp tuyến bất kỳ cắt 2 tiệm cận tại A,B thì diện tích tamgiác IAB không đổi) Vận dụng kết quả này ta có

C IAB  IA  IA  AB  IA  IB  IA2  IB2

 2 IA.IB  2IA.IB  (2 2 )IA.IB Vì diện tích

tam giác IAB không đổi suy ra IA.IB không đổi Từ đó ta có Chu vi tam giác IAB min khi

IA=IB Giải điều kiện tìm M sau đó viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1) Cho hàm số y  x  2

Viết PTTT của đồ thị biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A,B

x 1

sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất với I là giao 2 tiệm cận.

Giải: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và tiệm cận ngang là đường

2x0 1

2

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứngx  1 tại điểm  x  5 

A 1;  và cắt tiệm cận đứng tại điểm

 x0 1 3

0

tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

a) CMR: M là trung điểm của AB

m  0  M (0, 1)

Dấu bằng xảy ra  IA = IB = 2 m 1  1  1

m  2  M 2 (2, 3)

+ Xét đường thẳng  có hệ số góc k đi qua điểm M  PT () : y  k(x  x M )  yM

+ Chú ý: Trong việc xác định toạ độ M học sinh cần linh hoạt VD: Điểm M thuộc đường thẳng

y=2x+1 thì M (a; 2a 1) , Điểm M thuộc đường thẳng y=2  M (a; 2) ……

x4  x2 1 

Thế k=0 vào hệ (*)  

[4x3  2x 0

1

; k  2

Vậy từ A(0;1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

Kết luận: Từ các điều kiện cần và đủ  Đáp số: A(0;1)

Ví dụ 2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến

(C): y  x  3 .

x 1

Giải: Lấy bất kỳ A(a;2a+1)y=2x+1 Đường thẳng đi qua A(a;2a+1) với hệ số góc k có phương

trình y=k(x-a)+2a+1 tiếp xúc với C  : y  x  3  k  x  a  2a 1  x  3

x 1 hay kx  ak  2a 1  x 1  x  3 có nghiệm kép