Đang tải... (xem toàn văn)
1. ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A M B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng ( ) 3 3 2 2 2 0 1 1 3 x yx y y x x y − − + = − − + Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) 2003 6 2004 5 2005 4 2006 3 2007 2 2008 1 + + + + + = + + + + + xxxxxx Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh ∆EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a DE có độ dài nhỏ nhất b Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 2. HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 5x2 + 8x 4 = x3 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét 2 A 10x 7x 5 7 5x 4 B 2x 3 2x 3 − − = = + + − − (0,25đ) Với x ∈ Z thì A M B khi 7 2 3−x ∈ Z ⇒ 7 M ( 2x – 3) (0,25đ) Mà Ư(7) = { }1;1; 7;7− − ⇒ x = 5; 2; 2 ; 1 thì A M B (0,25đ) c) (1,5đ) Biến đổi 3 3 x y y 1 x 1 − − − = 4 4 3 3 x x y y (y 1)(x 1) − − + − − = ( )4 4 2 2 x y (x y) xy(y y 1)(x x 1) − − − + + + + ( do x + y = 1⇒ y 1= x và x 1= y) (0,25đ) = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1) − + + − − + + + + + + + + (0,25đ) = ( ) 2 2 2 2 2 2 x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy 2 − + − + + + + + + (0,25đ) = ( ) 2 2 2 2 2 x y (x x y y) xy x y (x y) 2 − − + − + + + = ( ) 2 2 x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3) − − + − + (0,25đ) = ( ) 2 2 x y x( y) y( x) xy(x y 3) − − + − + = ( ) 2 2 x y ( 2xy) xy(x y 3) − − + (0,25đ) = 2 2 2(x y) x y 3 − − + Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y 12 = 0 ⇔ y2 + 6y 2y 12 = 0 (0,25đ) ⇔ (y + 6)(y 2) = 0 ⇔ y = 6; y = 2 (0,25đ) x2 + x = 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) x2 + x = 2 ⇔ x2 + x 2 = 0 ⇔ x2 + 2x x 2 = 0 (0,25đ) ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x 1) = 0 ⇔ x = 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = 2 ; x =1 b) (1,75đ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 2008 2007 2006 2005 2004 2003 + + + + + + + + = + + ⇔ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 + + + + + + + + + + + = + + + + +
ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A M B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y ≠ Chứng minh 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + 3 Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) (0,25đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) Xét A 10x −7x −5 = =5x +4 + B 2x −3 2x −3 Với x ∈ Z A M B Mà Ư(7) = { −1;1; −7;7} x y c) (1,5đ) Biến đổi y3 − − x − = = = = = = = (x − y ) − (x − y) ⇒ x −x−y +y (y − 1)(x − 1) ( x − y ) [ x(− y) + y( −x) ] xy(x y + 3) −2(x − y) x y2 + (0,25đ) y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) (0,25đ) − x + y − y) xy x y + (x + y) + (0,25đ) x = 5; - 2; ; A M B + y − 1) xy x y + xy(x + y) + x + y + xy + ( x − y ) (x (0,25đ) ∈ Z ⇒ M ( 2x – 3) 2x − ( x + y = ⇒ xy(y + y + 1)(x + x + 1) ( x − y ) ( x + y ) ( x + y ) − (x − y) xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) ( x − y ) (x (0,25đ) (0,25đ) = = (0,25đ) ( x − y ) [ x(x − 1) + y(y − 1) ] xy(x y + 3) ( x − y ) (−2xy) xy(x y + 3) Suy điều cần chứng minh (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = (0,25đ) ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = (0,25đ) 2 * x + x = - vô nghiệm x + x + > với x (0,25đ) 2 * x + x = ⇔ x + x - = ⇔ x + 2x - x - = (0,25đ) ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = (0,25đ) Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 x +1 x + x + x + x + x + x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 b) (1,75đ) 2008 + 2007 + 2006 = 2005 + 2004 + 2003 ⇔ ( 2008 + 1) + ( 2007 + 1) + ( 2006 + 1) = ( 2005 + 1) + ( 2004 + 1) + ( 2003 + 1) ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) ⇔ ( x + 2009)( 1 1 1 + + − − − )=0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 (0,5đ) Vì 1 1 < ; ; < 2008 2005 2007 2004 Do : 2008 + 2007 + 2006 − 2005 − 2004 − 2003 < 1 < 2006 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 = E = -2009 I Bài 3: (2 điểm) B C a) (1đ) Chứng minh ∆ EDF vuông cân Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ ∆ EDF cân D O Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ Eˆ = Fˆ2 A D Mà Eˆ + Eˆ + Fˆ = 900 ⇒ Fˆ2 + Eˆ + Fˆ1 = 900 ⇒ EDF = 90 Vậy ∆ EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO trung trực BD ⇔x F 1 Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = EF Tương tự BI = EF ⇒ DI = BI B ⇒ I thuộc dường trung trực DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D A Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ∆ ADE vuông A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 = 2(x – a )2 + a a ≥ 2 2 a Ta có DE nhỏ ⇔ DE2 nhỏ ⇔ x = ⇔ BD = AE = a ⇔ D, E trung điểm AB, AC C E (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) = AB AB2 AB2 AB2 ≤ – + )+ = – (AD – ) + 8 2 AB AB Vậy SBDEC = SABC – SADE ≥ – = AB2 không đổi Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC – (AD2 AB 2 AD AB2 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)