II.2.3 Modèles de turbulence

II.2.3 Modốles de turbulence La plupart des ộcoulements industriels sont turbulents et cest aussi le cas de nombreux ộcoulements naturels Les ộcoulements turbulents sont dabord caractộrisộ par leur irrộgularitộ Les variables telles que la vitesse, la pression, la tempộrature fluctuent de faỗon plus ou moins alộatoire Dautre part la turbulence accộlốre les processus de mộlange dans l'ộcoulement Les transferts de quantitộ de mouvement et de chaleur augmentent donc fortement La turbulence accroợt les flux de chaleur vers les parois et les facteurs de frottement dans les conduites Ces ộcoulements sont caractộrisộs par des nombres de Reynolds trốs ộlevộs Lorigine de la turbulence est, dans beaucoup de cas, le dộveloppement dune instabilitộ dun ộcoulement laminaire lorsque le nombre de Reynolds dộpasse une certaine valeur critique De plus les ộcoulements turbulents sont rotationnels et tridimensionnels et ils sont caractộrisộs par des fluctuations importantes des grandeurs physiques La dissipation joue un rụle important dans les ộcoulements turbulents Les fluctuations turbulentes sont dissipộes par le travail des contraintes visqueuses et l'ộcoulement turbulent ne peut subsister que par un transfert continu d'ộnergie Les ộcoulements turbulents sont caractộrisộs par des ộchelles de longueur bien supộrieure au libre parcours moyen des molộcules qui composent le fluide Le concept de milieu continu et les ộquations dynamiques ộtablies au paragraphe II.2 restent donc applicables II.2.3.1 Dộcomposition de Reynolds Pour dộcrire les ộcoulements turbulents, caractộrisộs par une ộvolution alộatoire, tridimensionnelle, instationnaire et rotationnelle, il est possible de suivre une approche statistique qui consiste dộcomposer toutes les variables qui dộcrivent l'ộcoulement en une quantitộ moyenne et une fluctuation Lorsque la turbulence est considộrộe comme stationnaire, il est possible d'ộmettre l'hypothốse dergodicitộ, qui permettre de remplacer les moyennes statistiques (ou moyennes densemble) par des moyennes temporelles Chaque grandeur physique du problốme est dộcomposộe en la somme dune valeur moyenne et dune fluctuation: cest la dộcomposition de Reynolds Vi = Vi + v i ; P = P + p ; C= C+c Avec Vi = Vi dt et v i = dans le cas de turbulence stationnaire est un laps de temps suffisamment grand face au temps caractộristique de la turbulence (dộfini comme le temps au bout duquel un gros turbulence a perdu la moitiộ de son ộnergie) mais suffisamment petit par rapport a linstationnaritộ densemble, ộventuelle, du phộnomốne physique ộtudiộ Cette hypothốse, remise en cause lorsque la turbulence ne peut ờtre considộrộe comme stationnaire, reste valable pour les cas prộcis que nous traitons, dans la mesure oự seuls des problốmes globalement stationnaires seront ộtudiộs En remplaỗant , dans les ộquations (II.2) et (II.3), les variables par leurs nouvelles dộfinitions, il sen suit un nouveau systốme d'ộquations dites de Reynolds, dộcrivant l'ộcoulement moyen, dans lequel apparaợt le terme inconnu v i v j , composante dun tenseur appelle tenseur de Reynolds ou tenseur de contraintes turbulentes: - ộquation de continuitộ: Vi =0 x i (II.5) - ộquation de conservation de quantitộ de mouvement V i V i P V i + Vj + v i v j + f i = x j x i x j x j t Signalons ici que le terme (II.6) V j est nộglige par le code car il nintervient pas, x j x i par la suite, dans l'ộcriture variationnelle du problốme de Stokes II.2.3.2 Fermeture du problốme - Hypothốse et modộlisation Dans le but de fermer ces ộquations (on a en effet 10 inconnues pour seulement ộquations) et ainsi de rộsoudre le problốme, certaines hypothốses, concernant la modộlisation du terme de corrộlation double v i v j , sont nộcessaires La premiốre hypothốse, dite hypothốse de Boussinesq, introduit, par analogie avec le tenseur des contraintes visqueuses, une viscositộ dynamique turbulente àt, caractộristique du type d'ộcoulement considộrộ, dộfinie comme suite: V Vj k ij t div V ij v i v j = t i + x j x i =0 Afin dexpliciter cette nouvelle variable, un modốle dộcrivant la turbulence en un point est ộgalement formulộ Dans le cadre de ce code, le choix repose sur les trois modốles suivants: longueur de mộlange, k- ou RNG La thộorie, classique est dộtaillộe dans la partie suivante Avec la dộfinition de àt, l'ộquation (II.6) devient: V i V i P V i ( + Vj + + àt ) + fi = x j x i x j x j t (II.6b) en adoptant la notation suivante: P = P + k Afin de rendre plus explicite le terme de diffusion de l'ộquation (II.6b), le code met notre disposition modốles: modốle de longueur de mộlange, modốle k- et modốle RNG Modốle de longueur de mộlange Ce modốle a ộtộ introduit par Prandtl en 1925 par analogie avec la thộorie cinộtique de gaz Il suppose la viscositộ turbulente proportionnelle une vitesse fluctuante moyenne et une longueur de mộlange lm qui correspond au libre parcours moyen des particules matộrielles Prandtl a pris comme hypothốse supplộmentaire que la vitesse fluctuante moyenne est ộgale au gradient de vitesse moyenne multiplie par la longueur de mộlange Le gradient de vitesse moyenne est calculộ partir du tenseur de taux de dộformation D de la faỗon suivante : M V = [ tr ( D D] oự tr(.) dộsigne l'opộrateur de trace En coordonnộes cartộsiennes, le tenseur D est dộfini par: D ij = Vi Vj + x j x i et on peut calculer D D qui est donnộ par ( D D ) ik = D ij D jk soit, en prenant la trace et compte tenu de la symộtrie de D tr ( D D ) = D ij D ij = Vi Vj Vi + x j x i x i La viscositộ turbulente est alors donnộe par la formule suivante: t = l 2m [ tr ( D D ) ] Oự dộsigne la constante de Karman (=0.41) Des travaux rộcents ont montrộ que la turbulence ne dộpend pas seulement des taux de dộformation mais aussi des taux de rotation, ce qui montre bien les limites du modốle de longueur de mộlange qui reste toutefois suffisant pour certaines applications Modốle k- de JONES et LAUNDER (1972) Celui-ci repose sur l'hypothốse d'ộquilibre spectral de l'ộnergie cinộtique turbulent k Grõce lanalyse dimensionnelle, une dộfinition de àt, reliant l'ộnergie turbulente k et son taux de dissipation est explicitộe: k2 t = C Avec k= v i =1 i = v i v i (dissipation par frottement visqueux) x j x j (2.7) (2.8) Le frottement visqueux limite en effet le transfert d'ộnergie des grosses structures turbulentes vers les plus petites, et rộduit ộgalement les flux massique et calorifique, important et induits par la turbulence Il sagit maintenant de dộterminer les deux nouvelles inconnues k et Pour cela on explicite les ộquations de transport de ces deux grandeurs, selon le modốle de lộquation (II.4) Obtenues par combinaison des ộquations qui rộgissent lộvolution de la vitesse fluctuante, et aprốs certaines simplifications, elles sộcrivent: k k k + t + P + G + V j = x j x j k x j t t + + C P + ( C ) G C + V j = x j x j x j k k t ( ) Le terme P donne la production d'ộnergie turbulent, due uniquement linteraction entre lộcoulement moyen et turbulent Le terme source G, quant lui, provient des forces de gravitộ, et est nộgligộ dans le cas dộcoulements incompressibles quasi isothermes P = v i v j Vi Vj Vi Vi Vi = t + = 2à t D et x j x j ij x j x i x j G = g i v i = Les constantes empiriques, introduites dans le systốme dộquations ci-dessus et prộcisộes dans la table (II-1), ont ộtộ validộes expộrimentalement pour certains ộcoulements simples bidimensionnels (dộcroissances dune turbulence de grille homogốne et isotrope, ộcoulement en conduite, ộcoulement sur une plaque plane), et sont prises comme valeurs standard, bien que cette gộnộralisation ne soit pas toujours satisfaisante Cà k C1 C2 0.09 1.00 1.30 1.44 1.92 Tableau II-1: Valeurs des constantes du modốle k- standard Ce modốle est le plus couramment utilisộ dans des applications mờme complexes de mộcanique des fluides Cependant, des nouveaux modốles sont ộlaborộs depuis quelques annộes Ceux-ci font intervenir des termes fluctuants dordre supộrieur, comme le modốle des tensions (ou contraintes) de Reynolds R ij- ou, tout du moins, le modốle allộgộ, dit des tensions de Reynolds algộbriques, qui comporte des simplifications dans l'ộcriture des ộquations diffộrentielles associộes chaque composante du tenseur v i v j Ces deux modốles prennent, en effet, en compte les effets de courbure et de rotation et restituent de fait plus justement les ộcoulement dans les machines tournantes Lavantage de ces mộthodes rộside dans la suppression du problốme de la validitộ du concept de viscositộ turbulente, dans la mesure oự cette mộthode est remplacộe par la rộsolution de six ộquations diffộrentielles associộes chacune des composantes du tenseur v i v j Cependant la premiốre mộthode reste si difficile dimplantation et demande de tels moyens informatiques (temps de calcul et place de mộmoire excessive) quelle est rarement testộe Par exemple, HAH et LAKSHMINARAYANA (1980) ont testộ la validitộ de trois modốles de turbulence diffộrents, incluant tous les effets de courbure et de rotation, pour prộdire les sillages d'aubages Dans le cas dune grille daubes bidimensionnelle, le modốle complet des ộquations de Reynolds donne de meilleurs rộsultats que le modốle k- standard, mais le temps de convergence du calcul est augmente de 50% Par contre dans le cas dune configuration tridimensionnelle de roue de compresseur, le calcul na pu ờtre menộ avec ce mờme modốle, faute de capacitộs informatiques suffisantes La seconde mộthode, qui dộfinit les termes v i v j daprốs des relations algộbriques entre les diverses grandeurs connues (k et notamment), rộduit le coỷt informatique, mờme dans le cas d'ộtudes tridimensionnelles, et apporte de nettes amộliorations par rapport au modốle k- Mais elle nộcessite tout de mờme un travail considộrable de mise en forme au sein dun code Navier-Stokes tridimensionnel et engendre encore des problốmes d'instabilitộs des schộmas numộriques Par contre, certains auteurs se sont servis de ce dernier modốle pour modifier le modốle k-, et fait ainsi intervenir directement les termes de courbure et de rotation Le principe repose sur un couplage entre les relations algộbriques sur les composantes du tenseur de Reynolds et le modốle k-, par l'intermộdiaire dune forme gộnộralisộe de la variable Cà ZHANG et LAKSHMINARAYANA (1990) ont pu ainsi dộterminer parfaitement le comportement dune couche limite tridimensionnelle sur un aubage de machine tournante En conclusion, les codes industriels qui mettent disposition ces mộthodes sont rares et le modốle k- demeure encore le modốle de turbulence le plus couramment utilisộ