Cho tam giác ABC nhọn AB... Thử lại x=0 là nghiệm pt.. Vậy pt đã cho có nghiệm x=0... x x Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó, theo giả thiết thì không có cặp ô đỏ nào có hình
Trang 1PHÒNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013
Câu 1. a) Tính: 5 2 2 9 4 2
b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
4
a b c abc Tính giá trị của biểu thức:
A a b c b c a c a b abc
Câu 2 Giải các phương trình sau:
a) x x 1 x4 x9 0
b) 2(x2 + 2) = 5 3
1
x
Câu 3 Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x y z ; ; thỏa mãn 2013
2013
x y
y z
là số hữu tỉ, đồng thời x2 y2 z2 là số nguyên tố
Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai
đường cao BE, CF cắt nhau tại H Tia AO cắt đường tròn (O) tại D
a) Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G Chứng minh G
là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu 5 a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương
Chứng minh :
a b c a b c
x y z x y z
b) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1
Chứng minh :
2
Câu 6 Cho bảng vuông 13x13 Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng
sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu?
-Hết -
(Đề này gồm có 01 trang)
Họ và tên thí sinh: ……… ……Số báo danh: ………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT VT HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG 9
NĂM HỌC 2013 - 2014
2
A a b c b c a c a b abc
2
a a bc a a bc a abc
Tương tự b (4 c )(4 a ) 2 b abc , c (4 a )(4 b ) 2 c abc
A a b c abc abc a b c abc
a) ĐK: x 0 Pt x 9 x4 x 1 x (1)
5 1
x 9 x45( x 1 x) (2)
Từ (1),(2) suy ra:
x93 x 1 2 x3 x 1 9x9 x ,dấu “=” xảy ra 9 khi x=0 Thử lại x=0 là nghiệm pt
Vậy pt đã cho có nghiệm x=0
b) ĐK: x -1
Đặt a = x , b = 1 x2 với a 0, b>0 x 1 Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2(a2 + b2) = 5ab (2a-b)(a-2b)=0
2a=b hoặc a=2b Với a=2b x =21 x2 x 1 4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm
Với b=2a x2 =2x 1 x 1 x2-5x-3 = 0 5 37
2
x
(thỏa mãn đk x -1.)
Câu 3
2013
m n m n n
y z
nx my mz ny
0
xz y
Trang 3
2
x y z xz xzy xz y xyz x z y
Vì xy z 1 và x2y2z2 là số nguyên tố nên
1
x y z x y z
x y z
Từ đó suy ra x yz (thỏa mãn) 1
M G
D
O F
E
H
C B
A
B FC = B EC = 900 ( cùng nhìn cạnh BC) Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC
Ta có A CD = · 0
90 DC AC
Mà HE AC; suy ra BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành
Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD
Do đó AM, HO trung tuyến của AHD G trọng tâm của AHD
AM 3
Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, GM 1
AM 3 Suy ra G là trong tâm của ABC
Câu 5
a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
2
(a b c ).(x y z) ( a x b y c z)
x y z x y z =
2
(a b c) (a+b+c)2
đpcm
b) (1 điểm) Vế trái
2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 )
M
1x a,1y b,1z c với a, b,c >0
Khi đó
M =
c b a c b a ac ab ab bc bc ac
Trang 4Sau đó áp dụng bđt ở phần a) và bđt
2
(a b c ) 3(ab bc ca )M 2
Từ đó có đpcm
Câu 6
Gọi xi là số ô được tô đỏ ở dòng thứ i
Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; ở hàng thứ i số các cặp ô đỏ là C2xi = ( 1)
2
x x
Vậy tổng số các cặp ô đỏ là A= 1( 1 1) 2( 2 1) 13( 13 1)
x x
Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó, theo giả thiết thì không có cặp ô đỏ nào có hình chiếu trùng nhau
Vậy C213=78 A= 1( 1 1) 2( 2 1) 13( 13 1)
x x
2
156
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
2
13
s
s2-13s-2028 0 S 52 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = …= x13 = 4 (mỗi dòng có 4 ô được tô đỏ)
(Học sinh lập luận chỉ ra S 52 được 0,25đ)
Vẽ hình minh họa: (0,25đ)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x X
x x x x
x x X x
x x X x
x x x x
x x x x Vậy giá trị lớn nhất của S=52
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa./