đề thi HSG lớp 9 toán vĩnh tường 13 14 (có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC Câu a) Tính: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013 5 2 9 b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc  Tính giá trị biểu thức: A  a (4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a )  c(4  a )(4  b)  abc Câu Giải phương trình sau: a) x  x   x   x   b) 2(x2 + 2) = x3  Câu Tìm tất số nguyên dương  x; y; z  thỏa mãn x  y 2013 y  z 2013 số hữu tỉ, đồng thời x  y  z số nguyên tố Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB0 Khi phương trình cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab  (2a-b)(a-2b)=0  2a=b a=2b Với a=2b  x  =2 x  x   4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm Với b=2a  x  x  =2 x   x2-5x-3 =  x  Ta có Câu x  y 2013 m  m, n  y  z 2013 n  *  37 (thỏa mãn đk x  -1.)  ,  m, n   nx  my  x y m  nx  my  mz  ny  2013       xz  y y z n mz  ny  2 x  y  z   x  z   xz  y   x  z   y   x  y  z  x  z  y   x2  y  z  x  y  z Vì x  y  z  x  y  z số nguyên tố nên  x  y  z  Từ suy x  y  z  (thỏa mãn) A E F G O H B C M D Câu · · BFC = BEC = 900 ( nhìn cạnh BC) Suy B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC ·CD = 900  DC  AC Ta có A Mà HE  AC; suy BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến AHD  G trọng tâm GM  AHD  AM GM Xét tam giác ABC có M trung điểm BC,  AM Suy G tâm ABC a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: ( a2 b2 c a2 b2 c2   ).( x  y  z )  ( x y z )2 = x y z x y z ( a  b  c )  (a+b+c)2  đpcm Câu b) (1 điểm) Vế trái  Đặt 2(1  x ) 2(1  y ) 2(1  z )   M 2(1  z )  (1  y ) 2(1  x )  (1  z ) 2(1  y )  (1  x )  x  a,1  y  b,1  z  c với a, b,c >0 Khi M= 2a 2b 2c 2a 2b 2c      2c  b 2a  c 2b  a 2ac  ab 2ab  bc 2bc  ac Sau áp dụng bđt phần a) bđt (a  b  c)  3(ab  bc  ca )  M  Từ có đpcm Gọi xi số ô tô đỏ dòng thứ i xi ( xi  1) x13 ( x13  1) x1 ( x1  1) x2 ( x2  1) Vậy tổng số cặp ô đỏ A=    2 Chiếu cặp ô đỏ xuống hàng ngang đó, theo giả thiết cặp ô đỏ có hình chiếu trùng x ( x  1) x2 ( x2  1) x ( x  1)    13 13 Vậy C213=78  A= 1 2 Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; hàng thứ i số cặp ô đỏ C2xi = 13  i 1 Câu 13  xi2   xi  156 i 1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 13 13 s2 ( xi )  13( xi2 )   s  156 13 i 1 i 1  s2-13s-2028   S  52 Dấu = xảy x1 = x2 = …= x13 = (mỗi dòng có ô tô đỏ) (Học sinh lập luận S  52 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn S=52 x x x x x X x x x x x x x x x x x X x x x x x x x x x X x Xx x Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa./