Những bài toán đặc biệt về dãy số

Tài liệu này giúp các bạn muốn tìm tòi nhiều về môn toán và đặc biệt là phần đại số. Đây là tổng hợp những dạng đặc biệt của dãy số và nó còn có những bài tập ví dụ theo từng phần để bạn dễ hiểu hơn. Chúc các bạn học tập tốt

111Equation Chapter Section BÀI NGOẠI KHÓA NHỮNG BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT VỀ DÃY SỐ Hà Nội 12/2015 *Các dạng toán đặc biệt Dạng toán Lượng giác I Ví dụ Xác định lim x1 = 1; xn +1 = Đặt xn xn + + K + , ∀n ∈ ¥ ∗ xn + yn = + + K + xn +1 = an cos Khi ta có 4an bn = π sin n bn +1 − cot Suy an = Suy Vậy ta có Chứng minh quy nạp ta có π 2n +1 xn + an +1 = Lại đặt yn = cos xn cos Nên ta có Tử số có n số π 2n +1 an = Đặt xn + cos sin Khi ta có π 2n+1 π π ×bn +1 sin n ×bn n +1 2 = + ⇔ bn+1 = bn + π π 4 cos n +1 sin n 2 π π π = bn − cot n = b1 − cot = b1 n +1 2 π π sin n n ×b = (b + cot π ) = b1 sin π + cos π n 4 2n 2n 2n sin lim an = ⇒ lim xn = Ví dụ Xác định lim xn π 2n +1 n xn = ∏ ui i =1 cos θ = Đặt  →a = ¬  a cos θ u2 = Khi ta có 2a 2 = = = 1+ a cos θ + cos θ +1 a un = cos Bằng quy nạp ta chứng minh xn = Ta có: θ 2n−1 1 × ×K × θ cos θ cos θ cos n−1 2 θ n −1 2θ ⇒ xn × = θ sin n −1 cos 2θ 2θ ⇒ lim xn = cos 2θ (bởi ta có sin x   = 1÷  lim x   ) Một số ví dụ tương tự 212\* MERGEFORMAT (.) lim un n un = ∑ 3i −1 sin i =1 α 3i 313\* MERGEFORMAT (.)Cho  x1 = a (0 < a ≤ b)   x2 = b xn + yn   xn +1 =  y = x y n +1 n  n +1 lim xn , lim yn Tính II Định lý trung bình cesaro ứng dụng Nếu dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình cộng có giới hạn a  x1 + x2 + K + xn   ÷ n   Xét dãy (yn) với yn=xn+1-xn ta có cách phát biểu tương đương sau: lim Nếu lim(xn+1-xn)=a xn =a n Cách phát biểu thứ có ứng dụng sau: Để tìm số ta cần tìm  x lim  n1  γ n γ γ= cho β β cho xn nβ để áp dụng định lý trung bình cesaro có giới hạn hữu hạn, lim( xnγ +1 − xnγ ) = a  ÷= aγ ÷  Ví dụ 1(Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Mạc Đĩnh Chi TpHCM) Cho dãy số thỏa mãn : u1 =   un  * u = , ∀ n ∈ N  n +1 + u n  lim (un n ) Tính n →+∞ (un ) Dễ thấy un +1 = dãy dương nên un < un + un2 nên (un ) un bị chặn Hơn dễ dàng thấy dãy giảm Do dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Chuyển qua giới hạn ta : L= L ⇒L=0 + L2 lim un = n →+∞ Vậy nên Từ đề ta có : 1 = + un un +1 un   un 1  1   − = − + = u + = +1  ÷ ÷  ÷ n un2+1 un2  un +1 un   un +1 u n  u u u n  n +1  n +1 Xét:   = un  + un ÷+ = + un2  un  Do ta có :  1  lim  − ÷ = lim ( + un2 ) = n →+∞ u  n +1 un  n →+∞ Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có : un−2 un lim = ⇒ lim un n = lim −1/2 = n →+∞ n n →+∞ n →+∞ n ( ) Ví dụ (THTT số 420) Cho dãy số (x n ) xác định sau : 1001  x1 =  1003   xn +1 = xn − xn + xn − xn + + xn2011 − xn2012 , ∀n ∈ ¥ * lim ( nxn ) Tính n →+∞ Giải: Từ công thức xác định dãy, ta có : xn +1 = xn ( − xn + xn2 − + xn2010 − xn2011 ) = Ta có < x1 < Ta thấy : , giả sử < xn < xn ( − xn2012 ) + xn xn +1 − xn2012 0< = < ⇒ < xn +1 < xn xn + xn Như dãy hạn : giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn , chuyển qua giới L= L ( − L2012 ) 1+ L ⇔ L=0 lim xn = Do n →+∞ Ta xét : + xn 1 1 + xn2011 − = − = →1 xn +1 xn xn ( − xn2012 ) xn − xn2012 Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta :  xn 1 = lim −  ÷= n →+∞ n −1 n →+∞ x x n   n +1 lim ( nxn ) = lim n →+∞ Ví dụ Cho dãy số xn +1 = xn + ( xn ) xác định x0 = : + , n = 0,1, 2, x x n n Tìm tất số thực m cho dãy số  xn   nm ÷   có giới hạn hữu hạn khác Giải  xn   m÷ n  Ta thấy dãy hữu hạn khác có giới hạn hữu hạn khác dãy  x1/m  n  ÷  n  có giới hạn Dễ thấy lim ( xn ) = +∞ Như ta xét : 5/4   =  xn + 1/3 + 1/4 ÷ − xn5/4 xn xn   5/4 xn5/4 +1 − xn xn5/ yn = Đặt :   ( + yn =  4/5 + yn4/15 + y1/15 − = ÷ n yn  yn  5/4 5/ n +1 x −x 5/4 n ( z + 1) = n 16/15 + yn ) 5/ −1 yn −1 yn tn 1/15 zn5 + zn4 + 10 zn3 + 10 zn2 + zn zn / yn + zn / yn + 10 zn / yn + 10 zn / yn + ( yn + ) = = 15/ 10/4 5/4 yn tn ( + z n ) + ( + zn ) + ( + zn ) + → 20 =5 Trong : zn = y16/15 + yn tn = ( + zn ) n => 15/ lim zn = Từ theo định lí trung bình Cesaro :  xn5/4  lim  ÷=  n  m n Để ý thấy : 5 − x xn4 m = ×xn n n + ( + zn ) 10/ + ( + zn ) 5/ +1 Nếu Nếu > m < m  x1/n m lim   n  ÷ = +∞   x1/n m  lim  ÷ = +∞ n   Nên m =4/5 Một cách tổng quát với dãy dãy có giới hạn  unβ   ÷  n  un +1 = un + una1 + unan + + unak hữu hạn khác điều kiện để β = − max { a1 , a2 , , ak } Nhận xét chưa chứng minh thông thường dùng dự đoán cho ví dụ Bài tập :1) Cho dãy số ( xn ) xác định x0 = , xn +1 = xn − xn2 lim ( nxn ) = Chứng minh n →+∞ 2)(VNTST 1993) Dãy số an +1 = an + ( an ) xác định , n = 1, 2, an a1 = : Một số toán đặc biệt khác III Ví dụ 1(THTT T3 2010) Cho dãy số dương (un) Đặt S n = u13 + u23 + u33 + K + un3 , n = 1, 2,K un +1 ≤ (( S n − 1)un + un −1 ) Giả sử , ∀n = 2,3,K Sn −1 Tìm lim un Giải Từ giả thiết ta có ngay: S n − S n −1 = un3 > ∀n ≥ Vậy nên Sn bị chặn Sn hội tụ Nếu Sn không bị chặn Từ giả thiết ta có: Do đó: lim un3 = lim( Sn − Sn −1 ) = ⇒ lim un = lim S n = +∞ Sn +1un +1 + un ≤ Snun + un −1 , ∀n ≥ Từ ta thu un ≤ S nun + un −1 ≤ S 2u2 + u1 , ∀n ≥ un −1 S 2u2 + u1 ≤ Sn Sn suy lim un=0 Vậy lim un=0 cho hai trường hợp Ví dụ Cho dãy (an) a0 = 1999  an2  an +1 = + a  n Tìm phần nguyên an (với ≤ n ≤ 999 ) Giải Rõ ràng ta thấy un dãy tăng an > 0, ∀n ≥ nên: an2 a an − an +1 = an − = n >, ∀n ≥ + an + an =>(an) dãy giảm ⇒ an +1 = (1) an2 a = an − n > an − 1∀n ≥ + an + an ⇒ an +1 > a0 − ( n + 1), ∀n ≥ ⇒ an −1 > a0 − ( n − 1), ∀n ≥ ⇒ an −1 > 2000 − n, ∀n ≥ (2) Mặt khác ta lại có: an = a0 + ( a1 − a0 ) + ( a2 − a1 ) + K + ( an − an −1 )  a  a a = 1999 −  + + K + n −1 ÷ + an−1   + a0 + a1  1  = 1999 − n +  + +K + ÷ + an −1   + a0 + a1 Từ (1),(2) suy  1  n 01 a2 n −1  2n ÷ = a + 2n a   n  1   a − ÷ a + 2n ÷ + n+1 a − ÷xn +1   xn +1 a  a a = a2 =  = n 1 1 x1 x2 K xn  a + 2n − 2n+1  a − ÷x1 x2 K xn a a a  1 + 2n+1 xn +1 a lim = lim n →+∞ x x K x 1 n − 2n+1 a b) Với k ∈¥ ∗ , ta có 1  a− ÷ a  1   a − ÷ = a − = 21 a a  x − xk +1 xk xk +1  1 = k =  − ÷ x1 x2 K xk x1 x2 K xk  x1 x2 K xk −1 x1 x2 K xk  Thay rút gọn xn+1  1 1 + +K + =  x1 − ÷ x1 x1 x2 x1 x2 K xn  x1 x2 K xn  Do 1   xn+1 1 lim  + +K + = − lim  ÷ n →+∞ x x1 x2 K xn  2 n →+∞  x1 x2 K xn  x1 x2 Chú ý Có thể giải câu a sau Chứng minh dãy (xn) tăng, lim xn = +∞ ;  xn +1   xn +1  ⇒ lim   ÷ = 21 + ÷ = 21 ( x1 x2 K xn )  x1 x2 K xn   x1 x2 K xn   − 21 ÷=  Ví dụ Cho phương trình x + 2x2 + … + nxn = với n nguyên dương ∞ a Chứng minh với n nguyên dương, khoảng (0; + ), phương trình có nghiệm nhất, kí hiệu xn b Chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn n Giải a) Xét hàm số fn(x) = x + 2x2 +…+nxn f n' 2 n–1 (x) = + x + …+ n x f n' → ∞ + Tìm giới hạn liên tục R có (x) > ∀x ∈ ( 0; +∞ ) nên hàm số fn(x) tăng ( 0; +∞ ) Mà fn(0) = - < 0, fn(1) > nên phương trình fn(x) = có khoảng ( 0; +∞ ) b Ta có n −1 1 1 f n  ÷ = + + + n  ÷ 3 3 − n 1 1 1 f n  ÷ = +  ÷ + + n  ÷ −  3 3  3 Trừ vế theo vế ta được: n −1 1 1 f n  ÷ = + + +  ÷ 3 3 Do đó: xn > , ∀n ∈ Z + − n 3 − = 1 − n n 2 2n +  n với yn > 2n + = ⇒ l imx n = n 4.3 Ví dụ 5(diễn đàn toán học) Giả sử xn thuộc khoảng (0; 1) nghiệm phương trình 1 + + + =0 x x −1 x−n Chứng minh dãy (xn) hội tụ Tìm giới hạn Giải f n ( x) = xn xác định hàm số (0; 1) 1 + + + x x −1 x−n liên tục đơn điệu Để chứng minh dãy hội tụ ta chứng minh dãy (xn) bị chặn đơn điệu, hiển nhiên dãy bị chặn < xn < Bây ta chứng minh dãy (xn) đơn điệu Ta thấy < xn < nên f n +1 ( xn ) = f n ( xn ) + 1 = Theo tính chất hàm liên tục, khoảng (0; xn) có nghiệm fn+1(x) Nghiệm xn+1 Suy xn+1 < xn Tức dãy số (xn) giảm, dãy số bị chặn nên dãy số có giới hạn Ta chứng minh dãy số có giới hạn Ta dễ dàng chứng minh kết sau: 1+ 1 + + + > ln n n (Có thể chứng minh cách đánh giá  1 ln 1 + ÷ <  n n ) lim xn = a > Thật vậy, giả sử 1+ Do n →+∞ 1 + + + → +∞ n 1+ Khi dãy (xn) giảm nên ta có xn n → +∞ ≥ a ∀n ≥ , nên tồn N cho với n N ta có 1 1 + + + > n a ≥ Khi với n N 0= 1 1 1 1 + + + < + + + + < − =0 xn xn − xn − n x n −1 −2 −n a a lim xn = Điều mâu thuẫn Vậy phải có n →+∞ Ở ví dụ 4,5 thấy công cụ để khảo sát dãy số cho dãy phương trình định lý giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý hội tụ dãy số đơn điệu bị chặn, định lý Lagrange) mối liên hệ mang tính truy hồi phương trình Bài tập tương tự (VMO2007,VMO2003) Ví dụ Cho dãy (xn) thỏa n −1 S n = ∑ (n − k ) ln x2 k −1 Đặt x1 = a (a > 1); x2 = 1; xn + = xn − ln xn n≥2 k =1 lim Tìm Sn n Giải Ta có x2 n = ln1 = suy lim x2 n = ∀n ∈ N ∗ Ta chứng minh Xét hàm số f ' ( x) = − lim x2 n+1 = f ( x ) = x − ln x liên tục đồng biến khoảng (0; +∞) > ∀x > x Trước hết quy nạp dãy (x2n+1) bị chặn Theo giả thiết x1=a>1 Giả sử x2 k +1 > f ( x2 k +1 ) > f (1) > nên hiển nhiên x2 k +3 > Tức dãy (x2n+1) bị chặn x2 n +1 > ln x2 n +1 > x2 n +3 − x2 n +1 = − ln x2 n +1 < Do nên nên hội tụ Chuyển sang giới hạn ta tìm lim x2n+1=1 Tức dãy (x2n+1) giảm từ Vậy dãy có giới hạn Theo định lý cesaro, ta có:  ( x1 + x3 + K + x2 n −1 ) + ( x2 + x4 + K + x2 n )  ÷ = hay lim  2n    ( nx − (n − 1) ln x1 − (n − 2) ln x3 − K − ln x2 n −3 + n )  ⇔ lim  ÷= 2n    x + x + K + x2 n lim  2n  a S 1  S  a −1 ⇔ lim  − n + ÷ = ⇔ lim  n ÷ = 2 n 2  n   ÷=  [...]... chính là xn+1 Suy ra xn+1 < xn Tức dãy số (xn) giảm, do dãy số này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn Ta chứng minh dãy số trên có giới hạn bằng 0 Ta dễ dàng chứng minh kết quả sau: 1+ 1 1 1 + + + > ln n 2 3 n (Có thể chứng minh bằng cách đánh giá  1 1 ln 1 + ÷ <  n n ) lim xn = a > 0 Thật vậy, giả sử 1+ Do n →+∞ 1 1 1 + + + → +∞ 2 3 n 1+ Khi đó do dãy (xn) giảm nên ta có xn khi n →... →+∞ Ở ví dụ 4,5 chúng ta thấy công cụ cơ bản để khảo sát các dãy số cho bởi dãy các phương trình là các định lý cơ bản của giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý về sự hội tụ của dãy số đơn điệu và bị chặn, định lý Lagrange) và mối liên hệ mang tính truy hồi giữa các phương trình Bài tập tương tự là (VMO2007,VMO2003) Ví dụ 6 Cho dãy (xn) thỏa n −1 S n = ∑ (n − k ) ln x2 k −1 Đặt x1 = a (a... dụ 5(diễn đàn toán học) Giả sử xn thuộc khoảng (0; 1) là nghiệm của phương trình 1 1 1 + + + =0 x x −1 x−n Chứng minh dãy (xn) hội tụ Tìm giới hạn đó Giải f n ( x) = xn được xác định duy nhất vì hàm số trên (0; 1) 1 1 1 + + + x x −1 x−n liên tục và đơn điệu Để chứng minh dãy hội tụ ta chứng minh dãy (xn) bị chặn và đơn điệu, hiển nhiên dãy bị chặn vì 0 < xn < 1 Bây giờ ta chứng minh dãy (xn) đơn điệu... minh dãy (xn) tăng, 2 lim xn = +∞ ; 2  xn +1   xn +1  4 ⇒ lim   ÷ = 21 + ÷ = 21 2 ( x1 x2 K xn )  x1 x2 K xn   x1 x2 K xn   5 − 21 ÷= 2  Ví dụ 4 Cho phương trình x + 2x2 + … + nxn = 3 4 với n nguyên dương ∞ a Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, trên khoảng (0; + ), phương trình trên có nghiệm duy nhất, kí hiệu là xn b Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn hữu hạn khi n Giải a) Xét hàm số. .. do ln1 = 0 suy ra lim x2 n = 1 ∀n ∈ N ∗ Ta sẽ chứng minh Xét hàm số f ' ( x) = 1 − lim x2 n+1 = 1 f ( x ) = x − ln x liên tục và đồng biến trên khoảng (0; +∞) vì 1 > 0 ∀x > 1 x Trước hết bằng quy nạp dãy (x2n+1) bị chặn dưới bởi 1 Theo giả thiết thì x1=a>1 Giả sử x2 k +1 > 1 thì f ( x2 k +1 ) > f (1) > 1 nên hiển nhiên x2 k +3 > 1 Tức là dãy (x2n+1) bị chặn dưới bởi 1 x2 n +1 > 1 ln x2 n +1 > 0 x2 n... +3 > 1 Tức là dãy (x2n+1) bị chặn dưới bởi 1 x2 n +1 > 1 ln x2 n +1 > 0 x2 n +3 − x2 n +1 = − ln x2 n +1 < 0 Do nên và vì vậy nên đó hội tụ Chuyển sang giới hạn ta tìm được lim x2n+1=1 Tức dãy (x2n+1) giảm từ Vậy dãy có giới hạn là 1 Theo định lý cesaro, ta có:  ( x1 + x3 + K + x2 n −1 ) + ( x2 + x4 + K + x2 n )  ÷ = 1 hay lim  2n    ( nx − (n − 1) ln x1 − (n − 2) ln x3 − K − ln x2 n −3 + n )... dãy (xn) có giới hạn hữu hạn khi n Giải a) Xét hàm số fn(x) = x + 2x2 +…+nxn f n' 2 2 n–1 (x) = 1 + 2 x + …+ n x và f n' 3 4 → ∞ + Tìm giới hạn đó liên tục trên R và có (x) > 0 ∀x ∈ ( 0; +∞ ) nên hàm số fn(x) tăng trên ( 0; +∞ ) Mà fn(0) = - 3 4 < 0, fn(1) > 0 nên phương trình fn(x) = 0 có duy nhất trong khoảng ( 0; +∞ ) b Ta có n −1 1 1 1 3 f n  ÷ = 1 + 2 + + n  ÷ 3 3 3 2 − 9 4 n 1 1... 1  n 0, ∀n ≥ 0 1 + an 1 + an =>(an) là dãy giảm ⇒ an +1 = (1) an2 a = an − n > an − 1∀n ≥ 0 1 + an 1 + an ⇒ an +1 > a0 − ( n + 1), ∀n ≥ 0 ⇒ an −1 > a0 − ( n − 1), ∀n ≥ 2 ⇒ an −1 > 2000 − n, ∀n ≥ 2 (2) Mặt khác ta lại có: an = a0 + ( a1 − a0