Tài liệu Cơ kỹ thuật

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP GIÁO TRÌNH CƠ KỸ THUẬT BỘ MÔN CƠ HỌC Thái Nguyên 2014 Chƣơng Giới thiệu động lực học Sir Isaac Newton (1643-1727) luận án ông nguyên lý toán học tự nhiên triết học thiết lập tảng cho động lực học với ba định luật chuyển động vạn vật hấp dẫn, thảo luận chương (Ảnh thời gian sống/Ảnh Getty) 1.1 Giới thiệu Động lực học cổ điển nghiên cứu chuyển động vật thể sử dụng nguyên lý thiết lập Newton Euler Đối tượng sách dựa phần nhỏ động lực học cổ điển thể Hình 1.1 Phần sách liên quan đến động lực học chất điểm Một chất điểm điểm có khối lượng, có khối lượng kích thước Chất điểm mô hình xấp xỉ vật thể mà kích thước bỏ qua so sánh với kích thước xuất công thức toán Ví dụ, nghiên cứu chuyển động trái đất quanh mặt trời, ta coi trái đất chất điểm, bán kính nhỏ nhiều so với quĩ đạo Chuyển động tuyệt đối Chất điểm Động học Chuyển động tƣơng đối Động lực học Phƣơng pháp lực- lƣợng-gia tốc Vật rắn Động lực học Phƣơng pháp công – lƣợng Phƣơng pháp xung lực-động lƣợng Hình 1.1 Phần thứ hai sách đề cập chủ yếu tới động lực học vật rắn Một vật thể nói rắn khoảng cách hai điểm vật chất vật thể không đổi, nghĩa vật thể không biến dạng Bởi vật thể bị vài biến dạng tải trọng tác dụng lên nó, vật thể hoàn toàn rắn không tồn Tuy nhiên, nhiều ứng dụng biến dạng nhỏ (so với kích thước vật thể) nên lý tưởng hóa vật rắn xấp xỉ tốt Như thấy Hình 1.1, nhánh động lực học động học động lực học Động học nghiên cứu chuyển động hình học Nó không quan tâm tới nguyên nhân chuyển động Động lực học, lại khác, liên quan đến quan hệ lực tác dụng lên vật thể kết chuyển động Động học không chủ đề quan trọng theo tính đắn mà vấn đề tiên cho động lực học Do đó, nghiên cứu động lực học bắt đầu với vấn đề động học Động học chia thành hai phần Hình 1.1: chuyển động tuyệt đối chuyển động tương đối Thuật ngữ chuyển động tuyệt đối sử dụng chuyển động mô tả tương ứng với khung tham chiếu cố định (hệ tọa độ) Chuyển động tương đối, mặt khác, mô tả chuyển động tương ứng với hệ tọa độ chuyển động Hình 1.1, liệt kê ba phương pháp phân tích động lực học Phương pháp lựckhối lượng-gia tốc (FMA) ứng dụng trực tiếp từ định luật chuyển động Newton, thể quan hệ lực tác dụng lên vật thể với khối lượng gia tốc Những quan hệ này, gọi phương trình chuyển động, phải tích phân hai lần để thu vận tốc vị trí hàm thời gian Phương pháp công-năng lượng xung lượng-động lượng dạng tích phân định luật Newton chuyển động (các phương trình chuyển động tích phân theo vị trí thời gian) Trong hai phương pháp gia tốc tính toán tích phân Các phương pháp hữu ích việc giải toán liên quan đến quan hệ vận tốc-vị trí hay vận tốc-thời gian Mục đích chương thể thông qua khái niệm học Newton: dịch chuyển, vận tốc, gia tốc, định luật Newton, đơn vị đo lường 1.2 Đạo hàm hàm véc tơ Một hiểu biết tính toán véc tơ yêu cầu thiết yếu để nghiên cứu động lực học Ở thảo luận đạo hàm véc tơ; tích phân giới thiệu sách cần thiết Véc tơ A nói hàm véc tơ đại lượng vô hướng u độ lớn chiều A phụ thuộc vào u (Trong động lực học, thời gian thường chọn đại lượng vô hướng) Mối quan hệ hàm ký hiệu A(u) Nếu biến vô hướng thay đổi từ giá trị u đến (u+∆𝑢), véc tơ A thay đổi từ A(u) đến A(u+∆𝑢) Do đó, thay đổi véc tơ A viết sau (1.1) Như hình 1.2, ∆𝑨 với thay đổi độ lớn chiều A Đạo hàm A theo đại lượng vô hướng u định nghĩa sau: (1.2) giả sử giới hạn tồn Định nghĩa giống với đạo hàm hàm vô hướng y(u), định nghĩa sau: (1.3) Chú ý: liên quan đến hàm véc tơ, độ lớn đạo hàm 𝑑𝑨/𝑑𝑢 không nhầm với đạo hàm độ lớn 𝑑 𝑨 /𝑑𝑢 Tổng quát, hai đạo hàm không Ví dụ, độ lớn véc tơ A số, 𝑑𝑨/𝑑𝑢 = Tuy nhiên, 𝑑𝑨/𝑑𝑢 không không ngoại trừ chiều A số Các đồng thức sau suy từ định nghĩa đạo hàm (A B giả thiết hàm véc tơ đại lượng vô hướng u, m vô hướng): (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) 1.3 Vị trí, vận tốc gia tốc chất điểm a Vị trí Xét chuyển động chất điểm dọc quĩ đạo trơn Hình 1.3 Vị trí chất điểm thời điểm t véc tơ vị trí r(t), véc tơ vẽ từ điểm cố định O đến chất điểm Gọi vị trí chất điểm A thời điểm t, B thời điểm t+Δt, với Δt khoảng thời gian có hạn Sự thay đổi tương ứng véc tơ vị trí chất điểm, (1.8) gọi véc tơ dịch chuyển chất điểm Như Hình 1.3, vị trí chất điểm thời điểm t tọa độ quĩ đạo s(t), chiều dài quãng đường điểm cố định E chất điểm Sự thay đổi chiều dài quĩ đạo khoảng thời gian Δt (1.9) Chú ý: Sự thay đổi chiều dài quĩ đạo không nhầm lẫn với khoảng di chuyển chất điểm Hai đại lượng chiều chuyển động chất điểm không thay đổi khoảng thời gian Nếu chiều chuyển động thay đổi thời gian Δt, khoảng di chuyển lớn Δs b Vận tốc Vận tốc chất điểm thời điểm t định nghĩa (1.10) Với dấu chấm đạo hàm theo thời gian Bởi vận tốc đạo hàm hàm véc tơ r(t), nên véc tơ Từ Hình 1.3, thấy Δr trở thành tiếp tuyến với quĩ đạo A ∆𝑡 → Do đó, véc tơ vận tốc tiếp tuyến với quĩ đạo chất điểm Chúng ta rút từ Hình 1.3 ∆𝒓 → ∆𝑠 ∆𝑡 → Do đó, độ lớn vận tốc, biết tốc độ chất điểm, (1.11) Thứ nguyên vận tốc [chiều dài/thời gian], đơn vị vận tốc m/s ft/s c Gia tốc Các véc tơ vận tốc chất điểm A (thời điểm t) B (thời điểm t+Δt) thể Hình 1.4(a) Chú ý hai véc tơ tiếp tuyến với quĩ đạo Sự thay đổi vận tốc khoảng thời gian Δt, thể Hình 1.4(b), (1.12) Gia tốc chất điểm thời điểm t định nghĩa (1.13) Gia tốc véc tơ có thứ nguyên [chiều dài/thời gian2]; đơn vị m/s2 ft/s2 Chú ý: véc tơ gia tốc thường không tiếp tuyến với quĩ đạo chất điểm Chiều gia tốc trùng với Δv ∆𝑡 → 0, thể Hình 1.4(b), không cần thiết giống chiều v 1.4 Cơ học Newton a Phạm vi học Newton Năm 1687, Issac Newton (1642-1727) xuất qui luật đột phá ông chuyển động Những nguyên lý (Những nguyên lý toán học vật lý tự nhiên) Không nghi ngờ, công trình xếp vào số sách khoa học có tầm ảnh hưởng lớn xuất Chúng ta không nên nghĩ xuất thiết lập nên học cổ điển Công trình Newton học liên quan mật thiết với học vũ trụ giới hạn cho chuyển động chất điểm Hai trăm năm nhiều năm trôi qua trước động lực học vật rắn, học chất lỏng, học vật thể biến dạng phát triển Mỗi lĩnh vực đòi hỏi tiên đề trước giả thiết thành dạng thích hợp Tuy nhiên, công trình Newton tảng học cổ điển, hay học Newton Những nỗ lực ông ảnh hưởng tới hai nhánh khác học sinh kỷ thứ hai mươi: học tương đối học lượng tử Cơ học tương đối đặt tượng xảy thang chia vũ trụ (vận tốc xấp xỉ với tốc độ ánh sáng, trường hấp dẫn mạnh,…) Nó thủ tiêu hai tiên đề không học Newton: tồn khung tham chiều cố định quán tính giả thiết rẳng thời gian biến tuyệt đối, “chuyển động” với tỉ lệ tất phần vũ trụ (Có chứng tự Newton băn khoăn hai tiên đề này) Cơ học lượng tử tập trung với chất điểm thang chia nguyên tử thang chia nguyên tử Nó thủ tiêu hai khái niệm yêu mến học cổ điển: Sự xác định liên tục Cơ học lượng tử cần thiết lý thuyết xác suất, thay kiện, xác định khả mà kiện xảy Hơn nữa, theo lý thuyết đó, kiện xảy bước phân rã (được gọi định lượng) theo cách liên tục Cơ học tương đối học lượng tử hiệu lực nguyên lý học Newton Trong phân tích chuyển động vật thể bắt gặp đời sống hàng ngày, hai lý thuyết hội tụ đến phương trình học Newton Do đó, lý thuyết bí truyền thường củng cố đắn luật chuyển động Newton b Các định luật Newton chuyển động chất điểm Sử dụng kỹ thuật đại, định luật Newton chuyển động chất điểm phát biểu sau: Nếu chất điểm đứng yên (hoặc chuyển động với vận tốc không đổi), đứng yên (hoặc tiếp tục chuyển động với vận tốc không đổi) trừ chịu tác dụng lực Một chất điểm chịu tác dụng lực chuyển động với gia tốc chiều với lực Độ lớn gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn lực tỉ lệ nghịch với khối lượng chất điểm Với tác động, có phản lực cân ngược chiều; nghĩa là, lực tương tác hai chất điểm độ lớn ngược chiều Mặc dù định luật thứ đơn giản trường hợp đặc biệt định luật thứ hai, người ta thường phát biểu định luật thứ riêng rẽ tầm quan trọng phần tĩnh học c Các khung tham chiếu quán tính Khi áp dụng định luật thứ hai Newton, cần tập trung xây dựng hệ tọa độ mà gia tốc đo Một khung tham chiếu quán tính (cũng biết khung tham chiếu Newton Gallile) định nghĩa hệ tọa độ rắn mà định luật Newton chuyển động chất điểm tương đối so khung tham chiếu đo có hiệu lực với độ xác chấp nhận Trong hầu hết ứng dụng thiết kế sử dụng bề mặt trái đất, khung quán tính xấp xỉ với đủ xác cách gắn hệ tọa độ vào trái đất Trong nghiên cứu vệ tinh trái đất, hệ tọa độ gắn vào mặt trời thường sử dụng Đối với chuyển động hành tinh, cần thiết sử dụng hệ tọa độ gắn vào cố định đặt tên Có thể thấy khung tham chiếu mà tịnh tiến với vận tốc không đổi tương đối so với khung tham chiếu quán tính tự khung tham chiếu quán tính Thông thường để bỏ qua từ quán tính thể khung tham chiếu định luật Newton rõ ràng nghiệm d Các đơn vị thứ nguyên Các chuẩn việc đo đạc gọi đơn vị Thuật ngữ thứ nguyên thể cách đo đạc, bất chấp đơn vị sử dụng Ví dụ, kilogam mét/giây đơn vị, khối lượng chiều dài/thời gian thứ nguyên Các thứ nguyên hệ SI (từ System international unit) khối lượng [M], chiều dài [L], thời gian [T], đơn vị kilogam (kg), mét (m), giây (s) Tất thứ nguyên hay đơn vị khác tổ hợp đại lượng Ví dụ, thứ nguyên vận tốc [L/T], đơn vị vận tốc km/h, m/s, vân vân Một hệ với thứ nguyên [FLT] (chẳng hạn hệ đo lường US), gọi hệ hấp dẫn Nếu thứ nguyên [MLT] (như hệ SI), hệ gọi hệ tuyệt đối Trong hệ đo đạc, đơn vị định nghĩa tượng sinh sản vật lý, đối tượng vật lý Ví dụ, giây định nghĩa khoảng thời gian số xác định chu kỳ xạ đồng vị xác định, kilogam định nghĩa khối lượng khối sắt xác định giữ gần Paris, Pháp Tất phương trình thể hiện tượng vật lý phải đồng thứ nguyên; nghĩa là, số hạng phương trình phải thứ nguyên Ngược lại, phương trình ý nghĩa vật lý (nó nghĩa, ví dụ, để cộng lực với chiều dài) Kiểm tra phương trình để đồng thứ nguyên thói quen tốt để học, kiểm tra lỗi sinh thao tác phép toán đại số e Khối lƣợng, lực, trọng lƣợng Nếu lực F tác dụng lên chất điểm khối lượng m, định luật thứ hai Newton (1.14) Lời giải Hình (b) thể FBD biểu đồ động lượng t=0 t=5s cho bánh Các FBD chứa trọng lực bánh răng, ngẫu lực tác dụng C0, lực tương tác tiếp tuyến F, phản lực gối đỡ (Bởi C0 số, F số) Chú ý biểu đồ động lượng chứa động lượng góc I  , bánh quay quanh trục qua khối tâm nó, nên 𝑚𝒗 = Phương pháp lực – khối lượng – gia tốc (FMA), mô tả Chương 7, phương pháp xung lượng – động lượng sử dụng để giải toán Phương pháp FMA không phức tạp, lức, gia tốc, số Phương pháp xung lượng – động lượng, sử dụng, thuận tiện hơn, đòi hỏi tính thay đổi vận tốc mà xảy khoảng thời gian cho trước Các mô men quán tính bánh I A  mAk A2  (4.5)(0.1)2  0.045kgm2 I B  mB kB2  9(0.2)2  0.36kgm2 Sử dụng Hình (b), phương trình xung lượng – động lượng góc bánh A điểm D Chú ý xung lượng góc dễ dàng tính toán, C0 F số Quan sát thấy điểm tiếp xúc bánh có vận tốc, kết luận 0.2ωA=0.3ωB, dẫn đến (ωB)2=(2/3) (ωA)2=(2/3)(50)=33.33rad/s Do đó, từ Hình (b), phương trình xung lượng – động lượng góc bánh B điểm E Từ phương trình (b) nhận thấy lực tương tác Thay giá trị vào phương trình (a), thu Ví dụ 8.10: Hình (a) thể B có khối lượng mB đặt bên ống A có khối lượng mA Các vật mảnh, đồng chất chiều dài L Ban đầu, B giữ bên A (a=0) chóp nhẹ (không thể hiện) mà phủ lên đầu A hệ quay tự quanh trục z với vận tốc góc ω1 Sau chóp bỏ đi, cho phép trượt ống Xác định vận tốc góc ω2 hệ trượt hoàn toàn khỏi ống (a=L) Bỏ qua ma sát Lời giải Sơ đồ vật thể tự do: Hình (b) thể FBD hệ B mở khoảng cách a so với đầu ống A FBD thể lực tác dụng mặt phẳng xy FBD đầy đủ bao gồm trọng lực vật, phản lực Oz, ngẫu lực Cx tác dụng O Tuy nhiên, chúng không ảnh hưởng đến chuyển động mặt phẳng xy, chúng bỏ qua Cũng ý lực tương tác ống không xuất FBD chúng lực Một lý chọn phân tích chuyển động hệ, thay xét vật tách riêng Biểu đồ động lượng ban đầu: Hình (b) thể biểu đồ động lượng cuối cùng, với B nằm hoàn toàn ống A, trước thoát khỏi ống Chú ý biểu đồ bao gồm véc tơ động lượng tuyến tính góc A B Các vận tốc góc vật thể ω1, nên vận tốc khối tâm chúng (L/2)ω1 Biểu đồ động lượng cuối cùng: Trong biểu đồ động lượng cuối Hình (b), B chuyển động tương đối so với A với vận tốc tương đối vB/A Các vận tốc góc vật ω2, nên động lượng góc thể Véc tơ động lượng tuyến tính A suy từ thực tế vận tốc khối tâm (L/2)ω2 Hai thành phần véc tơ động lượng tuyến tính khối tâm B tương ứng với thành phần vận tốc tọa độ cực vR=vB/A vθ=(3L/2)ω2 Phân tích xung lượng – động lượng: Phần lại phân tích bao gồm việc viết giải phương trình xung lượng – động lượng sử dụng ba biểu đồ thể Hình (b) Bởi cần xác định ω2, lời giải thuận tiện sử dụng phương trình xung lượng – động lượng góc điểm O điểm tham chiếu, điều khử phản lực chưa biết Ox Oy Từ FBD Hình (b), thấy (AO)1-2=0 (Ox Oy xung lượng góc O) Chú ý O điểm cố định, sử dụng phương trình xung lượng – động lượng góc (AO)1-2=ΔhO, điều dẫn tới ΔhO=0 Mặt khác, động lượng góc hệ O bảo toàn Cân mô men động lượng O hai biểu đồ động lượng thể Hình (b), có Thay I  mL2 /12 cho vật giải ω2, Ví dụ 8.11: Hệ thể Hình (a) bao gồm tay quay AOC, gắn lề với hai đồng chất AB CD Hệ quay không ma sát quanh trục z đỡ O Một cấu bên (không thể hình) điều chỉnh giữ hai vị trí góc θ Mô men quán tính AOC trục z 1.04kgm2, khối lượng AB CD 1.5kg Ban đầu hệ quay tự quanh trục z với vận tốc góc ω1=10rad/s với θ=900 Tính vận tốc góc hệ di chuyển tới vị trí góc θ=1800 Lời giải: Hình (b) chứa FBD hệ vị trí bất kỳ, thể lực tác dụng nằm mặt phẳng xy Ox va Oy, hai thành phần phản lực đỡ O Chú ý FBD không thay đổi trình chuyển động hệ Cũng Hình (b), biểu đồ động lượng cho vị trí đầu (θ=900) cuối (θ=1800) hệ thể Các giá trị số thể biểu đồ động lượng tính toán mô tả bên Biểu đồ động lượng ban đầu: Tay quay AOC: Các AB CD (cả hai vuông góc với mặt phẳng hình vẽ): Biểu đồ động lượng cuối: Tay quay AOC: Các AB CD (cả hai vuông góc với mặt phẳng hình vẽ): Sự bảo toàn động lượng góc: Từ FBD Hình (b) thấy xung lượng góc trục z Nên động lượng góc hệ trục z bảo toàn.Theo biểu đồ động lượng Hình (b), thu dẫn đến 8.7 Va chạm vật rắn Va chạm hệ chất điểm thảo luận phần 5.8 – 5.10, đa giới thiệu phân tích đơn giản va chạm đàn hồi mà sử dụng hệ số phục hồi, số theo kinh nghiệm Va chạm vật rắn toán phức tạp mà phụ thuộc vào hình dạng hình học vật va chạm đặc trưng bề mặt chúng, vận tốc tương đối chúng Sự tập trung để phát triển khái niệm hệ số phục hồi không đổi cho va chạm vật rắn đơn giản hóa toán thực tế mang lại kết ý nghĩa Do đó, không xét toán va chạm vật rắn mà đòi hỏi sử dụng hệ số kinh nghiệm tương tự cho hệ sô phục hồi Một đơn giản hóa hiệu phát sinh phân tích va chạm vật rắn chuyển động giả thiết xung, nghĩa thời gian va chạm bỏ qua – xem phần 5.9 Như miêu tả trước đó, biểu thức xung lượng góc cân với thay đổi động lượng góc là, tổng quát, có hiệu lực khối tâm hay điểm cố định Tuy nhiên, với chuyển động xung, xung lượng góc thay đổi động lượng góc có hiệu lực tất điểm Lý đơn giản hóa việc giả thiết thời gian va chạm vô ngắn, bỏ qua dịch chuyển lúc va chạm Do đó, tất điểm cố định lúc va chạm Các bước thông thường phân tích toán va chạm vật rắn giống va chạm chất điểm phần 5.9: Bước 1: Vẽ FBD vật va chạm và/hoặc hệ vật va chạm Chỉ xung lượng – sử dụng ký hiệu đặc biệt, chẳng hạn dấu mũ (  ), để ký hiệu xung lực (Nên vẽ lại FBD, thể xung lực) Bước 2: Vẽ biểu đồ động lượng vật thời điểm trước va chạm Bước 3: Vẽ biểu đồ động lượng vật thời điểm sau va chạm Bước 4: Sử dụng biểu đồ vẽ Bước từ đến 3, xây dựng giải phương trình xung lượng – động lượng thích hợp cho vật riêng lẻ và/hoặc hệ vật Ví dụ 8.12: Hình (a) thể viên đạn C nặng 0.01kg bắn vào đầu B mảnh đồng chất AB nặng 6kg Thanh ban đầu đứng yên, vận tốc ban đầu viên đạn v1=800m/s, hướng cho Giả thiết viên đạn trở thành phần Hãy tính: Vận tốc góc  sau va chạm Xung lực sinh A va chạm Phần trăm lượng va chạm Bỏ qua thời gian va chạm Lời giải Các giải thích giới thiệu: Bởi thời gian va chạm bỏ qua, chuyển động xung, với viên đạn chiếm vị trí trước, khi, sau va chạm Các FBD cho viên đạn va chạm thể Hình (b), với có lực xung (với ký hiệu mũ) thể Bởi trọng lực C AB lực hữu hạn, chúng không xuất phân tích va chạm bỏ qua sơ đồ FBD Quan sát thấy FBD chứa Bˆ x Bˆ y , thành phần lực tương tác xung ˆ A ˆ , thành phần phản lực xung lề A B, A y x Hình (b) chứa biểu đồ động lượng trước sau va chạm Biểu đồ động lượng trước va chạm chứa động lượng tuyến tính ban đầu viên đạn C Biểu đồ động lượng sau va chạm chứa động lượng cuối viên đạn động lượng tuyến tính động lượng góc AB (vận tốc góc  giả thiết đo rad/s) Chú ý quan hệ động học sử dụng biểu đồ, v2=2ω2 (v2 ) AB  2 , suy từ thực tế A điểm cố định Cũng vậy, mô men quán tính trung tâm AB I AB  mL2 / 12  (6)(2)  2kg  m , 12 điều dẫn đến (I 2 ) AB  (2)2 N  m  s , biểu đồ ˆ ,A ˆ , Xét kỹ Hình (b) phát có tổng cộng năm đại lượng chưa biết: Các xung A y x Bˆ x Bˆ y , vận tốc góc 2 Cũng có tổng cộng năm phương trình xung lượng – động lượng độc lập: hai cho viên đạn C ba cho AB Do đó, tất năm đại lượng chưa biết xác định từ năm phương trình độc lập Tuy nhiên, đòi ˆ ,A ˆ ), ta không cần thiết phải hỏi phải tìm ba đại lượng chưa biết (  xung lực A y x sử dụng năm phương trình Phần 1: Cần thiết việc tính  xét hệ bao gồm viên đạn thanh, trái ngược với việc ˆ A ˆ lực xét riêng vật Với hê, Bˆ x Bˆ y lực trong, nên có A y x Do đó, xung lượng góc tác dụng lên hệ A không, điều dẫn đưa tới kết luận động lượng góc A bảo toàn Theo biểu đồ động lượng Hình (b), thu hệ Giải  dẫn đến Phần 2: ˆ A ˆ lực mà tác dụng lên hệ va Như đề cập trước, A y x chạm, Bˆ x Bˆ y lực Theo Hình (b), thành phần x phương trình xung lượng – động lượng tuyến tính cho hệ Thay 2  1.72rad / s từ Lời giải phần dẫn đến ˆ ngược so với giả thiết A ˆ giả Dấu âm hướng xung lượng A x x thiết FBD Thành phần y phương trình xung lượng – động lượng cho hệ Hay Từ kết phương trình (a) (b), xung lượng tổng cộng tác dụng lên A va chạm Phần 3: Động hệ trước va chạm Sau va chạm, động Thay giá trị số vào, ta Do đó, phần trăm lượng va chạm ˆ dt Phương pháp khác để tính  A x ˆ tính từ phương trình xung lượng – động lượng góc Xung phản lực A x Theo Hình (b) xét toàn hệ xét AB, Dẫn đến Điều đồng ý với kết cho phương trình (a) Chú ý phù hợp để sử dụng B làm điểm tham chiếu, giống điểm cố định khối tâm Như đề cập phần 8.7, hạn chế lên vị trí điểm tham chiếu chuyển động xung (tất điểm) Ví dụ 8.13: Thanh mảnh đồng chất nặng 20-kg Hình (a) di chuyển sang phải lăn không ma sát A B với vận tốc v1 lăn B bị chặn gờ nhỏ C Tính giá trị nhỏ v1 để có vị trí thẳng đứng sau va chạm Lời giải Hình (b) thể FBD va chạm, biểu đồ động lượng trước sau va chạm, ký hiệu tương ứng Cũng thể vị trí cuối cùng, vị trí 3, vị trí nghỉ Chúng ta bỏ qua thời gian va chạm, có nghĩa chuyển động giả thiết xung Do đó, chiếm vị trí không gian thông qua thời gian va chạm Chúng ta phải sử dụng phương pháp xung lượng – động lượng để phân tích va chạm xảy vị trí Để phân tích chuyển động vị trí 3, sử dụng nguyên lý bảo toàn lượng học FBD Hình (b) thể phản lực Bˆ x Bˆ y , xung lực mà tác dụng lên va chạm Trọng lực bỏ qua từ FBD; lực hữu hạn mà xung lượng bỏ qua nhỏ va chạm Phản lực lăn A không xuất FBD lý tương tự (phản lực xung lượng lăn trượt mặt phẳng va chạm) Như thể Hình (b), biểu đồ động lượng cho vị trí chứa véc tơ động lượng tuyến tính, độ lớn mv1=20v1 Ns, với v1 tính m/s Biểu đồ động lượng cho vị trí chứa động lượng tuyến tính động lượng góc Chúng ta có I  mL2 / 12  20(3) / 12  15 Nm , động lượng góc I 2  152 Nms , với  đo rad/s Bởi quay quanh đầu B sau va chạm, v2  1.52 m / s ; độ lớn véc tơ động lượng tuyến tính mv2  20(1.5)2  302 Ns Từ FBD Hình (b) thấy xung lượng góc B không, Bˆ x Bˆ y qua B Bởi xung lượng góc thay đổi động lượng góc điểm va chạm, kết luận động lượng góc B bảo toàn hai vị trí Theo biểu đồ động lượng Hình (b), thu Phương trình dẫn tới mối quan hệ sau v1  : Bởi tất lực tác dụng lên sau va chạm bảo toàn, giá trị  tính việc áp dụng nguyên lý bảo toàn lượng học hai vị trí (nhắc lại nghỉ vị trí thẳng đứng) Như thể Hình (b), chọn gốc mặt phẳng nằm ngang qua B Do đó, vị trí Động hai vị trí Thay biểu thức (b)-(e), bảo toàn lượng học dẫn đến Từ Thay giá trị vào phương trình (a), tìm giá trị nhỏ vận tốc góc có vị trí thẳng đứng [...]... gia tốc là a  ax i  ay j + az k (2.4) với các thành phần tương ứng trong hình 2.1(b)  x=x  ay =v  y=y  az=v z=z  ax=v (2.5) a Chuyển động phẳng Chuyển động phẳng xuất hiện trong các ứng dụng kỹ thuật nên được đặc biệt chú ý Trong hình 2.2(a) chỉ ra quỹ đạo của chất điểm A chuyển động trong mặt phẳng xy, để có được các thành phần theo hai trục của r, v, a chúng ta đặt z=0 trong công thức (2.1)... với các thừa số chuyển đổi – chỉ khi đơn vị của nó được sửa lại Chú ý rằng cho phép không dùng đơn vị trong quá trình chuyển đổi nếu chúng là các đại lượng đại số Các thừa số chuyển đổi thích hợp cho cơ học được liệt kê ở bảng trước của quyển sách g Định luật hấp dẫn Ngoài rất nhiều thành tích, Newton cũng công bố định luật vạn vật hấp dẫn Xét hai chất điểm có khối lượng mA và mB mà cách nhau một khoảng... thường, cấp hai Nghiệm của phương trình vi phân này là x(t), vị trí như là một hàm của thời gian Nếu tất cả 3 biến số (x, v, t) xuất hiện rõ ràng trong phương trình của a trong phương trình (2.14) thì cơ hội để có được một lời giải bằng giải tích là rất khó Lý do là f thường là hàm phi tuyến, nó chứa các đại lượng phi tuyến , như là sinx hoặc v2 Trong tất cả các trường hợp phương trình vi phân phi tuyến