bài giảng số học

Bài giảng số học Số học Ở cấp dưới, ta làm quen với khái niệm số nguyên Nhắc lại số tập hợp số thường gặp: Tập hợp số tự nhiên: N = {0, 1, 2, 3, …} Tập hợp số nguyên: Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….} Tập hợp số hữu tỷ: Q = {p/q | với p ∈ Z, q ∈ Z+} Tập hợp số thực R Tập hợp số vô tỷ R \ Q tập hợp số thực không biểu diễn dạng p/q với p ∈ Z, q ∈ Z+ Trên tập hợp số nguyên, ta thực phép toán: Cộng, trừ, nhân Riêng với phép chia, lúc ta thực Từ dẫn đến phép chia có dư khái niệm chia hết Ta có tính chất quan trọng sau: Thuật toán chia: Cho a số nguyên b số nguyên > Khi tồn cặp số nguyên (q, r) thoả mãn đồng thời điều kiện sau: i) a = bq + r; ii) ≤ r < b Chứng minh: Mệnh đề có hai yêu cầu: Tồn Tồn Trước hết ta chứng minh cho trường hợp a ≥ Ta chứng minh quy nạp theo a Nếu a < b ta chọn q = r = a Giả sử mệnh đề đến a = n ( ≥ b-1) Xét a = n+1 ≥ b Ta có ≤ a – b ≤ n nên theo giả thiết quy nạp, mệnh đề đúng, tức tồn q’ r’ cho a – b = bq’ + r’ ≤ r’ < b Nhưng từ ta có a = b(q’+1) + r’ Như đặt q = q’ +1 r = r’ ta a = bq + r ≤ r < b, tức mệnh đề với a = n+1 Với a < ta tìm số nguyên dương n cho a + nb > Từ a + nb = bq’ + r’ với ≤ r’ < b, suy a = b(q’-n) + r’ Duy Nếu a = bq + r, a = bq’ + r’ với ≤ r, r’ < b từ suy b(q-q’) = r’–r Do – b < r’ – r < b nên đẳng thức xảy r’ – r = q – q’ = 0, tức q = q’, r = r’ Tính chất đơn giản tính chất tảng, có nhiều ứng dụng quan trọng số học Khi thực thuật toán chia a cho b, số dư r = 0, tức a = bq ta nói a chia hết cho b Nói cách khác, ta nói a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a = bq Trong trường hợp này, ta viết ab Ta nói b chia hết a viết b | a Từ định nghĩa trên, ta suy tính chất sau phép chia hết a) Nếu a, b chia hết cho c a + b, a – b nói chung ax + by với x, y nguyên chia hết cho c b) Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c a chia hết cho c (tính bắc cầu) c) Nếu a chia hết cho b, c chia hết cho d ac chia hết cho bd Trong phần sau, ta bổ sung thêm số tính chất quan trọng khác phép chia hết (trong có tính giản ước được) Nếu d chia hết a ta nói d ước số a Xét hai số nguyên a b Nếu d chia hết a lẫn b ta nói d ước số chung a b Số lớn ước số chung a b gọi ước số chung lớn a b, ký hiệu (a, b) Ví dụ số có tập ước số tương ứng {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6} {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8} Tập ước số chung {-2, -1, 1, 2} ước số chung lớn Nếu (a, b) = ta nói hai số a b nguyên tố Ta có định lý quan trọng sau Định lý (Bezout) Hai số nguyên a b nguyên tố tồn số nguyên x y cho ax + by = Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp a, b > Nếu tồn x, y cho ax + by = d = (a, b) rõ ràng d | ax + by = suy d = Ngược lại, (a, b) = 1, ta chứng minh tồn số nguyên x, y quy nạp theo a + b Với a + b = 2, mệnh đề Giả sử mệnh đề với a + b ≤ n Xét cặp số (a, b) với (a, b) = 1, a + b = n+1 Không tính tổng quát, giả sử a > b (trường hợp a = b dẫn đến (a, b) = b > 1!) Thực phép chia a cho b, ta a = bq + r Từ rõ ràng ta có (b, r) = 1, (b, r) = d > d ước số a, d ước số chung a b, mâu thuẫn với điều kiện (a, b) = Như (b, r) = b+r = a – bq + b < a + b nên theo giả thiết quy nạp, tồn x’, y’ nguyên cho rx’ + by’ = Thay r = q – bq vào, ta (a-bq)x’ + by’ =  ax’ + b(y’-qx’) = Đặt x = x’, y = y’ – qx’ ta ax + by = Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề với (a, b) với (a, b) = Định lý chứng minh Từ định lý trên, ta dễ dàng suy hệ sau: Hệ Nếu d = (a, b) tồn số nguyên x, y cho ax + by = d Hệ Nếu d = (a, b) ước số chung a b ước số d Làm để tìm ước số chung hai số nguyên a b? Trước hết, ta ý (a, b) = (|a|, |b|) ta cần xét trường hợp a, b > Ta có thuật toán Euclide sau để tìm ước số chung lớn hai số Cơ sở thuật toán tính chất sau: Nếu a = bq + r (a, b) = (b, r) Chứng minh tính chất: Đặt d = (a, b) d’ = (b, r) Ta có d | a, d | b suy d | r = a – bq, suy d ước số chung b r Theo hệ 2, d ước số d’ Tương tự, d’ | b, d’ | r suy d’ | a = bq + r, suy d’ ước số chung a b, suy d’ ước số d Như d’ | d, d | d’, suy d = d’ Thuật toán Euclide: Ta minh hoạ thuật toán Euclide qua việc tìm USCLN 2009 435 2009 = 435.4 + 269; 435 = 269.1 + 166; 269 = 166.1 + 103; 166 = 103.1 + 63; 103 = 63.1 + 40; 63 = 40.1 + 23; 40 = 23.1 + 17; 23 = 17.1 + ; 17 = 6.2 + 5; = 5.1 + 1; = 5.1 + Như vậy, theo tính chất nêu ta có (2009, 435) = (435, 269) = (269, 166) = (166, 103) = (103, 63), (63, 40) = (40, 23) = (23, 17) = (17, 6) = (6, 5) = (5, 1) = Tính chất nguyên tố hai số nguyên tính chất quan trọng số học Và định lý Bezout định lý mạnh để sử dụng tính chất Dưới đây, ta bổ sung hai tính chất quan trọng phép chia hết liên quan đến số nguyên tố nhau: d) Nếu ab chia hết cho c mà (a, c) = b chia hết cho c (Tính rút gọn được) e) Nếu a chia hết cho b, a chia hết cho c mà (b, c) = a chia hết cho b.c Chứng minh Ta chứng minh, chẳng hạn tính chất d) Vì ab chia hết cho c nên ab = cq Vì (a, c) = nên theo định lý Bezout, tồn x, y nguyên cho ax + cy = Nhân hai vế cho b, ta b = abx + cby = cqx + cby = c(qx+by) Suy b chia hết cho c Tương tự với khái niệm USCLN, ta có khái niệm BSCNN hai số nguyên dương a, b: Bội số chung nhỏ hai số nguyên dương a, b số nguyên dương nhỏ bội số chung a b Chú ý, tập hợp bội số chung hai số nguyên dương vô hạn, theo tính chất tập hợp số tự nhiên tập hợp bội số nguyên dương chung a, b có phần tử nhỏ BSCNN hai số nguyên dương a, b ký hiệu [a, b] Ta có tính chất quan trọng sau, nêu lên mối liên hệ USCLN BSCNN Định lý: Với a, b > 0, ta có (a, b).[a, b] = a.b Chứng minh Nếu (a, b) = M = [a, b] theo M chia hết cho a, M chia hết cho b Theo tính chất e) phép chia hết, ta suy M chia hết cho ab, suy M ≥ ab Mặt khác, rõ ràng ab bội số chung a b Theo định nghĩa M, ta có M ≤ ab Như M = ab, tức (a, b)[a, b] = a.b Bây (a, b) = d đặt a = da’, b = db’ với (a’, b’) = ta có [a, b] = d[a’, b’] = da’b’ Suy (a, b)[a, b] = d.da’b’ = (da’)(db’) = ab Bài tập Chứng minh tính chất e) phép chia hết a) Tìm cặp số nguyên dương (x, y) cho (x, y) = 5!, [x, y] = 50! (*) b) Tìm tất cặp số nguyên dương (x, y) thoả mãn điều kiện (*) Cho a, b số nguyên dương thoả mãn điều kiện (a, b) = Hãy tìm tất giá trị có d = (a+b, a2 + b2) Ngân hàng trung ương Sakinia phát hành loại tiền dina dina Hỏi người dân Sakinia giao dịch (mà không bị thiệt) hàng có giá tiền 1) Người bán hàng Sakinia thối tiền cho người mua hàng? 2) Người bán hàng Sakinia không thối tiền lại cho người mua hàng? Số học Chúng ta bắt đầu lời giải tập Bài toán Ngân hàng trung ương Sakinia phát hành loại tiền dina dina Hỏi người dân Sakinia giao dịch (mà không bị thiệt) hàng có giá tiền 1) Người bán hàng Sakinia thối tiền cho người mua hàng? 2) Người bán hàng Sakinia không thối tiền lại cho người mua hàng? Với câu 1, ta thấy hàng với giá tiền nguyên dương mua được, chẳng hạn muốn trả tiền dina ta đưa đồng tiền dina người bán hàng thối lại đồng dina Nói cách khác ta có biểu diễn = 8.2 + 5.(-3) Tương tự = 8.4 + 5.(-6) = 8.1 + 5.(-1) = 8.3 + 5(-4) … Một cách tổng quát ta có N = 8.2N + 5.(-3N) Nên ta mua hàng với giá tiền N (cho dù chưa phải cách tối ưu, nhiên toán không đòi hỏi tính tối ưu này) Với câu 2, ta liệt kê giá tiền mua không mua 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 22, 27 = 5, = 8, 10 = 5.2, 13 = + 8, 15 = 5.3, 16 = 8.2, 18 = 5.2 + 8, 20 = 5.4, 21 = 5.1 + 8.2, 23 = 5.3 + 8.1, 24 = 8.3, 25 = 5.5, 26 = 5.2 + 8.2, 28 = 5.4 + 8.1, 29 = 5.1 + 8.3, 30 = 5.6, 31 = 5.3 + 8.2, 32 = 8.4, 33 = 5.5 + 8.1 Từ dễ dàng chứng minh số ≥ 28 biểu diễn dạng 5x + 8y với x, y nguyên không âm Như vậy, có 14 giá tiền không mua bán công Sakinia, 27 giá tiền lớn không mua bán Từ lời giải trên, cách tự nhiên ta dẫn đến toán: Nếu thay 5, a, b câu trả lời nào? Dĩ nhiên, mặt toán học, ta cần xét trường hợp (a, b) = Khi từ định lý Bezout ta suy tồn x, y cho ax + by = Và từ a(xN) + b(yN) = N Như vậy, Sakinia cho phép thối tiền giá tiền nguyên để giao dịch Nhưng người bán hàng không thối lại sao? Có nghĩa số nguyên không âm N biểu diễn dạng N = ax + by với x, y nguyên không âm ? Một cách trực quan ta thấy với N đủ lớn N biểu diễn dạng N = ax + by với x, y nguyên không âm Điều khẳng định qua định lý sau : Định lý (Sylvester hay định lý Tem thư) Cho số nguyên dương a, b có (a, b) = Khi N0 = ab – a – b số nguyên dương lớn không biểu diễn dạng ax + by với x, y nguyên không âm Hơn nữa, với số nguyên n, ≤ n < N0, hai số n N0 - n có số biểu diễn Để chứng minh định lý này, ta dùng định lý sau: Định lý nghiệm phương trình Diophant bậc ax + by = c Nếu (a, b) = phương trình ax + by = c (1) có nghiệm Hơn nữa, x 0, y0 nghiệm (1) nghiệm (1) có dạng x = x0 + bt, y = y0 – at Chứng minh Do (a, b) = nên theo định lý Bezout, tồn u, v nguyên cho au + bv = Từ a(uc) + b(vc) = c Suy phương trình (1) có nghiệm Giả sử x 0, y0 nghiệm Khi ax0 + by0 = c (2) Lấy (1) trừ (2), ta a(x-x0) = - b(y-y0) Từ suy a(x-x 0) chia hết cho b Do (a, b) = nên suy x-x chia hết cho b Đặt x-x = bt, thay vào ta y-y0 = -at, suy x = x0 + bt, y = y0 – at Để kết thúc phần chủ đề liên quan đến định lý Bezout toán tem thư, ta đưa thuật toán tìm hai số u, v cho ax + by = với a, b số nguyên dương nguyên tố Ta giải thích thuật toán thông qua ví dụ sau: Bài toán a) Tìm số nguyên u, v cho 23u + 17v = b) Tìm nghiệm tổng quát phương trình 23x + 17y = 200 c) Tìm tất cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn phương trình 23x + 17y = 200 Giải a) Để tìm u, v, ta dùng thuật toán Euclide mở rộng sau 23 = 17.1 + 17 = 6.2 + = 5.1 + Từ biểu diễn ngược trở lại: = – 1.5 = – 1.(17 – 6.2) = 6.3 – 17 = (23 – 17.1)3 – 17 = 23.3 – 17.4 Ta tìm u = 3, v = -4 b) Từ đẳng thức 23.3 + 17.(-4) = ta suy 23.600 + 17(-800) = 200 Từ suy nghiệm tổng quát phương trình 23x + 17y = 200 x = 600 + 17t, y = –800 – 23t c) Muốn x, y nghiệm nguyên không âm, ta cần có 600 + 17t ≥ 0, –800 – 23t ≥ 0, Từ -600/17 ≤ t ≤ -800/23 Từ suy t = -35 ta nghiệm x = 600 – 17.35 = 5, y = –800 – 23.35 = Số nguyên dương n > gọi số nguyên tố có hai ước số (nguyên dương) Trong trường hợp ngược lại, n gọi hợp số Dễ thấy n hợp số tồn a, b > cho n = a.b Các số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … đóng vai trò quan trọng số học số vấn đề khác liên quan đến số nguyên (ví dụ phương trình hàm tập N) Trước hết ta có định lý quan trọng sau : Định lý số học: Nếu N > số nguyên dương N phân tích thành tích thừa số nguyên tố α α α N = p1 p 2 p r r , pi số nguyên tố phân biệt, αi số nguyên dương Hơn nữa, phân tích không tính đến thứ tự thừa số Để chứng minh định lý này, ta cần dùng đến bổ đề đơn giản sau : Bổ đề: Mọi số nguyên dương N > có ước số nguyên tố Ta chứng minh bổ đề phép quy nạp mạnh Với N = 2, mệnh đề Giả sử mệnh đề đến N < n Xét N = n Nếu n số nguyên tố n ước số n Nếu n hợp số n = a.b với a, b > Khi a < n theo giả thiết quy nạp, a có ước số nguyên tố p Nhưng p ước số nguyên tố n Ta có đpcm Bài toán 1) Số 100! tận chữ số 0? 2) Chữ số khác tính từ bên phải sang số 100! số mấy? Để giải toán trên, ta cần tìm số mũ phân tích tắc 100!, với ý 5.2 = 10 N chia hết cho 10 k (và không chia hết cho 10k+1) N tận k chữ số Ta có định lý sau : Định lý Gọi αp(n) số mũ p phân tích tắc n thừa số nguyên tố, ta có n  n   n  α p (n) =   +   +   +  p  p   p  n  p  n   số chia hết p  Chứng minh Trong n số nguyên dương đầu tiên, có   số chia hết cho p,   n  3  số chia hết cho p , … Từ suy có p   cho p2,  n  n   p  −  p  số chia cho p (tức chia hết cho p mà không chia hết cho p );      n   n    −   số chia cho p ; p p      n   n    −   số chia cho p ; p p     … Từ suy  n   n   n   n   n   n  n  n   n  α p (n) =    −    + 2   −    + 3   −    + =   +   +   +  p  p   p   p  p   p   p   p   p  Áp dụng vào toán, ta có 100  100  100  α (100) =  + + + = 20 + + = 24    25  125  100  100  100  100  100  100  α (100) =  + + + + + + = 50 + 25 + 12 + + + = 97        16   32   64  Từ suy 100! tận 24 chữ số Phần lại toán xin dành cho bạn Bài tập Chứng minh định lý Sylvester Chứng minh tích n số nguyên dương liên tiếp chia hết cho n! (Gợi ý : Chứng minh (n+k)!/k!n! số nguyên cách dùng số mũ p phân tích tắc n!) Hãy số 1, 2, 3, …, 12 theo thứ tự vòng tròn cho với số a, b, c liên tiếp vòng tròn, ta có ac – b2 chia hết cho 13 Chứng minh n > p số nguyên tố thoả mãn điều kiện 2n/3 < p < n p không chia hết (2n)!/(n!)2  .. . nhau: d) Nếu ab chia hết cho c mà (a, c) = b chia hết cho c (Tính rút gọn đư c) e) Nếu a chia hết cho b, a chia hết cho c mà (b, c) = a chia hết cho b .c Chứng minh Ta chứng minh, chẳng hạn tính chất .. . Nếu a chia hết cho b, c chia hết cho d ac chia hết cho bd Trong phần sau, ta bổ sung thêm số tính chất quan trọng kh c phép chia hết (trong c tính giản ư c đư c) Nếu d chia hết a ta nói d ư c s .. . tính chất sau phép chia hết a) Nếu a, b chia hết cho c a + b, a – b nói chung ax + by với x, y nguyên chia hết cho c b) Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c a chia hết cho c (tính b c cầu) c)