Ma trận

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHTài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 15 tháng 11 năm 2004Hạng Của Ma TrậnCùng với định thức, ma trận (đặc biệt là hạng của ma trận) là các công cụ cơ bản để giải quyếtcác bài toán về hệ phương trình tuyến tính nói riêng và đại số tuyến tính nói chung. Bài viếtnày sẽ giới thiệu định nghĩa, các tính chất cơ bản của hạng ma trận, và hai phương pháp cơbản để tính hạng của ma trận.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bảnTrước hết, cần nhớ lại khái niệm định thức con cấp k của một ma trận. Cho A là ma trậncấp m × n; k là số tự nhiên 1 ≤ k ≤ min{m, n}. Chọn ra k dòng, k cột bất kỳ của A. Các phầntử thuộc giao của k dòng, k cột này tạo thành ma trận vuông cấp k, gọi là ma trận con cấp kcủa ma trận A. Định thức của ma trận con cấp k này gọi là một định thức con cấp k của A.1.1 Định nghĩa hạng của ma trậnCho A là ma trận cấp m × n khác không.Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, 1 ≤ r ≤ min{m, n} thỏa mãn các điều kiện sau:1. Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.2. Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.Nói cách khác, hạng của ma trận A = O chính là cấp cao nhất của các định thức con kháckhông của ma trận A.Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A) hoặc rank(A).Qui ước: hạng của ma trận không O là 0.1.2 Các tính chất cơ bản về hạng của ma trận1.2.1 Tính chất 1Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, tức là rank At= rank A.1 1.2.2 Tính chất 2Nếu A là ma trận vuông cấp n thìrank A = n ⇐⇒ det A = 0rank A < n ⇐⇒ det A = 0Nếu xảy ra trường hợp đầu, ta nói A là ma trận vuông không suy biến. Nếu xảy ra trườnghợp thứ hai, ta nói A là ma trận vuông suy biến.1.2.3 Tính chất 3Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thìrank(A + B) ≤ rank A + rank B1.2.4 Tính chất 4Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB. Khi đó1. rank(AB) ≤ min{rank A, rank B}2. Nếu A là ma trận vuông không suy biến thì rank(AB) = rank B.2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức2.1Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra ngay thuật toán sau đây để tìm hạngcủa ma trận A cấp m × n (A = O)Bước 1Tìm một định thức con cấp k khác 0 của A. Số k càng lớn càng tốt. Giả sử định thức concấp k khác không là Dk.Bước 2Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức Dk. Xảy ra 3 khả năng sau1. Không có một định thức con cấp k + 1 nào của A. Khả năng này xảy ra khi và chỉ khik = min{m, n}. Khi đó rank A = k = min{m, n}. Thuật toán kết thúc.2. Tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức con Dkđều bằng 0. Khi đórank A = k. Thuật toán kết thúc.3. Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1chứa định thức con Dkkhác 0. Khiđó lặp lại bước 2 với Dk+1thay cho Dk. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xảy ra trườnghợp (1) hoặc (2) thì thuật toán kết thúc.2 2.2 Ví dụTìm hạng của ma trậnA =1 2 2 1 4−1 1 1 1 31 3 3 2 22 1 1 0 1GiảiĐầu tiên ta thấy A có định thức con cấp 2, D2=1 2−1 1= 3 = 0 (Định thức này đượctạo thành bởi 2 dòng đầu, 2 cột đầu của A)Xét các định thức con cấp 3 của A chứa D2, ta thấy có định thức con cấp 3 khác 0. Đó làđịnh thứcD3=1 2 1−1 1 11 3 2= 1 = 0(Định thức Ma trận Định nghĩa Trong toán học, ma trận là mảng chữ nhật mà các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, xếp theo hàng và cột mà ma trận tuân theo quy tắc định trước Từng ô ma trận gọi phần tử mục Ví dụ Độ lớn Độ lớn hay cỡ ma trận định nghĩa số lượng hàng cột mà ma trận có Một ma trận m hàng và n cột gọi ma trận m × n trong khi mvà n được gọi là chiều của Một số dạng ma trận Tên gọi Độ lớn Vectơ hàng 1 × n Vectơ cột n × 1 Miêu tả Ma trận có hàng, đôi lúc dùng để biểu diễn vectơ Ma trận có cột, đôi lúc dùng để biểu diễn vectơ Ma trận có số hàng số cột, sử dụng Ma trận vuông n × n để biểu diễn phép biến đổi tuyến tính từ không gian vec tơ vào nó, phép phản xạ, phép quay ánh xạ cắt Kí hiệu Ma trận thường viết dấu ngoặc vuông: Một cách ký hiệu khác sử dụng dấu ngoặc đơn lớn  Các phép toán ma trận 42 Laplace nhà toán học đưa cách tính định thức ma trận vuông Phép cộng hai ma trận  Tổng A+B của hai ma trận kích thước m-x-n A và B được ma trận kích thước với phần tử vị trí tương ứng tổng hai phần tử tương ứng ma trận:(A + B) i,j = Ai,j + Bi,j, với ≤ i ≤ m và ≤ j ≤ n  Ví dụ Nhân số với ma trận Tích c A của số c  với ma trận A được thực cách nhân phần tử của A với c:(cA)i,j = c •  Ai,j Chuyển vị Chuyển vị của ma trận m-x-n A là ma T trận n-x-m A  tạo cách chuyển hàng thành cột cột thành hàng: T (A )i,j = Aj,i Cộng hai ma trận có tính chất giao hoán, hay tổng hai ma trận không phụ thuộc vào thứ tự phép tính: A + B = B + A T T  Phép chuyển vị kết hợp với phép nhân vô hướng cộng ma trận, ví (cA)  = c(A ) T T T T T (A + B)  = A  + B Cuối cùng, (A )  = A Ma trận vuông Ma trận vuông là ma trận có số hàng số cột Ma trận nxn còn gọi ma trận vuông bậc n. Bất kỳ hai ma trận vuông có bậc thực phép cộng nhân với Các phần tử aii tạo thành đường chéo chính của ma trận vuông Chúng nằm đoạn thẳng tưởng tượng góc bên trái xuống góc bên phải ma trận Các dạng ma trận vuông Nếu phần tử của A ở bên đường chéo 0, thì A được gọi là ma trận tam giác Nếu phần tử của A ở bên đường chéo 0, thì A được gọi là ma trận tam giác Nếu phần tử nằm bên đường chéo 0, thì A được gọi là ma trận chéo Ma tr ận đ ơn v ị Ma trận đơn vị In có số chiều n là ma trận nxn trong phần tử đường chéo tất phần tử khác Nó ma trận vuông bậc n, trường hợp đặc biệt ma trận chéo Nó ma trận đơn vị thực nhân ma trận với thu ma trận đó: AIn = ImA = A với ma trận A bất kỳ mxn Ma trận khả nghịch hay ma trận nghịch đảo Ma trận vuông A gọi là khả nghịch hay không suy biến nếu tồn ma trận B sao cho AB = BA = In Nếu B tồn tại, gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu bằng A −1 The end ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHGIẢI BÀI TẬP HẠNG CỦA MA TRẬNPhiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 3 tháng 12 năm 200413) Tìm hạng của ma trận:A =4 3 −5 2 38 6 −7 4 24 3 −8 2 78 6 −1 4 −6Giải:Ad2→(−2)d1+d2−−−−−−−−→d3→−d1+d3d4→(−2)d1+d44 3 −5 2 30 0 3 0 −40 0 −3 0 40 0 9 0 −12d3→−d2+d3−−−−−−−→d4→(−3)d2+d44 3 −5 2 30 0 3 0 −40 0 0 0 00 0 0 0 0Vậy rank A = 3 .14) Tìm hạng của ma trận:A =3 −1 3 2 55 −3 2 3 41 −3 5 0 77 −5 1 4 1Giải:Ađổi dòng−−−−−→1 −3 5 0 73 −1 3 2 55 −3 2 3 47 −5 1 4 1d2→ - 3d1 + d2−−−−−−−−−→d3→−5d1+d3d4→−2d1+d41 −3 5 0 70 8 −12 2 −160 12 −23 3 −310 16 −34 4 −48d3→−32d2 + d3−−−−−−−−−→d4→−7d1+d41 −3 5 0 70 8 −12 2 −160 0 −5 0 −70 0 −10 0 −16d4→−2d3+d4−−−−−−−→1 −3 5 0 70 8 −12 2 −160 0 −5 0 −70 16 0 0 −2Vậy rank A = 4 .1 15) Tìm hạng của ma trận:A =2 1 2 1 2 11 2 1 2 1 23 4 3 4 3 45 5 6 7 5 5GiảiAd1↔d2−−−−→1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 13 4 3 4 3 45 5 6 7 5 5d2→−2d1+d2−−−−−−−→d3→−3d1+d3d4→−5d1+d41 2 1 2 1 20 −3 0 −3 0 −30 −2 0 −2 0 −20 −5 1 −3 0 −5d2↔−13d2−−−−−→1 2 1 2 1 20 1 0 1 0 10 −2 0 −2 0 −20 −5 1 −3 0 −5d3→2d2+d3−−−−−−→d4→5d2+d41 2 1 2 1 20 1 0 1 0 10 0 0 0 0 00 0 1 2 0 0d3↔d4−−−−→1 2 1 2 1 20 1 0 1 0 10 0 1 2 0 00 0 0 0 0 0Vậy rank A = 3 .16) Tìm hạng của ma trận:A =2 1 1 11 3 1 11 1 4 11 1 1 51 2 3 41 1 1 1Giải:Ađổi dòng−−−−−→1 1 1 12 1 1 11 3 1 11 1 4 11 1 1 51 2 3 4d2→−2d1+d2d3→−d1+d4−−−−−−−→d4→−d1+d4d5→−d1+d5d6→−d1+d61 1 1 10 −1 −1 −10 2 0 00 0 3 00 0 0 40 1 2 3d3→2d2+d3−−−−−−→d6→d2+d61 1 1 10 −1 −1 −10 0 −2 −20 0 3 00 0 0 40 0 1 2d3↔d6−−−−→1 1 1 10 −1 −1 −10 0 1 20 0 3 00 0 0 40 0 −2 −22 d4→−3d3+d4−−−−−−−→d6→2d3+d61 1 1 10 −1 −1 −10 0 1 20 0 0 −60 0 0 40 0 0 2d5→23d4+d5−−−−−−−→d6→13d4+d61 1 1 10 −1 −1 −10 0 1 20 0 0 −60 0 0 00 0 0 0Vậy rank A = 4 .17) Tìm hạng của ma trận :A =3 1 1 4a 4 10 11 7 17 32 2 4 3Giải:Ađổi cột−−−−→1 1 4 34 10 1 a7 17 3 12 4 3 2d2→−4d1+d2−−−−−−−→d3→−7d1+d3d4→−2d1+d41 1 4 30 6 0 a − 120 10 −25 −200 2 −5 −4đổi dòng−−−−−→1 1 4 30 2 −5 −40 6 0 a − 120 10 −15 −20d3→−3d2+d3−−−−−−−→d4→−5d2+d41 1 4 30 2 −5 −40 0 15 a0 0 0 0Vậy rank A = 3. Với mọi a.18) Tìm hạng của ma trận:A =−1 2 1 −1 1a −1 1 −1 −11 a 0 1 11 2 2 −1 1Giải:Ađổi cột−−−−→1 −1 1 −1 2−1 −1 1 a −11 1 0 1 a1 −1 2 1 2d2→d1+d2d3→−d1+d3−−−−−−−→d4→−d1+d41 −1 1 −1 20 −2 2 a − 1 10 2 −1 2 a − 20 0 1 2 0d3→d2+d3−−−−−−→1 −1 1 −1 20 −2 2 a − 1 10 0 1 a + 1 a − 10 0 1 2 0d4→−d3+d4−−−−−−−→1 −1 1 −1 20 −2 2 a − 1 10 0 1 a + 1 a − 10 0 0 a − 1 1 − aVậy : nếu a = 1 thì rank A = 4 .3 . nếu a = 1 thì rank A = 3 .19) Tìm hạng của ma trận:A =1 + a a . . . aa 1 + a . . . a. . . . . . . . . . . .a a . . . 1 + aGiải:Ac1→c1+c2+ .+cn−−−−−−−−−−→1 + na a . . . a1 + na 1 + a . . . a. . . . . . . . . . . .1 + na a . . . 1 + ad2→−d1+d2−−−−−−−→ .dn→−d1+dn1 + na a . . . a0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1Nếu a = −1n. Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n .Nếu a = −1n. Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n − 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHMA TRẬN KHẢ NGHỊCHPhiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Mỵ Vinh QuangNgày 6 tháng 12 năm 20041 Ma trận khả nghịch1.1 Các khái niệm cơ bảnCho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trậnB vuông cấp n sao choAB = BA = En(1)(Enlà ma trận đơn vị cấp n)Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa điều kiện (1) là duy nhất, và B gọi là matrận nghịch đảo (ma trận ngược) của ma trận A, ký hiệu là A−1.Vậy ta luôn có: A.A−1= A−1.A = En1.2 Các tính chất1. A khả nghịch ⇐⇒ A không suy biến (det A = 0)2. Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)−1= B−1A−13. (At)−1= (A−1)t1.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo1.3.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thứcTrước hết, ta nhớ lại phần bù đại số của một phần tử. Cho A là ma trận vuông cấp n,nếu ta bỏ đi dòng i, cột j của A, ta được ma trận con cấp n − 1 của A, ký hiệu Mij. Khi đóAij= (−1)i+jdet Mijgọi là phần bù đại số của phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A.Ma trậnPA=A11A21· · · An1A12A22· · · An2 A1nA2n· · · Ann=A11A12· · · A1nA21A22· · · A2n An1An2· · · Anntgọi là ma trận phụ hợp của ma trận A.1 Ta có công thức sau đây để tìm ma trận nghịch đảo của A.Cho A là ma trận vuông cấp n.Nếu det A = 0 thì A không khả nghịch (tức là A không có ma trận nghịch đảo).Nếu det A = 0 thì A khả nghịch vàA−1=1det APAVí dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trậnA =1 2 10 1 11 2 3GiảiTa códet A =1 2 10 1 11 2 3= 2 = 0Vậy A khả nghịch.Tìm ma trận phụ hợp PAcủa A. Ta có:A11= (−1)1+11 12 3= 1A12= (−1)1+20 11 3= 1A13= (−1)1+30 11 2= −1A21= (−1)2+12 12 3= −4A22= (−1)2+21 11 3= 2A23= (−1)2+31 21 2= 0A31= (−1)3+12 11 1= 1A32= (−1)3+21 10 1= −1A33= (−1)3+31 20 1= 1VậyPA=1 −4 11 2 −1−1 0 12 v do úA1=121 4 11 2 11 0 1=12212121 1212012Nhn xột. Nu s dng nh thc tỡm ma trn nghch o ca mt ma trn vuụng cpn, ta phi tớnh mt nh thc cp n v n2nh thc cp n 1. Vic tớnh toỏn nh vy khỏphc tp khi n > 3.Bi vy, ta thng ỏp dng phng phỏp ny khi n 3. Khi n 3, ta thng s dng cỏcphng phỏp di õy.1.3.2 Phng phỏp tỡm ma trn nghch o bng cỏch da vo cỏc phộp bin is cp (phng phỏp Gauss) tỡm ma trn nghch o ca ma trn A vuụng cp n, ta lp ma trn cp n ì 2n[A | En](Enl ma trn n v cp n)[A | En] =a11a12ã ã ã a1na21a22ã ã ã a2n an1an2ã ã ã ann1 0 ã ã ã 00 1 ã ã ã 0 0 0 ã ã ã 1Sau ú, dựng cỏc phộp bin i s cp trờn dũng a ma trn [A | En] v dng [En| B]. Khiú, B chớnh l ma trn nghch o ca A, B = A1.Chỳ ý. Nu trong quỏ trỡnh bin i, nu khi bờn trỏi xut hin dũng gm ton s 0 thỡma trn A khụng kh nghch.Vớ d. Tỡm ma trn nghch o ca ma trnA =0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0Gii[A | E4] =0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 01 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1d1d1+d2+d3+d43 3 3 31 0 1 11 1 0 11 1 1 01 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1d113d11 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0131313130 1 0 00 0 1 00 0 0 1d2d1+d2d3d1+d3d4d1+d41 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1131313131323131313132313131313233 −→d1→d1+d2+d3+d41 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1−23131313−1323−13−13−13−1323−13−13−13−1323d2→−d2−→d4→−d4d3→−d31 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1−2313131313−2313131313−2313131313−23VậyA−1=−2313131313−2313131313−2313131313−231.3.HƯỚNG DẪN XÂY DỰNG MỘT SỐ MA TRẬNSự xuất hiện của các đối thủ cạnh tranh mới sẽ ảnh hưởng tới chiến lược kinh doanh của doanh nghiệp, vì vậy phải phân tích đối thủ tiềm ẩn để đánh giá những nguy cơ đó mà họ tạo ra. Một trong các công cụ đó là việc lập một số ma trân cơ bản dưới đây 1.MA TRẬN ĐÁNH GIÁ CÁC YẾU TỐ NGOẠI VI EFE ( External Factor Evaluation )Ma trận EFE đánh giá các yếu tố bên ngoài, tổng hợp và tóm tắt những cơ hội và nguy cơ chủ yếu của môi trường bên ngoài ảnh hưởng tới quá trình hoạt động của doanh nghiệp. Qua đó giúp nhà quản trị doanh nghiệp đánh giá được mức độ phản ứng của doanh nghiệp với những cơ hội, nguy cơ và đưa ra những nhận định về các yếu tố tác động bên ngoài là thuận lợi hay khó khăn cho công ty. Để xây dựng được ma trận này bạn cần thực hiện 05 bước sau:√ Bước 1: Lập một danh mục từ 10- 20 yếu tố cơ hội và nguy cơ chủ yếu mà bạn cho là có thể ảnh hưởng chủ yếu đến sự thành công của doanh nghiệp trong ngành/ lĩnh vực kinh doanh√ Bước 2: Phân loại tầm quan trọng theo thang điểm từ 0,0 ( Không quan trọng) đến 1.0 ( Rất quan trọng) cho từng yếu tố. Tầm quan trọng của mỗi yếu tố tùy thuộc vào mức độ ảnh hưởng của yếu tố đó tới lĩnh vực/ ngành nghề mà doanh nghiệp bạn đang sản xuất/ kinh doanh. Tổng điểm số tầm quan trọng của tất các các yếu tố phải bằng 1,0.√ Bước 3: Xác định trọng số từ 1 đến 4 cho từng yếu tố, trọng số của mỗi yếu tố tùy thuộc vào mức độ phản ứng của mỗi công ty với yếu tố, trong đó 4 là phản ứng tốt nhất, 3 là phản ứng trên trung bình, 2 là phản ứng trung bình, 1 là phản ứng yếu.√ Bước 4:Nhân tầm quan trọng của từng yếu tố với trọng số của nó để xác định điểm số của các yếu tố√ Bước 5: Cộng số điểm của tất cả các yếu tố để xác định tổng số điểm của ma trận. http://tinyurl.com/kinhteblog Trang 1 Đánh giá: Tổng số điểm của ma trận không phụ thuộc vào số lượng các yếu tố có trong ma trận, cao nhất là điểm 4 và thấp nhất là điểm 1• Nếu tổng số điểm là 4 thì công ty đang phản ứng tốt với những cơ hội và nguy cơ.• Nếu tổng số điểm là 2,5 công ty đang phản ứng trung bình với những cơ hội và nguy cơ• Nếu tổng số điểm là 1 , công ty đang phản ứng yếu kém với những cơ hội và nguy cơ .Ví dụ: Ma trận đánh giá các yếu tố bên ngoài của một công tyCác yếu tố bên ngoài chủ yếu Tầm quan trọng Trọng số Tính điểmCải cách thuế 0,1 3 0,3Tăng chi phí cho bảo hiểm 0,09 2 0,18Công nghệ thay đổi 0,04 2 0,08Tăng lãi xuất 0,1 2 0,2Sự dịch chuyển dân số từ vùng này sang vùng khác0,14 4 0,56Thay đổi hành vi , lối sống 0,09 3 0,27Những phụ nữ có việc làm 0,07 3 0,21Khách hàng là nam giớiNhân khẩu thay đổi trong cơ cấu gia đình 0,1 4 0,4Thị trường ở chu kì suy thoái 0,12 3 0,36Các nhóm dân tộc 0,15 1 0,15Cạnh tranh khốc liệt hơnTổng cộng điểm2,71Tổng số điểm quan trọng của công ty là: 2,71 cho thấy các chiến lược mà công ty đang triển khai phản ứng với các yếu tố bên ngoài chỉ ở mức trung bình1.MA TRẬN HÌNH ẢNH CẠNH TRANHThiết lập ma trận này nhằm đưa ra những đánh giá so sánh công ty với các đối thủ cạnh tranh chủ yếu trong cùng ngành, sự so sánh dựa trên các yếu tố ảnh hưởng đến khả năng cạnh tranh của công ty trong ngành. Qua đó nó cho nhà Quản trị nhìn nhận được những điểm mạnh và điểm yếu của công ty với đối thủ cạnh tranh, xác GIẢI TÍCH MẠNG Trang 52 Eq p q Ep Eq q Ep p vpq= Ep-Eq (a)zpqjpqvpq= Ep-Eq ypqepqipq+jpqipqipq (b) Hình 4.7 : Thành phần biểu diễn mạng điện (a) Hình thức tổng trở; (b) Hình thức tổng dẫn Phương trình đặc tính của tổng trở nhánh là: vpq + epq = zpqipq (4.6) Hay tổng dẫn nhánh là: ipq + jpq = ypqvpq (4.7) Nguồn dòng mắc song song với tổng dẫn có liên hệ với nguồn áp mắc nối tiếp với tổng trở như sau: jpq = -ypqepqTập hợp các thành phần không liên hệ với nhau được gọi là mạng gốc. Phương trình đặc tính của mạng gốc có thể xuất phát từ (4.6) hay (4.7) được biểu diễn bởi các biến là vectơ và các tham số là ma trận. Phương trình đặc tính của tổng trở là: []izevrrr=+ Hay đối với tổng dẫn là: []vyjirrr=+ Thành phần trên đường chéo của ma trận [z] hay [y] của mạng gốc là tổng trở riêng zpq,pq hay tổng dẫn riêng ypq,pq. Các thành phần ngoài đường chéo là tổng trở tương hổ zpq,rs hay tổng dẫn tương hỗ ypq,rs giữa nhánh p-q và nhánh r-s. Ma trận tổng dẫn gốc [y] có thể thu được bằng cách nghịch đảo ma trận tổng trở gốc [z]. Ma trận [z] và [y] là ma trận đường chéo nếu không có thành phần tương hổ giữa các nhánh. Trong trường hợp này tổng trở riêng đúng bằng số nghịch đảo của tổng dẫn riêng tương ứng. GII TCH MNG Trang 53 4.5. CCH THNH LP MA TRN MNG BNG S BIN I TRC TIP. 4.5.1. Phng trỡnh c tớnh ca mng in. Mng in l s ghộp ni tp hp cỏc nhỏnh cú mi liờn h vi nhau. Trong cu trỳc nỳt qui chiu, thnh phn ca mng in cú mi liờn h vi nhau c din t bi n-1 phng trỡnh nỳt c lp, vi n l s nỳt. Trong kớ hiu ma trn cỏc thnh phn ca phng trỡnh i vi tng tr l: NuùtNuùtNuùtIZErr= Hay i vi tng dn l: NuùtNuùtNuùtEYIrr= NuùtEr: L vect in ỏp nỳt o c vi nỳt qui chiu ó chn. NuùtIr: L vect dũng in nỳt a vo. ZNỳt: L ma trn tng tr nỳt cú cỏc thnh phn ca ma trn l tng tr truyn h mch gia cỏc im. YNỳt: L ma trn tng dn nỳt cú cỏc thnh phn ca ma trn l tng dn truyn ngn mch gia cỏc im. Trong cu trỳc nhỏnh cõy tham kho thnh phn ca mng in cú mi liờn h vi nhau c th hin bi b phng trỡnh nhỏnh cõy c lp. Vi b l s nhỏnh cõy. Trong kớ hiu ma trn cỏc thnh phn ca phng trỡnh i vi tng tr l: cỏynhaùnhcỏynhaùnhcỏynhaùnhIZErr.= Hay i vi tng dn l: cỏynhaùnhcỏynhaùnhcỏynhaùnhEYIrr.= Vi: : L vect in ỏp qua nhỏnh cõy cỏynhaùnhEr : L vect dũng in i qua nhỏnh cõy cỏynhaùnhIr Znhỏnh cõy : L ma trn tng tr ca nhỏnh cõy cú cỏc thnh phn ca ma trn l tng tr truyn h mch gia cỏc im ca cỏc nhỏnh cõy trong mng in. Ynhỏnh cõy : L ma trn tng dn ca nhỏnh cõy cú cỏc thnh phn ca ma trn l tng dn truyn ngn mch gia cỏc im ca cỏc nhỏnh cõy trong mng in. Trong cu trỳc vũng tham kho cỏc thnh phn ca mng in cú mi liờn h vi nhau c th hin bi l phng trỡnh vũng c lp. Vi l l s nhỏnh bự cõy hay s vũng c bn. Phng trỡnh c tớnh i vi dng tng tr l: VoỡngVoỡngVoỡngIZErr.= Hay i vi dng tng dn l: VoỡngVoỡngVoỡngEYIrr.= Trong ú:VoỡngEr: L vect in ỏp ca vũng c bn VoỡngIr: L vect dũng in ca vũng c bn ZVũng: L ma trn tng tr vũng YVũng: L ma trn tng dn vũng. GIẢI TÍCH MẠNG Trang 54 4.5.2. Ma trận tổng trở nút và ma trận tổng dẫn nút. Ma trận tổng dẫn nút YNút có thể thu được bằng cách dùng ma trận nút A liên kết với các biến và tham số của mạng điện gốc với lượng nút của mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc như sau: []vyjirrr=+ Nhân hai vế với At là [...]... cũng là trường hợp đặc biệt của ma trận chéo Nó là ma trận đơn vị bởi vì khi thực hiện nhân một ma trận với nó thì vẫn thu được ma trận đó: AIn = ImA = A với ma trận A bất kỳ mxn Ma trận khả nghịch hay ma trận nghịch đảo Ma trận vuông A gọi là khả nghịch hay không suy biến nếu tồn tại một ma trận B sao cho AB = BA = In Nếu B tồn tại, thì nó là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu.. .Ma trận vuông Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau Ma trận nxn còn gọi là ma trận vuông bậc n. Bất kỳ hai ma trận vuông có cùng bậc đều thực hiện được phép cộng và nhân với nhau Các phần tử aii tạo thành đường chéo chính của ma trận vuông Chúng nằm trên một đoạn thẳng tưởng tượng bắt đầu từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải của ma trận Các dạng ma trận vuông Nếu... thì A được gọi là ma trận tam giác trên Nếu mọi phần tử của A ở bên trên đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi là ma trận tam giác dưới Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì A được gọi là ma trận chéo Ma tr ận đ ơn v ị Ma trận đơn vị In có số chiều n là một ma trận nxn trong đó mọi phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và tất cả những phần tử khác đều bằng 0 Nó là một ma trận vuông ... khác Nó ma trận vuông bậc n, trường hợp đặc biệt ma trận chéo Nó ma trận đơn vị thực nhân ma trận với thu ma trận đó: AIn = ImA = A với ma trận A bất kỳ mxn Ma trận khả nghịch hay ma trận nghịch... (A + B)  = A  + B Cuối cùng, (A )  = A Ma trận vuông Ma trận vuông là ma trận có số hàng số cột Ma trận nxn còn gọi ma trận vuông bậc n. Bất kỳ hai ma trận vuông có bậc thực phép cộng nhân với... hàng cột mà ma trận có Một ma trận m hàng và n cột gọi ma trận m × n trong khi mvà n được gọi là chiều của Một số dạng ma trận Tên gọi Độ lớn Vectơ hàng 1 × n Vectơ cột n × 1 Miêu tả Ma trận có