Đại số 7

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHPGS. TS Mỵ Vinh QuangNgày 11 tháng 10 năm 2004Mở ĐầuTrong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, Đại số tuyến tính là môn cơ bản, là môn thi bắtbuộc đối với mọi thí sinh thi vào sau đại học ngành toán - cụ thể là các chuyên ngành : PPGD,Đại số, Giải tích, Hình học.Các bài viết này nhằm cung cấp cho các bạn đọc một cách có hệ thống và chọn lọc các kiếnthức và kỹ năng cơ bản nhất của môn học Đại số tuyến tính với mục đích giúp những ngườidự thi các kỳ tuyển sinh sau đại học ngành toán có được sự chuẩn bị chủ động, tích cực nhất.Vì là các bài ôn tập với số tiết hạn chế nên các kiến thức trình bày sẽ được chọn lọc vàbám sát theo đề cương ôn tập vào sau đại học. Tuy nhiên, để dễ dàng hơn cho bạn đọc thứ tựcác vấn đề có thể thay đổi. Cũng chính bởi các lý do trên các bài viết này không thể thay thếmột giáo trình Đại số tuyến tính hoàn chỉnh. Bạn đọc quan tâm có thể tham khảo thêm mộtsố sách viết về Đại số tuyến tính, chẳng hạn :1. Nguyễn Viết Đông - Lê Thị Thiên Hương .Toán cao cấp Tập 2 - Nxb Giáo dục 19982. Jean - Marie Monier.Đại số 1 - Nxb Giáo dục 20003. Ngô Thúc LanhĐại số tuyến tính - Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp 19704. Bùi Tường Trí.Đại số tuyến tính.5. Mỵ Vinh QuangBài tập đại số tuyến tính.Bài 1: ĐỊNH THỨCĐể hiểu được phần này, người đọc cầnphải nắm được khái niệm về ma trận và các phéptoán trên ma trận (phép cộng, trừ, nhân hai ma trận). Các khái niệm trên khá đơn giản, ngườiđọc có thể dễ dàng tìm đọc trong các sách đã dẫn ở trên.1 1 Định nghĩa định thức1.1 Định thức cấp 2, 3• Cho A là ma trận vuông cấp 2 :A =a11a12a21a22định thức (cấp 2) của A là một số, ký hiệu det A (hoặc |A|) xác định như sau :det A =a11a12a21a22= a11a22− a12a21(1)• Cho A là ma trận vuông cấp 3 :A =a11a12a13a21a22a23a31a32a33định thức (cấp 3) của A là một số ký hiệu det A (hoặc |A|), xác định như sau : det A =a11a12a13a21a22a23a31a32a33= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33(2)Công thức khai triển ( 2 ) thường đuợc nhớ theo quy tắc Sarrus như sau :Ví dụ :−1 2 31 −2 1−1 0 4= [(−1)(−2).4 + 2.1.(−1) + 1.0.3] − [3.(−2).(−1) + 1.0.(−1) + 2.1.4] = −8Nếu ta ký hiệu Snlà tập hợp các phép thế bậc n thì các công thức ( 1 ) và ( 2 ) có thểviết lại như sau :det A =f ∈S2s(f)a1f(1)a2f(2)và det A =f ∈S3s(f)a1f(1)a2f(2)a3f(3)Từ đó gợi ý cho ta cách định nghĩa định thức cấp n như sau.2 1.2 Định thức cấp nCho A là ma trận vuông cấp n :A =a11a12· · · a1na21a22· · · a2n an1an2· · · annđịnh thức ( cấp n) của ma trận A là một số, ký hiệu det A (hoặc |A|), xác định như sau :det A =a11a12· · · a1na21a22· · · a2n an1an2· · · ann=f ∈Sns(f)a1f(1)a2f(2) .anf(n)(3)Chắc chắn là đối với một số bạn đọc, (nhất là bạn đọc không thạo về phép thế) định nghĩađịnh thức tương đối khó hình dung. Tuy nhiên, rất may là khi làm việc với định thức, (kể cảkhi tính định thức) định nghĩa trên hiếm khi được TRNG THCS AN NG I S aster text styles I S Chng I S hu t S thc Chng II Hm s v th Chng III Thng kờ Chng IV Biu thc i s Chng I S hu t S thc Tp hp s hu t Q Cỏc phộp tớnh trờn Q: cng, tr, nhõn, chia, lu tha T l thc v tớnh cht ca dóy t s bng S thp phõn hu hn, s thp phõn vụ hn khụng tun hon S vụ t Cn bc hai S thc Kim tra bi c Cõu Nờu khỏi nim phõn s? Cõu Nờu cỏc cỏch so sỏnh hai phõn s? Chng I S hu t S thc Bi Tp hp Q cỏc s hu t S hu t Biu din s hu t So sỏnh s hu t Tập hợp số hữu tỉ Q N Z Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên S hu t lớp ta biết: Các phân số cách viết khác số, số đợc gọi số hữu tỉ 1 S hu t Giả sử: Ta có số: ; - 0,5 ; ; S hu t ;- 0,5 ; ; Ta viết: 3= = = = = = - 0,5 = 0= = = = cách viết khác 0 = = 19 19 38 = = = 7 14 số S hu t S hu t Khỏi nim Số hữu tỉ số viết đợc dới dạng phân số a với a, b b Z, b Tập hợp số hữu tỉ đợc kí hiệu Q S hu t ?1 Vì số 0,6; -1,25; 1 số hữu tỉ? S hu t ?1 Các số 0,6; -1,25; số hữu tỉ số viết đợc dới dạng phân số nh sau: 0,6 = = = = 10 15 10 1,25 = = = 12 32 = = = = 3 24 S hu t ?2 Số nguyên a có số hữu tỉ không? Vì sao? Số nguyên a số hữu tỉ số nguyên a viết thành phân số: a 2a 3a a= = = = Biu din s hu t trờn trc s ?3 Biểu diễn số nguyên : -1; ; trục số -1 2 Biu din s hu t trờn trc s Ví dụ + sgk/t5 Tho lun nhúm: Cỏc bc biu din phõn s Biu din phõn s Ví dụ trờn trc s; p dng biu din phõn s sau trờn trc s ; ; Biu din s hu t trờn trc s Nhn xột Trờn trc s, im biu din s hu t x c gi l im x So sỏnh hai s hu t ?4 So sánh phân số So sỏnh hai s hu t Ta có: 4.3 12 = = = 5 5.3 15 2.5 10 = = 3.5 15 Vì -10 > -12 15>0 nên 10 12 > hay > 15 15 So sỏnh hai s hu t Với hai số hữu tỉ x, y ta có : x = y x < y x > y Ta so sánh hai số hữu tỉ cách viết chúng dới dạng phân số so sánh hai phân số 1 Ví dụ 1:So sánh hai số hữu tỉ -0,6 giải: Ta có: 0,6 = ; = 10 10 Vì -60 nên hay < 10 10 0,6 < Vớ d So sỏnh hai s hu t v Giải: Ta có: = ;0 = 2 Vì -7 < > nên Vậy < 2 < 2 So sỏnh hai s hu t Nhn xột Nếu x < y trục số, điểm x bên trái điểm y Số hữu tỉ lớn gọi số hữu tỉ dơng; Số hữu tỉ nhỏ gọi số hữu tỉ âm; Số hữu tỉ số hữu tỉ dong số hữu tỉ âm 3 So sỏnh hai s hu t ?5 Trong số hữu tỉ sau, số số hữu tỉ dơng , số số hữu tỉ âm, số số hữu tỉ dơng không số hữu tỉ âm? 3 ; ; ;4; ; 5 So sỏnh hai s hu t ; -Các số hữu tỉ dơng: ; ;4 -Các số hữu tỉ âm : -Số số hữu tỉ dơng số hữu tỉ âm : Nhn xột v du ca t v mu ca phõn s biu din s hu t ú? Dặn dò 1.Hc thuc nhng phn cỏc em c ghi Hc thuc th no l s hu t c li cỏch biu din s hu t trờn trc s Lm bi 4,5 t8 sgk v 3, 4, sbt ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)TS Trần HuyênNgày 11 tháng 10 năm 2004Mở ĐầuĐộc giả thân mến, các bạn đang tham gia chuyên đề "Đại số cơ sở" của Khoa Toán -Tin ĐHSP Tp. HCM. Chuyên đề của chúng tôi xây dựng, trước hết nhằm trợ giúp các ứngviên Thạc sĩ tương lai về chuyên ngành đại số hệ thống lại các kiến thức cơ sở, các kỹ thuậtcơ bản, rèn luyện kỹ năng giải toán để có thể vững vàng vượt qua kỳ thi tuyển sinh cao họccủa ĐHSP Tp. HCM, trở thành học viên Cao học ngành Đại số của trường. Chuyên đề bámsát các nội dung đề ra trong chương trình tuyển sinh, không chỉ giúp các học viên có thể vữngtâm đối diện với kỳ thi tuyển mà còn giúp cho học viên một khả năng, phương pháp tự học,tự đào tạo mình. Để học viên dễ theo dõi, tiếp thu các nội dung sẽ được biên soạn dưới dạngcác bài giảng với ngôn ngữ đơn giản và dễ hiểu nhất, mỗi bài giảng độ hai tiết cho mỗi tuần.Chuyên đề đề sẽ được dàn dựng với thời lượng chừng 40 tiết, liên tục được cập nhật cho tớingày các bạn có thể tham gia đợt ôn tập tập trung trước khi bước vào kỳ thi tuyển, dịp tháng05 − 2005. Để chuyên đề càng ngày càng được triển khai một cách hữu ích, hiệu quả hơn, chúngtôi luôn luôn sẳn sàng đón nhận các góp ý, yêu cầu của các bạn. Chúng tôi cũng sẳn sàng traođổi, giải đáp các thắc mắc của các bạn, hầu mong chuyên đề sẽ là người bạn tâm giao của độcgiả trong hành trình phấn đấu khoa học của mình.Các bài tập kiểm tra nhómNhóm là một khái niệm cơ bản của Đại số, và là một trong những nội dung không thể vắngbóng trong các đề thi tuyển sinh chuyên ngành Đại số cơ sở. Vì vậy bạn phải nắm vững kỹnăng kiểm tra một tập X cho trước với một phép toán nào đó trên X lập thành một nhóm. Dĩnhiên bạn phải năm vững khái niệm nhóm để theo đó mà từng bước kiểm tra tập X đã cho vàphép toán đã cho có thỏa mãn tất cả các điều kiện cần có cho một nhóm hay không?Theo chương trình Đại số đại cương ta có ba định nghĩa nhóm, tương đương với nhau nhưsau :1 Định nghĩa 1Nhóm là một tập hợp X = ∅, trên đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa cácđiều kiện :1. N1: (Điều kiện kết hợp) : ∀x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz).2. N2: (Điều kiện đơn vị ) : ∃e ∈ X, ∀x ∈ X thìex = xxe = x1 3. N3: (Điều kiện khả nghịch ) ∀x ∈ X, ∃x−1∈ X sao chox−1x = exx−1= e2 Định nghĩa 2Nhóm là nửa nhóm X, có đơn vị trái e và mọi x ∈ X đều có nghịch đảo trái x(tức xx = e)Như vậy so với định nghĩa 1, thì định nghĩa 2 tiết kiệm hơn; ở điều kiện N2chỉ cần kiểmtra ex = x và ở điều kiện N3chỉ phải kiểm tra x−1x = e.Một dạng đối ngẫu của định nghĩa 2 và có thể xem như là định nghĩa 2’ là : Nhóm là nửanhóm X, có đơn vị phải e và ∀x ∈ X đều có nghịch đảo phải x(tức xx= e)3 Định nghĩa 3Nhóm là nửa nhóm X mà các phương trình ax = b và xa = b là giải được (tức có nghiệm)trong X với mọi a, b ∈ XĐể kiểm tra một tập cho trước X và một phép toán cho trên X là nhóm, tùy trường hợpcụ thể mà ta lựa chọn định nghĩa nào trong các định nghĩa nêu trên để áp dụng cho phù hợp.4 Ví dụ4.1 Ví dụ 1Cho tập hợp X = Z × Z = {(k1, k2) : k1, k2∈ Z} xác định trên X phép toán sau :(k1, k2).(l1, l2) = (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2)Chứng minh rằng X với phép toán trên là nhóm. Giải :1. Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 1, ta lần lượt kiểm tra từng bước như sau:)• X = Z × Z = ∅ vì Z = ∅.• Dễ dàng thấy là nếu (k1, k2), (l1, l2) là cặp số nguyên thì (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2) cũnglà một cặp số nguyên nên phép ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHTài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaPGS. TS Mỵ Vinh QuangNgày 28 tháng 10 năm 2004Bài 2 : Các Phương Pháp Tính ĐịnhThức Cấp nĐịnh thức được định nghĩa khá phức tạp, do đó khi tính các định thức cấp cao (cấp lớnhơn 3) người ta hầu như không sử dụng định nghĩa định thức mà sử dụng các tính chất củađịnh thức và thường dùng các phương pháp sau.1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giácSử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận và các tính chất của địnhthức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác. Định thức sau cùng sẽ bằng tích củacác phần tử thuộc đường chéo chính (theo tính chất 3.3).Ví dụ 1.1: Tính định thức cấp n (n  2) sau đây:D =1 2 2 . . . 22 2 2 . . . 22 2 3 . . . 2. . . . . . . . . . . . . . .2 2 2 . . . nBài giải: Nhân dòng (2) với (−1) rồi cộng vào dòng (3), (4), . . . , (n). Ta cóD =1 2 2 . . . 22 2 2 . . . 20 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . n − 2(1)=1 2 2 . . . 20 −2 −2 . . . −20 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . n − 2= (−2)(n − 2)!(1): nhân dòng (1) với (−2) cộng vào dòng (2).1 Ví dụ 1.2: Tính định thức cấp nD =a b b . . . bb a b . . . bb b a . . . b. . . . . . . . . . . . . . .b b b . . . aBài giải: Đầu tiên công các cột (2), (3),. . . , (n) vào cột (1). Sau đó nhân dòng (1) với (−1)cộng vào các dòng (2), (3),. . . , (n). Ta có:D =a + (n − 1)b b b . . . ba + (n − 1)b a b . . . ba + (n − 1)b b a . . . b. . . . . . . . . . . . . . .a + (n − 1)b b b . . . a=a + (n − 1)b b b . . . b0 a − b 0 . . . 00 0 a − b . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . a − b=a + (n − 1)b(a − b)n−12 Phương pháp qui nạpÁp dụng các tính chất của định thức, biến đổi, khai triển định thức theo dòng hoặc theocột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức cấp bé hơn nhưng có cùng dạng. Từ đóta sẽ nhận được công thức truy hồi.Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2, . . . , đểsuy ra định thức cần tính.Ví dụ 2.1: Tính định thứcDn=1 + a1b1a1b2. . . a1bna2b11 + a2b2. . . a2bn. . . . . . . . . . . .anb1anb2. . . 1 + anbnBài giải: Sử dụng tính chất 2.4, tách định thức theo cột n, ta có:Dn=1 + a1b1. . . a1bn−10a2b1. . . a2bn−10. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−10anb1. . . anbn−11+1 + a1b1. . . a1bn−1a1bna2b1. . . a2bn−1a2bn. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−1an−1bnanb1. . . anbn−1anbn=1 + a1b1. . . a1bn−10a2b1. . . a2bn−10. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−10anb1. . . anbn−11+ bn1 + a1b1. . . a1bn−1a1a2b1. . . a2bn−1a2. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−1an−1anb1. . . anbn−1anKhai triển định thức đầu theo cột (n) ta sẽ có định thức đầu bằng Dn−1.Nhân cột (n) của định thức thứ hai lần lượt với (−bi) rồi cộng vào cột i (i = 1, 2, . . . , n −1).2 Ta được:Dn= Dn−1+ bn1 0 . . . 0 a10 1 . . . 0 a2. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 an−10 0 . . . 0 an= Dn−1+ anbnVậy ta có công thức truy hồi Dn= Dn−1+ anbn. Vì công thức trên đúng với mọi n nên ta cóDn= Dn−1+ anbn=Dn−2+ an−1bn−1+ anbn= · · · = D1+ a2b2+ a3b3+ · · · + anbnVì D1= a1b1+ 1 nên cuối cùng ta cóDn= 1 + a1b1+ a2b2+ a3b3+ · · · + anbnVí dụ 2.2: Cho a, b ∈ R, a = b. Tính định thức cấp nDn=a + b ab 0 . . . 0 01 a + b ab . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . a + b ab0 0 0 . . . 0 a + bBài giải: Khai triển định thức theo dòng đầu, ta được:Dn= (a + b)Dn−1− ab1 ab 0 . . . 0 00 a + b ab . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaTS Trần HuyênNgày 28 tháng 10 năm 2004Các bài tập kiểm tra nhóm conMột dạng khác của kỹ năng kiểm tra nhóm là kỹ năng kiểm tra nhóm con. Muốn kiểm tranhóm con ta cần nắm vững ba tiêu chuẩn thông thường về nhóm con như sau.1 Tiêu chuẩn 1Một tập con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con của X (viết A ⊂nX hoặc A  X) nếu• ∀x, y ∈ A thì xy ∈ A;• e ∈ A;• ∀x ∈ A thì x−1∈ A.Ví dụ 1: Chứng minh rằng M1n=A : det A = 1(gồm các ma trận vuông cấp n, định thứcbằng 1) là nhóm con của nhóm M∗n(nhóm nhân các ma trận cấp n không suy biến)Bài giải: Ta chứng minh M1n⊂nM∗ntheo tiêu chuẩn 1. Trước hết hiển nhiên M1n= ∅, đồngthời ta có• ∀ X, Y ∈ M1nthì det X = det Y = 1 do đó det X.Y = det X. det Y = 1.1 = 1 nghĩa làX.Y ∈ M1n.• Ma trận đơn vị E ∈ M1n(vì det E = 1).• ∀ X ∈ M1nthì det X = 1 nên det X−1=1det X= 1, do đó X−1∈ M1n.Vậy M1nthỏa cả ba điều kiện của tiêu chuẩn 1 nên M1n⊂nM∗n.1 2 Tiêu chuẩn 2Được suy ra từ tiêu chuẩn 1 nhưng bỏ đi đòi hỏi e ∈ A (vì đòi hỏi này chỉ là hệ quả củahai đòi hỏi còn lại). Như vậy, nếu áp dụng tiêu chuẩn 2 để xử lí Ví dụ 1 thì trong lời giải taloại bỏ đòi hỏi E ∈ M1n.Ví dụ 2: Cho trước số nguyên m. Chứng minh rằngmZ = {mz : z ∈ Z} ⊂n(Z, +)Bài giải: Ta kiểm tra mZ ⊂n(Z, +) theo tiêu chuẩn 2. Trước hết, hiển nhiên mZ = ∅ và ta có:• ∀ mz1, mz2∈ mZ : mz1+ mz2= m(z1+ z2) ∈ mZ.• ∀ mz ∈ mZ : −(mz) = m(−z) ∈ mZ.Vậy mZ thỏa cả hai đòi hỏi của tiêu chuẩn 2 nên mZ ⊂n(Z, +).Nhận xét: Thông thường trong lý thuyết ta ngầm định phép toán trong nhóm là nhân và kýhiệu phần tử nghịch đảo là (·)−1. Tuy nhiên khi phép toán trong nhóm là cộng thì tất cả cácdấu nhân trong các biểu thức đều đổi sang dấu cộng và phần tử nghịch đảo đổi thành phần tửđối và viết là −(·).3 Tiêu chuẩn 3Một tập hợp con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con của X nếu ∀ x, y ∈ A thì xy−1∈ A.Nếu áp dụng tiêu chuẩn 3 này để xử lý Ví dụ 1 ta chỉ cần kiểm tra:∀ X, Y ∈ M1n⇒ det X = det Y = 1⇒ det(XY−1) =det Xdet Y=11= 1⇒ XY−1∈ M1nNếu áp dụng tiêu chuẩn 3 cho ví dụ 2, ta chỉ cần kiểm tra∀ mz1, mz2∈ mZ ⇒ mz1− mz2= m(z1− z2) ∈ mZNhận xét: Trong ba tiêu chuẩn nêu trên, các lời giải sử dụng tiêu chuẩn 3 có vẻ ngắn gọn hơncả. Tuy nhiên nếu trong lời giải bắt buộc phải tính phần tử nghịch đảo thì để tránh sự rườm ràta nên dùng tiêu chuẩn 2 vì thực chất việc dùng tiêu chuẩn 3 lúc đó các bước tính toán cũngdài ngang với dùng tiêu chuẩn 2.Ví dụ 3: Cho tập hợp các ma trận cấp haiK =a b0 1: a = 0Chứng minh K ⊂nM∗2(M∗2là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến).Bài giải: (Vì nếu dùng tiêu chuẩn 3, ta cũng phải tính trước các phần tử nghịch đảo, do vậyta dùng tiêu chuẩn 2) Trước hết K = ∅ (hiển nhiên). Và đồng thời:2 • ∀a b0 1,c d0 1∈ K ta có: a = 0, b = 0 nêna b0 1c d0 1=ac ad + b0 1∈ Kvì ac = 0• ∀a b0 1∈ K thìa b0 1−1=1/a −b/a0 1∈ K vì1a= 0.Vậy theo tiêu chuẩn 2: K ⊂nM∗2Đến đây, chúng tôi đã cùng độc giả ôn lại ba tiêu chuẩn thông dụng để kiểm tra một tậphợp A = ∅ trong nhóm X cho trước có là nhóm con của nhóm X không? Tùy theo từng bàitập cụ thể mà chúng ta lựa chọn hợp lý một trong các tiêu chuẩn đó để áp dụng giải quyết bàitập đã cho.Khi đặt vấn đề ở đầu mục chúng tôi có nói rằng kỹ năng kiểm tra nhóm con là một dạngkhác của kiểm tra nhóm. Nguyên do phần lớn các bài tập về kiểm tra nhóm, tập A đã cho cùngvới phép toán chỉ là bộ phận của một trong những nhóm khá quen biết và do vậy thay vì kiểmtra nhóm theo định nghĩa ta chỉ cần kiểm tra theo tiêu chuẩn nhóm con đương nhiên là đơngiản hơn.Ví dụ 4: Cho X là tập hợp tất cả các căn phức bậc n của đơn vị. Chứng minh rằng X cùngvới phép nhân thông thường các số phức lập thành nhóm.Bài giải: Hiển nhiên X = ∅ cùng với phép toán nhân trên nó chỉ là một bộ phận của nhómnhân C∗các số phức khác 0. Vậy để chứng minh X là nhóm ta cần kiểm tra rằng X ⊂n(C∗, .).Ta biểu diễnX GIẢI TÍCH MẠNG Trang 1 GIẢI TÍCH MẠNG LỜI NÓI ĐẦU Hệ thống điện bao gồm các khâu sản xuất, truyền tải và phân phối điện năng. Kết cấu một hệ thống điện có thể rất phức tạp, muốn nghiên cứu nó đòi hỏi phải có một kiến thức tổng hợp và có những phương pháp tinh toán phù hợp. Giải tích mạng là một môn học còn có tên gọi “Các phương pháp tin học ứng dụng trong tính toán hệ thống điện”. Trong đó, đề cập đến những bài toán mà tất cả sinh viên ngành hệ thống nào cũng cần phải nắm vững. Vì vậy, để có một cách nhìn cụ thể về các bài toán này, giáo trình đi từ kiến thức cơ sở đã học nghiên cứu lý thuyết các bài toán cũng như việc ứng dụng chúng thông qua công cụ máy vi tính. Phần cuối, bằng ngôn ngữ lập trình Pascal, công việc mô phỏng các phần mục của bài toán đã được minh hoạ. Nội dung gồm có 8 chương. 1. Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng. 2. Phương pháp số dùng để giải các phương trình vi phân trong giải tích mạng. 3. Mô hình hóa hệ thống điện. 4. Graph và các ma trận mạng điện. 5. Thuật toán dùng để tính ma trận mạng. 6. Tính toán trào lưu công suất. 7. Tính toán ngắn mạch. 8. Xét quá trình quá độ của máy phát khi có sự cố trong mạng. II. Phần lập trình: gồm có bốn phần mục: 1. Xây dựng các ma trận của 1 mạng cụ thể 2. Tính toán ngắn mạch. 3. Tính toán trào lưu công suất lúc bình thường và khi sự cố. 4. Xét quá trình quá độ của các máy phát khi có sự cố trong mạng điện. GV: Lê Kim Hùng GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức về đại số ma trận thông thường được ứng dụng trong giải tích mạng. 1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1.1.1. Kí hiệu ma trận: Ma trận chữ nhật A kích thước m x n là 1 bảng gồm m hàng và n cột có dạng sau: []jimnmmnnaaaaaaaaaaA == .212222111211 Nếu m = 1 và n >1 thì A gọi là ma trận hàng hoặc vectơ hàng. Ngược lại n = 1 và m > 1 thì A gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột. 312=A132=A và Ví dụ: 1.1.2. Các dạng ma trận: Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n). Ví dụ: 333231232221131211aaaaaaaaaA = Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo chính aị j của ma trận bằng 0 với i > j. 332322131211000aaaaaaA = Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính aịj của ma trận bằng 0 với i < j. 333231222111000aaaaaaA = Trang 2 GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0, còn các phần tử khác ngoài đường chéo chính của ma trận bằng 0 (a = 0 với ). ji ≠ịj332211000000aaaA = Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông [...]... thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dơng; Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm; Số hữu tỉ 0 không phải là số hữu tỉ dong cũng không phải là số hữu tỉ âm 3 So sỏnh hai s hu t ?5 Trong các số hữu tỉ sau, số nào là số hữu tỉ dơng , số nào là số hữu tỉ âm, số nào không phải là số hữu tỉ dơng cũng không là số hữu tỉ âm? 3 2 1 0 3 ; ; ;4; ; 7 3 5 2 5 3 So...1 S hu t ?1 Vì sao các số 0,6; -1,25; 1 1 3 là số hữu tỉ? 1 S hu t ?1 Các số 0,6; -1,25; 1 là các số hữu tỉ 1 vì các số 3 này đều có thể viết đợc dới dạng phân số nh sau: 6 3 9 0,6 = = = = 10 5 15 5 10 1,25 = = = 4 8 1 4 12 32 1 = = = = 3 3 9 24 1 S hu t ?2 Số nguyên a có là số hữu tỉ không? Vì sao? Số nguyên a là số hữu tỉ vì số nguyên a có thể viết thành các phân số: a 2a 3a a= = = = 1 2... t Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có : x = y hoặc x < y hoặc x > y Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó 1 2 Ví dụ 1:So sánh hai số hữu tỉ -0,6 và giải: Ta có: 6 1 5 0,6 = ; = 10 2 10 Vì -60 nên 6 hay 5 < 10 10 1 0,6 < 2 3 Vớ d 2 So sỏnh hai s hu t 0 v Giải: Ta có: 1 7 0 3 = ;0 = 2 2 2 Vì -7 < 0 và 2 > 0 nên 7 Vậy 0 ... số hữu tỉ sau, số số hữu tỉ dơng , số số hữu tỉ âm, số số hữu tỉ dơng không số hữu tỉ âm? 3 ; ; ;4; ; 5 So sỏnh hai s hu t ; -Các số hữu tỉ dơng: ; ;4 -Các số hữu tỉ âm : -Số số hữu tỉ dơng số. .. Vì -7 < > nên Vậy < 2 < 2 So sỏnh hai s hu t Nhn xột Nếu x < y trục số, điểm x bên trái điểm y Số hữu tỉ lớn gọi số hữu tỉ dơng; Số hữu tỉ nhỏ gọi số hữu tỉ âm; Số hữu tỉ số hữu tỉ dong số. .. = = = 7 14 số S hu t S hu t Khỏi nim Số hữu tỉ số viết đợc dới dạng phân số a với a, b b Z, b Tập hợp số hữu tỉ đợc kí hiệu Q S hu t ?1 Vì số 0,6; -1,25; 1 số hữu tỉ? S hu t ?1 Các số 0,6;