Đang tải... (xem toàn văn)
2) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a b) Công thức hạ bậc: sin2a = cos2a = c) Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a.cosb sin a.cosb sin a.sinb 1 cos2a 2 1 cos2a 2 1 cos(a b) cos(a b) 2 1 sin(a b) sin(a b) 2 1 cos(a b) cos(a b) 2 3) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : n a a n a. a0 = 1; a1 = a ; an = a 1 n n b n a.b ; và n a m a n a a n n b m n a .a a ; a a .b ; b b 1 n a a a b a.b a 4) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: a 2 = (a+b)(a – b) 2 – b a b 2 a a 3 (a b)(a 3 b a b 3 a PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 Trong phần tích phân này chúng ta chỉ cần dùng các phương pháp bình thường với các công thức trên bảng nguyên hàm đã có sẵn để có thể tìm ra đáp án. a . a 2 2ab b 2 a.b b 2b 3ab2 b 3 3a 2 2 ) 3
TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN Website: www.alfazi.com Fanpage: fb.com/alfaziapp Group: fb.com/groups/alfazi TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp dx x C x x dx C 1 dx x e Nguyên hàm hàm số thường gặp 1 ax b ax b x e x sin x axb 1 a dx eaxb C dx tan x C dx cot x C 1) Các tính chất tích phân: b C cos ax b a b C Cho hàm số f(x) g(x) liên tục [a; b] a b a2 f (x)dx ; a k f (x)dx k f (x)dx b a a ax b sin f (x)dx f(x)dx a b b a cosax bdx sin ax b C a sin ax bdx cosax b C a 1 dx tanax cos xdx sin x C sin xdx cos x C dx ax b C a1 ax b ln ax b C x 0 a dx dx e C ax a x dx C 0 a 1 ln a cos C 1 ln x C x 0 x d ax b dx cotax Nguyên hàm hàm số hợp du u C 1 u u du C 1 1 du ln u C u 0 u e du e C u u a dx u au C 0 a 1 ln a cos udu sin u C sin udu cos u C cos u sin u du tan u C du cot u C a b b ( k số) b [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx a a f (x)dx f (x)dx f (x)dx b a c a a b ( với a < c < b ) c 2) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a b) Công thức hạ bậc: * sin2a = 1 cos2a * cos2a = 1 cos 2a c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * cos a.cosb cos(a b) cos(a b) * sin a.cos b sin(a b) sin(a b) * sin a.sin b cos(a b) cos(a b) 2 3) Các công thức lũy thừa bậc n: Với điều kiện xác định a, b, m, n ta có : n * aa n n a a m m n a a n n b b * a0 = 1; a1 = a ; a-n = n a n * n a.n b n a.b ; a a a a * ; a a * a.b * a a a a b ; b b a 4) Các đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * a b2 a2 2ab b2 * a3 b3 (a b)(a2 a.b b2 ) * a b3 a3 3a2b 3ab2 b3 PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 Trong phần tích phân cần dùng phương pháp bình thường với công thức bảng nguyên hàm có sẵn để tìm đáp án Câu 1: Tính tích phân sau (3x 1) dx a) I1 = e x2dx b)I2 = c)I3 = 2x 1 dx 1 Giải a) I1 = (3x 1)3dx = (3x 1) 4 Ta thấy áp dụng công thức b) I2 = e x2dx = 1 3 14 (1) 12 ax b 1 ax b dx a C 1 x2 e = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 1 Ta thấy áp dụng công thức e axb dx c) I3 = 1 2x 1 2x 1 dx = 2 ln 3) 1 Ta thấy áp dụng công thức axb e C a = (ln1 ln 1 dx ln ax b C x 0 ax b a Câu 2: Tính tích phân sau a) J1 = x x 1 2x dx b) J2 = 2 x d c) J3 = x 26 x d x x a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + Giải x5 206 x3 suy J1 = x 1 dx = (x 2x 1)dx = x = 15 0 5 0 2x x 2 2 2 x b) Ta có : 2 2 x 2 x 2 x 2 x 1 2x dx = (2 7 )dx 2x ln x suy J2 = 2 x x = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – x x x1/2 2x1/6 x1/21/6 x1/3 c) 1/6 x x 2 x 1/3 = 101 8 suy ra: J3 = 3 2dx x 4/3 2x = 4 1 84/3 28 ( 2) 4 = 25,25 Câu 3: Tính tích phân sau b) K2 = cos2 2xdx a) K1 = sin3x.cos xdx 0 Giải a) Ta có: sin3x.cosx = sin4x sin2x Ta áp dụng công thức nhân đôi hồi học 11 sin a.cos b sin(a b) sin(a b) suy K1 = 4 1 1 = (sin4x s in2x)dx cos 4x cos2x 2 0 b) K2 = cos2 2xdx Ta có: cos22x = 1 cos 4x 8 1 (1 cos 4x)dx x sin4x = suy K2 = 0 2 Câu 4: Tính tích phân sau 1) L = sin 4 0 = 8 4 (x 3x 2)dx 2) I = 3 sin x d sin x x 12 4) M = sin 7x.sin 5xdx 3) K = 2x 5x x2 dx 5) P = sin2 3xdx Giải x5 x 2x 1 1) L = (x 3x 2)dx 5 0 5 1 sin x dx 12 sin x dx cot x cos x 4 cot cos cot cos 4 6 sin x sin x 2) I 6 2 3 1 2 Ta áp dụng công thức: 3) K = 2x 5x 1 x2 dx 22 sin u du cot u C sin udu cos u C 2x 5dx x 5x 22 5.2 1 5 2 1 12 sin 7x.sin 5xdx 4) M = Nhìn vào câu ta áp dụng công thức tích thành tổng lượng giác sin a.sin b cos(a b) cos(a b) 1 12 M cos2x cos12x dx sin 2x sin12x 20 22 12 0 12 1 sin sin sin sin 12 12 2 Áp dụng công thức tính tích phân cosax bdx sin ax b C a 5) P = sin 3xdx Nhìn vào thấy sin2 3x công thức tính trực tiếp Nhưng ta nhớ đến công thức hạ bậc 1 cos 2a lượng giác sin2 a Như ta dễ dàng áp dụng công thức bảng nguyên hàm 1 P 1 cos6x dx x sin6x sin 2 sin 0 20 2 13 PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu a2 x2 Cách chọn x a sin t x a cost x a x x a sin t a cost x a tgt x a cot gt a2x2 ax ax x a cost ax ax x a cost a b2 x2 , n=1, 2, … (a b2 x2 )n x a x a sin t b tgt b b Cần tính I = f(x)dx a Loại 1: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: x = u(t) suy dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: cho u(t) = a u(t) = b để tìm hai cận + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Câu : Tính tích phân sau a) I1 = x2 dx b) I2 = 9 x dx Giải a) I1 = x2 dx Đặt x = 2sint , t ; (u(t) = 2sint) dx = 2costdt 2 Đổi cận x t 2 I1 = x2 dx = 2 2 0 4sin t.2cost dt = 1 sin2 t cost dt = cos2 t.cost dt =4 cos2 tdt 2 = (1 cos 2t)dt = t sin2t = 0 2 9 x b) I2 = dx Đặt x = 3tant, t ; dx = = 3(1 +tan2t)dt cos2 t 2 Đổi cận x t 1 4 = 3(1 tan t) 3(1 tan t) t dx= dt = dt = dt = 9(1 tan t) 0 tan t 3 0 x2 0 Loại 2: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: u = u(x) suy du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận =u(a) = u(b) + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, tính I2 = 4 Câu 2: Tính tích phân sau 2 e xe dx x a) J1 = b)J2 = 1 d) J4 = /2 x xdx cos x (1 sin x) e)J5 = 1 ln x dx x 4 c)J3 = x (x 1) dx dx Giải x a) J1 = xe dx Đặt u = x2 du = 2xdx xdx = du Đổi cận x t x J1 = xe dx = e du = 12 e u u 1 = ( e4 – e 1) = ( e4 – e) 2 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy rằng: x x2 2 2 2 1 J1 = xe dx x ex dx e x d x e x e4 e 21 2 12 e 1 ln x b)J2 = dx x x2 Đặt u = 1 ln x u = + lnx 2udu = Đổi cận x e 1 ln x t e J2 = dx x dx = x Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy: ln x x u.2udu = u3 = 2 ( 2)3 13 ) = (2 1) 3 e e J2 e 1 ln dx ln x 1ln xdx x x e 1 ln x dln x 1 lnx 1 1 2 1 ln x 1 ln x e 1 2 2 1 3 c)J3 = x (x 1) dx Đặt u = x4 – du = 4x3dx x3dx = du Đổi cận x -1 t J3 = x3 (x 1)5dx = 0 1 u6 = u du = 46 24 1 1 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy: x3 x 1 1 J = x3 (x 1)5 dx 0 x 4 1 x 1 dx 11 x 4 1 d x 1 x 4 1 61 1 0 1 24 24 d) J4 = x xdx Đặt u = x2 u2 = – x 2udu = – 2xdx xdx = –udu Đổi cận x 2 J4 = t 0 2 x xdx = u.( u)du = u 2du = u = 3 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy: x x2 2 J4 = x xdx x2 x2 /2 cos x (1 sin x) e)J5 = 12 4 x 1 2 x 4 x dx 4 x d 4 x 20 2 1 1 2 2 4 22 22 4.2 3 dx Đặt u = + sinx du = cosxdx Đổi cận x t 2 /2 du cos x J5 = dx = = u4 (1 sin x) Cách 2: Dùng hàm hợp u 4 du = u 3 = 24 3 Ta thấy: cos x 1 sin x 2 1 sin x cosx 1 4 J5 dx dx 1 sin x d 1 sin x 4 (1 sin x) 1 sin x 3 1sin x 0 1 1 3 3 24 1 sin 1 sin 2 Câu : Tính tích phân sau a) I = b) J = x sin x.cos xdx (3 ln x)dx d) L = x e g) N = c) K = 8.x dx e x dx e1x x x.dx e Giải a) I = sin x.cos xdx Cách 1: Đổi biến số Đặt t sin x t2 sin x 2tdt cos xdx cos xdxtdt Đổi cận x t 3 t3 3 1 tdt t dt t I 6 6 2 1 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy rằng: cos x 1 sin x nên ta dùng phương pháp hàm hợp nhanh Vì cách làm trực tiếp 3 I sin x cos xdx 0 1 sin x 1 4sin x 1 1 16 1 sin x 1 sin x 1 sin x dx 1 sin x 2 d 1 sin x 40 1 3 1 1 1 4sin sin 1 sin 1 4sin 6 0 6 b) J = x 8.x dx Đặt t x 8 t x 8 3t2dt 3x2dx t2dt x2dx Đổi cận x 4t t0 -2 00 4 J t.t dt t dt 2 2 2 Cách 2: Dùng hàm hợp Ta thấy được: x2 x3 8 3 3 2 0 J x 8.x dx x x 8 x 8 dx x d x3 30 1 3 1 4 4 1 x 3 23 3 83 4 c) K = x.dx e x dt 2xdx xdx Đặt t x dt Đổi cận x 0 t -1 10 x 3 x 1 x 3 dx d) I4 x 1 dx x 3x1 e) I5 f) I6 2x x 1 x 1 d x Giải 2x 1 a) I1 1 2x 1 dx Đặt t 2x 1 t 2x 1 2tdt 2dx dx tdt Đổi cận x t 3 t 1 1 3 t 1t 1 1 t2 t2 I1 dt dt dt t 1 dt t ln t 1 1 t 1 t 1 t 2 1 t 1 1 1 3 ln 1 ln ln ln 2 2 dx 4x 1 2x 1 b) I2 Đặt: t 4x t 4x 2tdt 4dx dx t2 1 2x tdt Đổi cận x t 5 15 tdt tdt tdt 2 t 1 t 2t 1 t 12 1 t 5 1 1 1 t 1 1 dt dt ln t 1 ln ln ln ln t1 t 1 12 t 1 6 4 12 t 1 3 I2 c) I3 1 x x 1 dx Đặt t 1 x t 1 x t 1 x t 1 dt dx Đổi cận x 54 t 2 1 t1 I3 t 2 t 1 dt 2 t 1 t1 t t 1 t3 3t2 3t 1 dt dt t 1 2 t3 t2 t 3t dt 4t ln t ln ln1 2 t 3 3 1 1 11 ln 3 x 3 dx d) I4 x 1 x 2 Đặt t x 1 t x 1 x t 1 dx 2tdt Đổi cận x t 2 2 t t t t 2t 2 t t 2 t 1 2t3 8t 2t.dt dt dt dt I4 t 2 3t t 1t t 1t t 1 dt 3t t21 1 1 t 2t dt t 1 Tới ta nháp lấy tử chia mẫu t 2t t 1 t 3 t2 t 3t 3t 03 2 2 2 1 t2 t 2t 2 dt t dt 3t 3ln t 1 2 3ln 3ln t 1 t 1 2 2 1 1 ln ln 2 ln x 1 dx e) I5 x 3x 1 2tdt t 1 Đặt t 3x 1 t 3x 1 x dx 3 Đổi cận x t 55 t2 1 t2 1 1 1 4 t 12 24 2tdt 2dt t 1 dt I5 dt 2 9 t 1 t 1 t 1 t 1 2 2 t 4 24 2 t 1 dt t 1 dt 2 t 1t 1 dt 92 t 1t 1 4 23 100 43 t 2 + Xét M t 1 dt t 92 3 3 27 t 1 t 1 4 t 1 ln ln ln + Xét N dt dt ln t 1 ln t 1 2 ln t 1 t 1 t 1 5 t 1 t 1 2 100 I5 M N ln 27 2 2x x 1 f) I6 x 1 dx Đặt: t x 1 t x 1 x t 1 2tdt dx Đổi cận x t 2t2 1 t2 1 1 2 I6 t 2 1 2tdt 2 t 2t 1 t dt 2t 3t dt t5 t3 25 54 3 23 1 3 Câu 4: Tính tích phân sau a) I1 x x dx x dx x b) I2 x 2xdx c) I3 1 d) I4 e) I5 2x x dx 1 2x x2 dx f) I6 x2 dx 3x x Giải a) I1 x x2 dx Đặt: x sin t , với t ; cost 2 dx 2costdt Đổi cận 56 x t 2 I1 sin2 t sin2 t.2 cos tdt 16 sin2 t 1 sin2 t cos tdt 0 2 cos tdt sin2 t cos2 t.dt 16 sin t.cos t dt 160 16 sin2 t cos t 2 1 cos t 2 1 dt 1 cos 4t dt t sin 4t 16 sin 2t dt sin 2tdt 0 0 0 2 2 2t sin4t sin2 sin 0 2 2 0 0 b) I2 x 2xdx 1 1 x 1 dx 1 Đặt: x 1 sin t , với t ; cost 2 Đổi cận x -1 t 0 2 2 I2 1 sin t cos t.dt cos t cos t.dt cos t.dt 0 1 12 1 cos 2t dt t 2 2 c) I3 2x x2 dx 0 sin 2t sin sin0 0 4 x dx Đặt: x sin t , với t ; cost 2 dx 2costdt Đổi cận x t 57 I3 sin2 t.2 cos t.dt cos2 t.dt 2 sin 2 sin 1 x dx x dx d) I4 0 x x sin 2t 6 1 cos 2t dt t 2t sin t 3 Cách Đặt: t x dt 3x dx Đổi cận x t I4 11 dt 4t2 Đặt: t sin u , u 0; dt cos udu Đổi cận x t I4 2cosu.du cos u.du cos u.du du u 30 4sin u cosu cos u 30 18 6 6 Cách 2 Đặt: tdt x sin t 3x dx cos tdt x dx cos Đổi cận x t I4 26 e) I cos t.dt cost.dt dt t 18 3 30 sin t cos t cos t 0 cos t.dt 1 2x x2 dx 58 Đặt x sin t , với t ; cos t 0;cost sin t 2 dx cost.dt Đổi cận x t I5 6 1 2sin t 1 sin2 t cos t.dt 1 2sin t.cos t cos t.dt 6 sin 2t cos2t sin cos t 2 2 1 x dx f) I6 x x2 cos t.dt cos t sin t cos t.dt cos t sin t.cos t dt sin t cos t 0 16 1 cos 2t sin 2t dt 0 sin0 cos0 0 x dx 22 x 1 Đặt x 1 sin t với t ; cos t 2 dx 2costdt Đổi cận x t I6 1 sin t sin2 t .2cos t dt 1 sin t sin2 t .2cos t dt 1 sin t 2 cos t dt 2 cost 2cost 2sin t 6 1 sin t sin t dt cos2t sin t dt 1 sin t cos 2t dt 3t cos t sin 2t 6 4 4 cos0 sin 0 cos sin 6 3 3 3 4 2 PHẦN VII: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 1: Tính tích phân sau a) I1 cos4 xdx b) I2 sin x cos6 x dx c) I3 sin 2x.sin 5x.dx 59 sin x 4 dx dx e) I5 d) I4 f) I6 dx 1 cos x 1 cos 2x cos 0 x Giải 1 cos 2x 2 1 cos x cos2 x dx dx cos x dx a) I1 cos4 xdx cos2 x dx 0 0 0 0 sin3 x 1 cos 2x 1 cos2x 1 1 cos x cos x dx dx x sin x sin2x 2 0 0 2 0 3x sin x sin 2x 3 sin sin 2 3.0 sin sin 3 16 16 2 16 2 3 b) I2 sin x cos x dx sin x cos x dx 0 6 2 sin2 x cos2 x sin2 x sin2 x.cos2 x cos2 x dx 2 1 sin x cos2 x 3sin2 x cos2 x dx 1 sin 2x dx 1 sin 2 x dx 2 0 2 3 2 5 5x sin 2 sin 1 1 cos 4x dx cos 4x dx sin 4x 32 8 32 0 08 32 0 5 16 sin 3x sin 7x cos3x cos 7x dx c) I3 sin 2x.sin 5x.dx 2 2 3 7 3 sin 7 sin sin sin 21 2 sin x sin x.sin x dx dx 1 cos x 1 cosx 0 d) I4 2 1 cos2 x sin x 1 cos x 1 cos x 1 cos x sin x dx 1 cos x dx cos x 1 cos x sin x.dx 4 1 cos x cos x dx 4 1 cos x d cos x 4 cos x 0 0 2 cos cos cos 4 cos 2 60 e) I5 sin x 3 3 4 sin x cos x sin x sin x dx dx dx 1 dx dx cos x cos x cos x 0 cos x cos x dx cos x 3 d cos x dx dx ln cos x x 03 ln cos 3 cos x 0 3 ln cos0 ln ln 1 ln 3 3 f) I6 1 dx dx tan x 0 1 cos 2x 0 cos x 2 Câu 2: Tính tích phân sau 2 b) I2 cos3 x 1cos2 xd cos2 x cos 2xdx a) I1 x c) I dx cos x d) I sin x cos4 x sin6 x cos6 x dx e) I5 cos 2x sin x cos4 x dx 2 0 Giải a) I1 cos2 x cos 2xdx 1 cos 4x dx 1 cos 2x cos 2xdx cos2x cos2 2x dx cos 2x 20 40 40 2 2 1 1 1 cos 2x cos 4x dx x sin 2x sin 4x sin sin 2 sin sin0 40 4 4 b) I cos x 1cos xdx cos x cos x dx cos xdx cos2 xdx A B 2 2 2 0 2 2 0 2 A cos xdx cos x cos xdx 1sin x sin x dx 1sin x d sin x 2 2 1 sin2 x sin4 x d sin x sin x sin x sin x 0 sin sin3 sin5 15 1 1 B cos xdx 1 cos2x dx x sin2x sin 0 sin0 20 2 2 12 61 Vậy I2 A B 15 c) I3 tan x dx dx dx 0 cos x 0 cos x cos x 0 2 0 1 tan x d tan x tan2 x 4 4 1 tan x tan x d tan x tan x tan3 x tan5 x 0 tan tan3 tan5 28 4 4 15 d) I sin x cos4 x sin6 x cos6 x dx Ta có: 2 sin x cos4 x sin x cos2 x sin x cos2 x sin x cos2 x sin 2x 1 cos 4x cos 1 4x 2 4 3 sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x cos2 x x cos2 x 2 3sin2 x cos2 x 1 sin2 2x 1 cos 4x 3cos sin 4x 4cos 4x 43cos 4x2 815 3cos x sin4 x cos x sin6 x cos6 x 74cos4 8x 32 32 16 4 15 cos 4x 1 cos8x 33 7cos 4x 3cos8x 32 16 32 64 16 64 33 7cos 4x 3cos8x dx I4 sin x cos4 x sin x cos6 x dx 64 16 64 33x 7sin 4x 3sin 8x 33 7sin 2 3sin 4 33 64 512 128 64 512 128 64 e) I5 cos 2x sin x cos4 x dx Câu d ta thấy sin4 x cos2 x sin2 2x 1 2 I50 cos 2x 1 sin 2x dx sin 2x 1 sin 2x dx 1 sin 2x d sin 2x 0 02 2 1 sin3 2x sin 2x sin sin 2 2 62 PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT Câu 1: Tính tích phân sau e2 x I1 I2 dx 1 e x x e x xe ln3 3ln I4 x ln dx e 2 x I5 x ex e x I3 dx ln dx I6 1 ln dx e 9 2x e2 x e x 1 dx x I7 e 1dx Giải I1 e 2x 1 e x dx Đặt t ex ex t e x dx 2tdt t3 I1 dt 1 t t3 t t 1 1 t t 1 3 t t t I1 dt t t 1 dt t ln t 1 C 1 t t 1 3 ex ex ex ex ln ex 1 C Ta nháp lấy tử chia cho mẫu ta phân tích I2 x x e x x e x dx x x e x x ex dx e x x x .e x xex 1 dx xex x 1 ex xex 1 dx Đặt t xe x 1 dt x e x x e x dx dt e x xe x dx dt e x x 1dx t 1 dt 1 dt t ln t C xex 1 ln xe x 1 C I2 t t dx I3 2x e 9 tdt dx Đặt t e2 x t e2 x 2tdt 2e2 x dx tdt t dx t 9 I3 t t 3 tdt dt t 3 t t 9 t t 3t 3 dt t t dt ln t 3ln 3ln dx e 2 x x x e3 x e3 dx x e 2 C x I4 ln e2 x 3 e2 x 3 C x Đặt t e dt e dx e dx 3dt Đổi cận 3 63 x 3ln t 2 3dt I4 t t 2 1 t 2 t t 2 t dt dt 2 1 t t 2 t t 2 t t t 2 t 2 dt 2 1 3 3 t 3 dt ln ln ln 23 t t t t t 2 2.4 2.2 3 ln ln3 ex dx I5 e x 1 Đặt t ex 1 t ex 1 2tdt e x dx Đổi cận x ln3 t I5 2 t ln5 I6 ln2 2tdt e2 x ex 1 tdt 2 t dx dt 2 ln 2 t t 1 ex exdx ex 1 ln2 Đặt t ex 1 t ex 1 t 1 ex 2tdt e x dx Đổi cận x ln2 t ln5 I6 t 1 2tdt t ln 20 t3 t 1 dt t 1 3 1 2 x I7 e 1dx Đặt t e x 1 t e x 1 t 1 e x 2tdt e x dx 2tdt t 1dx dx 2tdt t2 Đổi cận x ln2 t 64 I7 t 1 t 1 1 dt 1 dt 21 dt 11 t2 2tdt dt dt t2 1 t2 1 t 1 t 1 t 1 0 0 2t 2A 2A 1 t Xét: A dt 1 Đặt t tan u dt du , u ; cos u 2 Đổi cận x t du du u cos2 u tan u 1 0 A Vậy, I7 2A 2 Câu 2: Tính tích phân sau e3 a) I1 ln3 x dx x lnx e b) I2 ln x dx x ln x xex 1 x e x lnx dx e c) I3 Giải e3 ln3 x a) I1 x lnx dx Đặt t ln x t ln x t 1 ln x 2tdt dx x Đổi cận x e3 t t I1 1 t t 3t 2tdt t 1 dt 2 t 3t 3t 1dt t t 1 1 2 3.25 1 388 23 1 35 7 e b) I2 x ln x dx ln x dx Đặt t ln x t ln x t 1 ln x 2tdt dx tdt x x Đổi cận 65 x e t 2 I2 .tdt t t 2 t3 t dt 4t 1 10 3 11 xe x 1 x e x lnx dx e c) I3 x Đặt t e x ln x dt e x dt xe 1 dx x x Đổi cận x t e e ee 1 ee 1 I3 e dt t ee 1 ln t e ee ln e 1 ln e ln e e 2 Câu 3: Tính tích phân sau.1 I1 esin x sin 2xdx I2 I3 ln x x 1 x2 dx d x Giải I e sin x ln x 1 sin 2xdx esin x sin x cos xdx u sin x du cos xdx Đặt sin x sin x dv e cos x v e I1 sin x.e sin x 2 esin x cos xdx 2e 2e sin x ln x 1 dx x2 2e 2e 2 2 I2 dx u ln x 1 du x 1 Đặt: dx dv v x x 66 2 2 x 1 x dx 1 1 I2 ln x 1 ln ln dx ln ln dx x x 1 x x 1 x x 1 x 1 1 x 1 ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln x 1 2 3 2 3 I3 ln x x 1 dx du dx u ln x x dx Đặt dv x 12 v x 1 3 dx 1 I3 ln x ln dx x x 1 x x 1 x1 1 x 3 ln ln ln ln ln ln ln x 1 4 2 4 67 MỤC LỤC CÔNG THỨC Nguyên hàm hàm số thường gặp 2 Nguyên hàm hàm số hợp PHẦN I: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P1 PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Loại 1: Tiến hành theo bước Loại 2: Tiến hành theo bước PHẦN III: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I DẠNG : PHẦN II Dạng : dx ax b a IV: dx TÍCH bx c ax 34 ln ax b C PHÂN PHẦN VI: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ PHẦN V PHÂN HÀM : TÍCH PHẦN VII: TÍCH LƯỢNG GIÁC PHẦN VIII: TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LOGARIT CƠ PHÂN BẢN HÀM – HỮU P2 36 51 TỈ 59 63 68 [...]... P(x) *dv là Phần còn lại Cách của biểu thức dưới đặt dấu tích phân Câu 1: Tính các tích phân sau 3 1 2x cos 2xdx b)I2 = (x 1)e dx c) I3 = 2x ln(x 1)dx 2x 0 0 2 Giải /4 a) I1 = P(x): Đa thức 1 Q(x): 1 hay 2 2 sin x cos x *u = P(x) *dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân *u = P(x) * u = ln(ax + b) *dv là Phần còn lại * dv = P(x)dx của biểu thức dưới dấu tích phân /4 a) I1 = P(x):... 2.4.ln 2 x 8ln 2 2 2 2 2 3 2 Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =…tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x Như đã biết 2xdx x2 c ,trong đa số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0 Trong bài tích phân vừa tính,chọn c 1 thích hợp hơn Câu 2: Tính các tích phân sau 4 xdx cos2 x 0 2 b) J2 = ln xdx 2 a) J1 = 1 x Giải 4 xdx 2 cos x 0 a) J1 = u x du dx... PHẦN IV: TÍCH PHÂN CƠ BẢN – P2 Câu 1: Tính các tích phân sau a) I1 = 1 0 3 b) I2 = x dx 1 0 (2x 1)3 dx 1 4x dx 1 3 0 e) I5 2x 3 x 2 3x 1 dx d) I 4 x 1x 2 2x 5 dx 1 c) I3 = 1 3 0 3 0 Giải a) I1 = 1 b) I2 = 1 0 0 4 x 3dx = x 4 1 0 1 ¸ p dông c«ng thøc 4 x dx x 1 C 1 1 (2x 1)3 dx Với dạng câu này ta có nhiều cách làm Cách 1:... 1 3 2 2x 1 4 3 0 3 2.4 12 3 1 26 3 3 0 1 2 d) I4 x 1 x dx 0 Cách 1: Đổi biến số Với phương pháp này chúng ta cần chú ý là đặt ẩn như thế nào đó mà chúng ta có thể thay hết các ẩn trong dấu tích phân ban đầu thành 1 loại ẩn khác thôi Trong dấu tích phân không được chứa 2 ẩn Như là ban đầu trong dấu tích phân chỉ có ẩn x thì khi đặt ẩn t thì làm sao đó ẩn x phải mất hết Đặt t 1 x2... 2 2 3 3 3 1 Cách 2 : Dùng hàm hợp I6 2 2 cos x 3sin x1 0 dx 0 sin x 3sin x1 dx 2 0 d sin x 2 1 3sin x 12 1 3sin x 1 2 d sin x 0 2 1 1 2 1 2 2 3sin x1 2 2 1. 3sin x1 2 3sin x 1 22 2 1 1 3 3 3 3 3 0 0 1 0 2 PHẦN V : TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ dx 1 ln ax b C I DẠNG 1 : ax b a Câu 1 : Tính các tích phân sau 1 1 3 ... ln 2 e ln 3 ln 3 3 t 3 Cách 2: Dùng hàm hợp 2e N 11 Ta thấy: ex 2 ex 1 2 ex dx 1 d 2 ex e xdx ln 2 ex N x x x 2 e 2 e 2 e 0 0 0 1 1 0 2e 3 ln 2 e ln 3 ln PHẦN III: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b b Công thức: udv uv a vdu b a a b Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I P(x).Q(x)dx a Dạng P(x): Đa thức hàm Q(x): sinkx hay... nhân phân phối vào thì ghi rất mệt nên ta sẽ bỏ qua cách đó Cách 1: Đổi biến số Ta dễ dàng quan sát thấy được nếu như x2 2x 5 2x 2 2 x 1 thì nhìn vô biểu thức tích phân x 1 nên mình dễ dàng nghĩ ngay tới chuyện đổi biến số kiểu bên dưới dt Đặt t x2 2x 5 dt 2x 2 dx x 1 dx có cái 2 Đổi cận x 0 1 5 4 t 4 14 1t Suy ra: I 4 t3dt 2 4 25 Cách 2: Dùng hàm hợp. .. x 3 Vậy ta đã phân tích 1 2x 2 2 1 2x Giờ ta ráp vào để tính 0 1 x3 x2 3 1 1 2x 3 3x 2 4x 1 0 x 2 x 3 dx x ln 1 2x I3 1 2x 2 (2) 2 2 1 2x 1 3 2 2 1 1 1 1 1 3 1 ln 3 7 ln1 ln 3 4 3 4 3 2 2 4 0 II Dạng 2 : dx ax bx c 2 Câu 3 : Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt) 1 d a)... 0 Cách 1: Đổi biến số Ta quan sát thấy được x2 3x 1 2x 3 nên ta hãy nghĩ tới cách đổi biến như bên dưới Đặt t x2 3x 1 dt 2x 3 dx Đổi cận x 0 1 1 t -1 1 1 t4 Suy ra: I5 t dt 4 1 14 14 3 4 1 0 4 Cách 2: Dùng hàm hợp I5 2x 3x 2 3x 1 dx 1 3 0 3 x 3x 1x2 3x 1 1 2 x dx 2 3x1 4 1 4 0 1 3 1 0 14 0 4 4 Câu 2: Tính các tích. .. x 2 dx 2 Đổi cận x 0 t 5 1 2 2 1 dt 1 Suy ra: I5 ln t 25 t 2 2 5 1 1 2 ln 2 ln 5 ln 2 5 2 Cách 2: Dùng Hàm hợp 1 x2 0 x 2 4x 5 dx 1 I5 1 0 x 2 2 4x 5 x 4x 5 2 2 1 1 d x 4x 5 1 ln x 2 4x 5 2 0 x 2 4x 5 2 dx Câu 5: Tính các tích phân sau 0 2 dx dx a) I1 2 b) I2 2 x 1 2x 1 1 1 1 2 0 ln 2 ln 5 1 ln 2 2 5 1 d x 2 0 3x ... b Các dạng bản: Giả sử cần tính I P(x).Q(x)dx a Dạng P(x): Đa thức hàm Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức Q(x):ekx *u = P(x) *dv Phần lại Cách biểu thức đặt dấu tích phân Câu 1: Tính tích. .. tìm nguyên hàm thích hợp 2x Như biết 2xdx x2 c ,trong đa số trường hợp phương pháp phần ta chọn c = Trong tích phân vừa tính,chọn c 1 thích hợp Câu 2: Tính tích phân sau xdx cos2 x... x dx x 1 C 1 (2x 1)3 dx Với dạng câu ta có nhiều cách làm Cách 1: Chúng ta phân tích áp dụng công thức tính tích phân thường Áp dụng công thức: a b 3 a 3a b