Hóa học là một khoa học lý thuyết và thực nghiệm. Hóa học đòi hỏi sự chính xác của toán học đồng thời với sự linh hoạt trong tư duy và óc tưởng tượng phong phú, sinh động và sự khéo léo trong các thao tác thí nghiệm. Chúng tôi giới thiệu cùng bạn đọc quyển “Bài tập chọn lọc Hóa học 10” chương trình chuẩn và nâng cao. Sách gồm các bài tập Hóa học chọn lọc trong chương trình Hóa học 10 có mở rộng và nâng cao, có thể sử dụng để phát triển năng lực tư duy Hóa học cho học sinh lớp 10 và phục vụ ôn tập các kì thi tú tài, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi. Quyển sách được biên soạn theo chương trình mới của Bộ Giáo dục và đào tạo. Sách được chia thành 7 chương, tương ứng với từng chương của sách giáo khoa Hóa học 10. Mỗi chương bao gồm các nội dung chính sau:
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÁC HỆ QUẢ CỦA BĐT CÔ-SI Bài 1: [ĐVH] Chứng minh ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc, ∀a, b, c ≥ ( ) Bài 2: [ĐVH] Chứng minh (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ + abc , ∀a, b, c ≥ Bài 3: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh : a) a+b b+c c+a + + ≥6 c a b b) a b c + + ≥ b+c c+a a+b Bài 4: [ĐVH] Cho a, b > Chứng minh : a) ( a + 1)( b + 1) ≥ a + b + b) a b − + b a − ≤ ab Bài 5: [ĐVH] Chứng minh : a + b4 + c ≥ abc ( a + b + c ) , ∀a, b, c ∈ R Bài 6: [ĐVH] Cho a, b, c > a + b + c ≤ Chứng minh 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài 7: [ĐVH] Chứng minh : a) a + c) a + ≥ 3, ∀a > b > b ( a − b) ( a − b )( b + 1) b) a + ≥ 3, ∀a > b > d) b ( a − b) a2 + a2 + ≥ 2, ∀a > b > ≥ 2, ∀a ∈ R Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤ Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = Chứng minh 729 a b c 3 + + ≥ 2 b +c c +a a +b 2 a , b, c > a+b c+b Bài 10: [ĐVH] Cho 1 Chứng minh rằng: + ≥4 a − b 2c − b a + c = b Bài 11: [ĐVH] Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ , ∀a, b, c > b+c c+a a+b 1 Bài 12: [ĐVH] Chứng minh với a, b, c > ta có ( a + b + c ) + + ≥ ( a + b + c) a+b b+c c+a Bài 13: [ĐVH] Cho x ≥ , tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + x + 17 ( x + 1) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài 14: [ĐVH] Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Facebook: LyHung95 x + x + 34 x +3 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P = + x2 + 1+ y2 + 1+ z2 Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+ y y+z z+x + + xy + z yz + x zx + y Ví dụ Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + x +y xy Ví dụ Cho x, y > xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + + xy yz xz x + y + z x y z 1 Ví dụ Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + + y + z x + z x + y Hướng dẫn: Ta có x x + y + z ( x + z) + ( y + z) + = = ≥ ( x + z )( y + z ) y+z 2( y + z ) 2( y + z ) y+z Tương tự cho hai biểu thức lại, sau nhân vào ta P ≥ Ví dụ Cho x, y, z > 1 + + = 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xyz Hướng dẫn: Tách 1 y z yz = 1 − + ≥2 + 1 − = 1+ x 1+ y 1+ z y +1 z +1 ( y + 1)( z + 1) Tương tự xz xy ≥2 ≥2 ; 1+ y ( x + 1)( z + 1) + z ( x + 1)( y + 1) Nhân vế theo vế BĐT ta 1 xyz ≥8 ⇒ xyz ≤ 1+ x 1+ y 1+ z (1 + x)(1 + y )(1 + z ) Ví dụ Cho số dương x, y, z thoả mãn: xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + x2 + y2 1+ y2 + z2 + z + x2 + + xy yz zx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ Cho số thực x > 1; y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x3 + y3 ) − ( x2 + y ) ( x − 1)( y − 1) Hướng dẫn: ( x3 − x2 ) + ( y3 − y ) xy x2 y2 Ta có P = = + ≥ ( x − 1)( y − 1) y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) x x − = 1.( x − 1) ≤ xy Lại có → ( x − 1)( y − 1) ≤ y − = 1.( y − 1) ≤ y Từ dễ dàng suy P ≥ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) a b c 1 1 1 + 2+ ≤ + + 2 a +b b +c c +a 2 a b c b) a+b b+c c+a 1 1 + 2+ ≤ + + 2 a + b b + c c + a2 a b c Bài 2: [ĐVH] Cho a, b, c > 1 1 + + ≥ Chứng minh abc ≤ 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: [ĐVH] Cho a, b, c Chứng minh : a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c ) a , b, c > Bài 4: [ĐVH] Cho a + b + c = Chứng minh − 1 − 1 − 1 ≥ a b c Bài 5: [ĐVH] CMR 1 a+b+c + + ≤ , ∀a, b, c > a + bc b + ca c + ab 2abc Bài 6: [ĐVH] Chứng minh với a, b, c > ta có 1 1 + 3 + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Bài 7: [ĐVH] Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn P = 1 + 3 + 3 a + b + b + c + c + a3 + Bài 8*: [ĐVH] Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = a + b3 b3 + c3 c3 + a3 Tìm GTNN P = + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn: ( a + b ) ( a + ab + b2 ) − 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) a + b a + b3 = = ( a + b) − ≥ ( a + b) − = 2 2 a + ab + b a + ab + b a + b + ab 3ab Tương tự cho bất đẳng thức khác ta Pmin = a = b = c = Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = Chứng minh P = x9 + y y9 + z9 z + x9 + + ≥2 x6 + x3 y + y y + y z + z z + z x3 + x6 Bài 10: [ĐVH] (Khối D – 2006) Cho số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1 + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Chứng minh Khi đẳng thức xảy ra? Bài 11: [ĐVH] Cho x, y, z > Chứng minh y x z 1 + 2+ ≤ 2+ 2+ 2 x +y y +z z +x x y z Bài 12: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 13: [ĐVH] (Khối B – 2007) Cho x, y, z số thực dương thay đổi x y z Tìm GTNN biểu thức P = x + + y + + z + zx xy yz Bài 14: [ĐVH] Cho số thực x, y Chứng minh a) x + y 2 ( x + y) ≥ b) x + y 4 ( x + y) ≥ 1 + + =4 a b c 1 Chứng minh : + + ≤1 a + b + c a + b + c a + b + 2c Bài 15: [ĐVH] Cho a, b, c > thoả mãn Bài 16: [ĐVH] Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = 12 Chứng minh rằng: xy yz xz + + ≤6 x + y y + 4z 4z + x Bài 17: [ĐVH] Cho x, y, z > thoả mãn: xy + xz = Tìm GTNN biểu thức P = yz zx xy + + x y z Bài 18: [ĐVH] Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z + xy = 3( x + y + z ) Tìm GTNN biểu thức P = x + y + z + 20 + x+z 20 y+2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KĨ THẬT TÁCH, GHÉP Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh a2 a+b+c ∑b+c ≥ Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = a) Tìm GTLN biểu thức P = ∑ b) Tìm GTNN biểu thức Q = ( 3a + b ∑( ) x + 3y ) Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = ∑ a3 (b + 1)(c + 1) a4 a+b+c Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh ∑ ≥ b (a + c) Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = ∑ a b +1 Ví dụ Cho x, y > thỏa mãn xy = x3 y3 Tìm GTNN biểu thức P = + y +1 x +1 Hướng dẫn: Tách x3 y + 1 3x + + ≥ y +1 2 Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn xy xy + yz yz + zx zx = x6 y6 z6 Tìm GTNN biểu thức P = + + x + y y + z z + x3 Hướng dẫn: Đặt x3 = a; y = b; z = c quy BĐT bản! Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = 3xyz Tìm GTNN biểu thức P = yz zx xy + + x ( z + y ) y ( x + z ) z ( y + x) Hướng dẫn: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đặt Facebook: LyHung95 1 = a; = b; = c ⇒ ab + bc + ca = x y z a3 Thay vào biểu thức P ta P = ∑ b + 2c a3 a(b + 2c) 2a + ≥ Tương tự, đến em tự làm nốt nhé! Ta có b + 2c Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = b b c c a a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Hướng dẫn: Cách 1: b b c c a a + + a+3 b+3 c+3 Áp dung bất đằng thức Cauchy cho số thực dương, ta có: Từ giả thiết ta có P = b b b b a+3 b3 3b + + ≥3 = 64 a + a + 16 c c c c b+3 c3 3c + + ≥ = 64 b + b + 16 Tương tự a a c+3 a3 3a a a + + ≥ = 64 c + c + 16 Cộng vế theo vế bất đẳng thứ ta được: b b c c a a a+b+c+9 3 + + + ≥ (a + b + c) ⇔ P ≥ 16 a+3 b+3 c+3 Đẳng thức xảy a = b = c = Cách 2: Cauchy − Schwarz (a + b + c) b2 c2 a2 Ta có: P = + + ≥ b a+3 c b+3 a c+3 a c+3 + b a+3 + c b+3 Mặt khác: ⇒P≥ a c+3 + b a+3 + c b+3 Bunhiacopxki ≤ ( a + b + c )( a + b + c + ) = 36 = Dấu xảy ⇔ a = b = c = Ví dụ 10 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = CMR: a3 b3 c3 + + ≥ 2 b +3 c +3 a +3 Ví dụ 11 Cho số dương x, y, z CMR: x4 y4 z4 + + ≥ ( x3 + y3 + z ) y+ z z+ x x+ y Ví dụ 12 Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = CMR: x3 y +8 + y3 z +8 + z3 x +8 ≥ + ( xy + yz + zx) 27 a3 b3 c3 Ví dụ 13 Cho a, b, c > 0: a + b + c = Tìm GTNN: P = + + 2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b 2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 14 Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm GTNN: P = Facebook: LyHung95 x3 y3 z3 + + y+ z z+x x+ y Ví dụ 15 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + a (b + c) b ( c + a ) c ( a + b) Hướng dẫn: x y z Cách 1: Đặt: a = ; b = ; c = → xyz = Khi ta có → P = x yz y zx z xy x3 y3 z3 + + = + + y+z x+z x+ y y+z z+x x+ y Hướng 1: Theo BĐT Cauchy thì: x3 y + z 3x + + ≥ ; y+z 2 ⇒P= y3 z + x 3y + + ≥ ; z+x 2 z3 x + y 3z + + ≥ x+ y 2 x3 y3 z3 Cauchy 3 + + ≥ x+ y+ z− ≥ xyz − = y+z z+x x+ y 2 Hướng 2: Theo BĐT Cauchy – Schwarz ta có: P= 3 4 x y z x y z + + = + + y + z z + x x + y xy + zx zy + xy zx + yz Cauchy − Schwarz ≥ ( x2 + y + z ) 2 ( xy + yz + zx ) Mặt khác lại có: xy + yz + zx ≤ x + y + z Suy ⇒ P ≥ 2 x + y + z 33 x y z ≥ = 2 Hướng 3: Bunhiacopxki x x3 y3 z3 y2 z2 Ta có: P ( x + y + z ) = + + ≥ + + ( x + y + z ) y+z z+x x+ y y+ z z+ x x+ y C1 Theo BĐT Cauchy thì: ⇒ x2 y+z + ≥ x; y+z y2 z+x + ≥ y; z+x z2 x+ y + ≥z x+ y x2 y2 z2 1 + + ≥ ( x + y + z) ⇒ P ≥ ( x + y + z) ≥ y+z z+x x+ y 2 C2 P ( x + y + z ) ⇒P≥ Bunhiacopxki ≥ x2 y2 z2 + + y+z z+x x+ y ( x + y + z )2 ( x + y + z ) Cauchy − Schwarz ≥ x+ y+ z = x+ y+z ≥ 2 Vậy GTNN P PMin = ⇔ a = b = c =1 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1 + + = b+c + c+a + a+b b c a b+c b c+a c a+b a Cách 2: Ta có: Theo BĐT Bunhiacopxki: 1 b+c + c+a + a+b b c+a c a+b a b+c Bunhiacopxki 1 + + 2 ( a + b + c ) a ( b + c ) b ( c + a ) c ( a + b) ≤ 1 + + ≤ ( a + b + c ) P b c a Hay ⇔ Mặt khác theo BĐT Cauchy thì: 1 + + 2 b c a a + b2 + c 1 1 ≥ 3 2 + 2 + 2 ↔ + + ≥ 3 = a + b2 + c a 2b 2c b c c a a b c a b Cauchy ( ( ) ⇒P≥ 1 + + ≥ ( a + b + c) b c a Và: ( a + b + c ) ≤ a + b2 + c2 Nên suy ra: ) a + b + c Cauchy 3 abc ≥ = 2 Vậy GTNN P PMin = ⇔ a = b = c = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P4 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG SỬ DỤNG CÔ-SI NGƯỢC DẤU Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = x y z + + 2 + y + z + x2 Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = ∑ Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh x2 x + y2 x +1 y +1 z +1 + + + y + z + x2 a2 ≥ (a + b + c) 3a + 8b + 14ab ∑ 2 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b2 + c = Tìm GTNN biểu thức: P = 8a + 26ab + 15b + 8b + 26bc + 15c + 8c + 26ca + 15a Hướng dẫn: Cách 1: Hướng 1: Ta có: 8a + 26ab + 15b = ( 3a + 4b ) − ( a − b ) ≤ ( 3a + 4b ) ⇒ 8a + 26ab + 15b = ( 3a + 4b )2 − ( a − b )2 ≥ 2 3a + 4b 6a + 8b Hướng 2: Ta có: 8a + 26ab + 15b = ( 2a + 5b )( 4a + 3b ) ≤ = ( 3a + 4b ) 2 ⇒ 8a + 26ab + 15b 2 ≥ 3a + 4b Tương tự cho hai biểu thức lại ta được: P ≥ Theo Cô-si ta có: ⇒P≥ 3a + 4b + ≥ ; 3a + 4b 49 1 + + 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a 3b + 4c + ≥ ; 3b + 4c 49 ( 3c + 4a + ≥ 3c + 4a 49 ) Bunhiacopxki a+b+c − Mà : ( a + b + c ) ≤ (1 + + 1) a + b2 + c2 = → a + b + c ≤ 7 Vậy suy ⇒ P ≥ Dấu xảy ⇔ a = b = c = Cách 2: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ∑ P= 8a + 26ab + 15b = ∑ ≥ ( 3a + 4b )2 − ( a − b )2 Facebook: LyHung95 ∑ 3a +1 4b 1 Cauchy − Schwarz (1 + + 1) + + ≥ 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a ( a + b + c) Mặt khác: Lại có: ( a + b + c ) ⇒P≥ Bunhiacopxki ≤ (1 + + 1) ( a + b2 + c2 ) = → a + b + c ≤ Dấu xảy ⇔ a = b = c = Cách 3: x = 8a + 26ab + 15b Đặt y = 8b + 26bc + 15c ⇒ x + y + z = 23 ( a + b + c ) + 26 ( ab + bc + ca ) ≤ 49 ( a + b2 + c2 ) 2 z = 8c + 26ca + 15a Mặt khác: ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) ⇒ ( x + y + z ) ≤ 3.49 ( a + b2 + c ) = 441 ⇒ x + y + z ≤ 21 P= 1 + + ≥ ≥ Đẳng thức xảy a = b = c = x y z x+ y+z Vậy GTNN P a = b = c = ( ) a2 b2 c2 + + + ab + bc + ca ≥ a + b + c a+b b+c c+a x4 y y4 z z4 x Ví dụ Cho số thực x, y , z > 0, xyz = CMR: + + ≥ x +1 y +1 z +1 Ví dụ Cho số thực x, y , z > Ví dụ Chứng minh với số dương a; b; c : Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ∑ Ta có 1 x = 1 − ≤ x + yz x + yz yz yz x + yz Hướng dẫn: 1 x 1 − 2 x+ y+ z Tương tự cho biểu thức lại ta thu Pmin = ⇔ x = y = z Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = a + 2b3 + 3c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = a + b + c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + 2b + 3c = Tìm GTNN biểu thức P = 2a + 3b3 + 4c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTLN biểu thức P = (1 + 2a )(1 + 2bc) Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn 2a + 4b + 3c = 68 Tìm GTNN biểu thức P = a + b + c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm GTNN biểu thức P = a + 2b + 3c Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + 4b + 9c = Tìm GTNN biểu thức P = a + b3 + c3 Đ/s: P = 1 1 ⇔ a = ;b = ;c = 6 Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + xy + xyz = Tìm GTNN biểu thức P = x + y + z x + 4y xy = x.4 y ≤ Hướng dẫn: Ta có xyz = x.4 y.16 z ≤ x + y + 16 z 12 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: a , b, c > Bài 1: [ĐVH] Cho Tìm GTNN biểu thức P = abc + abc a + b + c ≤ Bài 2: [ĐVH] Cho < a ≤ 1 Tìm GTNN biểu thức P = 2a + 2 a a , b, c > 1 2 Bài 3: [ĐVH] Cho Tìm GTNN biểu thức P = a + + b + + c + b c a a + b + c ≤ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a, b > 1 Bài 4: [ĐVH] Cho , tìm GTNN P = + a + b 2ab a + b ≤ Bài 5: [ĐVH] Cho x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3x2 + + y3 + 4x y2 Bài 6: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 3 a + 3b + b + 2c + c + 3a ≤ Bài 7: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a9 + + b9 + + c9 + ≥ 3 Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a + b − c + b + c − a + c + a − b ≤ Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 2a + b + 2b + c + 2c + a ≤ Bài 10: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh ( 2a + b )( a + c ) a + ( 2b + c )( b + a ) b + ( 2c + a )( c + b ) c ≤ Bài 11: [ĐVH] Cho a > b ≥ Chứng minh 2a + 32 ( a − b )( 2b + 3) ≥5 Bài 12: [ĐVH] Cho số dương x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1 1 S = (1 + x ) 1 + + (1 + y ) + y x Tìm GTNN biểu thức sau : 2 1 1 2 2 P = (1 + x ) 1 + y + (1 + y ) + x Bài 13: [ĐVH] Xét số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = 1 1 + + + 2 a +b +c ab bc ca Bài 14: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm GTNN biểu thức: P = 1 1 1 + 2+ + + + 2 a +b b +c c +a ab bc ca Bài 15: [ĐVH] Cho x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 10 + x y Bài 16: [ĐVH] Cho x, y, z ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = − x + − y + − z Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P6 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c Bài 2: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn P = a b c + + 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: [ĐVH] Cho số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ Chứng minh 1 + + ≥ 1− a 1− b a + b Bài 4: [ĐVH] Cho số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ a2 b2 Chứng minh + +a+b+ ≥ 1− a 1− b a+b Bài 5: [ĐVH] (Khối A – 2005) Cho số dương a, b, c thỏa mãn Chứng minh 1 + + =4 a b c 1 + + ≤ 2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b Bài 6: [ĐVH] Cho số dương a, b, c Chứng minh ab bc ca a+b+c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài 7: [ĐVH] Cho số dương a, b, c Chứng minh ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b Bài 8: [ĐVH] Cho số dương a, b, c Chứng minh 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Hướng dẫn: Ta có: 1 + ≥ = a + 3b b + 2c + a ( a + 3b ) + ( b + 2c + a ) a + 2b + c Tương tự cho BĐT khác cộng lại ta đpcm Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 1 1 1 + + ≤ + + 2a + ( b + c ) 2b + ( c + a ) 2c + ( a + b ) a + b b + c c + a b) 1 1 1 + + ≤ + + a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b a + 2c b + 2a c + 2b Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn: a) Ta có 1 1 1 = ≤ + + … 2a + ( b + c ) ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) + ( b + c ) 16 a + b a + c b + c Tương tự cho BĐT khác cộng lại ta đpcm b) Ta có 1 1 1 = ≤ + … a + 2b + 3c ( a + 2c ) + ( c + 2b ) a + 2c c + 2b Tương tự cho bất đẳng thức khác ta đpcm Bài 10: [ĐVH] Cho a, b, c ba số dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3 1 +3 +3 a + 3b b + 3c c + 3a Bài 11: [ĐVH] Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (với a, b, c độ dài cạnh) Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2 + + p −a p −b p −c a b c Bài 12: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > 0, abc = Tìm GTLN biểu thức P = 1 + + 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + 1 1 Bài 13: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > thỏa mãn 15 + + = 10 + + + 2007 b c a ab bc ca Tìm GTLN biểu thức P = 5a2 + 2ab + 2b2 + 5b2 + 2bc + 2c2 + 5c2 + 2ca + 2a2 Bài 14: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 1 + + ≥ 2 ab + 2c + 2c cb + 2a + ac + 2b + 2b ab + bc + ac Bài 15: [ĐVH] Cho a, b, c > vaø a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a b c + + 2 + b + c + a2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 SỬ DỤNG BĐT PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN a + b + b + c + c + a = 2013 Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thoả mãn Chứng minh a2 b2 c2 2013 + + ≥ b+c a+c a+b 2 Bài 2: [ĐVH] Chứng minh x − x + + x − 12 x + 1362 ≥ 13, ∀x ∈ R Bài 3: [ĐVH] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Bài 4: [ĐVH] Với a, b, c ba số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ Chứng minh ab bc ca Bài 5: [ĐVH] Cho số thực x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + (1 − yz ) + y + (1 − zx ) + z + (1 − xy ) 2 Bài 6: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x − 1) + y2 + ( x + 1) + y2 + y − Bài 7: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y − y + + x + y + y + + x − Bài 8: [ĐVH] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh x2 + 1 17 + y2 + + z2 + ≥ x y z Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z số dương thỏa mãn xy + yz + zx ≥ Chứng minh x2 + ( x + 1) + y2 + ( y + 1) + z2 + ( z + 1) ≥ 181 Bài 10: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + 3b + 5c ≤ Chứng minh 3ab 625c + + 15bc a + + 5ca 81b + ≥ 45 5abc Bài 11: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi Tìm GTNN biểu thức P = x2 + y2 − x + y + + x2 + y + x − y + + x2 + y + x + y + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] (Khối B – 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2( x + xy ) + xy + y Bài 2: [ĐVH] Cho x,y ∈ R x, y > Tìm giá trị nhỏ P = ( (x + y3 ) − ( x2 + y2 ) ( x − 1)( y − 1) ) Bài 3: [ĐVH] Cho x, y số thực thỏa điều kiện x + y = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x4 + y xy + Bài 4: [ĐVH] Cho x, y thoả mãn số thực thỏa mãn x − xy + y = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = x4 + y + x2 + y + Bài 5: [ĐVH] Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx + x+ y+ z Bài 6: [ĐVH] Cho số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y + z − xyz Bài 7: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y + x y ) − ( x + y ) + Bài 8: [ĐVH] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z + + + x y z Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1 1 Chứng minh ( x + y + z ) + + + ≥ 21 x y z Bài 10: [ĐVH] Cho số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh 1 + + − ( x + y + z) ≥ x y z Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG • Dạng phương trình: a (sin x ± cos x) + b sin x.cos x + c = • Dạng phương trình: a (tan x + cot x) + b(tan x ± cot x) + c = • Dạng phương trình: a (sin x + cos x) + b sin x + c = • Dạng phương trình: a (sin x + cos x) + b cos x + c = • Dạng phương trình: a (sin x + cos x) + b sin x + c = • Dạng phương trình: a (sin x + cos x) + b cos x + c = • Dạng phương trình: a sin x + b cos x + c.cos x + d = Bài 1: [ĐVH] Giải phương trình sau a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = b) 2sin2x – 3sinx.cosx + cos2x = Bài 2: [ĐVH] Giải phương trình sau a) 2(sinx + cosx) + sin2x + = b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) Bài 3: [ĐVH] Giải phương trình sau π a) sin x + sin x − = 4 b) tan x − 2 sin x = Bài 4: [ĐVH] Giải phương trình sau a) + tan x = 2sin x + cos x b) sin x + cos x = 1 − tan x cot x Bài 5: [ĐVH] Giải phương trình sau a) sin x + 1 10 + cos x + = sin x cos x b) 2sinx + cotx = 2sin2x + Bài 6: [ĐVH] Giải phương trình sau a) sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx b) – sin3x + cos3x = sin2x Bài 7: [ĐVH] Giải phương trình sau a) ( sin x + cos x ) = tan x + cot x b) (1 + sinx)(1 + cosx) = Bài 8: [ĐVH] Giải phương trình sau a) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = b) sinxcosx + |sinx + cosx| = Bài 9: [ĐVH] Giải phương trình sau a) sin x ( sin x + cos x ) = b) |sinx – cosx| + 4sin2x = Bài 10: [ĐVH] Giải phương trình sau a) sin x − 3 sin x + cos x + = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) ( sin x − cos x ) − ( + 1) ( sin x − cos x ) + = Bài 11: [ĐVH] Giải phương trình sau ( a) tan x − 3cot x = sin x + cos x ) b) cos x + = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) Bài 12: [ĐVH] Giải phương trình sau b) cos x = cos3 x + sin x a) sin x + cot x = 2sin x + Bài 13: [ĐVH] Giải phương trình sau a) 3(tan x + cot x ) = 2(2 + sin x ) b) 1 + − ( tan x + cot x ) + = 2 sin x cos x Bài 14: [ĐVH] Giải phương trình sau b) (1 − sin x − cos x ) + tan x + cot x = a) tan x + cot x + 3(tan x − cot x) = Bài 15: [ĐVH] Giải phương trình sau x x x x a) sin + cos − sin x + sin + cos − 2 = 2 2 b) 1 1 + ( sin 3x + cos 3x ) + + tan 3x + cot 3x + =0 2 sin 3x cos 3x Bài 16: [ĐVH] Giải phương trình sau a) 1 + tan x + + cot x − = cos x sin x b) tan x + cot x − ( tan x + cot x ) + = Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG • Dạng phương trình: a (sin x ± cos x) + b sin x.cos x + c = 0 • Dạng phương trình:... 3sinx.cosx + cos2x = 0 Bài 2: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0 b) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) Bài 3: [ĐVH] Giải các phương trình sau π a) sin 2 x + 2 sin x − = 1 4 b) tan x − 2 2 sin x = 1 Bài 4: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) 1 + tan x = 2sin x + 1 cos x b) sin x + cos x = 1 1 − tan x cot x Bài 5: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) sin x + 1 1 10 +... + cotx = 2sin2x + 1 Bài 6: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx b) 1 – sin3x + cos3x = sin2x Bài 7: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) 2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x b) (1 + sinx)(1 + cosx) = 2 Bài 8: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) 3(cotx – cosx) – 5(tanx – sinx) = 2 b) sinxcosx + |sinx + cosx| = 1 Bài 9: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) 2 sin 2 x (... Bài 12: [ĐVH] Giải các phương trình sau b) cos 2 x = cos3 x + sin 3 x a) 2 sin x + cot x = 2sin 2 x + 1 Bài 13: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) 3(tan x + cot x ) = 2(2 + sin 2 x ) b) 1 1 5 + − ( tan x + cot x ) + 1 = 0 2 2 sin x cos x 2 Bài 14: [ĐVH] Giải các phương trình sau b) 2 (1 − sin x − cos x ) + tan x + cot x = 0 a) tan 2 x + cot 2 x + 3(tan x − cot x) = 6 Bài 15: [ĐVH] Giải các phương trình... x) + b(tan x ± cot x) + c = 0 • Dạng phương trình: a (sin 4 x + cos 4 x) + b sin 2 x + c = 0 • Dạng phương trình: a (sin 4 x + cos 4 x) + b cos 2 x + c = 0 • Dạng phương trình: a (sin 6 x + cos 6 x) + b sin 2 x + c = 0 • Dạng phương trình: a (sin 6 x + cos 6 x) + b cos 2 x + c = 0 • Dạng phương trình: a sin 4 x + b cos 4 x + c.cos 2 x + d = 0 Bài 1: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) 2sin2x + sinx.cosx... |sinx – cosx| + 4sin2x = 1 Bài 10: [ĐVH] Giải các phương trình sau a) 2 sin 2 x − 3 3 sin x + cos x + 8 = 0 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 b) ( sin x − cos x ) − ( 2 + 1) ( sin x − cos x ) + 2 = 0 Bài 11: [ĐVH] Giải các phương trình sau ( a) tan x − 3cot x = 4... còn lại ta thu được Pmin = 1 ⇔ x = y = z Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 5 KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ Ví dụ 1 Cho a, b,... z ≤ x + 4 y + 16 z 4 12 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: a , b, c > 0 1 Bài 1: [ĐVH] Cho Tìm GTNN của biểu thức P = abc + abc a + b + c ≤ 1 Bài 2: [ĐVH] Cho 0 < a ≤ 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P = 2a + 2 2 a a , b, c > 0 1 1 1 2 2 2 Bài 3: [ĐVH] Cho 3 Tìm GTNN của biểu thức P = a + 2 + b + 2 + c + 2 b c a a + b + c ≤ 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT... của biểu thức P = 1 − x + 1 − y + 1 − z Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P6 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho các số dương a, b, c thỏa mãn... đpcm Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + 2a + 3 ( b + c ) 2b + 3 ( c + a ) 2c + 3 ( a + b ) 4 a + b b + c c + a b) 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 2 a + 2c b + 2a c + 2b Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi