Phép toán hai ngôi

bài tập về phép toán hai ngôi

Hà Văn TùngBài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i): x * y = x + y +xy, với x ,y ∈ ℝ(ii) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕa) Tìm - 3 * 4; 0 ⊗ n; 3 ⊗ 4.b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính.B ài làm a) * : R * R → R (x,y)  x * y = x + y + xyTương ứng * là một ánh xạ vì:∀ x, y ∈ ℝ ta có x + y + xy = x * y ∈ ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ.Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt.- Tính giao hoán: ∀ x, y ∈ ℝ , ta có:x * y = x + y + xy → x* y = y *x y * x = y + x + yx Nên phép tính * có tính chất giao hoán.- Tính kết hợp: ∀ x, y , z ∈ ℝ , ta có: ( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z = x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1) x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z) = x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2)Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp- Tìm phần tử trung lập:Tồn tại phần tử trung lập 0 vì ∀ x ∈ ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x- Tìm phần tử đối xứng: Với ∀ x, y ∈ R\ -1 có phần tử đối xứng là x' = - Vì x* x' = x' * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0(ii) a) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕ. ⊗ : N x N → N (m,n)  m ⊗ n = m + 2nTương ứng ⊗ là một ánh xạ vì: ∀ m , n ∈ ℕ ⇒ m + 2n ∈ ℕT a có 0 ⊗ n = 0 + 2n = 2n, 3 ⊗ 4 = 3 + 4.2 = 11• Xét các phần tử đặc biệt- Tính giao hoán:∀ x, y ∈ ℕ , ta có:Trang 1 Hà Văn Tùngx ⊗ y = x + 2y → x ⊗ y ≠ y ⊗ x y ⊗ x = y + 2x Nên ⊗ không có tính giao hoán.Ví dụ: 1, 2 ∈ ℕ1 ⊗ 2 = 1 + 4 = 52 ⊗ 1 = 2 + 2.1 = 4⇒ 5 ≠ 4- Tính chất hợp: ∀ x, y , z ∈ , ℕ ta có: ( x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y + 2z = x + 2y + 2z (1) x ⊗ (y ⊗ z) = x +2( y ⊗ z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2)Từ (1) (2) suy ra phép toán ⊗ không có tính chất kết hợp.- Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập là 0Vì m ⊗ 0 = ⊗ m + 2.0 = m ( m ∈ ) ℕ∀m ∈ ℕ ∃ m' ∈ ℕ m ⊗ m' = 0 ⇒ phép toán ⊗ không có phần tử trung lậpBài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i) a * b = , với a, b ∈ ℚ(ii) a ⊕ b = a + b - ab với a, b ∈ A \ 1a) Tìm − 4 * 5; 3 ⊕ ; 5 ⊕ .b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó.Bài làmBài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:(i) a * b = , với a, b ∈ ℚ * Q x Q → Q là một ánh xạ vì a, b ∈ ℚ ⇒ ∈ ℚNên tương ứng (*) là phép toán hai ngôi trên . ℚ Tính − 4 * 5 = = - Tính chất giao hoán: ∀ x,y ∈ ℚ ta có: x * y = và y*x= suy ra x*y=y*x nên phép toán * có tính chất giao hoán.- Tính chất kết hợp: ∀ x,y, z ∈ ℚ ta có: (x*y)*z= = = (1) x *(y*z) = = = (2)Từ (1), (2) suy ra phép toán * không có tính chất kết hợp Phép toán * không có phần tử trung lập. Do đó ∀ x ∈ ℚđều không có phần tử đối xứng đối với phép toán *.(ii) a ⊕ b = a + b – ab với a, b ∈ ℚ ℚ ⊕ ℚ → ℚ ( a, b )  a + b – ab ∀ a, b ∈ ℚ a/ Tính 3 ⊕ = 3 + - 3 . = Trang 2 Hà Văn Tùng5 ⊕ = 5 + - 5 . = 3 b/ Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó• Tính chất giao hoán: ∀ x, y ∈ , ℚ ta có: x ⊕ y = x + y - xy x ⊕ y = y ⊕ x y ⊕ x = y + x - yx Phép toán ⊕ có tính giao hoán• Tính chất kết hợp : ∀ x, y, z ∈ , ℚ ta có: (x ⊕ y ) ⊕z = x y + z - ⊕ (x y ).z⊕ = x + y - xy + z - (x + y - xy).z = x + y - xy + z - xz - yz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (1) x (⊕ y ⊕z ) = x + ((y ⊕z ) - x.(y ⊕z ) = x + y + z - yz - x(y + z - yz) = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (2) Từ (1),(2) ⇒ ⊕có tính chất kết hợp• Phần tử trung lập là 0 Vì a ⊕0 = a + 0 - a.0 = a ∈ , ℚ ∀ a ∈ thì ℚ ∃ a' ∈ ℚ : a + a' = 0 Bài 3: Xét các quy tắc sau có phải là phép toán hai ngôi hay không? Hãy xác định các tính chất giao hoán, kết hợp và các phần tử đặc biệt.a) a * b = , với ∀ a,b ∈ ℤb) a * b = ∀ a,b ∈ ℝc) a * b = ∀ a,b ∈ ℚ*d) a * b = ∀ a,b ∈ ℝe) a * b = a + b + 1 ∀ a,b ∈ ℚGiảiBài 3: Câu a) a * b = ∀ a , b ∈ ℤ*: Z x Z → Z (a,b)  a*b = ∃ 4, - 6 ∈ ℤ, ta có: 4 * (-6) = = ∉ ℤ ⇒ Nên * không là một ánh xạ.Vậy * không là phép toán hai ngôi.Câu b) a * b = ∀ a,b ∈ℝ R x R → R(a,b)  a*b= ∀ a,b ∈ℝ∀ a, b ∈ R ta có: = a + b ∈ ℝ ⇒ Nên * là một ánh xạ.- Tính chất giao hoán:∀ x , y ∈ ℝ, ta có: x * y = và y * x = suy ra x * y = y * xNên phép toán * có tính chất giao hoán.- Tính chất kết hợp :∀ x , y, z ∈ ℝ, ta có: (x*y)*z = +z = + z = (1) x*(y*z) = = = (2)Từ(1) và (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp.- Tìm phần tử trung lập :Trang 3 Hà Văn Tùng Tồn tại phần tử trung lập là 0 vì với ∀ x ∈ ℝ , ta có: 0 * x = x * 0 = = x. - Tìm phần tử đối xứng: x * x′ = x′ * x = 0 ⇔ = 0* Với ∀ x ≠ 0 không tồn tại phần tử đối xứng của x đối với phép toán ** Khi x = 0 phần tử của x là 0.Câu c) a * b = ∀ a,b ∈ ℚ* *: Q ∗ Q → Q* (a,b)  ∈ ℚ* Tương ứng * là một ánh xạ vì với ∀a,b ∈ ℚ* thì ∈ ℚ*Nên tương ứng phép toán * là phép toán hai ngôi trên ℚ*- Tính giao hoán:∀ x, y ∈ ℚ*, ta có x * y = ⇒ ≠ ⇒ x * y ≠y * xy * x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán. Ví dụ: ∃ , ∈ ℚ* mà * = = ≠ ⇒ không có tính chất g/hoán * = = : = - Tính chất kết hợp: ∀ x, y , z ∈ ℚ*, ta có (x*y)*z = ∃ 2, 3 , 1 ∈ ℚ* , ta có (2*3)*1= = = (1) 2*(3*1) = = = (2)Từ (1)(2) suy ra * không có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập d/ a * b = ∀ a,b ∈ ℝ ℝ ∗ ℝ → ℝ( a, b)  a * b = ∀ a,b ∈ ℝTa có: ∀ a,b ∈ ℝ Nên ∗ là một ánh xạ• Tính giao hoán: ∀ x , y ∈ ℝ ta có: x ∗ y = x ∗ y = y ∗ x y ∗ x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán.• Tính chất kết hợp: Trang 4 Hà Văn Tùng∀ x , y, z ∈ ℝ ta có: (x ∗ y )∗ z = = = = (1) x ∗ (y ∗ z ) = = = = (2) Từ (1),(2) ⇒ ∗ không có tính kết hợp. Bài 4: Cho phép ⊕ trên ℝ x ℝ được xác định như sau ∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng (nếu có) của phép ⊕Bài làm∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Ta có ( - 1975,1) là phần tử trung lập của phép toán ⊕ trên ℝ x ℝ vì∀ (x, y) ∈ ℝ x ℝ ta có: (x, y) ∗ (- 1975, 1) = x - ( -1975 + x + 1975, y x 1) = (x,y)(-1975, 1) ⊕ (x, y) = (- 1975+x+1975, 1 x y) = (x,y)(x', y') đối xứng của (x,y) (x', y') ⊕ (x,y) = (- 1975, 1) ⇒ ( x' + x + 1975, y' x y) = (- 1975, 1) ⇒ ⇒ ∀ (a, b) ∈ ℝ x ℝ ta có: (-3950-a, ) là phần tử đối xứng của (a, b) qua ⊕ trên ℝ x ℝ vì (a, b) ⊕ (-3950-a, ) = a +(-3950-a+1975, b x ) = (-1975,1) Bài 1. Trên tập ℕ ta định nghĩa m ⊗ n = m + n - 1 , ∀ m, n ∈ ℕ a) Tìm 2 ⊗ 1; 3 ⊗ 5 ; 1 ⊗ 4 b) Chứng minh rằng ( ℕ , ⊗) là một vị nhóm AbelBài làma) Tìm 2 ⊗ 1; 3 ⊗ 5 ; 1 ⊗ 4+ 2 ⊗ 1= 2+1 - 1 =2 b) Chứng minh rằng ( , ⊗) là một nhóm Abel- Tính giao hoán: ∀ x, y ∈ ℕ , ta có: x ⊗y = x+y-1 ⇒ x ⊗ y=y ⊗ x . Nên phép toán ⊗ có tính chất giao hoán. Trang 5 Hà Văn Tùngy ⊗ x = y+x-1- Tính chất kết hợp:∀ x, y , z ∈ ℕ , ta có: (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y+z -1 = x+y-1+z-1=x+y+z-2(1)x ⊗ (y ⊗ z) = x+y ⊗ z - 1 = x+ y+z -1 -1 = x+y+z-2(2)Từ (1),(2) suy ra phép toán ⊗ có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập :Phần tử trung lập cuả phép toán ⊗ là 1. vì ∀ m ∈ ℕ . Ta có1 ⊗ m = m ⊗ 1 = m+ 1-1=mVậy ( ℕ , ⊗) là một vị nhóm Abel.Bài 2. Với a, b ∈ ℤ ta định nghĩa a ⊗ b = a + b -1a) Tìm 0 ⊗ 2; − 1 ⊗ 1; − 3 ⊗ 4; − 4 ⊗ 0.b) Chứng minh rằng( ℤ, ⊗) là một nhóm Abel.Bài làm a ⊗ b = a + b -1 a) 0 ⊗ 2 = 0+2-1=1b) Chứng minh rằng(ℤ , ⊗) là một nhóm Abel.- Tính chất giao hoán:∀ x, y ∈ ℤ , ta có: x ⊗y = x+y-1 ⇒ x ⊗ y=y ⊗ x . Nên phép toán ⊗ có tính chất giao hoán. y ⊗ x = y+x-1- Tính chất kết hợp:∀ x, y , z ∈ ℤ , ta có: (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y + z - 1 = x+y - 1+ z - 1=x + y + z - 2 (1)x ⊗ (y ⊗ z) = x+ y ⊗ z - 1 = x+ y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 (2)Từ (1),(2) suy ra phép toán ⊗ có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập :Phần tử trung lập cuả phép toán ⊗ là 1. vì ∀ m ∈ ℤ . Ta có1 ⊗ m = m ⊗ 1 = m+ 1- 1= m- Tìm phần tử đối xứng:∀ x ∈ ℤ, phần tử đối xứng của ∀ x ∈ ℤ đối với phép toán ⊗ là x′: x′ ⊗ x =1 ⇔ x′ + x - 1 = 1 ⇔ x′ = x - 2 ∈ Z. Vì x′ ⊗ x = x ⊗ x′ = x′ +x - 1 = 2 – x + x - 1=1./. Bài 3: Gọi ( Z , ⊕ ) là nhóm cộng các lớp đồng dư theo mdul 4. Ta định nghĩa ánh xạ f : Z → Z n a) Chứng minh rằng f là toàn cấu nhóm cộng các số nguyên lên nhóm Z b) Tìm f( ), từ đó suy ra f là không phải là đẳng cấu nhóm. Giảia) f là đồng cấu nhóm cộng⊕: là một đồng cấu∀ x, y ∈ ℤ , ta có: Trang 6 Hà Văn Tùng f (x+y) = f ( x) +f (y) = + = suy ra f (x+y) = f (x) +f (y) (1)⇒ ⊕ f là toàn ánh Imf = f(x)/ x ∈ ℤ = / x ∈ ℤ = , , , = Z ⇒ f là 1 toàn ánh (2)Từ (1),(2) suy ra f là toàn cấu nhóm cộng b) f( ) = x / f(x) = , x ∈ ℤ = x / x = , x ∈ℤ = 4 k / k ∈ ℤ = 4k ≠ 0 ⇒ f không là đơn ánh nên f không là song ánh.Vậy f không là một đồng cấu nhóm Bài 4: Cho X là nhóm nhân giao hoána) Chứng minh ánh xạf : X → X a f(a) = a , với k xác định thuộc ℤlà đồng cấu nhómb) Xác định Ker f .Giảia) ∀ x , y ∈ ℤ, ta có: f (x,y) = (xy) = = . = x . y = f(x).f(y) (vì phép nhân trên X có tính giao hoán )Vậy f đồng cấu nhómb) Xác định Ker f Ker f = a ∈ X / f(x) = 1 = a ∈ X / a = 1 = x ∈ ℤ / k = 0Bài 5: Ta định nghĩa ánh xạf : N → N a 5na) Chứng minh rằng f là tự đồng cấu vị nhóm cộng (ℕ, +).b) Tìm f(ℕ) c) Tìm f (0)Giải a) f : N → N a 5nf là đồng cấu nhóm cộng ( ℕ,+) ∀ (x,y) ∈ℕ , ta có : f(x+y) = 5(x+y) (1) f(x) + f(y) = 5x + 5y = 5(x+y) (2) từ (1), (2) ⇒ f(x+y) = f(x) + f(y) ⇒ f là tự đồng cấu nhóm cộng (ℕ,+) b) f(ℕ) = f(n) / n ∈ ℕ = 5 / n ∈ ℕ = 5ℕTrang 7 Hà Văn Tùng c) f (0) = n ∈ ℕ / f(n) = 0 = n ∈ℕ / 5n = 0 = 0 Bài 6: Cho tập hợp A = a + b / a,b ∈ℤ a) Chứng minh rằng (A,+) là nhóm con của nhóm cộng các số thực (ℝ, +) với phép cộng thông thường trên các số.b) Cho ánh xạ f từ nhóm (A,+) vào nhóm (ℝ,+) f : A → R x x Hãy chứng tỏ f là đơn cấu; f không là toàn cấu.Giảia) (A,+) là nhóm con nhóm cộng (ℝ,+)• 0 = 0 + 0 = 0 ∈ A ∀ x, y ∈ A , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b ∈ ℤ) ⇒ x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) ∈ A – x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b ) ∈ AVậy (A,+) ≤ (ℝ.+)b) f (A,+) → (ℝ,+) x f(x)=x a + b f(a+b ) = a + b • Chứng minh f là đơn cấu ∀ x, y ∈ A, giả sử x = a + b và y = a + b x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) ⇒ f(x+y) = ( a + a ) + (b + b ) (1)f(x) + f(y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) (2) Từ (1), (2) ⇒ f(x+y) = f(x) + f(y) Vậy f là đơn cấu nhóm.• Chứng minh f là một đơn ánh Ker f = x ∈ A\ f(x) = 0 = a+b \ f(a+ b ) =0 a , b ∈ A = a+b \ a+ b = 0 a , b ∈ A = 0 + 0 = 0 ⇒ f là một đơn ánh • Chứng minh f không là toàn cấu Imf = f(x) \ x ∈ A = x \ x ∈ A = A ≠ ℝVậy f không là toàn cấu. Bài 7: Cho tập hợp X = a + b \ a , b ∈ ℤ a) Chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực ℝ.b) Cho ánh xạ f: X → Z a + b a + bChứng minh f là toàn cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng các số nguyên ℤ.Giảia) Chứng minh ( X, +) ≤ (ℝ, +) Trang 8 Hà Văn Tùng• 0 = 0 + 0 = 0 ∈ A ∀ x, y ∈ X , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b ∈ ℤ) ⇒ x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) ∈ A – x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b ) ∈ AVậy (X, +) ≤ (ℝ, +)b) Chứng minh f là toàn cấu ∀ x, y ∈ X, giả sử x = a + b và y = a + b Ta chứng minh : f(x+y) = f(x) + f(y)Ta có: x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) ∈ Xf(x) + f(y) = ( a + a ) + (b + b ) = ( a + a ) + (b + b ) (1) f(x+y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) = ( a + a ) + (b + b ) (2) Từ (1), (2) ⇒ f là một đồng cấu (I) • Chứng minh f là toàn ánh Imf = f(x) \ x ∈ X = f (a + b ) \ a, b ∈ ℤ = a + b \ a, b ∈ℤ = ℤ ⇒ f là toàn ánh (II) Từ (I), (II) ⇒ f là toàn cấu.Bài 8: Quy tắc f : ℤ → G từ nhóm cộng các số nguyên đến nhóm nhân G( G là nhóm vô hạn) xác định như sau: ∀ n ∈ , f(n) = a , a ∈ G Chứng minh f là đồng cấu nhóm. Tìm Ker f.Giải∀ x, y ∈ ℤta có: f(x+y) = a (1)f(x) + f(y) = a + a = a (2)Từ (1),(2) suy ra f(x) + f(y) = f(x) + f(y) Suy ra f là đồng cấu nhóm.• Tìm Ker fTìm Ker f = x ∈ ℤ/ f(x)=1 (G, .) = x ∈ ℤ/ a = 1 = x ∈ ℤ/ x = 0 = 0CÁC BÀI TẬP VÀNH VÀ TRƯỜNG Bài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z Bài 2: Cho R là một vành. Chứng minh rằng tập Z(R) = a ∈ R \ ax = xa ∀ x ∈ R là một vành con giao hoán của R. Bài 3: Cho tập hợp X = a+ b \ a, b ∈ ℤ a) Chứng tỏ X là vành con của vành số thực ℤ .b) Cho ánh xạ f : X → Z a + b aTrang 9 Hà Văn TùngChứng minh f là đồng cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ; nhưng f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ. GiảiBài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z Z = , , ∀ ∈ Z \ = , . = ≠ 0; . = ≠ 0 = , . = ≠ 0; . = = ≠ 0 Vậy không có ước của 0 trong vành Z Z = , , , ∀ ∈ Z \  = , . = ≠ 0; . = ≠ 0, . = ≠ 0,  = , . = ≠ 0; . = = , . = = ≠ 0 = , . = ≠ 0; . = = ≠ 0, . = = ≠ 0. Vậy là ước của 0 trong vành Z Z , Z làm tương tự như trên.Bài 2: a) Z(R) = a ∈ R \ ax = xa ∀ x ∈ R • Z( R) ∈ R: hiển nhiên • Z( R) ≠ ∅ vì 0.x = x.0 =0 ⇒ 0+Z(R)• ∀ a, b ∈ Z(K) ⇒ (a-b)x=a.x - b.x = x.a - x.b = x(a-b) ⇒ a - b ∈ Z(R) và (ab)x = a(bx) = a(xb) = (a.x)b = (xa)b = x(ab) ⇒ a,b ∈ Z(R)• ∀ a, b ∈ Z (R) ⇒ a.x = x.a , ∀ x ∈ R Lấy x = b , ta có ab = ba nên phép tính nhân trên Z(R) có tính quan hệ Vậy Z(R) là 1 vành con quan hệ của RBài 3: X = a + b \ a, b ∈ ℤ a) X ⊆ R: hiển nhiên ∀ x , y ∈ X, giả sử x = a + b ; y = a + b ( a , a , b , b ∈ ℤ ) Ta có : x + y = a + b + a + b = ( a+ a ) + (b + b ) ∈ X x . y = ( a + b ) .( a + b ) = a . a + (a. b + b . a + 3b .b = a.a + (a.a .b.b ) + 3b b ∈ X thêm x - y ∈ X, x - y = (a - a ) + (b - b ) ∈ XVậy X là vành con của vành số thực ℝc) ∀ x , y ∈ X, giả sử x = a + b ; y = a + b f(x+y) = f( a + b + a + b ) = f(a+a +(b +b ) = a + a (1) f(x) + f(y) = a +a (2). Từ (1),(2) suy ra f(x+y) = f(x)+f(y)Vậy f là 1 đồng cấu nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ.• f(x +y) = f(x) + f(y) = a + a nhưng f(x.y) = f(a +b ). (a +b ) = a.a +3b b (1)• f(x.y) = a +a (2) Từ (1),(2) suy ra f(x+y) ≠ f(x.y)Vậy f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ .Trang 10 [...]... có: x ⊗y = x+y-1 ⇒ x ⊗ y=y ⊗ x . Nên phép tốn ⊗ có tính chất giao hốn. y ⊗ x = y+x-1 - Tính chất kết hợp: ∀ x, y , z ∈ ℤ , ta có: (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y + z - 1 = x+y - 1+ z - 1=x + y + z - 2 (1) x ⊗ (y ⊗ z) = x+ y ⊗ z - 1 = x+ y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 (2) Từ (1),(2) suy ra phép tốn ⊗ có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập : Phần tử trung lập cuả phép toán ⊗ là 1. vì ∀ m ∈ ℤ . Ta có 1 ⊗... chất kết hợp: ∀ x, y , z ∈ ℕ , ta có: (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y+z -1 = x+y-1+z-1=x+y+z-2(1) x ⊗ (y ⊗ z) = x+y ⊗ z - 1 = x+ y+z -1 -1 = x+y+z-2(2) Từ (1),(2) suy ra phép tốn ⊗ có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập : Phần tử trung lập cuả phép tốn ⊗ là 1. vì ∀ m ∈ ℕ . Ta có 1 ⊗ m = m ⊗ 1 = m+ 1-1=m Vậy ( ℕ , ⊗) là một vị nhóm Abel. Bài 2. Với a, b ∈ ℤ ta định nghĩa a ⊗ b = a + b -1 a) Tìm 0 ⊗ 2;... tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập : Phần tử trung lập cuả phép toán ⊗ là 1. vì ∀ m ∈ ℤ . Ta có 1 ⊗ m = m ⊗ 1 = m+ 1- 1= m - Tìm phần tử đối xứng: ∀ x ∈ ℤ, phần tử đối xứng của ∀ x ∈ ℤ đối với phép toán ⊗ là x′: x′ ⊗ x =1 ⇔ x′ + x - 1 = 1 ⇔ x′ = x - 2 ∈ Z. Vì x′ ⊗ x = x ⊗ x′ = x′ +x - 1 = 2 – x + x - 1=1./. Bài 3: Gọi ( Z , ⊕ ) là nhóm cộng các lớp đồng dư theo mdul 4. Ta định nghĩa ánh xạ... nhóm nhân giao hốn a) Chứng minh ánh xạ f : X → X a f(a) = a , với k xác định thuộc ℤlà đồng cấu nhóm b) Xác định Ker f . Giải a) ∀ x , y ∈ ℤ, ta có: f (x,y) = (xy) = = . = x . y = f(x).f(y) (vì phép nhân trên X có tính giao hốn ) Vậy f đồng cấu nhóm b) Xác định Ker f Ker f = a ∈ X / f(x) = 1 = a ∈ X / a = 1 = x ∈ ℤ / k = 0 Bài 5: Ta định nghĩa ánh xạ f : N → N a 5n a) Chứng minh rằng f là tự... 5y = 5(x+y) (2) từ (1), (2) ⇒ f(x+y) = f(x) + f(y) ⇒ f là tự đồng cấu nhóm cộng (ℕ,+) b) f(ℕ) = f(n) / n ∈ ℕ = 5 / n ∈ ℕ = 5ℕ Trang 7 Hà Văn Tùng Bài 1: Thay mỗi chữ trong các phép tính sau bởi các chữ số thích hợp a) 0,b x a, b = 0, ab b) 0,a x a,a = 0, a a c) a,bcaa - b,dbc = c,baba d) 4,896 −a,bab = 0,0ab e) 0,ab x c,c x ,c = ,cabc f) 0,a x 0,b x a,b = 0,bbb g) 21,ab = a,b... quy đồng, hãy sắp xếp dãy số trên theo thứ tự từ bé đến lớn Bài 4: Không quy đồng mẫu số, hãy sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự từ bé đến lớn a) , , , b) , , G iải Bài 1: Thay mỗi chữ trong các phép tính sau bởi các chữ số thích hợp a) 0,b x a, b = 0, ab Ta có: x = ⇒ b x = (1) ⇒ b = = 1 . Thế b = 1 vào (1) Ta có: 1 x 10.a +1 = 10.a + 1 ⇒ a = 0 → 9 Thử lại: 0,1 x 0,1 = 0,01 Đáp số: ⇒ b) . ứng phép toán * là phép toán hai ngôi trên ℚ*- Tính giao hoán:∀ x, y ∈ ℚ*, ta có x * y = ⇒ ≠ ⇒ x * y ≠y * xy * x = Vậy phép. (*) là phép toán hai ngôi trên . ℚ Tính − 4 * 5 = = - Tính chất giao hoán: ∀ x,y ∈ ℚ ta có: x * y = và y*x= suy ra x*y=y*x nên phép toán *