ĐỀ THI HSG LỚP 9 NAM 2012 2013

PHÒNG GD&ĐT THANH HÀ TRƯỜNG THCS TT THANH HÀ ĐỀ THI HSG LỚP Năm học: 2012-2013 Môn: Toán Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1.(2,0 điểm) a) Cho hàm số y = ax + b Biết f(1) ≤ f(2); f(5) ≥ f(6) f(999)=2012 Tính f(2013) b) Rút gọn biểu thức: A = 2( x + y − x )( x + y − y ) + x + y với mọi x, y > Câu 2.(2,0 điểm) a) Chứng minh a + a − không chia hết cho 25 với số nguyên a b) Tìm số nguyên dương x, y khác cho: x y = y x Câu 3.(2,0 điểm) a) Giải phương trình x − 3x = x − − b) Giải phương trình nghiệm nguyên x + y = Câu 4.(1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a + bc + b + ca + c + ab ≥ + ab + bc + ca Câu 5.(2,5 điểm) Cho nửa đường (O, R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB M điểm di chuyển nửa đường tròn (O) ( M khác A B) Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt OC, cắt tiếp tuyến A cắt tiếp tuyến B nửa đường tròn (O) D, E H Gọi F giao điểm AE BD a) Xác định vị trí M nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABHE nhỏ b) Chứng minh EA EF= AB ====HẾT==== Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN ( Đáp án có trang) Câu Nội dung a) Vì f(1) ≤ f(2) nên a ≥ (1) Điểm f(5) ≥ f(6) nên a ≤ (2) 0,5 Từ (1) (2) suy a = Do f(2013) = f(999) = 2012 0,5 b) A = 2( x + y − x )( x + y − y ) + x + y = = 2( x + y ) − x + y ( x + y ) + xy + x + y 0,25 2 =  x2 + y − ( x + y) + x2 + y   0,5 = ( x + y ) − x + y + x + y = x + y (vì x + y > x + y ) 0,25 a) N = a + a − = (a − 2)(a + 3) + 0,25 Vì (a − 2) − (a + 3) = −5 chia hết a − 2; a + chia hết cho không chia hết cho *Nếu a − 2; a + chia hết cho (a − 2)(a + 3) chia hết cho 25 mà không chia hết cho 25 suy N không chia hết cho 25 0,25 0,25 *Nếu a − 2; a + không chia hết cho (a − 2)(a + 3) không chia hết cho ( số nguyên tố) suy N không chia hết cho 5, N không chia hết cho 25 0,25 Vậy N không chia hết cho 25 với số nguyên a b) Giả sử ≤ x < y Chia hai vế PT cho x x ta được: x y − x = yx xx Vì y x Mx x mà x số nguyên dương nên y Mx Đặt y = kx (k∈ N , k ≥ ) Theo ta có x kx = (kx) x ⇔ ( x k ) x = (kx) x ⇔ x k = kx ⇔ x k −1 = k (1) Ta thấy x ≥ (vì x = k = ) Do x Từ (1) (2) suy k ≥ 2k −1 nên 2k ≥ 2k k −1 ≥2 k −1 0,25 (2) (3) 0,25 Dễ thấy k ≥ bất đẳng thức (3) không xảy Do k = Thay k = vào (1) ta x = ⇒ y = 2.2 = 0,25 Thử lại x = 2; y = thỏa mãn đề Vì vai trò x, y ( x, y )∈ { ( 2; ) , ( 4; ) } 0,25 a) ĐKXĐ: x ≥ x − 3x = x − − ⇔ ( x − x + 4) + ( x − − x − + 1) =  x − = ⇔ x = 2(T / m) ⇔ ( x − 2) + ( x − − 1) = ⇔   x − − = Vậy phương trình có nghiệm x = − 4x − 5x + + x x+2 = = 1− x + b) x + y = ⇔ y = 5 x+2 = t ⇒ t ∈ Z Do x = 5t − ⇒ y = − 4t Đặt  x = 5t − (t ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình   y = − 4t 0,5 0,5 0,5 0,5 Vì a + b + c = , nên áp dụng BĐT Cauchy ta có: 0,25 b + c ≥ bc ⇔ a +b+c ≥ a + bc ⇔ ≥ a + bc ⇔ a ≥ a + 2a bc ⇔ a + bc ≥ a + 2a bc + bc ( ⇔ a + bc ≥ a + bc ) ⇔ a + bc ≥ a + bc (1) Chứng minh tương tự ta có: b + ca ≥ b + ca (2) c + ab ≥ c + ab (3) 0,5 0,25 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta a + bc + b + ca + c + ab ≥ a + b + c + ab + bc + ca Hay a + bc + b + ca + c + ab ≥ + ab + bc + ca Dấu xảy a = b = c = a) Ta có AE//BH( vuông góc với AB) nên tứ giác ABHE hình 0,5 thang vuông Do S ABHE = ( AE + BH ) AB EH AB = (theo tính chất hai 2 0,5 tiếp tuyến cắt nhau) S ABHE nhỏ ⇔ EH nhỏ ⇔ EH ⊥ BH ⇔ ABHE hình chữ nhật ⇔ M điểm cung AB 0,5 Vậy Min S ABHE = R ⇔ M ≡ C b) Xét hình thang ABHE có OA=OB, OD//AE//BF ⇒ DE = DF ⇒VDEF=VDHB ( g − c − g ) ⇒ EF=BH 0,5 mà BH = HM ; EA = EM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy AE.EF=EM.MH (1) · Lại có OE tia phân giác ·AOM ; OH tia phân giác BOM 0,5 · · mà ·AOM BOM hai góc kề bù nên EOH = 900 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác EOH vuông H ta có AB EM MH = OM = F (2) Từ (1) (2) suy AE.EF = AB H 0,5 D M C E A O Kí duyệt B Thị trấn Thanh Hà ngày tháng năm 2012 Người đề Nguyễn Đăng Thành ... CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN ( Đáp án có trang) Câu Nội dung a) Vì f(1) ≤ f(2) nên a ≥ (1) Điểm f(5) ≥ f(6) nên a ≤ (2) 0,5 Từ (1) (2) suy a = Do f(2013) = f (99 9) =... Lại có OE tia phân giác ·AOM ; OH tia phân giác BOM 0,5 · · mà ·AOM BOM hai góc kề bù nên EOH = 90 0 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác EOH vuông H ta có AB EM MH = OM = F (2) Từ (1) (2) suy AE.EF