Giải bài tập xử lý tín hiệu số và matlab

để thực hiện hệ thống xử lý tín hiệu số theo SO' đồ.. Nói khác đi, ta đã lấy mẫu tín hiệu hình sin tại các điểm nó cắt trục hoành, vì thế thành phần của tín hiệu này bị mất hoàn toàn..

T Í N H I Ệ U L I Ê N T Ụ C T Í N H I Ệ U R Ờ I R Ạ C

Bi ên đỏ; liên ruc h o à c ròi rac Bi ên đỏ: liên tuc h o ă c rời rac

T í n h i ệ u t ư o n g t ự T í n h i ệ u l i m n i í t ử T í n h i ệ u l ấ y m ẫ u T í n h i ệ u s ố

Bi ên dô: liên tuc Bicn: licn tuc

Vào

HỆ THÓNG SỐ

Ra - ^

yj(n:

Vào

Giải bà! tặp xưly tin hiéu só và Matlab

1.4 Tín hiệu ròi rạc

L 4 L B iê u d iẽn tín lỉ ìệii n ) i rụ c

- Biẻu diẻn băniz liàm sò

- Bicu diên băniì bảnụ

- Biếu dicn bằniz dày se^

- Biêu diên bănii đỏ ihỊ

a D ãy tuần hoàn:

Ta nói rằng một dãy x(n) là tuần hoàn với chu kỳ N nếu thỏa màn điều kiện sau đây:

x ( n ) X ( n + N)"= X ( n + f N )

Ký hiệu: x ( n ) ,

h /)í/v có cỉììẻỉi dài hữu hạn:

Một dày đưọc xác dịnh với sô hữu ỉìạn N Iiìầu la gợi là day có chiều dài hữu hạn vói N là chiêu dài cua dãv

N ả n u lưọnu cua mộl dàs' x(n) dưọ'c dịnh nuliĩa nliLi' sau:

d Còìỉ<^ siíàl íriiỉỉ^ hình CỈÌU ìììộỉ líỉỉ Ììịựtí

( ' ỏ n g SLiàl truim bình cua một tín liiộu x ( n ) dưọ‘c clịnh nghĩa nhir saii:

- Phép cộim phép nhân liai líỉi hiệu.

- Phép nhàn mội tín hiệu vói liănu sỏ

- Plìcp tre íín hiộii

ì 4.5 H ộ th ô ìiịị tiiy Ề n íí n h h ã t h iê ỉĩ ( T T B B ) , Đ á p ín iịị x u n g h (ii)

- Cần lưu V hệ ihốim tuven líiih bat buộc pliai íhoà màn riíTuỵên Iv xếp chồim:

T [ a X i ( n ) + b X i ( n ) ] a T [ x Ị ( n ) | b T [ x2( n ) ‘

- ỉ lệ thống luvến tính bất bien; ửnu vói kích ihích đầu vào x(n) ta có dủp ứnti ra là y(n) thì

iLixvim tự ửim vói kích thích đầu vào x(n-k) ta cỏ đáp ứnu ra là y(n-k)

- Khi ta có đầu vào hệ ihốnu lu>en linlì bất biến là xun ” đơn vỊ(S(n) thi đầu ra là dáp ứng

xLiim h(iì) Đ á p ứ n u XLum h( n) là d ặ c t r ư im h o à n t oàn c h o hệ t l iốnu l u y ế n tính hất biến

ĩ 4.6 Phép chập:

D â y là phép toán quan Irọn^ lìlìủí troiìiỊ xu lý lín hiệu dê xác địnlì đầu ra v(!ì) hệ l l ìống khi

bict đ â u v à o x(n) và d á p ứi m xLum h(n)

y ( n ) ^ x ( n ) * h ( n ) ^ x ( k ) h { n ~ k) ^ h ( k ) x ( n - k)

Phép chặp cỏ tínli chất: uiao hoán, phân phối, két họp

L4, 7 Hộ thong TTBB nhãn (Ịiiảy tín hiệu ỉĩhâỉĩ quá

JIệ thống TT BB dược uợi là hệ tliốHii nhân quả khi đáp ứiiiỉ xuntí h(n) cua nó thoả mãn:

h ( n ) ^ 0 v ó i Vn<{)

Tin hiệu \ ( n ) đuxyc gọi tín hiệu nhân quả khi nó thoả mãn x(n) “ 0 vói V n < 0.

Lim ỷ: Các hệ íhônu nhân quả và tín hiệu nhân quả mói tồn tại troiiii thực tế

Hẹ ị I ìôỉìọ ^ TTBB ổn địn/ì

i ỉệ thốna ỏn định là hệ ihốiìíi BIBO đáp ứni^ xinm h(n) của nó phái thoa màn điều kiện sau:

s = z

Giải bài tập xử lỷ tín hiệu số và Matlab

T ừ PTS PTTH SH trên ta sẽ có mộl sổ khái niệm về;

- H ệ thống không đệ quy khi N "= 0 Bản chất của hệ thốno này là khôn g có thành phần hồi

tiếp

- H ệ thốnỊỊ đ ệ quy khi N ^ 0 Bản chât của hệ thông này là có thành phân hôi tiẻp

- H ệ thống đ ệ quy thuần tuỷ khi N 0 M “ 0 Hệ thốníí này chi gồm duy nhất các thànhphần đệ quy

Lim ỷ: N hư vậy đến đây ta có hai cách biểu diễn quan hệ vào ra hệ t hống rò'i rạc.

- Biểu diễn theo phép chập: v(n) x(n)*lì(n)

r á c bộ xử lý toán học ALU, các thanh ghi dịch để thực hiện hệ thống xử lý tín hiệu số theo SO' đồ

L 4 J 0 Tương quan tín hiệu

Phép tưong quan thường dùng để nhận biết các tín hiệu, phân biệt tín hiệu vói nhiều, phát hiện vật thể Có hai loại t ương quan:

Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc

B BÀI T Ậ P C ơ B Ả N

L l Cho tín hiệu x,^ ( t ) ^ 3cosl007Tt

a) Xác định tốc độ lay mẫu nhò nhấl cần thiết đế tránh sự chồng mẫu

b) Giả sử tín hiệu đưọ'c lấy mẫu tại tốc độ = 200 Hz Tín hiệu rò'i rạc nào sẽ có đưọ'c sau lấy mẫu?

c) Giả sử tín hiệu đưọ'c lấy mầu tại tốc độ F - 75 Hz Tín hiệu ròi rạc nào đạt được sau lấymẫu?

d) Tần số F < F^ / 2 của một hình sin có các mẫu đồng nhất với các mẫu trong phần c) là bao nhiêu ?

x ( n ) = 3 c o s ( l 007i / 7 5 ) n ^ 3 c o s ( 47t / 3) n - 3 c o s ( 2 k - 27ĩ / 3 ) n := 3 c o s ( 2 Tc/3 ) n

d) Đối vói tốc độ lấy mẫu = 75 Hz, ta có; F = fF^ =: 75f

Tần số của tín hiệu sin trong phần c) là f - 1/3 Do đó: F = 25 Hz

Tí n hiệu sin ià: ( t ) - 3cos27iFt - 3cos507tt được lấy mẫu tại R - 7 5 mẫu/s sinh ra cácmẫu đ ồ ng nhất Vì thế F = 5 0 H z là bí danh (alias) của F - 2 5 H z ứng vói tốc độ lấy mẫu

ĩ*: = 75 hI

1.2 Xél tín hiệu tưon g tự

Xg ( t ) = 3 c o s 5 0 7 ĩ t + 1 0 s i n 3 0 0 7 il "CoslOƠTit

Hãy xác định tốc độ Nyquist đối với tín hiệu này?

L ờ i g iải: Tín hiệu trên có các tần số thành phần sau:

F, = 2 5 H z , P - I S O H z , F 3 - 5 0 H z

Nhận xẻt: Ta nhận thấy rằng, khi lấy mẫu thành phần tín hiệu 10sin3007Tt vói tốc độ

Nyq ui st - 300 Hz sẽ tạo được các mẫu lOsinTin có giá trị luôn luôn bằng không Nói khác đi, ta

đã lấy mẫu tín hiệu hình sin tại các điểm nó cắt trục hoành, vì thế thành phần của tín hiệu này bị mất hoàn toàn Hiện t ương này sẽ không xuất hiện, nếu dao động sin có một sự lệch pha 0 n ào đó Khĩ đó, ta có 10sin( 3007r í+ 0) và nếu lấy mẫu tại tốc độ Nyquist ta có:

10sin(Tcn + 0) i o ( s i n 7m c o s 0 + cosTinsinG) = l O s i n 0 c o s 7ĩn

-Ncu 0 0 hoặc K thi các mầu S!1!, ỉô\ lại tỏc dộ N\tjiiisl sè kliác klìônii Tu\ nhicn biên dộ

cua các niầu \'ẫn chua xác định tlirợc niội cách chínli xác \ ì pha 0 \ẫii clura hict Biện pliáp dơiì

ịXìàn dc tránh hiện Urọ‘n<’ này lủ nòn lắv mần tíii hiệu lirơng tụ' ơ tan số lỏn ho'iì laiì so Nyquisi.

1.3 C h o tín hi ệu í i roi m ÍỊI'

( t ) - 3 c o s 2 0 0 t)7ií -5sìn600()7ĩí + ỉOcosỊ20007ĨÍa) Xác địnlì lốc dộ Nyquisl cua ÍÌ11 hiệu'.^

b) Gia sư răim tín hiệu duọc là\ màu lại lỏc dộ 1] = 5 0 0 0 mau/s, !lày xác dịnli líii hiẹu lỜ! rạc thu dưọc sau khi lấ\' mầu'!

c) ỉlày xác địnlì tín hiộii lưong tụ ( t ) dưọc phục hồi lử cac mầu khi sư dụnu cònu thức nội suv lí tirònu?

Lửi ỵiái: a) Các tần sô cua tín hiệu tuơiìg tự' nav là:

1^ - 1 kHz K - 3 kHz, 1% - 6 kỉ ỉz

Nlur vâv r' ,,, - 6 kHz và theo diỉilì lí lấv mẫu có: F > 2P' * ^ M ' • > f U il \” 12 k\Ỉ7.

Tốc đ ộ N y q u i s t là:F;, - 1 2 k ỉ l /

b) Vi la chọn - 5 klỉz, nên lâii sỏ uập sè ià: F^/2 “ 2.5 kHz

dâv lủ tần số cực đại đưọc tíìi hiệu đà lấy mầu thê hiện ỉììột cácli duy Iihất l'a cỏ:

\ ( n ) (n r ) ^ ( n / R ) = 3 c o s 2 n ( ỉ / 5 ) n + 5sin 27ĩ(3/5)n -t- l í)cos27r(6/5)n

3co s2 Tt (l /5) n -f 5sin 2tĩ( ỉ - 2/5 )n f H)cos27ĩ(l i-1/5) n

- 3 cos 2ti( 1/5) n + 5 sin 2 ( 2/5) n -r Ị 0 cos 271 (1/5) n

C’ u ố i c ù n g , l a c ó : X ( n ) “ 1 3c o s 2 t ĩ( 1 / 5 ) n - 5 s i n 2tt( 2 / 5 ) n

c) Vi chi có các thành phàn tnn sô 1 ki I/ và 2 k l ĩ / là hiện diện Iroim tín hiệu clă lây mau ncn

tín hiệu tưonu tự có tlìẻ phục hỏi clirọc lủ

( t ) 13cos20()()7ĩt - 5sin 4000nt

Dây là kết quá khác đáng kè stì vói Ún liiệu I^ốc x,^ ( t ) Việc Iiìéo tin hiệu lưo'im Xự lioc như llie

này là do ánh hưòng cua hiện tirọng chồnn mẫu Iiìà niTuvên nhân chính là vì lần số lay mẫu thấp

1.4 Phân loại các tín hiệu sau theo cac íiẻu chí (1) tín hiệu một chiều hay nhièu chiều, (2) tín hiệu đon kênh hay đa kênh, (3) tín hiệu liên íục hay rò'i rạc theo thời gian, và (4) tín hiệu lương tự hay số (theo biên độ) Hàv đưa ra giải thích ngan min

a) Giá ụần đủnu cua các chửim khoán trcn thị trưò'nu c hửn e khoán Việt Nam

b) Một bộ ph im màu

c) Vị trí của bánh lái của một xe hoi khi chuyến động đối vói vệt tham chiếu là ihàn xe

d) Vị trí của bánh lái của mộl xe ho‘i khi chuyền độnu đối vói vạt Iham chiếu là mặt đất.e) Các số đo trọng lưọ'ng và chiều cao cua một đứa trẻ hàng thánu

L ò i Ị*iãi:

Gọi ý:

Chương 1: Tín hiệu và hệ ỉhống rời rạc 11

- Lá lín hiệu mộ t chiẻLL đa kênh, ròi l íic theo lliòi uian và là tín hỉẹu sô.

' I ủ lín hi ệu d a c h iều, d o n kên h, licn tục t h e o thòi g i a n , và là tín h i ệ u u u r n u tự

- ỉ,à tin hiộu inột cliiều, đo‘n kênh, lièn lục theo Ihòi gian, và là tín hiệu tư'0‘ng tự

- ỉ à tín hiộti m ộ t c h iều, đ o n kê n h , liên lục t h e o t hò i g i an , và là tin hi ệu URTng tự

- I.à lín hiệu một chiều, đa kènlì ròi rạc llieo ihòi man, và là tín hiệu số.

1.5* Hày xác dịnh xem liệu các tín hiệu sau đây có phải là các tín hiệu tuầiì hoàn không Tvoĩìịi

t r u ừ n u h ọ p là tín h iệ u tuân h o à n , h à y x ác dịnli c h u kì CO’ b a n c ủ a tín h i ệ u đó

tín hiệu khỏnụ tuần hoàn

> tín hiện khỏnu tuần hoàn

/ \ n

u là tín hiệu không tuần hoàn; cos ^ ] l à tín hiệu tuần hoàn, suy raV 4 ;tích c ù a chúng là tín hiệu không luân hoàn

là tín hiệu tuần hoàn vói chu kì Tj,| - 4

là tín hiêu tuân hoàn vó'i chu kì T - 1 6

là tín hỉệu tuần hoàn vói chu kì = 8

Do đó x(n) tuần hoàn vói chu kì Tp = 16 ( vì 16 là bội số chung nhò nhắt của 4,8,16)

có dạnii Np = N/U SCI N(k.N)

(U'SCLN(k,N) là ưóc số cliuiiẹ lỏn nhất của k và N)

b) Xác định chu ki cư baii cua tập họp này đối vói N =7

c) Câu hỏi n hư b) đối vói N = 16

Np = 1 7 7 7 7 7 7 1

k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 16 ƯSCLN(k,N) = 16 ! 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 16

Np = 1 6 8 1 6 4 16 8 16 2 16 8 1 6 4 11.7 Xét tín hiệu tưoTig tự hình sin như sau:

( t ) = 3sin(1007:t)a) Vẽ tín Iiiệu ( t ) vói 0 < t < 30ms

b) Tí n hiệu ( t) đưọ' c lây máu vói tốc độ lấy mẫu = 400 mẫu/s Mãv xác định tẩn số của

tín hiệu ròi rạc x ( n ) = (n']'),T = — và chứng minh rằng x(n) là tuần hoàn

^ sc) Tí nh giá trị của các mẫu troni> một chu kì của x(n) Vẽ x(n) trong cùng một hình vẽ vói ( t ) Xác định chu kì của tín hiệu ròi rạc theo ms

d) Có thể t im thấy một tốc độ lấy mẫu sao cho lín hiệu x(n) đạt tói giá trị đỉnh của nó là 3?Giá ti'ị nh ò nhất thoà màn điều kiện đó là bao nhiêu?

Chương 1: Tin hiệu và hệ thống rời rạc 13

Tin hieư hình sin xa(t)

c) Giài t h í c h p h á t b i ê u s au đây; x (n ) là tuần h o à n nếu c h u ki CO' b à n Tp (s) của n ó b ằ n g m ộ t

số nguyên lằn chu ki của x,^ ( t )

Mà T / T là môt sổ hữu tv\ suy ra x(n) là iLiần hoàn.

b) Neu x(n) là tuần hoàn thì f “ ky'N, troníí đó N là chu kì Do đó

T, - ~ T = kd

nuhĩa là cần k chu ki Tp của tín hiệu tưo'ng tự đè tạo nên một chu kì cua Ún hiệu ròi rạc

c) Tị / a kT,^ => N T = k T =:> í = p p -^1 ^ J f là số hữu tv => X( n ) ỉà tLiầi! hoíxn.- V /

1.9 Một tín hiệu tưorm tự có các tần số lên đến 20 kllz

a) X á c đ ị n h p h ạ m VI c u a l ần số l ấy m ẫ u đ ể c ó t hê kh ỏ i p h ụ c chi ìih x ac lin h ỉ ệ u n à y t ừ các

mau cũa nó

b) Giả thiết rằng c húnạ ta lấy mẫu tin hiệu này vcVi tan số lấv mau ^ 16k}Iz Hày xác định

diều gì sẽ xảv ra đối vói tần so Fj = 10kHz

c) Lặp lại câu b) với F, ~ 18kHz

L ở i giải:

a ) F _ = 2 0 k H z = i > F , > 2 F _ = 4 0 k H z

c) F = 18 k l ỉ z sẽ là ảnh (alias) của 2 kHz

1.10 Một tín hiệu điện tâm đõ íỊÔm các tân sô hữu dụng lẽn đèn lOO Hz

a) 'rằn số Nyquist cho tín hiệu này là bằim bao nhièu'.^

b) Giả ihiêl là la lâv mâu iín hiệu này ở lôc dộ 200 mâu/s Hàv xác dịnlì tàn sò lỏn nlìâl mà

tín hiệu có thê được biêu diên duy nhât tại tôc độ lâv mâu này

L ò i gidi:

b) F,,p(,„id) = F, /2 = 1 0 0 H z

1.11 Một lín hiệu tuxTng tự X,, ( t ) = 2sin(240Ttt) + 3si n( 72 0ĩ i t) đuxrc lấv mầu 600 lần ,'s

a) Xác địiili tôc độ lâv mâu Nyquist cho ( t ) ?

b) Xác dịnỉi tần sổ gấp (íblding tVequency)?

c) Xác địnli các tân sô theo radian trong tín hiệu ròi rạc x(n) thu đu'Ọ'c?

d) Nếu \ ( n ) đưọ'c cho qua một bộ biến đổi số/ tưoim tự, hăy xác định tin hiệu ^^^khỏi

phục đưọc

Lời Ịịiàì:

a) = 3 6 0 H z , F , „ = 2 F „ „ , = 7 2 0 H z

b) Ppìp = F, /2 = 600/2 = 300 Hz

a) 1 ỉày xác định tần so lấy mẫu \ à tần số lĩấp.

b) Màv xác định tán sô Nyquisl đỏi \ ỏ‘i lín hiệu (t)

c) l ỉ à v x á c đ ị n h c á c t ần số t ro nu Ún hi ệu ròi rạ c x (n ) t hu đirọc

d) Fíàv xác định độ phân uiai A

Lời ịỉiiỉi:

Số bil/mẫu log: {1024) ^ 10

Ị.;, ~ ^ - =: 1 OOOmai! slObiĩ / mau

Suy ra: X ( n ) l cos Ị"2n(0 3) nl + 2cos 2; i ( 0 l)n

1.13 Xét một ỉiệ t h ố n u xư lÝ lín liiệu đơn liian nliu' t rên lìinh vè SÍUI đâ> Các CỈÌLI kỳ lấy mẫu của

bộ biên đòi A/[) và D/A tuoiiu ửim là 1' = 5 ms và T' " 1 ms Hãy xác địnỉì đâu ra Ya (t) cua hệ

thôiiu, nêu dâu vào là:

16 Giải bài tập xử lỳ tin hiệu số và Matlab

Bộ iọc phía sau (post tllter) lọc bỏ bất cứ thành phần tần số nào lớn hơn F, /2

X a ( t )

Hình 1.3 Lời giải: x ( n ) = x ^ ( n T ) = 2cos|^100Ttn,5.10'’ j + 3sinỊ2507m.5.10'^ j

x ( n ) = ( n T ) = 2cos ^ nn ^+ 3sin^57m^ = 2 cos^ 7rn ^- 3sin " 37in ''

p / 2 - 500Hz nên đầu ra của hệ thống là; ( t ) = 2cos

1.14 Xác định năng luxTiig của chuỗi

1.15 Xác định năng lưọ’iig của tín hiệu nhảy bậc đo’n vị u (n)? Tín hiệu Li(n) có phải là m ột tín hiệu

còng suất không?

Nănụ lưọnu của chuỗi là vò hạn Do dỏ, tín hiệu nhay bậc đơn vị khôiìt’ phai là tín hiệu náng

l i i ọ i m ,

( ' òn u suát truim binh cua tín liiệii là:

p - l i m -> i r n ^ l i m -— = l i m -^ - = —

n - - 2 N + 1; “ ■ V - ^ 2 N ^ 1 N - - 2 + 1 N 2

Do dó tín hiệu nhảy bạc đưn vị là một tín hiệu côniĩ suấl

1.16 Xác định Iiáns lượng cua dày:

Còng suàl trung bình cùa tín hiệu này là

p = l i m ^ ỳ Ae"^’" ' f = lim ỳ A" = lim — ( 2 N + 1) A" - A '

N - - 2 N + l „ f - ^ : ! N ^ 2 N + l „ f - ! , N A - ' 2 N + r '

Bo'i vậv d ã y x ( n ) - Ae'"''" là tín h i ệ u c ô n u SLiấí

1.17 l l à y x ác d ị nh c ô n g s uả l t r u n g b ì n h và nủnti l ư ọ i m c u a d â y d ôc á a n vị

cũim là vó hạn Dàv dốc đon vị có năno luợiìí’ vô hạii và công suất trung bình vô hạn Do

đó nó \'ừa khôim phai là tín hiỘLi nănii luọnu cũng khỏim phải ỉà tín hiệu cônu siiât

1.18 ỉ l ã y d ù n u cá c loại SO' đồ kliối p h ù h ọ p đẽ bi êu d i ễ n hệ t h ố n g ròi r ạ c t h e o t hò i g i a n c ó q u a n hệ

vào ra; y ( n ) = - X ( n ) + “ X( n - l)

18 Giải bài tập xử lý tín hiệu số và Matlab

ỏ'đâv x ( n ) là tác động vào, y ( n ) là đáp ứng ra của hệ

(1)

(2)

Chương 1: Tin hiệu va hệ thống rời rạc 19

So sánh (5) vói (6), ta suy ra hệ thốna là tuyến tính

c) Đầu ra của hệ là bình p hưong của đầu vào, (Các thiết bị điện thường có qui luật như thế và aọi là thiết bị bậc 2) Từ thảo luận trưóc đâv, ta thấv rõ rằng hệ là không nhớ Bây giờ ta chỉ rõ hệ

là tuyến tính hav không?

Đáp ứng của hệ đối vói hai tíii hiệu vào riêng rẽ là:

y , ( n ) = x,-(n)

y , ( n ) - x ^ n )Đáp ứng của hệ với liên họp tuyen tính hai tín hiệu là:

y3( n ) = H a, Xị ( n ) + a X ; , ( n ) ~ a,X| ( n ) + a ^ x , ( n )

a;^x;^ ( n ) + -¥2'dị3.^Xị ( n ) x T ( n ) 4 - a 2 X ^ n )

Ngưọc lại nếu hệ tuyến tính, nó sẽ lạo ra liên họp tuyến tính từ hai tín hiệu đã cho, tức là:

Vì tín hiệu ra của hệ như đã cho trong (8) không bằng (9), nên hệ là không tuyến tính

d) Giả thiết là hệ thống đưọ'c kích thích riêng rẽ bỏi X| ( n ) và X, ( n ) ta có;

(7)

(8)

(11)

Rò rànu ( 11) và ( 12) khác nhau nen hệ kỉìòim ĩlioa niàn đicu kiện l u y ế n lính Trên ihực tc hệ

đu’Ọ‘c niô ta bãim plnroim trinh tuvẻn lính, tuy lìliièn cỏ mặt ihani sò B dà làni cho điẻu kiện tuvên

tính của hệ mât đi Đáp ínm ra cua ỉìệ phụ lluíộc ca tác độnii \ ào và hệ sỏ B ^ í ) Vì thẻ, nêu B 7^ 0,

hệ là khôn u triệí tiêu Nmrọ‘c lại nếu B - 0 hệ ỉà tnệt tiêu và thoa màn điều kiện tuyến tính

e) C h ú ý r ầ i m , liệ đưọ'c m ò ta b ầ n u hiẻu i h ứ c và o ra: v ( n ) = lã hệ g i ả m d ằn N ế u

x ( n ) = 0 , ta có y ( n ) = 1 Điều này nói lên rầim hệ là khònu íuven tínỉì

1 21 X á c đ ị n h x e m c á c hệ đ ư ợ c m ô la bài m nlì ìnm plìLiCim t ri nh dirói đ â y là n h à n q u à h a v khôníi:

L ở i ịỊÌái: Các hộ thuộc phan a), b) và c) rò ràng là nhân qua vì đầu ra chí phụ llìLiộc hiện tại và quá

khứ cúa đầu vào N g ưọ c lại các hệ ò' phần d) e) và í) là khỏng nhân quả vi dầu ra phụ thuộc cả vào

má Irị tirong lai cua đầu vào Hệ g) cùníi kliôim nhân qua vi neu lựa chọn n ^ -1 thì y ( “ l) = x ( l )

Nh ư vậy đầu ra lại n - - 1 phụ thuộc vào đàu vào tại n = 1 cách nỏ hai đon vị thòi gian vẻ phíatircrnu lai

1.22 Hăy xác định đầu ra y ( n ) đối vói liệ U 1 uiani dần, có dáp ửim xunii:

h ( n ) ^ a " u ( n ) | a | < l khi tín h i ệ u v à o là c h u ồ i n h â y b ậ c đ ơ n vị

x ( n ) = u ( n )

L ờ i ỵiãi: Tr oi m triròiig lìọp này cá h ( n ) và x ( i ì ) là các chuỗi vô hạn Ta dùng công thức chập

Các chuỗi h ( k ) , x ( k ) và x( k) cỏ dạnii như ơ hình 1.6 Chuỗi tích v , , ( k ) , V | ( k ) và

Chương 1: Tin hiệu và hệ thống rời rạc 21

• 0 - 2

22 Giải bài tập xử Ịỷ tín hiệu số và Matlab

1.23 Xác định đáp ứng xung của hệ thống gồm 2 hệ thỏníi tuyến tính bất biến ( T Ĩ B B ) nối tiếp

nhau, biết đáp ứng xung của 2 hệ thống T T BB này là:

Chương 1: Tín hiệu và hệ thống ròi rạc 23

24 Giải bài ỉàp xửlỷ tin hiệu số và Matlab

n

(n) =

1 + — 3 < n < 3

-Xác định các giá trị và vè x(n)

a) Vẽ các tín hiệu nếu:

Đầu tiên ta đảo x(n) sau đó cho lín hiệu này trề di 4 đo'ii vị

Đầu tiên ta cho x(n) trễ đi 4 đcrn vị sau đó dáo lại tín hiệu đó

Chương 1: Tin hiệu và hệ thống rời rạc 25

(b) Sau khi đao \ ( n ) ta có:

1.26 Một tín hiệu rò'i rac x ( n ) = \ , 0 , 1 , ' Hãy biểu diễn du’ói dang tâp ho p nhũ'ng

tin hiệu sau:

(c) x(n + 2 ) (d) x(n)u(2 - n)(g) phần chẵn của x(n)

L ờ i gìdi: a)

26 Giải bài tập xử lý tín hiệu sổ và Matlab

Chương 1: Tin hiệu và hệ thống rời rạc 27

1.28 C h ứ n g minh r ằng bất cứ tín hiệu nào cũng có thề đưọ'c phân tích thành một thành phần chẵn

và một thành phần lè Việc phân tích này có phải là duy nhất không? Minh hoa phát biểu trên bằngtín hiệii: x ( n ) = | 2 , 3 , 4 , 5 , 6

1.29 C h ử n g minh rằng năng lưọ‘ng của một tín hiệu năng lượng giá trị thực bằng tổng của các năng

l ượng của các thành phần chẵn và lẻ của tín hiệu

(2) Tuyến tính hay không tuyến tính

(3) Bất biến hoặc không bất biến

(4) Nhân quả hay không nhân quả

(5) On định hoặc không ồn định

Kiểm tra nhìrng hệ t hống sau theo các đặc điểm trên

28 Giải bài tập xứ lỳ tin hiệu số và Matlab

(a) y(n) = cos [x(n)]

(b) y ( n ) = X x(k)

k = - x( c ) v ( n ) ^ x(n) cos((j()n)

(m) y(n) = sign [x(n)]

(n) Hệ thống lấv mẫu lí tưỏìiạ vói đầu vào Xa( t ) và đằu ra x(n

L ờ i giải:

(a) I lệ thốn<4 tĩnh, không tuyến tính, bất biến, nhân qua và ồn địnlì

(b) Hệ tho n" động, tuven lính, bất biến, khòng nhân qua và không ôn dịnli Tính khônu òn

Vì y(n) -> ookhi n- >oonên hệ t hốn a không ổn định

(c) Hệ thốniỉ tĩnlì, tuyến tính, không bất biến, nhân quả và ổn định

(d) Hệ thống động, tuyến tính, bất biến, không nhân quả và ổn định

(e) Hệ thống tĩnh, khôníỉ tuyến tính, bất biến, nhân quả và ổn định

(f) Hệ thốníĩ tĩnh, không tuyến tính, bất biến, nhân quả và ổn định

(g) Hệ íhôn^ tĩnh, không tuyên tính, bât biên, nhân quả và ôn định

(h) Hệ thống tĩnh, tuyến tính, bất biến, nhân quả và ồn định

(i) Hệ thống động, tuyén tính, không bất biến, không nhân quả và khônu 011 định Chú ý rằn

vó'i đ ầ u v à o x á c đ ị n h x ( n ) == u ( n) ta đưọ'c đ ầ u r a k h ô r m xác đị nh

(j) I l ệ tlìốim clộnu lLi>cn tínli khôi ìu bất bi cn khỏní i n h â n q u a và ôn địnli.

(k) ỉỉệ thỏnii íĩnli khỏím iLiyên tính, bàt biên, nhán qua và ôn định

(I) ỉ í ệ th ố n u tĩn h , tu y c n líiìli bất bien khôniz Iihán quả và òn d ịn h.

( n i) ỉ ỉ ệ ih ò n ii tĩn h , k liỏ n u iLiyèiì líiih bât biên, nhản qua và ôn đ ịn h

(n) l ỉệ tlìốnu tĩnh, tuycn tínlì bấl biến, nhân quả và ôn địnli

1.31 Hàv tính tích chập y ( n ) - \ ( n ) * h ( n ) cùa các tín hiệu và kiẻni tra sự chính xác của kết quà bànu \'iệc kiêiii tra biẻu thức: y \ ( n ) h ( n ) = y y ( n )

30 Giải bài tập xử lý tín hiệu số và Matlab

1,32 Xác định và biêu diễn phép chập tín hiệu sau:

== - n u (n) - u (n - 7) * [ u( n + 2 ) - u(n - 3) u( n) * u(n + 2) - u ( n) * u(n - 3) - u(n - 7) * u( n + 2) + u( n - 7) ♦ u(n - 3)

Chương 1: Tin hiệu và hệ thống rời rạc 31

y ( 2 ) - a “’^ + a “' + a ’ ’ + ì + a + a “y(3) ~ a ^ ' + 1 + a 4- cx" +

Xét tính nhân quả của hệ thống:

* m > 0 thi h ( n ) - 0 vó‘i n < 0: hệ t h ố n g là nhân quả

1.35 C ho hệ thorm: y(n) ” ny(n - 1) + x(n)

Xét tính tuvến tính, bất biến và òn định của hệ thốnii

1.36 Giài phưoim trinh sai phân sau vói đáp ứniz đầu vào bằng k hỏ ns (x{n) 0)

4v( n - 1) + ” y(n ~ 1) ~ x ( n )

5 ỉy( n ) - — y ( n ~ ỉ ) ^- - \'( n 2 ) - 0

vv( i ì ) k n , 4 " U(!1)

34 Giải bài tập xửlỷ tín hiệu số và Matlab

1.40 Tìm đáp ứng xung và đáp ứng nhày đon vị của các hệ thố nẹ đưọ’c mô tả dưói đây:

a) y(n) - 0,4y(n - 1) + 0,03y(n - 2) = x(n)

b) y(n) - 0,7y(n - 1) + 0,1 y(n - 2) = 2x(n) - x(n - 2)

Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc 35

36 Giải bài ỉặp X í / '/ý t i n hiẽu số vá Maỉỉab

Xá c dịiilì d âu \' ào x(n) \'ó'i 0 ;■ 11 < 8 ử i m \ ó‘i d à u ra là

y t n ) = -ỊỊ 2 2 5 3 3 2 1.0!

' 2 ' 4 ‘ 8 ' 1 6 '

y ( n ) - Ị 1,2,2.5.3.3.3.2.1.01 x(0 )h(0 ) = y(0 ) x(0 ) =1

1.42 X e m kết nối liệ i h ố n u ỉ.'! 1 nhir 0' h i nh vè

(a) Biêu dicn dáp ứniz xiinu tỉieo li](n) h^(n) h;.(n) vá h^(n)

( b) X á c d i nh h{n) khi:

h , ( n ) = l - i - i ~ !

h : ( n ) = h ì ( n ) - ( n t 1 )u(n)

l i 4 ( n ) = ò ( n 2 )(c) Xúc dịnh đáp ửim hệ lliốim troim càu (b) nếu

Do đó: h(n) = [ —ò(n) + ò{n -1) + -“ ò(n -2) I * | 2u(n) - (5(n)|

= — ò(n) + ò(n -1) + 2 ô( n -2) + — u( n - 3)

1.44 ( ’ác hệ l ii ổni ’ s a u d â v c ỏ p ha i ỉa baí ỈÌICH Ihco n h a y k h ỏ nu ' /

Suy ra hệ thông là k hò n ẹ bât biên

1.45 Cho 2 hệ ihốnii, tiivến lính bấl bien có đáp írnu xung lươnií ứng là h | ( n ) - 2 " Vn và

‘v 5 /

a) Hàv l ì m đáp ửni ’ xunu h(n) cua hệ íhỏni> tôi m quát.

38 Giải bài tập xử iỷ tin hiệu số và Matlab

b) Hày nhận xét tính nhân quá của hệ thống h| ( n ) , h ( n ) và h(n)

b) n < 0 ,h, ( n ) 0 => hệ thống có đáp ứng xưng h| ( n ) là hệ th ốn2, khônu nhản quà

n < ( n ) - 0 =>hệ thống có đáp ứng xung h , ( n ) l à hệ th ốn e nhân qua

h ( n ) = — 2 ' \ V n , do đó vói n<0 ta có h ( n ) ; ^ 0 = > h ệ thống tổng quát có đáp ứng xung

h ( n ) l à hệ thống không nhân quà

1.46 Giả sử e(n) là tín hiệu ròi rạc có dạng hàm mũ: e ( n ) = ^ a ” vói V n , a : h a n g s ố

b) Hãy nhận xét tính ổn định và nhân quả của hệ thống hj ( n ) , ( n ) và h(n)

Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc 39

1.48 C ho ( n ) , X ( n ) , X3 ( n ) là 3 chuỗi tuần hoàn vói chu kì CO' sỏ- tương ửim là Tị , T 2, T 3 Mộtchuỗi là kết quả kết họ p tuyến tính cua 3 chuỗi tuần hoàn này có phai là một chuỗi tuần hoàn không? Nếu là một chuỗi tuần hoàn thì chu ki CO' sơ của nó là bao nhiẻu?

L ừ ỉg iã i: Một chuỗi là kết quả kết hụp tuvến tính cua 3 chuỗi tưần hoàn này c ù ne là một chuỗi tuần

hoàn Chu ki của chuỗi mói bằng BSC’NN cùa tất cả các chu ki

Chu kì của chuỗi mói = BS CNN(T| , T 2 T 3)

40 Giải bài tàp xứ ly tin hiêu s ố va M atla b

1.5L MỘI chuỗi tín hiện sin liồn lục theo thòi gian x,^ ( t ) - cos(o),jnl') đu‘ọ'c lấy mầu lại

t - n ' ĩ - co < n < GO t ạo t h àn h c h u ô i ròi rạc i hc o thòi g i an x ( n ) - x.^ (>1 ỉ ) = ct )s( o)(j nT) V ó i íỉiá trị

nào cua T thì x(n) là một chuõi tuần hoàn'? Clìu kì cơ SO' của chuoi x(n) là bao nhiêu nốu

4 6 (n - 1) - ( 5 ( n - 3 ) + 2ổ(n l ) - 0 5 6 ( n - 4)~ 6 6 (n - 4 ) + 1.56(n - 6 )

= 6ò ( n - l) -“ ổ ( n - 3) - 6 5ò (n - 4) i- l, 5ò(n - 6 )b) y, ( n ) = X, ( n ) * h, ( n ) = (~3ò( n - 1) + ò ( n + 2 ) ) * ( - ô ( n - 2) - 0.5ò( n - l) + 3S(n - 3 ) )

= - 0 5 8 ( n + 1 ) " ò ( n ) + 3Ò( n - 1) + 1 5ò ( n ~ 2) r 36 ( n - 3) 9(S ( n - 4)

c) V, ( n ) = X| ( n ) * h, ( n ) = (2Ô(n - !) - 0 5 ồ ( n - 3 ) ) * ( - ò ( n - 2) - 0 , 5 ò ( n - l) + 3S(n - 3))

= - 6 ( n - 2) - 2 8 (n - 3 ) “ 6 25 ò ( n - 4) Ị- 0, 5ò(n - 5 ) - l , 5ờ (n - 6 )d) >'4 ( n) = X, ( n ) ““ h, ( n ) ^(~-3ò(n - 1) + ò ( n 4 2 ) ) * ( 2 S ( n ) + ò ( n - l ) - 3 ò ( n “ 3))

y ( n ) = \ ( n ) - y" (n - 1) + y (n - 1) Do đó, đối vói một đầu vào AX| ( n ) + Bxt ( n ) , nếudaii ra là AV| ( n) + By , ( n ) , ta có mối quan hệ eiũa dẩu vào - đầu ra như sau:

Ay, ( n ) + By, ( n ) = Ax, ( n ) + Bx, ( n ) - ( A y , (n (n - ! ) ) ■ + Ay, (n ~ 1) + By, (n - 1)

= Ax, ( n ) + Bx, ( n ) - A ( n ~ !) - 2ABV| (n - 1) y, (n - 1 ) (n - !) + Ay, (n - 1) + By , (n - 1)

AX| ( n ) - ( n - 1 ) + AV| ( n - 1 ) Bx^ ( n ) - B ' y í ( n - 1) + B y , ( n - 1)

Suy ra hệ thốiiíi là phi luyến

r h o y ( n ) là đầu ra của đầu vào x ( n ) , ta có:

y ( n ) x ( n ) - y ' ( n - 1) + y ( n - 1) Do đó, đối vó-i một đầu v à o x ( n “ n, j ), nêu đau ra là

v ( n - n , ị ) , ta c ó m ối q u a n hệ eiCra đ ầ u v à o - đ ầ u ra n h ư sau:

y ( n - = x ( n “ - y" (n - - ỉ) ” ^n " 0 ^ thốim là bắt bien theo thòi ííian

Vặv đối vói đầu vào x ( n ) = a j i ( n ) , đầu ra y ( n ) hội tụ tói me)t haim số K khi n 0 0

Phưo-ng trinh sai phân trên khi n -~>(X), trỏ- thành K = a - K ‘ + K hay K ' = a , nghĩa là K ^ \ la .

1.54 Cho x ( n ) là chuỗi có chiều dài hừu hạn đưọc xác định đối vó‘i N, < n < , vói N 3 > N , Tưoim tự, cho h ( n ) l à chuỗi có chiều dài hữu hạn đưọ'c xác định đối v ó i M , < n < M , , vói

M > Mị Ta định nghĩa: y ( n ) = x ( n ) * h ( n )

(a) Xác định chiều dài của y ( n ) ,

(b) Phạm vi cùa hệ số n mà y ( n ) được định nghĩa