Phần thứ bo
HƯỚNG ĐẪN GIẢI, ĐÁP SỐ
ĐỀ ƠN LUYỆN HKIẾN THỨC TH
TỐT NGHIỆP TIIPT VÀ TUYẾN SINH ĐH — CD A HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ ƠN LUYEN KIÊN THỨC THỊ TỐT NGHIỆP THPT Cau 1 56 ĐỀ SỐ 1 I Tập xác định : R 2 Sự biến thiên a) Chiều biến thiên y'=x -2x-3 y=0cx=-l:x=3 y' >0 trên các khoảng (—œ; —1) và (3; + œ) y' <0 trên khoảng (—L ; 3) b) Cực trị
Trang 23 Đồ thị Câu 2 Câu 3 Câu 4a x* l ~ : at 5
Giao điểm của đồ thị với trục tung: Íọ , = 83
giao điểm của đồ thị với trục hồnh:
y=0 © x=- Ì hoặc x = 5, vậy cĩ hai giao điểm (—I ; 0) va (5 ; 0) Đồ thị hàm số như hình vẽ Ta cĩ laga 2
og 5 oga-L loyn 2 1 ! 3 rae _ 3 Lên _ “eae _ (sie?) = 23 a) Taco AB 1 AC => AB L(AA'C'C AB L an ( ) => AC'B = 30° (nhw hinh bén) Trong tam gidc ABC ta cé : AB = AC.tan60" = bV3 Trong tam giác vuơng ABC' ; AC = AB.cot30° = 3b b) Trong tam giác vuơng ACC cĩ : CŒ? = CA’— AC’ = 9b’ - b’ = 8b’ Suy ra CC = 2 V2 b Từ đĩ thể tích của khối láng trụ ABC.A'BC bàng : V=CC, ; AB.AC = V6 b`
Mặt phẳng (B) đi qua M,(0 ; 0 ; 1) nên cĩ phương trình
A(x—0)+ Bíy—0)+ Cœ~ 1) =0 hay Ax + By + Cz—C=0 (A? + BẺ+ C?> 0)
Khoảng cách từ M,, M; tới (B) bằng _ nên
Trang 3Câu 5a
Câu 4b
IA-C CC] BA BC V2
VALE B aC! JAba BE4C2 2
Từ đĩ ta cĩ; Ài 2A -B-C hay tA=2A -B-C Suy ra: hoac C= A- Bhoac C= 3A-B
cà A! v2
+ Với C= A - B thì từ -z===——— _ tả SUY ra
vVA*+B Œ@ 2
2A'~A'+B +(A -BY©2B(B_ A)=0
* Nếu B=0 thì C= A, ta lấy Á = 1 thì () cĩ phương trình : x+z—1=9 * Neu A= Bthi C= 0 Ya lav A = L thì (8) cĩ phương trình x + y =0 NA v2 + Với C= 3A - B thì từ -_—— =— Tâ SMV Tả VÀ BAG 2 2X = At + B+ (GA- BY «¿SA T-6AB+ 2B =0: c>4A'-3AB+BR=0œ 9A 2B LBC Lg \ A) 16 3
Như vay 2A — 7B ~Ova B- 0 tie 1a A = 0, B= 0 va do dé C = 0 Khơnp xảy ra trường hợp này
Cĩ x`= 2—~x + x= l Tọa độ giao điểm y = x' va x+y > 21a ACI: DD
Đo đố diễn tích S cần tìm là :
' 2 8
S= [x'dx+ ÍCx |x dx J › 20dx - 2 (dvaty x Ạ ( )
a) Đường thăng d qua điểm M(t: -1 : 0) va cĩ vectơ chỉ phương
u (2:1; -:L) Đường tháng d qua điểm M,(3;0; —1) và cĩ vectơ chỉ phương u` =(—] :2: 1) 7 > fly -1 [1 2) 2 1 Bol vay n {| H | : =(3:-1;5) (j2 1/1 -1 -1 3) Mặt khác M,M,'=(@:1; }) Ta cĩ : n.M,M,' =3.2+(-l)(1)+5.(1)=0và2;:1: -Lz—L:2:1
Vậy d vad' cat nhau
Trang 4Cau 5b Câu 1 mu = 1.2 + 2.14 1.(-1)=3 +0 Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ( œ ) Phương trình tham số của đường thẳng d là fx=1~2t syr ltt | [z- t: Tham số tứng với giao điểm M của d và (œ) là nghiệm của phương trình (1 + 2t) +2(-14t)-t-1=0 Tidé 3t =2 hay 1 = 2/3 Thay t = 2/3 vao phương trình tham số của dđ ta tìm được : ( < \ mj, 4, 2) vi 3 3) v>0Ơ Để hệ đã cho cĩ nghĩa ta phải cĩ + * Qk [38v 1 5x > 0 ae ges " ` "- xẻ Vv = 98 Với điều kiện này, hệ đã cho tương đương với J vO ) lầyx~ðx = 3%
Trang 5Cau 2 Câu 3 60 tira y= tim] x2 (1-2 Se 3) =e tương tu: hm y = -œ x—+œ d) Bảng biến thiên X —œ I +00 + y = 0 - 3 Đồ thị Giao điểm với trục Oy : (0; — 1) Đồ thị của hàm số như hình vẽ | Vì 0< <1, nên la sẽ cĩ: -2 x15 3x2 My {2 , nếu chứng minh duoc 3V2 < 2V5; 3) 3 That vay: 3/2 < 2V5 © (3/2)? < (2V5)? <> 18 < 20 Bất đẳng thức luơn đúng a) Từ H hạ HK L A'B Ta thấy HK 2C
là hình chiếu của AK trên mặt phẳng (A'RC) Suy ra AK L AT
Vậy gĩc giữa mật phẳng (ABBA')
và mặt phẳng (A'BC) là AKH,
Gọi ï là trung điểm của đoạn thẳng
A'B, ta cé CI] L AB (vì ABC là À'4 tam giác đều), suy ra CT // HK
Vì H là trung điểm của BC' nên
HK là đường trung bình của tam
giac BCI, suy ra HK = < - = as Trong tam giác vuơng AHA’, ta cé:
Trang 6Câu 4a Câu 5a Trong tam giác vuơng AKH cĩ : tan AKH = AH’ _ 3a av3 =243 HK 2 4 Do dé AKH = 73°53'53" b) Từ các kết quả đã tính được ta cĩ thể tích khối lãng trụ là : 3a 1 aV3 3V3a° V=—.-a—= 2 2 2 8 Giả sử mặt phẳng (œ) cĩ phương trình Ax+ By+Cz+D =0 (A?+ B.+C >0) A+C+D=0 2A -B+D=0 Từ đĩ suy ra: C= A - Bvà D=-2A +B Vi (a) di qua M, va M, nên | € Vì khoảng cách từ M; tới (œ) bằng a nén Ic+D) 2 2 : tN [A}=*“ /A2 4B? +(A—BY VA?+B?+CŒ 2 = |A 2 AtHie( ) ©2A?=A?+B+A?+B—-2AB ›2B(B- A)=0 + Nếu B= 0 thì C= A,D=-—2A Ta lấy A = I thì phương trình (œ)làx+z—2=0 + Nếu B= A thi C =0 va D=- A Ta lấy A = I thì phương trình (œ) làx+y— =0
Trước hết ta tìm các giá trị của biến x lap nên các đoạn sao cho giá trị
tương ứng của hiệu f(x)-f(x) xét trên đoạn đĩ déu là khơng
Trang 7Câu 4b
Gọi A,,M,.M, lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ịx, Ĩy,
Oz.tacĩ OM_ OM, :OM, :OM,
Đo đĩ cĩ M,( 4:0:0) M1,(0;3:0) M,(0:0: 2)
Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (M,M,M, ) đi qua các điểm trên các trục toa độ nên phương trình theo đoạn chắn của nĩ là : eM By 4 3 2 Câu 5b Đạt 2`=u >0 3`2 =v >0, hệ đã cho trở thành Iu +2.v -55 lu ty = 28 Giải hệ phương trình trên tà được u = 1, v = 27 Vay PP -1 Lf x=0 <> lân" _ 97 LY 3 ĐỂ SỐ 3 Cau 1, 1 Tap xac định : R Hàm số đã cho là hàm số chan 2 Sự biến thiên a) Chiều biến thiên vi =x’ +8x-x(3—-x*) O@x- 4ä ;x=0; x=v3 y>O0@x< V3 hoặc 0<x<3 Hàm số đồng biến trong các khoảng (—s: — /3) và (0: V3) y<0{€Ằ -V3<x<0 hoặc V3 <x Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-/3: 0) và (V3: ‹m), b) Cực tr pg geet < x 9
Hàm số cĩ hai điển cực dal x = 1V 3: Yoo = VC LV3) = A
Hàm số cĩ điểm cực tiểu x = 0: ye, = y(O) = 0
Trang 8đ) Bang biến thiên xX [=o v3 0 v3 1 yl +09 =9 + 0 - 9 9 1 4 y a oN _« oN _—_ a 3 D6 thi llàm số đã cho là chân do đĩ đơ thi nhận Oy làm trục đối xứng
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 : 0):
cất trục hồnh tại ba điểm (t6: 0), (0, 0) Đồ thì như hình vẽ Xx Cau 2 ‡ ì 2 1] 1` ,„ at (> " at Salis ata’ Taco: = ——= -=a Siva) awe ®9I athal+a a tra Câu 3
a) Ta c6 BC 1 (SAB) (theo giá thiếp, suy ra ĐC L AB, Mặt khác AB L SB (theo pia thiél), suy ra AB’ 1 (SBC), suy ra AB L SC
Tương trr suy ra AD' L SC Từ đĩ SC L (AB D)
Gọi I là giao điểm của SỐ với
3D, pọi C” là giao của AI với SC thi ÁC” thuộc (ARD') nên AC" 4 SC VayC =C" Từ đĩ A, B C, D cùng thuộc mat phang di qua A và vuơng gĩc với SC, tức là các điểm A B.C, D đồng phẳng
b) Theo piá thiết ta cĩ AB L BC AD 4 DC
Theo chứng minh trên ta cĩ AB 1 ĐC, AD L ĐC AC | CC
Trang 91,221, d ef
Theo bất đẳng thức Cơ-s¡ cho ba số dương ta cĩ
1-1,2,33 caf 2 Boa] © e 1> hổ Q đei an, d 7e f7 \def \adef “`” `” đef “” 6
2 3 hay d=3;e=6:f=9
e f Vi M nam trén (y) nén:
Dau " =" xay ra khi h =
Thể tích V của tứ điện ODETF là V = sOD OE.OF = act > 27 Vậy thể tích nhỏ nhất là 27 Khi đĩ chương trình mặt phẳng (y) là : x X+y + =1, 3? 6 9 Câu 5a Ta cĩ : cosx > O khiO Sx § 5 và sa < x < 2n, con cosx < 0 Tt on khi - <x 2 ¢ „ do đĩ x 3x 2 2m S= Jlosxtis - Joosxdx + Jc cos X)dx + [cos xdx x 3x ° 2 2 n BR on =sinx|2—-sinx}* +sinx|,, =14+2+1=4 0 \2 2 Cau 4b Mặt phẳng (PQR) cĩ hai vectơ chỉ phương là PQ = (1; 2;-2), PR =(-2; 3;-5) Do đĩ mặt phẳng (PQR) cĩ vectơ pháp xã là: ¬_ (l2 -2 " lš -| -8 3 Mặt phẳng (PQR) đi qua điểm P = a : =2 ; 3) nên cĩ phương trình là : A(x - 1) + Oy + 2) + 7(z~ 3) = 0 hay —4x + 9y + 7z + 1=0 Cau 5b Diéu kién: x > 0 va y > 0
Từ điều kiện suy ra x.y >0, từ đĩ (I+ xy) > 0
Ta biết rằng y = e` và y = lnx là các hàm số đồng biến vì đều cĩ cơ số
lớn hơn I1, cho nên: — Khi x >y >0 thì
-B 2)
a gf AD
Trang 10r - w f
| ese | e -e 50 | a of >0
| 5
` Inx»lny- in y-Inx<0 |dnv-lnx)( : xy)<0
Chứng tỏ các giá trị x và y thố mãn x > v > 0 khơng là nghiệm phương trinh (1)
Tương tự chứng mình được các piá trị của x và y thoả mãn ÿ > x > Ư cũng khơng là nghiệm phương trình (1)
Khi x=y>0thì
, ee [ et eo 20 coe =0
“> 4 ><
linx =Iny dny-lnx~0 [(in vy —Inx)(1 + xy) — 9,
Chứng tỏ các giá trị của x và y thoả mãn x = y > 0 sé 1a nghiệm phương trình (1) ¬ ge „ [x=y>0 2 Từ đĩ, hệ da cho tương dương với | , „ <>X=V- về, l xo +yo cd 2 ˆ ˆ ` ~ z vs V2
Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm x - y = 5 Bằng cách tương tự bạn cĩ thể giải được hệ phương trình:
J a* a =đogy,v log, x)(xv +a*) () (x? sy" 8B, (2) trong đĩ a và b là hai số cùng lớn hon | (hoac cing nho hon 1) con œ, l3 là hai số thực bãt kì n là một số tự nhiên ĐỀ SỐ 4 Câu 1 1 Tập xác định : JR Hàm số đã cho là hàm số chăn, 2 Sự biến thiên a) Chiều biến thiên : vi - 2x? + 2x - 2x(x° +1) -00x-_0
yv' < O trén khoang (— « ; 0), ham sé nghich bién trên (—cc ; 0);
‘y' > Ơ trên khoảng (0 ; + z ), hàm số đồng biến trên (0 ; +00)
b) Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yey = y(O) = — = Ham so 2
khơnp cĩ điểm cực đại
Ss
Trang 11Cầu 2 66 c) Cac pidi han tai v6 cực lim y — lim x"| (1U _ 3.) = poo t Kee xe ea (2 x? 2x1) , tương tự, lim y +90 d) Bang bién thién —20 0 +20 — X ae —— — _ —-—*—-.—- _— _ — _ _ —_~ yo Po — 0 + ốˆ | +œ +0 2 3 D6 thi ya
Giao diém với trục ,ung [o: — = ) giao diém với trục hồnh : (—I ; Ư) và (1 ; Ơ) Ta cĩ ii £ log, log, a he = log, = log, ÿĐ 5 l sp WC ` n a ni -] 111 1 = 10g, 5 5 5 oe ——
a) Theo giả thiết, tam giác ABC cân nên H là trung điểm của BC Trong
Trang 12Câu 4a
Cau 5a,
Trong tam giác vuơng IAH cĩ :
IN = TP AH=<(V2a7 = (av9 } = lồa `—3 TA = 4a (1)
Trong tam giác vuơng cân JBC cĩ : JH= BH - av6 ¬ Trong tam piác vuơng JAH cĩ: JA'=JH - AH’ = (a V6 '- (ay3))T= đãi => JA=2a (2) €) Từ(1) và (2)tacĩ: JIL= 3A 3+ AI =6a (3) Bl = BC = 2a V6 (4) 3 ` - fy ,
pre BOS? Lota (8)
Từ (3) (4) và (5) ta cĩ ; BỊ + BY = (2a V6 Y 4 (23a) = 36a’ = JP
=> tam giác BJI vuơng tại B
Do A CJL =A BIT (c.c.c) nén tam giac CJ] cing Ja tam giác vuơng tại C đ) Coi tam giác BỊTE là đấy của tứ diện CIBI
Gọi K là trung điểm của JÏ = K là tầm đường trồn ngoại tiếp tam piác BJI Chứng mình tương tự thì K cũng là tàm đường trịn ngoại tiếp tìm prac CIE
= Ki=KJ =KB=KC= K 1a 1am mat cau ngoal tép nt dién CT3 JI
> KI= « — 3a
c) Băng cách tương tự bạn đọc cĩ thể tự tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ điện LABC
a) Giả sử A =(a:0:0):B(O;:b:0);:C(0:0;c) Khi đĩ vì M là trọng tâm tam pide ABC nén380M OA - OB ĨC Từ đĩ suy ra a=3:b=6; vac —9,
Vậy (œ) cĩ phương trình AM
3.6 9
Trang 132 ( i , , 2 Jx"Inxdx =| Š Inx | - ¬ ` 1 3 H 1 ở x \ 3 1 ì (“v3 ù lạ 3 - m2 8, 1 J2aIn2—T), ca vag NW 83 9 9 9 Câu 4b Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 2.(x—l)—-3.(y+2)+l.Œ_—3)= 0 hay 2x- 3y+z - ll=Ơ Cau 5b 1 Đường tháng d đi qua A(—1:0) và khơng vuơng gĩc véi Ox c6 phuong trình y = k(x + L) với k là hệ số gĩc Để đường thăng d là tiếp tuyến của (C), điều kiện cần và đủ là hệ phương trình sau cĩ nghiệm 2 Xà) Íx=-8 x+l J , 3 <> Kx Thế x°+2x Oke 4 (x+1) 2 x” + 2x (x +1) _ Do vậy tir A ta kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị (C) cĩ phương trình là: _ `4 4 x”t(m!2)x + m +2 _ X +2Ømx+2m-2 2 Vy = - - - - y ` — ^- x+m (x+m)” Xét tam thức f(x) = x” + 2mx + 2m — 2 Ta thấy : — phương trình x” + 2mx + 2m - 2=0 (*) cĩ A'=m? -2m+2>0Vm;
— giá trị tam thức tại - m 1a f(-m) = -m? + 2m-2#0Vm
nên (*) luơn cĩ hai nghiệm phan biệt khác =m
Trang 14Cau 2 Câu 3, a) Chiều biến thiên : y'= oy : v' khơng xác định khi x =2; v >0 với mọi x # 2 Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (—œ ; 2) và (2 ; +90) b) Cực trị Hầm số đã cho khơng cĩ cực IỊ c) tiệm cận : Đường thăng x = 2 là tiệm cận đứng, vì lim y=+œ, lim y =—z x 27 x oat
Đường thẳng y = 0 (truc hodnh) 1a tiém can ngang vì im y= jim _ =9, đ) Bang biến thiên Xx _—@0 - 2 +00 y _+ - + Ỳ | eo 0 | 0 30 3 Đồ thị 1
Đồ thị cất trục tung tại điểm A(Ơ : 2)
Chú ý Giao điểm của hai tiệm cận là 2
(2 : 0) Nếu tịnh tiến hệ trục toa độ theo _Z
vecto OL thì theo cơng thức đổi trục ] _ [fx-X 4 2 O, 2 x lye ta đưa hàm số đã cho về dạng Y - = Đĩ là hàm số lẻ, cho nên đồ thị cĩ tâm đối xứng là điểm 1 1 - 0,75 5 _ 4 3 õ Ta cĩ : fa + 0.25 * - 16°" +42 — 16% +4? 4 = (Y16)° +(V/4)* = 40 xe Ta cĩ hình vẽ như hình bên a) Ta thay AH là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đấy
Vì A'H là hình chiếu vuơng gĩc của cạnh bên ẦA' trên mặt
phẳng đáy nên
AA'H =60"
Trang 15Cầu 4a Câu 5a Câu 4b Cau 5b 70 Trong tam giác AA'H cĩ : av3 a ¬ BS ED da 2 2
b) Vì BC // BC nên gĩc giữa BC và AC là sĩc ACB Trong tam piác vuơng AHC cĩ : tan AC’B' AH da He — 2 AH=AHtan6аT— a = — AC'B' = 71°33'54" a) Ta cĩ M,M, -( 3:~-2:—6) là vectơ pháp tuyến của mật phẩng (B) Vậy (B) cĩ phương trình; =3(x- 2) 2(y l) 6(Z T)=Ohav 3x+2y+62 14-0 b) Mặt phẳng (7) cĩ cặp vectơ chỉ phương là M,M, =(1:0: 1) và
OM, = (0; —l : —34) nên cĩ vectơ pháp tuyến n = [M,M,.OM, =(I:4:—l) Vậy (7) cĩ phương trình l¢x- 2)44v 1) 1(2- D=O0hayx+4y 2 -5=0 ‘Taco | — = [2x 1) *d(2x = 1) 7 (2x - 1) ' 1 ý À 2 - 29x 12h 20 3 4 | HF aye / 23 3 dt 2a F, a) Tacé AB= (3:2: 4), CD =(-2; 2:1) AB CD =3.( 2) 424 2)4 0-4.) = 1 AB - JV94+4+16 v20 | CD] =1 41-8, b) ho Quế 14 ¥ cos(AB CD) 2 —z— by 29 I Phương trình đường thẳng d đi 6 qua điểm ( 1:0) cĩ hệ số gĩc k là: i= vokxetk
Số giao điểm của (C) và d là số
nghiệm của phương trình :
x kx~k
1 x
Trang 16Câu 1
Xét theo giá trị của k, ta cĩ :
+ Với k~=Q: Phương trình (*) cĩ đúng một nghiệm x = Ơ
+ Với k#0:; Biệt thức A =1+ 4k? >O VK đo đĩ phương trình (*) luơn
cĩ hai nghiệm phân biệt
Vậy với k= 0 : đường thẳng đ cất (C) tại 1 điểm ;
Trang 17Câu 3
3 Đồ thị 7
Đồ thị cất trục tung tại điểm (0 : —1.5)
va cat trục hồnh tại điểm (3 : 0)
Chú ý Giao điểm của hai tiệm cận là H2: —-1) Áp dụng cơng thức đối trục : 9 Ễ SA Ix.X+32 a_ | lyeYou À thì trong hệ trục XIY hàm số được đưa về dang : 1 Và A , eae ` Nà ở Y= xX: là hàm lẻ nên đồ thị nhận I {a tam doi xitme Ta cĩ er) mo » ado = |- log, (a? Yaa! Ì~log, ta -2+ + sf_ sf — 1 1173 ova ) 3 A 60 D log, Ol; = a) Gọi H là hình chiếu vuơng sĩc của điểm Š trên mật phẳng (ABCD) Vì SA = SB=S§C = S2 nên HA = HB - HC = HĐ, Trong tam giác vuơng SAH cĩ : - 5 (, fey 2_ 24 SỊ f _- SA — ÁIF = z _ | 2 | = ar ae Đ 2 3 2 BO ey c | Suy ra SH = © (2/ a) Do đĩ thê tích khối chĩp S.ABCD băng : BQP ÏA) „1 cm Va I ye(2l =a “oan + per —a-).a’ 3 2 B
b) Gọi M là trung điểm của BC Vì
tam giác SBC cân-(SB = SC) nén SM L BC, suy ra HIM là hình chiếu
Trang 18Suy ra
Jal eye
SM = (1)
Trong tam giác vuơng SMH cĩ :
su= HM _ s4 cosa 2coaœ (2) Từ (1) và (2) ta cĩ phương trình : las a2 , val a 8 hay a=cosa.v4l* a” (3) 2 3cosœ Bình phương cả hai vế của (3) ta được : Hs | TT
` ¬ ›— 4F eos?œ 2lfosơv1 + cos œ a =cosa(4e —a) => a = ete Dat oH ar - ————-
1 + cos’a 1 + cos’a Trong tam giác SHM cĩ :
leosuv14 cosa Isinavl 1 cos"a SH = EHM.-tang = > = = Lana = — + cos ứ lt€osfœ Lụ ` Suy ra V= —.SH.a To - se 1Ị Ụ a » i " ~
1] fsinayl + cosa 4lecos’@ — 1 I’ sina cos” ay] + cos"e
3 1 = cosa ˆ11 eosfơ dc đt cos?a)? Cau 4a a) Ta cĩ M,M, =(1:0:1), M,M, =(C2;:-2;-5) Rõ ràng là bai vectơ đĩ khơng cùng phương, vậy ba điểm M, M,, M, khơng thăng, hàng b) Vectơ n [M,M,.M\M, = (2; 3-2) la vecto phap tuyén của mặt phảng (ở) Vậy (0) cĩ phương trình : 2(x 2)+3(y- l)—2( - 1) =0 hay 2x+3y—22z—5 =0 Cau 5a _ fu-x (du = dx Dat | {a co 4 (dv = cos xdx (Vv =sinx 1T a 2 L, T 3 T iv ¬ fx cos xdx — (xsin x)j- - Jsin xdx = 2 + (OsX|“— =1, m 0 2 ue 0
Trang 19Câu 5b Câu 1 74 vuơng gĩc với (P) nên vectơ pháp tuyến n của (œ) vuơng gốc với u và nụ, lace: n= [sing =(2:1 :-3) Ngồi ra (œ) đi qua d nên cũng di qua diém M, nên (œ) cĩ phương trình: 2(x -0)+(v-8)—3(z— 3)=0 hay 2x +yT—3z+ 1=0 b) Vì d khơng vuĩng gĩc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thăng đ”, và đ” là eiao tuyến của ( œ ) và (P) nên đ' cĩ phương trình là: ;x=-8+ 4t $y =15 -ðt [z=t Ta lacĩ: cĩ hm ov- hm _ x +x-2 - = =—#;¡ Hm —————=+m; — X +X-2 x-»>—-It x >-17 xt x>-1 X+Ì vậy dudnp thang x = -1 lA tiém can dime ax —.- 7% =0 2 | 2 x+1 foxerex Vi lm ¬ i L nên đường thắng y = x là tiệm cận xiên ĐỀ SỐ 7 4) Ta c6: y'— (x - 1)(2x = Ce ~ 2x +2) _ x _ ma Vy =Ũ<>x=0;x=2 v' khơng xác định khi x= L:
y >Ð nếu x< Ư hoặc x > 2 và y`< 0 nếu 0 < x< 2 Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (—œ; 0) và (2; +m), nghịch biến trên mơi khoảng (Ờ; 1) và (1; 2)
b) Cực trị :
Ham s6 dat cuc dai tai X = 0 va Yep = ¥(O) = — 2
Trang 20Câu 3 c) Tiệm cận : > - x 2x42 _ x -2x42 lam y — lim — -———- —— ~ :: lim w ~ lim = =O), x) n> x -l Aol wot” x-1
Vi vay đường tháng x = I là tiệm cận đứng
Ta cĩ log, 6 log, 9.log, 2 = dog,6.log, 2).log, 9
log, 9 | 2 2
4
—- = log, 2, ——~ = -, og, & ` đ.log 2 3 a) Gọi hình chiếu vuơng gĩc
Trang 22b) Đường thắng đi qua M,(x, ; Vạ : Zu) song sone với trục Ơx và cĩ vectơ Mơ chỉ phương ¡ nên cĩ phương trình tham số là: ‡ y = vụ và khơng cĩ | % = Ze phương trình chính tác Tương tự, đường thăng di qua M, song song với X— Xo Oy cĩ các phương trình là: | =v, +t Đường thẳng đi qua Mu song song |Z = Ta X = Xq với OƠz cĩ các phương trình là: + y =vạ Z=Z, +t Các đường thẳng này cũng khơng cĩ phương trình chính tác Jx=2-t Bt › c) Phương trình tham số: + y = le =-=]+5đL ` „ đ ~2 z+] phương trình chính tác: ` _ 3 = — _r + `) ix =—2 Đường thang khơng cĩ phương đ) Phương trình tham số: +4 y =1 trình chính tắc z=2-dE,
Đường thẳng khơng cĩ phương trình chính tác
e) Vectơ chỉ phương u của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x — 5y + 4= 0 nên u =(2;—5 ; 0) Vậy đường thẳng cĩ phương
x=ä+2L - hằng kh
ì ý =, Duong tha ơng cĩ
trình tham số: 4 y =2—ðt Đì ng thang Khơng cĩ phương
1 trình chính tac
7 =
Đường thẳng khơng cĩ phương trình chính tắc
Trang 23Cau 5b 1 Tạ cĩ dĩ thị hàm số như hình về và x : 4 TỔ uy, 15 #x** Tals
3, Đồ thí (C„„ï cát trục hồnh tại 4 diem phân biết Khi và chỉ khi phương trình của hồnh độ giáo diễm cĩ :Í nghiệm phần biết
Trang 24y' = 3x? - 6X = 3x(x — 2) y.=0<>x=0 hoặc x = 2 y' >Ơ trên các khoang ( : Ư) và (2; +) V'<0 trên khoảng (0: 2) Cực trị
Hàm số đạt cuc dai tai x = 0 yay = y(0) = 1 Ham số đạt cực tiểu tại x = 2, ye; = y(2) = 3 Các giới hạn tại VƠ cực lm y=-+: lùn = to Xx—y -% x->+?^ Bảng biến thiên X = 0 2 + y | + 0 0 + a oN - | sư * Đồ thị : ¬ oe ` ly= 3 D6 thi cal truc Oy tai diém (0; 1) Diém dac biệt: {x y € xX=d,V =1 Đồ thị như hình vẽ b) Hồnh độ giao điểm của đồ thị Và (Cm) và đường thăng y =—x + Ì là nghiệm của phương trình: x'+mx+l=-x+l o x(x’ +mx + 1) =0 [x=0 (1) co lở Ỷ | x” 4mx+1=0 (2) Để đường thăng y = — x + | cat dé thi
(Cm) tại ba điểm phân biệt thì phương
trình (2) phải cĩ hai nghiệm phân biệt
Trang 25cố AX PR TM La cĩ: - X, x, =] Hệ số gĩc của tiếp tuyến tại B cĩ hồnh độ x; là: y'(x,) = 3x7 + 2mx, Hệ số pĩc của tiếp tuyến tu C cĩ hồnh độ x; là: v'(X;) = 3x5 + 2mx) Dé hai tiép tuyén tai B va C vudng ede voi nhau thi: V(x) YQ) = | © (3x7 + 2mx,)(3x7 + 2mx,) = - Í <» x,xX;|9X,X; + m (X, + x;) + 4m ]}= ~Í «>9 -6m + 4m =- l<âm =5ôm=+v5 a: sự a < “ fo ` ie `
So với điều kiện m < —2 hốc m > 2 ta cĩ m, =-v5 vàm; = vã là những giá trị phải tìm của m Câu 2 csinxdx — TdŒ : cosx) 2 ay T= J, + COSX f= ~~ [= = -In]1 + cosx|) ~ J 1 + eusx | § iF In2 bj) J - j sinxdx _ ` d(cosx) _ — 1 = a 1 _ 1
jlicos2x 3 2cos*x 2cosx|o 2
Cau 3 Xét hinh chép tam giác đều D.ABC như hình vẽ (O là tâm đáy) Đạt DKO = ơ khi đĩ ta cĩ : D S, 1 1 cosa = = - > COse T Sy bì 5 a ; A B
Nếu AC - a, ADC = x thi từ tam, K giac KDC tacé6 DK = 5 cot C
Trang 26Câu 4a Đường thẳng A cĩ vectơ chỉ phương a là: “PAG bY
=(8;-4;10)=2(4;-2; 5)
Ta chọn vectơ a'= (4: - 2; 5) làm vectơ chỉ phương Đường thẳng cần
tìm song song với đường thắng A nẻn nĩ cũng nhận a'= (4; ~ 2; 5) làm
vectơ chỉ phương Nĩ lại đi qua điểm M3; 2; — 5) nên phương trình tham số của nĩ là; X=3+4l; y=2~ 2t7z=-— 5 + 5t với t e R Vậy phương trình chính tắc của đường thắng phải tìm là : xr3 yr? Z1) 4 —2 Š - , Nà y a bs Cau 5a Nghịch đào của z=a+ bi là - = 4—>-=-7W} Z a +bÐÙˆ a“+b 1 | 3 4 3 4, Vay: 2=3-4 > —=—-—y†+,y—yl= c†T—-! z 3+4 3+4 25 25 Câu 4b Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau Lấy điểm Mu, : yụ ; Z4) nằm trên mặt phang thứ nhất, tức là :
Ax, + By, + Cz, + D = 0 hay Ax, + By, + Cz, =— D,
Trang 2782
x =0=> y"=-2 <0 Ham so dat cuc dai tai x = 0, Yeg= y(O) = 0 x2 tv2> y”=4>0 Hàm số đạt tiểu tại x = +2, Yo = y(+V2) =-] Giới hạn tại vơ cực : lim = +
Bảng biến thiên x->ix x|—œ —V2 0 ⁄2 400 ' 0 + QO y “NN «x4 Đồ thị: x =0 >y=0 Đồ thị cát Oy tại (0: 0) y=0> 3xx =0c>x =0:x =+2 Dé thi cat Ox tai hai diém (2 ; 0) và (2:0) ya b) Ta cĩ : xÝ— 4x? - 4m =0 2 -X TXÌ =m (1) Số nghiệm cua (1) 1a giao diém cha (C) với đường thang y = m Từ đồ thị ta cĩ : em<-l: em=-l: e-Il<m<0O: em=0: eam>d: (1) v6 nghiém (1) cĩ 2 nghiệm kép (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt
(1) cĩ 3 nghiệm trong đĩ cĩ l nghiệm kép
Trang 28Câu 2 Ta cĩ Ï“(x) = - 2cot2x, lấy đạo hàm ta cĩ : 4 4 4 ] B(x) = = oe Ee 5 §n 2x (2simxcosx) sin” xcos”x COS”X +SINTX | + L = f(x)
Sin X€Os X sinX cosˆx
Cau 3 Goi M, F thứ tự là trung điểm của AB, CD
và K là tâm đường trịn ngoại tiếp AABC
Khi đĩ K thuộc CM Trong ACMI, dựng KO L CM (O e FM) Dễ suy ra O là tâm mat cau ngoai tiép tt dién ABCD Ta cé: CM = DM = 74-9 = V65 va MF = y65-16 =7 Gọi R là bán kính đường, trịn ngoại tiếp AABC áp dụng cơng thức abe 3 ` R= abe facd; CK = R = ] - Từ các tam giác đồng dạng OKM và S v65 CEM suy ra OM _ CM MK MF -C} CM —-R)CM + om = MK-CM _ { JOM 2B oy MF ME 7 Do đĩ OF =3 Suyra OD = VOF*+FD* = J/94+16 = 5
Câu 4a Mật pháng (ơ,) qua M,N vuơng gĩc với mặt phang toa dé Oxy >
(œ,) spHg song hoặc chứa Õz = (œ,) cĩ dạng Ax + By + D= 0 Do (a,) đi quá M(I :2; - 2) vàN(2:0;-— 2) ta cĩ hệ :
{A+2B+D=0 A=2B
hay
2A+D=0 D=-4B
Lay B = 1, thì (œ,) cĩ phương trình 2x + y — 4= 0
Trang 29§ _ XI : — XI ¬ ˆ= x” -3x +2 V(X —1)(x- 2) Dat x+] _A + B (x-1])(x-2) x-l x-2
suy ra x+1=A(x - 2)+ Ba-1) (1) Tir (1) cho x=1>52=-AhayA=-2
x=2>B=3
45 3 | 5 °
J= ay ot inl —2|-2tn|s—1) a\x-2 x-I
= 3]n3 + 2ln2 2ln4 = In3ˆ + In2? — In4? = Đế
Câu 4b Xem lời piải cầu 4a
Câu 5b a) Hai điểm (1; 4) và (: l; 4) thuộc (C,); y' = 4x(xŸ -3)
Câu 1
84
Phương trình tiếp tuyến:
Tại điểm (1 ; 4) ta cĩ y'(L) = — 8, do đĩ phương trình của tiếp tuyến là: = -8(X-l)+4= 8x+ I2
Tại điểm (— l; 4) ta cĩ y1) = 8, do đĩ phương trình của tiếp tuyến là:
yv=8(x+ l)+4=8äx + l2
b) Ta cĩ y = xÌ— 6x” + 9 + m là phương trình của đường cong (C,) Vi
đường cong này đi qua điểm (1 ; Ư) nên ta cĩ đẳng thức: O=1-6+9+m > m=-4 Khi m = 4 tacé: y = x* - 6x’ + 5 va dé dang suy ra diém (1 ; 0) - thuộc (C „) ĐỀ SỐ 10 a) Tập xác định : RR Sự biến thiên: =-3x +3 y= =O{Ầ©x=] hoặc x=- Ï V' < 0 trên các khoảng (-œ; —l) và (1; + =) y' >0 trên khoang (-—l; 1) Cực tri
Ham số dat cuc tiéu tai x =—-1, yep = y (-1) =-2
Ham s6 dat cuc dai tai x = 1, yey = YUL) = 2 Các giới hạn tại Vơ cực
lim y = 49; lim y = —œ,
Trang 30Câu 3 Bảng biến thiên X | — oO 7! l +20 y — 0 + 0 - y + oN a 2 , | -2 — 2 Đồ thị: Khi x = 0 thì y =0 Vậy đồ thị đi qua gốc tọa độ y=0@-x'4+3x=0 6 x, =0;x,=-v3 tXy= v3 Đồ thị sẽ cắt trục hồnh tại 3 điểm Đồ thị cĩ đạng như hình vẽ b) Vẽ đồ thị đường thắng y = — x, ¬ hai đường đã cho gặp nhau tại các ị điểm cĩ tọa độ (-2; 2), (0; 0) va \ ụ » (2:2) ta cĩ: s= [x~(-xÌ+3x)|dx IK a\ 4 J Ộ \ io ^ ủ S= [OC —4x)dx + (—x`+4x)dx mh ( 4 {U _y* * oy? || 4) 42x? 4 + | 4 a) Jasin? Sax = Í(I—eosx)dx = [dx ~ [cosxdx =x—sinx +C 5 _=4+4=8(đvdÐ) a e*dx b) T= | Đặt e'+1=t>0 5; e‘dx =dt A e* +1 - dt Vay l= |= =Int +C= In(e"' + 1) + {
Xét tứ diện đều ABCD cạnh a Hạ đường B D
cao AH của tứ diện, do các đường xiên
AB, AC, AD bằng nhau nên các hình C
chiếu của chúng : HB, HC, HD bằng nhau Do BCD là tam giác đều nên
H là tâm của tam giác BCD
23 _ V3
Trang 31Từ đĩ suy ra AH=a BH = =a Thể tích tứ điện ABCD bảng 11 V3 ,V2 v2 _—.— a —=a =a’ — (dvU) 322 VB 12 Câu 4a Các vectơ pháp tuyến của ba mat phang P, Q, R lần lượt là : n,=(A:B;€) đạ=(B:C: A) nạ=(C;A: B) Ta cĩ : đ;.0, = nđạ.nđg = đ¿.đy= AB + BC + CA =0,
Vậy ba mặt pháng (P), (Q) (R) đơi một vuơng gĩc với nhau Câu 5a Với số phức z = a + bì ta cĩ ; = a`+b =l + =2 > r= V2 COSŒ = — = tw T 2 2 => tana = | SHDỚ = b -~+L_ v2 l T V2 2 (mi, T ea gs Với œ € b 5} thì tacĩ œ = + Vậy số phức đã cho cĩ mơđun là +} NA ` T r= V2 va mot acgumen la a = 1
Trang 32Câu 5b Câu 1 Vậy hình chiếu đ' của đ trên (P) cĩ phương trình : Í-2x-y+3z~1=0 ‘x ty+2-7=0 QA giao tuyén cua mat phing: -2x 9 y + 32 + 1 = 0 va mal phang: xtyt+z-7=0) 2x xt =O {2x >0 hoặc x = 2 Đỏ thị hàm số y = 2x ~ < trên |0 : 2] cĩ thể coi là hợp của củng AB cĩ phương tình x = ] + «fi v (1 với y Ở} với y e [O; 1Ị yc [O; 1] va cung OA cĩ phương trình x
Do đĩ thể tích cần tính là hiệu thể tích hai vật thé tron xoay sinh ra bởi
cúc đường: (1) và (2), y =9, y= TYà truc Ơy khi quay quanh truc Ov V= xÍd~ j1=y4y ~z [dt _yfdy * 1 - 1 x {ul tLựI—y? =- vI=yY Jdy =4x[V1=ydy 1 tt 8 ‘a St —mMl-y)hJlo yf} =— (dvU) 3 mow’ ộ li Ầ ‘ tí ĐỂ SỐ 11 aby’ Muon ham sở đã cho cĩ cục đại và cực tiểu, thì y' phar cd bai aghiem phản biết nghĩa lí: v 4m - 3> suy ram< - hoaem> b) Khim =f thiy = + Tập xác định: =
+ Sư biển thiên: v=x” 1x+ 4,
Trang 33` ` ¿ ¬ 4 Khi x = 1 thì y" = — 2, hàm số đạt cực dai tal x = 1, Yon = y(1) = 3°
Khi x = 3 thì y" = 2, hàm s6 dat cuc tiéu tai x = 3, yep = y(3) = 0
Bang bién thién X — a l 3 + 0 y" 2 2 y 4 + oO a, ở x 0 + Dé thi:
Khi x =0 thì y= 0 Vậy đồ thị đi qua gốc tọa độ; y =0 2 -3=0
©> x¡ = Ư hoặc x; = x; = 3 (tiếp điểm) Đĩ chính là các giao điểm của đồ
thị với trục hồnh
Đề thị cĩ đạng như hình vẽ
+ Vì y' =x”- 4x + 3 nên y(2) =~ 1 Với x=2==y= <
Trang 34Cau 3 a) Hai mặt bên (PAB), (PÁC) cùng vuơng gĩc với đáy, nên giao tuyến PA vuơng gĩc
với đáy Vậy AB là hình chiếu của PB trên
đáy nên PBA =ơlà gĩc giữa PB và đáy
Tam giác ABC cân đỉnh A, nên trung tuyến
AD cũng là đường cao, do đĩ AD | BC ta lại cĩ PA L BC, vay BC L mp(PAD) hay BD | mp(PAD), nén PD 1a hinh chiếu của PB trên mp(PAD) Do đĩ BPD = § là gĩc piữa PB và mp(PAD) b) Trong A vuơng PRD ta cĩ: PB = PD? + BD" Trong A vuơng PAD ta cĩ: PB = PA” + AD’
Vậy PB” = PA’ + AD? + BD’
Trang 35Cau 4a
Gọi (P) là mặt phẳng di qua A và vuơng
gĩc với d, (hinh bẻn), (P) cĩ vcctơ pháp tuyến là V¥, = (3; 1; 1) (¥, 1a vecto chi phương của d,) Phuong trinh cua (P): 3(x - 2) + My -3) + I{z- 3) =0
hay 3x +y+2-12=0
Gọi B là giao điểm của đ, và (P)
Toa dé Bla nghiệm của hệ phương trình:
ix+y-zx+4 =0
X -+ 3 a2 0
|3X~v+z—12 =0
Giai hệ phương trình này ta c6é: B (-3; 10; 11)
Đường thẳng đ cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm A và B cĩ phương trình: Câu 5a 23+ V2i (2V3 + V2i}(3V2 + 4v3i) (2/3 + V2i)(3 2 +4V3i) 3¥2- 43) (3V2 ~4V3i}(3V2 +4v3i) (3v2) -(4J} i? _6/6+849i+3/4i+dj6iỀ 2V6+30i v6 s5 —+—i 18 +48 66 33 I1 Câu 4b a) S,=2xR.R v3 =2 v3 xRỲ, Sn = Sy, + 2Syy= 2V3 TR + 20K? = 20V3 + AR? b) Ve= aR RV3 =V3 2R°
c) Theo gia thiétt OA = O'B = R,
Goi AA’ 1a dudne sinh cia hinh tru thi O’A’ = R, AA’ =RV3 va gĩc BAA’ bang 30" (hinh bén) Vi OO’// mp(ABA’) nén khoang cach gitra OO’ va
AB bằng khoảng cách giữa OO' và mp(ABA))
Gọi H là trung điểm của BA" thì khoảng cách đĩ
bằng O'H Tam giác BA`A vuơng tai A’ nén
Trang 36
BA’ = AA’tan30" = RV3.——= R Như vậy Lt 3 3 BAO” là tam giác đều do đĩ O'LT = = Cau Sb r=\[- (V3) +(- 3) = =2V3 tt Do a= V3.b=-3nén tana = 3G > of 7 3 Vay: -v¥3—3i = 2V3| co +isin™ | DE SO 12 Câu 1 a) Khia={vib=21acoé ham so y = 1 + 2x’ - —, — Tập xác định : 'š — Sự biến thiên : = 4x x" = =x x) y =0x=0 hoac x = +2 y =4-
x=0=y VN) = 4 >0 —= hàm số đạt cực tiêu tai x = 0, yer = y(O) = L
Trang 37Cau 2 92 Khí y=0—=1+2x° - = -0<»>x~+4 + v20 Đồ thị hàm số cắt Ox tại vs giàn ly Í hai điểm (-4 + v20; 0) và (V4 - 20; 0) VÀ NT | `” HÀ I | Ả1 {\ \ L I b ! \ i | 1 1 | Pe \ lf | | \ | } _/ J — —1 1 4 | v1 + vao v4 + V20 | ~2 0 2 | x x?
b) Số nghiệm của phương trình : ] + 2x - TT m bằng số giao điểm của đường thẳng y = m và đường cong (C) : dựa vào đồ thị trên ta suy ra : m< ] > phương trình cĩ hai nghiệm;
m= 1 : phuong trình cĩ ba nghiệm trong đĩ cĩ một nghiệm kép; I<m<5 : phương trình cĩ bốn nghiệm;
m=5 : phương trình cĩ hai nghiệm kép; m>5 : phương trình vơ nghiệm
4
Trang 39Câu 4a
Câu Ba
Cau 4b
94
a) Data=sine- l.b=sinu+ !,c=cosa vid = 1
Phương trình (1L) xác định một mặt cau tam I (a; b: c) va ban kinh R= Va +b +c°-d
by R = (sina — ly + Gina + 1) + cova -— 1 =2 + sina
Vậy R= V3 khi sina = + 1 R„„= V2 Khi sine =0
Khi R„ = V3 ta cĩ tâm mặt cầu là: I,(0: 2; 0) hoặc I, (-2; 0; 0)
khi R,,,, = M2 ta cĩ tàm mặt cầu là: I(—]J: [; 1) hoặc l,( 1; 1; —1)
a) Tạ cĩ: œ = (z-1)(z-1) = (x+iy-l)(x-iy—1) hay @ = x ty =x+y+i(-x+y+l)
Để œ là một số thực thì phải cĩ —x+y+l = 0 hay tập hợp của M là
duong thang y = x-l
b) Để @ 1a mét s6 thudn do thi phai cé x>+y*>—x+y = O hay tap hop điểm cản tìm là một đường trịn Phương trình của đường trịn nay là :
> 3 |
x°t yo «x+y = Ơ Tâm đường trịn là [5 5]
Bán kính bằng R = Va? +b?—-c = Ễ - v2
4 2
a) Tâm Ï của mặt cầu năm trên mp(OyzZ) nén I = (0 ; b: c) Ta tìm điều
kiện của b và c để IA = IB = ÍC hay :
p =IB`_ J(8=b}'+c°=4°+(6-b}'+(2~e} c1 IA? = IC" |(g—by +0? = (12-b) #(4-c)
Vậy =(0;7; 5) Khi đĩ R =IA = V0+1+25 =V26
Mặt cầu cĩ phương trình :
x'+(y-7Y +( -5Y = 26
b) Vi tam Í của mặt cầu nằm trên tía Ox và mật cầu tiếp xúc với mp(OyzZ)
nên điểm tiếp xúc phải là O và do đĩ bán kính mặt cầu là
R =]lÒ =2 và! =(2;0; 0) Mặt cầu cĩ phương trình : (x-2)+v+z` =4
Trang 40€) Vì mặt cấu cĩ tâm Í(I: 2 ; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz) vậy R = I Mật cầu cĩ phương trình : (x-lY +(y 2+3 =1 Câu 5b Ta cĩ : zÍ = 344i Dat 2=a+bi, trong dé a, b là các số thực thì Cau 1 2 2 z” =(a+ib} Suy ra 3+4i=(a+ib} =3+4i =a” =bÌ+2abi, 5 T1 2 5 2 _ Suyra a =b“ = 3 và 2ab = 4 => b = ~ Vậy aˆ -] =3 a tá Từ đĩ aÍ -3a` -4= 0 hay (a`—4)(a°+1}=0a<+2 và b= +] Các số thực cần tìm là: z = 2+1 va z = -2~i ĐỀ SỐ 13 ¬ et ¬ 1 l a) DO thi cat truc tung tu diém 2 {<&Ằ—=— é>m=2 m 2: b) Với m= 2ta cĩ: y= tt x+2 Tập xác định : R\ { 2} Sự biến thiên: Yast (x+2y y >0với Vx #— 2, nẻn hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (-œ: -2) và (—2; +20)
Hàm số khơng cĩ cực dat, cực tiểu